资源简介

16.1.2 积的乘方
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
16.1.2 积的乘方教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深入理解积的乘方的运算法则，清晰掌握其推导过程及每一步的依据，精准把握法则的本质内涵。
能够熟练且准确地运用积的乘方运算法则进行各类积的乘方运算，涵盖底数为正数、负数、分数、整式等不同形式，以及与同底数幂相乘、幂的乘方等运算的混合运算。
能够在复杂多样的数学问题情境中敏锐识别积的乘方运算，并灵活巧妙地运用法则解决相关问题，如在代数式化简、求值以及方程求解等实际应用场景中准确运用。
（二）过程与方法目标
通过创设生动具体的实际问题情境，引导学生积极主动地自主探索、细致观察、深入分析积的乘方运算的规律，着力培养学生从具体事例到抽象概念、从特殊情况到一般规律的归纳概括能力，有效提升学生的逻辑思维水平。
精心组织学生开展小组合作学习活动，共同深入探讨积的乘方运算法则的推导思路和应用技巧，促进学生之间的思想深度交流与激烈碰撞，显著提高学生的合作交流能力和团队协作意识。
借助丰富多样、层次分明的例题和练习题，由浅入深地逐步引导学生运用运算法则解决实际问题，在练习过程中着重培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力和运算技巧，使学生学会优化运算过程，切实提高解题效率。
积极鼓励学生尝试运用不同的方法推导和应用积的乘方运算法则，大力培养学生的创新思维和发散思维，充分激发学生对数学学习的浓厚兴趣和强烈的探索精神。
（三）情感态度与价值观目标
深度激发学生对数学运算规律的探索欲望，让学生在自主探究和解决问题的过程中，充分体验成功的喜悦，切实增强学习数学的自信心和成就感，全力培养学生积极主动的学习态度。
着重培养学生严谨认真的学习习惯和科学的思维方法，在积的乘方运算过程中，注重每一步的依据和准确性，精心培养学生一丝不苟的学习品质。
让学生在面对复杂的数学运算时，始终保持冷静、积极的心态，勇于迎难而上，克服困难，着力培养坚韧不拔的意志品质，全面提高学生的数学学习素养。
进一步强化学生的团队合作意识，使学生深刻明白在数学学习和研究中，合作交流能够极大地拓展思路，更好地理解和掌握知识，实现共同进步，大力培养学生的合作精神和集体荣誉感。
二、学情分析
学生在本节课之前，已经成功掌握了乘方的基本概念，以及同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，对幂的运算体系有了初步且较为扎实的认识和理解。然而，积的乘方运算在形式和理解难度上又更进一层，需要学生深入理解将积的每个因式分别乘方再相乘这一相对复杂的运算规则，这无疑对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力提出了更高层次的挑战。部分学生在理解积的乘方运算法则的推导过程时可能会遭遇阻碍，容易混淆积的乘方与同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，在实际运算过程中极有可能出现指数运算错误、对底数中各因式处理不当等问题。同时，从具体的数字运算过渡到含有字母的代数式的积的乘方运算，在思维跨度和抽象程度上对一些学生而言难度较大。鉴于此，在教学过程中，要充分依托学生已有的知识基础，通过大量丰富且具体的实例，由浅入深、循序渐进地引导学生理解和掌握积的乘方的运算法则，强化对学生推导过程的细致指导和多样化运算练习，密切关注学生的个体差异，及时给予精准有效的帮助和反馈，助力学生逐步突破困难，稳步提高运算能力和解决问题的综合能力。
三、教学重难点
（一）教学重点
透彻理解积的乘方的运算法则，能够准确无误地用文字语言和符号语言清晰表述法则，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用符号表示为\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）。
熟练且精准地运用积的乘方运算法则进行准确高效的计算，包括各种复杂形式的积的乘方运算，以及与同底数幂相乘、幂的乘方等运算的混合运算，能够在实际问题情境中灵活自如地运用法则解决各类问题。
（二）教学难点
深入透彻地理解积的乘方运算法则的推导过程，从乘方的基本概念出发，借助具体详实的例子，逐步抽象概括出一般规律，有效培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
