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16.2.3 多项式与多项式相乘
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式与多项式相乘教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深刻理解多项式与多项式相乘的运算法则，清晰掌握其推导过程及每一步的依据，精准把握法则的本质内涵。
能够熟练且准确地运用多项式与多项式相乘的运算法则进行各类多项式乘法运算，涵盖不同项数、不同次数的多项式相乘，以及与单项式乘法、加减法等运算的混合运算。
能够在复杂多样的数学问题情境中敏锐识别多项式与多项式相乘的运算，并灵活巧妙地运用法则解决相关问题，如在代数式化简、求值以及方程求解等实际应用场景中准确运用。
（二）过程与方法目标
通过创设生动具体的实际问题情境，引导学生积极主动地自主探索、细致观察、深入分析多项式与多项式相乘的运算规律，着力培养学生从具体事例到抽象概念、从特殊情况到一般规律的归纳概括能力，有效提升学生的逻辑思维水平。
精心组织学生开展小组合作学习活动，共同深入探讨多项式与多项式相乘运算法则的推导思路和应用技巧，促进学生之间的思想深度交流与激烈碰撞，显著提高学生的合作交流能力和团队协作意识。
借助丰富多样、层次分明的例题和练习题，由浅入深地逐步引导学生运用运算法则解决实际问题，在练习过程中着重培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力和运算技巧，使学生学会优化运算过程，切实提高解题效率。
积极鼓励学生尝试运用不同的方法推导和应用多项式与多项式相乘的运算法则，大力培养学生的创新思维和发散思维，充分激发学生对数学学习的浓厚兴趣和强烈的探索精神。
（三）情感态度与价值观目标
深度激发学生对数学运算规律的探索欲望，让学生在自主探究和解决问题的过程中，充分体验成功的喜悦，切实增强学习数学的自信心和成就感，全力培养学生积极主动的学习态度。
着重培养学生严谨认真的学习习惯和科学的思维方法，在多项式与多项式相乘运算过程中，注重每一步的依据和准确性，精心培养学生一丝不苟的学习品质。
让学生在面对复杂的数学运算时，始终保持冷静、积极的心态，勇于迎难而上，克服困难，着力培养坚韧不拔的意志品质，全面提高学生的数学学习素养。
进一步强化学生的团队合作意识，使学生深刻明白在数学学习和研究中，合作交流能够极大地拓展思路，更好地理解和掌握知识，实现共同进步，大力培养学生的合作精神和集体荣誉感。
二、学情分析
学生在本节课之前，已经成功掌握了单项式的基本概念，以及单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘的运算法则，对整式乘法运算体系有了初步且较为扎实的认识和理解。然而，多项式与多项式相乘运算在形式和理解难度上又更进一层，需要学生深入理解将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加这一相对复杂的运算规则，这无疑对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力提出了更高层次的挑战。部分学生在理解多项式与多项式相乘运算法则的推导过程时可能会遭遇阻碍，容易在运算过程中出现漏乘、符号处理错误、同类项合并不当等问题。同时，从单项式乘法、单项式与多项式相乘过渡到多项式与多项式相乘，在思维跨度和运算复杂程度上对一些学生而言难度较大。鉴于此，在教学过程中，要充分依托学生已有的知识基础，通过大量丰富且具体的实例，由浅入深、循序渐进地引导学生理解和掌握多项式与多项式相乘的运算法则，强化对学生推导过程的细致指导和多样化运算练习，密切关注学生的个体差异，及时给予精准有效的帮助和反馈，助力学生逐步突破困难，稳步提高运算能力和解决问题的综合能力。
三、教学重难点
（一）教学重点
透彻理解多项式与多项式相乘的运算法则，能够准确无误地用文字语言和符号语言清晰表述法则，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用符号表示为\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为整式）。
熟练且精准地运用多项式与多项式相乘的运算法则进行准确高效的计算，包括各种复杂形式的多项式乘法运算，以及与单项式乘法、加减法等运算的混合运算，能够在实际问题情境中灵活自如地运用法则解决各类问题。
（二）教学难点
深入透彻地理解多项式与多项式相乘运算法则的推导过程，从乘法分配律出发，借助具体详实的例子，逐步抽象概括出一般规律，有效培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
帮助学生在实际运算中精准避免漏乘、符号错误等问题，准确进行同类项的合并，显著提高学生运算的准确性和灵活性，使其能够根据不同的运算情境迅速且正确地选择和运用相应的运算法则。
四、教学方法
讲授法：通过条理清晰、精准明确的讲解，向学生系统传授多项式与多项式相乘运算法则的概念、推导过程和应用方法，使学生对知识形成全面、系统的认知。在讲解过程中，高度注重语言的准确性、简洁性和逻辑性，突出重点和难点内容，引导学生深入理解每一个步骤的依据和内在逻辑关系。
讨论法：精心组织学生进行小组讨论活动，共同深入探讨多项式与多项式相乘运算法则的发现过程和应用技巧，大力促进学生之间的思想交流和智慧碰撞。在讨论过程中，教师积极引导学生主动思考，鼓励学生大胆发表自己的独特观点和新颖想法，全力培养学生的合作学习能力和创新思维。