帮助学生精准区分积的乘方与同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，避免在实际运算中出现严重的混淆和错误，显著提高学生运算的准确性和灵活性，使其能够根据不同的运算情境迅速且正确地选择和运用相应的运算法则。
四、教学方法
讲授法：通过条理清晰、精准明确的讲解，向学生系统传授积的乘方运算法则的概念、推导过程和应用方法，使学生对知识形成全面、系统的认知。在讲解过程中，高度注重语言的准确性、简洁性和逻辑性，突出重点和难点内容，引导学生深入理解每一个步骤的依据和内在逻辑关系。
讨论法：精心组织学生进行小组讨论活动，共同深入探讨积的乘方运算法则的发现过程和应用技巧，大力促进学生之间的思想交流和智慧碰撞。在讨论过程中，教师积极引导学生主动思考，鼓励学生大胆发表自己的独特观点和新颖想法，全力培养学生的合作学习能力和创新思维。
练习法：匠心设计具有高度针对性、层次性和多样性的练习题，让学生在练习中不断巩固所学的运算法则，显著提高学生的运算能力和解题技巧。通过练习，及时精准地发现并纠正学生存在的问题，强化学生对知识的理解和掌握程度，同时着力培养学生良好的解题习惯和规范的运算格式。
五、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾乘方的定义：
提问学生：“同学们，我们之前学习了乘方，谁能准确地说一说什么是乘方？并举例说明。”
引导学生积极回答：“求\(n\)个相同因数乘积的运算，叫做乘方。例如，\(3×3×3×3 = 3^4\)，这里\(3\)是底数，\(4\)是指数，\(3^4\)是幂。”
复习同底数幂相乘的运算法则：
让学生快速默写同底数幂相乘的法则，然后请一位同学到黑板上规范写出：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)，\(n\)都是正整数）。
举例：\(2^3×2^4\)，请学生迅速说出计算过程和结果，巩固同底数幂相乘的运算法则，即\(2^3×2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)。
复习幂的乘方运算法则：
提问学生幂的乘方运算法则的内容，引导学生回答：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用符号表示为\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)，\(n\)都是正整数）。
举例计算：\((3^2)^3\)，请学生阐述计算步骤，即\((3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6\)。
（二）探索新知（15 分钟）
创设情境：
问题：“同学们，假设有一个正方体，它的棱长为\(2a^3\)厘米，那么大家思考一下，这个正方体的体积该如何计算呢？体积是多少立方厘米呢？”
引导学生积极分析：根据正方体体积公式\(V = 棱长^3\)，可得该正方体体积为\((2a^3)^3\)立方厘米。
进一步提问学生：“那我们该如何计算\((2a^3)^3\)呢？它又表示着怎样的数学意义呢？”
推导积的乘方运算法则：
以\((2a^3)^3\)为例，引导学生根据乘方的定义逐步展开：
\((2a^3)^3 = 2a^3×2a^3×2a^3\)（因为幂的乘方表示几个相同的幂相乘，这里就是 3 个\(2a^3\)相乘）。
接着，运用乘法交换律和结合律，将数字部分和字母部分分别结合相乘，得到\((2×2×2)×(a^3×a^3×a^3)\)。
再根据乘方的意义与同底数幂的乘法运算，\(2×2×2 = 2^3\)，\(a^3×a^3×a^3 = a^{3 + 3 + 3} = a^{3×3}\)，所以\((2a^3)^3 = 2^3×a^{3×3} = 8a^9\)。
进一步推广：对于一般形式\((ab)^n\)（\(n\)为正整数），它表示\(n\)个\(ab\)相乘。
即\((ab)^n = (ab)×(ab)×···×(ab)\)（共\(n\)个\(ab\)相乘）。
运用乘法交换律和结合律，将\(a\)和\(b\)分别聚集在一起，得到\((a×a×···×a)×(b×b×···×b)\)（\(n\)个\(a\)相乘，\(n\)个\(b\)相乘）。
根据乘方的定义，\(n\)个\(a\)相乘可表示为\(a^n\)，\(n\)个\(b\)相乘可表示为\(b^n\)，所以\((ab)^n = a^n b^n\)。
归纳法则：
引导学生共同总结积的乘方的运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用符号表示为\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）。
着重强调：底数\(ab\)可以是具体的数与数的乘积，也可以是单项式与单项式的乘积，甚至可以是多项式与多项式的乘积；指数\(n\)为正整数；在实际运算时，务必准确区分积的乘方与同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则，坚决不能混淆。同时，向学生说明该法则对于三个或三个以上因式的积的乘方同样适用，如\((abc)^n = a^n b^n c^n\)（\(n\)为正整数），可让学生类比两个因式的情况自行思考推导过程。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1) \((3b)^2\)
分析：根据积的乘方运算法则，将\(3\)和\(b\)分别乘方，再把所得的幂相乘。
解：\((3b)^2 = 3^2×b^2 = 9b^2\)。
(2) \((-2a^2)^3\)
分析：这里底数是\(-2\)与\(a^2\)的乘积，先分别将\(-2\)和\(a^2\)进行乘方运算，同时要注意负数的奇次幂为负。
解：\((-2a^2)^3 = (-2)^3×(a^2)^3 = -8a^6\)。
(3) \((\frac{1}{2}xy)^4\)
分析：把\(\frac{1}{2}\)、\(x\)、\(y\)这三个因式分别乘方，然后将结果相乘。
解：\((\frac{1}{2}xy)^4 = (\frac{1}{2})^4×x^4×y^4 = \frac{1}{16}x^4y^4\)。
例 2：计算
(1) \((2x^2)^3·(3x)^2\)
分析：先分别计算出两个积的乘方，再进行同底数幂的乘法运算。
解：\(
\begin{align*}
&(2x^2)^3?·(3x)^2\\
=&2^3??(x^2)^3??3^2??x^2\\
=&8x^6??9x^2\\
=&8??9??x^6??x^2\\
=&72x^8
\end{align*}
\)
(2) \([(a - b)^2]^3·(b - a)^3\)
分析：先对\([(a - b)^2]^3\)运用幂的乘方运算法则，然后将\((b - a)^3\)变形为\(-(a - b)^3\)，再进行同底数幂的乘法运算。
解：\(
\begin{align*}
&[(a - b)^2]^3?·(b - a)^3\\
=&(a - b)^6?·[-(a - b)^3]\\
=&-(a - b)^6?·(a - b)^3\\
=&-(a - b)^{6 + 3}\\
=&-(a - b)^9
\end{align*}
\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
(1) \((4c)^3\)
(2) \((-3x^3)^4\)
(3) \((\frac{2}{3}mn)^3\)
(4) \((ab^2)^5\)
下面的计算是否正确？如果错误，请改正。
(1) \((2a)^3 = 6a^3\)
(2) \((-3b^2)^2 = -9b^4\)
(3) \((a^2b)^3 = a^5b^3\)
计算：
(1) \((3a^3)^2·(2a)^3\)
(2) \([(m + n)^3]^2·(n + m)^4\)
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一同全面回顾积的乘方的运算法则，着重强调积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘这一核心内容，以及在运算过程中需要重点注意的问题，如底数中各因式的准确处理、指数的运算规则、与同底数幂相乘和幂的乘方运算法则的本质区别等。
系统总结在计算积的乘方运算时学生容易出现错误的地方，如对底数中因式的乘方遗漏、符号处理不当、与其他幂运算规则混淆等，郑重提醒学生在今后的计算中务必仔细认真，养成严谨规范的运算习惯。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：完成教材课后练习题中与积的乘方相关的题目，通过练习进一步巩固课堂所学的基本运算方法和技巧。