练习法：匠心设计具有高度针对性、层次性和多样性的练习题，让学生在练习中不断巩固所学的运算法则，显著提高学生的运算能力和解题技巧。通过练习，及时精准地发现并纠正学生存在的问题，强化学生对知识的理解和掌握程度，同时着力培养学生良好的解题习惯和规范的运算格式。
五、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式与多项式相乘的法则：
提问学生：“同学们，我们之前学习了单项式与多项式相乘，谁能准确地说一说运算法则是什么？并举例说明。”
引导学生积极回答：“单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\(2x(3x + 4) = 2x×3x + 2x×4 = 6x^{2}+8x\)。”
进行简单的单项式与多项式相乘的练习：
在黑板上写出题目：\(3a(2a - 5b)\)，\( - 2xy(3x^{2}-xy + 2y^{2})\)。
请两位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成，然后集体订正，巩固单项式与多项式相乘的运算法则。
（二）探索新知（15 分钟）
创设情境：
问题：“同学们，学校有一个长方形花坛，原来长为\(m\)米，宽为\(n\)米。为了美化校园环境，现在决定将长增加\(a\)米，宽增加\(b\)米，那么大家思考一下，扩建后花坛的面积是多少平方米呢？”
引导学生积极分析：根据长方形面积公式\(S = 长×宽\)，扩建后花坛的长为\((m + a)\)米，宽为\((n + b)\)米，所以面积为\((m + a)(n + b)\)平方米。
进一步提问学生：“那我们该如何计算\((m + a)(n + b)\)呢？它又可以怎样展开呢？”
推导多项式与多项式相乘的运算法则：
以\((m + a)(n + b)\)为例，引导学生根据乘法分配律逐步展开：
把\((n + b)\)看成一个整体，根据单项式与多项式相乘的法则，可得\((m + a)(n + b)=m(n + b)+a(n + b)\)。
再分别对\(m(n + b)\)和\(a(n + b)\)运用单项式与多项式相乘的法则，得到\(m(n + b)+a(n + b)=mn+mb+an+ab\)。
进一步推广：对于一般形式的两个多项式\((a + b)(c + d)\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为整式），同样可以按照上述方法进行推导。
把\((c + d)\)看成一个整体，那么\((a + b)(c + d)=a(c + d)+b(c + d)\)。
继续展开，\(a(c + d)+b(c + d)=ac+ad+bc+bd\)。
归纳法则：
引导学生共同总结多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用符号表示为\((a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为整式）。
着重强调：在运用法则进行计算时，要注意按照一定的顺序相乘，做到不重不漏；每一项相乘时，要注意符号的确定，同号得正，异号得负；最后要对结果进行合并同类项，化为最简形式。同时，向学生说明该法则对于多个多项式相乘同样适用，可让学生类比两个多项式相乘的情况自行思考拓展。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1) \((x + 2)(x + 3)\)
分析：根据多项式与多项式相乘的运算法则，用第一个多项式的每一项\(x\)和\(2\)分别去乘第二个多项式的每一项\(x\)和\(3\)，再把所得的积相加。
解：\(
\begin{align*}
&(x + 2)(x + 3)\\
=&x x+x 3+2 x+2 3\\
=&x^{2}+3x+2x+6\\
=&x^{2}+(3x + 2x)+6\\
=&x^{2}+5x+6
\end{align*}
\)
(2) \((2x - 1)(3x + 2)\)
分析：这里要注意每一项相乘时的符号，\(2x\)与\(3x\)相乘得正，\(2x\)与\(2\)相乘得正，\(-1\)与\(3x\)相乘得负，\(-1\)与\(2\)相乘得负。
解：\(
\begin{align*}
&(2x - 1)(3x + 2)\\
=&2x 3x+2x 2+(-1) 3x+(-1) 2\\
=&6x^{2}+4x-3x-2\\
=&6x^{2}+(4x - 3x)-2\\
=&6x^{2}+x-2
\end{align*}
\)
例 2：计算
(1) \((a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\)
分析：按照多项式与多项式相乘的法则，依次相乘并注意合并同类项。
解：\(
\begin{align*}
&(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\\
=&a a^{2}-a ab+a b^{2}+b a^{2}-b ab+b b^{2}\\
=&a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b - ab^{2}+b^{3}\\
=&a^{3}+(-a^{2}b + a^{2}b)+(ab^{2}-ab^{2})+b^{3}\\