拓展作业：
已知\(a^m = 3\)，\(b^m = 5\)，求\((ab)^{2m}\)的值（提示：灵活运用积的乘方和幂的乘方运算法则进行变形求解）。
若\(2^x = 8^{y + 1}\)，\(9^y = 3^{x - 9}\)，求\(x\)和\(y\)的值（提示：将等式两边化为同底数幂的形式，再根据指数关系列方程求解，过程中会运用到积的乘方等知识）。
六、教学反思
在教学过程中，要时刻紧密关注学生对积的乘方运算法则的理解和应用状况。从复习旧知导入环节开始，就要确保学生能够顺利且准确地回顾乘方、同底数幂相乘以及幂的乘方的知识，为新知识的学习筑牢坚实的基础。在探索法则的关键环节，要给予学生充足的自主思考和小组讨论时间，引导他们深入理解法则的推导过程，真正做到知其然且知其所以然。讲解例题时，要高度注重解题思路和方法的细致引导，严格规范书写格式，着重强调易错点，让学生清晰掌握正确的解题方法和步骤。课堂练习环节要及时收集学生的反馈信息，对于学生出现的问题要迅速且准确地进行纠正和指导。通过认真批改分析学生的作业情况，深入了解学生对知识的掌握程度和存在的问题，以便在后续教学中进行更具针对性的辅导和及时调整教学策略，全力以赴帮助学生更好地掌握积的乘方运算，切实提高学生的运算能力和数学综合素养。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过探究积的乘方的运算法则，进一步体会和巩固幂的意义，理解并准确掌握积的乘方的运算法则，培养学生实事求是、严谨、认真、务实的学习态度．
2．通过练习巩固积的乘方的运算法则，进一步提高应用意识和创新意识，增强学生解决问题的能力．
重点
难点
旧识回顾
说一说同底数幂相乘与幂的乘方的运算法则．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方，底数不变，指数相乘
问题导入
同学们，我们一起来看一下这个问题：
已知一个正方体的棱长为2×103 cm.
老师有几个问题需要大家思考一下：
它的体积是多少？
体积的结果是幂的乘方的形式吗？
3.体积的结果如何计算？能不能找到一个运算性质？
V＝（2×103）3cm3
底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但整体看不是幂的乘方的形式
活动导入
请同学们拿出你们的正方形折纸，沿着虚线剪开，裁剪前后的图形面积会改变吗？
在草稿本上画出裁剪前的图形和裁剪后的图形，并分别计算其面积.
你发现了什么？
情境导入
老师今天早上收到了一个神秘的礼物，大家看一下它是什么？
说起魔方，大家会想到哪些与它相关的数学知识呢？
大家都知道魔方的每一面都是正方形，现在已知老师的魔方棱长为3a，它的体积怎么计算呢？
请同学们观察这个式子（（3a）3），它的底数是和、差、积、商哪一种运算？
3a×3a×3a=27a3或（3a）3
1.请同学们阅读课本97页探究．
2．请同学们在完成上面任务后思考以下问题：
(1)在上述的运算过程中用到了哪些运算律？
(2)你能再举一个例子，不写运算过程直接说出它的运算结果吗？
(3)你能用符号表示你发现的规律吗？
乘法交换律、乘法结合律
(ab)n＝anbn(n为正整数)
1．你能将上述发现的规律推导出来吗？

2．请你用文字语言概括出积的乘方的运算性质．
3．三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？
是
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
1．积的乘方法则的推导：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
2．符号语言：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
3．文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点：积的乘方法则(重难点)
注：1.运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
2．字母系数如果出现负号，一定要注意计算结果的符号.
【题型一】积的乘方法则的应用
例1：计算下列各式：
(1)(2a)3 ； (2)(－5b)3； (3)(xy2)2 ； (4)(－2x3)4.
解：(1)(2a)3＝23·a3＝8a3.
(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3.
(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2y4.
(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16x12.
例2：计算：2 0252 025× 2 024.
【题型二】积的乘方的逆用
例3：已知n是正整数，若x3n＝3，求(2xn)6＋(－3x2n)3的值．
解：∵x3n＝3，∴原式＝64(x3n)2－27(x3n)2＝64×9－27×9＝333.
【题型三】幂的运算法则的综合运用
变式：已知xn＝2，yn＝6，求(x2y)2n的值．
解：∵xn＝2，yn＝6，
∴(x2y)2n＝x4n·y2n＝(xn)4·(yn)2＝24×62＝16×36＝576.
10. 计算(?am)n得a6，则m与n 的值可以是( )
?
C
A. m=2，n=3 B. m=2，n=4
C. m=3，n=2 D. m=3，n=3
?
11. 计算(?4×103)2×(?2×103)3 的结果是( )
?
B
A. 1.28×1017 B. ?1.28×1017
C. 4.8×1016 D. ?2.4×1016
?
【点拨】(?4×103)2×(?2×103)3=16×106×(?8)×109=?128×1015=?1.28×1017 .
?
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12. ［2025周口月考］若(3ambm?n)2=9a4b8 成立，则
( )
?
A
A. m=2，n=?2 B. m=?2，n=?2
C. m=?2，n=2 D. m=2，n=2
?
【点拨】∵(3ambm?n)2=9a2mb2m?2n=9a4b8 ，
∴2m=4，2m?2n=8.∴m=2，n=?2 .
?
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13. 如果2a=3，3a=5，那么12a?6a 的结果是( )
?
A
A. 30 B. 20 C. 25 D. 15
【点拨】∵2a=3，3a=5，∴6a=(2×3)a=2a×3a=15.∴12a=(2×6)a=2a×6a=3×15=45.∴12a?6a=45?15=30 .
?
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14. 已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a,b ,
c,d 的大小关系是( )
?
A
A. a>b>c>d B. a>b>d>c
C. b>a>c>d D. a>d>b>c
?
【点拨】先变形,a=2255=(225)11，b=3344=(334)11 ，
c=5533=(553)11，d=6622=(662)11 ，再比较11次幂的
底数大小即可.
?
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15.已知2x+3×5x+3=100x+1,那么2?025x 的值是_______.
?
2 025
【点拨】∵2x+3×5x+3=10x+3 ,
100x+1=(102)x+1=102x+2,∴x+3=2x+2 ,解得
x=1.∴2?025x=2?025.
?
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16.若(kam?nbm+n)4=16a8b16，则k+m+n= ______.
?
6或2
【点拨】∵(kam?nbm+n)4=16a8b16 ,
∴k4a4(m?n)?b4(m+n)=16a8b16,∴k=±2,4(m?n)=8 ,
4(m+n)=16,∴m=3,n=1，∴k+m+n=6 或2.
?
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17.已知x+5y?3=0,则42x+y?8y?x= ___.
?
8
【点拨】∵x+5y?3=0,∴x+5y=3.∴42x+y?8y?x=22(2x+y)?23(y?x)=24x+2y?23y?3x=24x+2y+3y?3x=2x+5y=23=8 .
?
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18. 我们定义：三角形
=ab+c，四边形 =pm?qn.若 =12 ，
则 = _____.
?
144
【点拨】∵ =12，∴3x+2y=12.∴ =81y?9x=34y?32x=32x+4y=32(x+2y)=(3x+2y)2=122=144 .
?
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1.我们这节课学习了哪些知识？
2．今天的学习运用了哪些方法？
通过今天这节课我们知道了积的乘方的运算法则，希望同学们在今后的学习中能够灵活运用.
①积的乘方法则；②幂的三种运算法则的综合运用
从特殊到一般，从具体到抽象
谢谢观看！

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