=&a^{3}+b^{3}
\end{align*}
\)
(2) \((3x - 2y)(2x^{2}+3xy - y^{2})\)
分析：运算过程较为复杂，要仔细认真，确保每一项都相乘且符号正确。
解：\(
\begin{align*}
&(3x - 2y)(2x^{2}+3xy - y^{2})\\
=&3x 2x^{2}+3x 3xy+3x (-y^{2})+(-2y) 2x^{2}+(-2y) 3xy+(-2y) (-y^{2})\\
=&6x^{3}+9x^{2}y-3xy^{2}-4x^{2}y-6xy^{2}+2y^{3}\\
=&6x^{3}+(9x^{2}y-4x^{2}y)+(-3xy^{2}-6xy^{2})+2y^{3}\\
=&6x^{3}+5x^{2}y-9xy^{2}+2y^{3}
\end{align*}
\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
(1) \((m + 5)(m - 3)\)
(2) \((2x - 3)(3x - 1)\)
(3) \((a + 2b)(a - 2b)\)
(4) \((x + 3)(x^{2}-2x + 1)\)
下面的计算是否正确？如果错误，请改正。
(1) \((x + 2)(x - 3)=x^{2}-6\)
(2) \((2x - 1)(x + 2)=2x^{2}+3x - 2\)
(3) \((a + 1)(a - 1)=a^{2}-2a - 1\)
先化简，再求值：\((x - 2)(x^{2}+2x + 4)-x(x^{2}-2)\)，其中\(x = 3\)。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一同全面回顾多项式与多项式相乘的运算法则，着重强调先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加这一核心内容，以及在运算过程中需要重点注意的问题，如相乘顺序、符号确定、同类项合并等。
系统总结在计算多项式与多项式相乘运算时学生容易出现错误的地方，如漏乘、符号混乱、同类项未正确合并等，郑重提醒学生在今后的计算中务必仔细认真，养成严谨规范的运算习惯。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：完成教材课后练习题中与多项式与多项式相乘相关的题目，通过练习进一步巩固课堂所学的基本运算方法和技巧。
拓展作业：
已知\((x + a)(x + b)=x^{2}+mx + n\)，若\(m = 5\)，\(n = 6\)，求\(a\)和\(b\)的值（提示：根据多项式与多项式相乘的法则展开等式左边，再对比系数求解）。
若\((x^{2}+mx + 8)(x^{2}-3x + n)\)的展开式中不含\(x^{2}\)和\(x^{3}\)项，求\(m\)和\(n\)的值（提示：先运用多项式与多项式相乘的法则展开式子，再根据不含某一项则该项系数为 0 列方程求解）。
六、教学反思
在教学过程中，要时刻紧密关注学生对多项式与多项式相乘运算法则的理解和应用状况。从复习旧知导入环节开始，就要确保学生能够顺利且准确地回顾单项式与多项式相乘的知识，为新知识的学习筑牢坚实的基础。在探索法则的关键环节，要给予学生充足的自主思考和小组讨论时间，引导他们深入理解法则的推导过程，真正做到知其然且知其所以然。讲解例题时，要高度注重解题思路和方法的细致引导，严格规范书写格式，着重强调易错点，让学生清晰掌握正确的解题方法和步骤。课堂练习环节要及时收集学生的反馈信息，对于学生出现的问题要迅速且准确地进行纠正和指导。通过认真批改分析学生的作业情况，深入了解学生对知识的掌握程度和存在的问题，以便在后续教学中进行更具针对性的辅导和及时调整教学策略，全力以赴帮助学生更好地掌握多项式与多项式相乘运算，切实提高学生的运算能力和数学综合素养。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过学生自主探究多项式与多项式相乘的法则的过程，理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，培养学生独立思考、主动探索的习惯，提高学生解决问题的能力．
2．通过练习多项式乘多项式的混合运算，体会乘法分配律以及“整体”和“转化”的数学思想，发展学生观察、归纳、概括的能力．
重点
难点
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
(2)再把所得的积相加.
(1)将单项式分别乘以多项式的各项.
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
(1)不能漏乘:
即单项式要乘多项式的每一项.
(2)去括号时注意符号的变化.
计算
(1)(－2ac) 2(－3ab 2 c)
(2)(－12)×()
= －12a 3 b 2 c 3
= 0
某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，若长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积.
a
m
b
n
知识点
多项式乘多项式的法则
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为(m+n)米，宽为(a+b)米.
(m+n)(a+b)
m(a+b)+n(a+b)
ma+mb+na+nb
方法一：
方法二：
方法三：
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
(m+n)X=
mX+nX
？
若X=a+b，如何计算？
学生活动【一起探究】
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(a+b)看成一个整体，有：
= ma+mb+na+nb
(m+n)(a+b)
= m(a+b)+n(a+b)
(m+n)X=
mX+nX
？
若X=a+b，如何计算？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多项式乘以多项式
“多乘多” 顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．式子表示：(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
知识点：多项式与多项式相乘(重难点)
注：(1)计算多项式与多项式相乘时，按一定的顺序进行，做到不重不漏；
(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于因式的两个多项式的项数之积；
(3)有同类项必须合并同类项，得到最简结果.
【题型一】多项式乘多项式的运算
例1：计算：(1)(3a＋2b)(4a－5b);
(2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)；
解：(1)(3a＋2b)(4a－5b)＝12a2－15ab＋8ab－10b2＝12a2－7ab－10b2.
(2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)＝(x2＋x－x－1)(x2＋1)
＝(x2－1)(x2＋1)＝x4＋x2－x2－1＝x4－1.
计算：(3)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)；
(4)5x(x2＋2x＋1)－(2x＋3)(x2＋x－5)．
(3)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)＝(a2－ab－2b2)－(a2＋ab－2b2)
＝a2－ab－2b2－a2－ab＋2b2＝－2ab.
(4)5x(x2＋2x＋1)－(2x＋3)(x2＋x－5)＝(5x3＋10x2＋5x)－(2x3＋5x2－7x－15)＝5x3＋10x2＋5x－2x3－5x2＋7x＋15＝3x3＋5x2＋12x＋15.
例2：若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值．
解：原式(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中，
含x2的项是：mx2＋3x2－3nx2＝(m＋3－3n)x2，
含x3的项是：－3x3＋nx3＝(n－3)x3，
由题意，得m＋3－3n＝0，n－3＝0，解得m＝6，n＝3.
【题型二】多项式乘多项式化简求值
变式：在(x2＋ax＋b)(2x2－3x－1)的积中，x3项的系数是－5，x2项的系数是－6，求a、b的值．
解：(x2＋ax＋b)(2x2－3x－1)
＝2x4－3x3－x2＋2ax3－3ax2－ax＋2bx2－3bx－b
＝2x4＋(2a－3)x3＋(2b－3a－1)x2－(a＋3b)x－b.
∵x3项的系数是－5，x2项的系数是－6，
∴2a－3＝－5，2b－3a－1＝－6，解得a＝－1，b＝－4.
例3：如图，千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b) m，宽为(2a＋b) m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(图中阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－ab－ab－b2＝5a2＋3ab，即绿化的面积是(5a2＋3ab) m2.
当a＝3，b＝2时，原式＝5×32＋3×3×2＝63.
故绿化的面积是63 m2.
【题型三】多项式乘多项式的实际应用
变式：小明想把一长为60 cm，宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形(如图)．
(1)若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积；
(2)当x＝5时，求这个盒子的体积．
解：(1)(60－2x)(40－2x)＝4x2－200x＋2 400，
所以图中阴影部分的面积为(4x2－200x＋2 400) cm2.
(2)当x＝5时，4x2－200x＋2 400＝1 500，
故这个盒子的体积为1 500×5＝7 500(cm3).
1. 计算 的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 观察如图两个多项式相乘的运算过程，若
，根据你发现的规律，则，
的值可能分别是( )
D
A. 2，7 B. ,7
C. 2， D. ，
【点拨】根据题意，知：，，， 的值
可能分别是， .
返回
3. 两个关于的一次整式与 相乘，所得结果的
一次项系数为( )
B
A. 18 B. 30 C. 78 D.
4. 若，则 的值是( )
B
A. 0 B. 1 C. D. 2
【点拨】，， .
返回
5.若，则 的值
是___.
7
【点拨】,, ,
.
返回
6.［2025重庆校级月考］已知, ,则
的值为___.
3
【点拨】 .
返回
7.母题教材P107练习 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
8.解方程或不等式：
（1） ;
【解】 ,
,
,
,
.
（2） .
,
,
,
,
.
返回
9. 若的结果中不含项，则 的值为
( )
D
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】的结果中不含项，， .
返回
10. 若，，则与 的
大小关系是( )
A
A. B.
C. D. 由 的取值而定
返回
1．我们这节课主要学习了哪些知识？
2．今天的学习运用了哪些数学思想？
通过今天这节课的学习，我们知道了遇到困难时要多角度地思考问题，特别是在代数方面探索法则时，总是建立在旧知识的基础上解决的，在生活中，我们也要注意这种转化思想的应用.
多项式与多项式相乘的法则
数形结合、转化的思想
谢谢观看！

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