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16.2.4 同底数幂的除法
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
同底数幂的除法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够透彻理解同底数幂的除法运算法则，精准掌握其推导过程及每一步的理论依据，深刻把握法则的本质内涵。
能够熟练且准确地运用同底数幂的除法运算法则进行各类同底数幂的除法运算，包括底数为单项式、多项式等不同形式，以及与同底数幂的乘法、乘方等运算的混合运算。
能够在复杂多样的数学问题情境中敏锐识别同底数幂的除法运算，并灵活巧妙地运用法则解决相关问题，如在代数式化简、求值以及方程求解等实际应用场景中准确运用。
（二）过程与方法目标
通过创设生动具体的实际问题情境，引导学生积极主动地自主探索、细致观察、深入分析同底数幂的除法运算规律，着力培养学生从具体事例到抽象概念、从特殊情况到一般规律的归纳概括能力，有效提升学生的逻辑思维水平。
精心组织学生开展小组合作学习活动，共同深入探讨同底数幂除法运算法则的推导思路和应用技巧，促进学生之间的思想深度交流与激烈碰撞，显著提高学生的合作交流能力和团队协作意识。
借助丰富多样、层次分明的例题和练习题，由浅入深地逐步引导学生运用运算法则解决实际问题，在练习过程中着重培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力和运算技巧，使学生学会优化运算过程，切实提高解题效率。
积极鼓励学生尝试运用不同的方法推导和应用同底数幂的除法运算法则，大力培养学生的创新思维和发散思维，充分激发学生对数学学习的浓厚兴趣和强烈的探索精神。
（三）情感态度与价值观目标
深度激发学生对数学运算规律的探索欲望，让学生在自主探究和解决问题的过程中，充分体验成功的喜悦，切实增强学习数学的自信心和成就感，全力培养学生积极主动的学习态度。
着重培养学生严谨认真的学习习惯和科学的思维方法，在同底数幂的除法运算过程中，注重每一步的依据和准确性，精心培养学生一丝不苟的学习品质。
让学生在面对复杂的数学运算时，始终保持冷静、积极的心态，勇于迎难而上，克服困难，着力培养坚韧不拔的意志品质，全面提高学生的数学学习素养。
进一步强化学生的团队合作意识，使学生深刻明白在数学学习和研究中，合作交流能够极大地拓展思路，更好地理解和掌握知识，实现共同进步，大力培养学生的合作精神和集体荣誉感。
二、学情分析
学生在本节课之前，已经成功掌握了同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则，对幂的运算体系有了较为扎实的基础。然而，同底数幂的除法运算在思维方式和运算规则上与之前所学存在一定差异，需要学生从乘法的逆运算角度去理解和推导法则，这对学生的逆向思维和逻辑推理能力提出了更高要求。部分学生在理解同底数幂除法运算法则的推导过程时可能会遇到困难，容易在运算过程中出现底数判断错误、指数运算失误等问题。同时，从多种幂的运算过渡到同底数幂的除法运算，在运算的灵活性和复杂性上对一些学生而言具有一定挑战。鉴于此，在教学过程中，要充分依托学生已有的知识经验，通过大量丰富且具体的实例，由浅入深、循序渐进地引导学生理解和掌握同底数幂的除法运算法则，强化对学生推导过程的细致指导和多样化运算练习，密切关注学生的个体差异，及时给予精准有效的帮助和反馈，助力学生逐步突破困难，稳步提高运算能力和解决问题的综合能力。
三、教学重难点
（一）教学重点
深入透彻地理解同底数幂的除法运算法则，能够准确无误地用文字语言和符号语言清晰表述法则，即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用符号表示为\(a^m\div a^n = a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m\gt n\)）。
熟练且精准地运用同底数幂的除法运算法则进行准确高效的计算，包括各种复杂形式的同底数幂除法运算，以及与其他幂的运算的混合运算，能够在实际问题情境中灵活自如地运用法则解决各类问题。
（二）教学难点
深入理解同底数幂除法运算法则的推导过程，从乘法与除法互为逆运算的角度出发，借助具体详实的例子，逐步抽象概括出一般规律，有效培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
帮助学生在实际运算中精准避免底数判断错误、指数运算失误等问题，准确进行同底数幂的除法运算，显著提高学生运算的准确性和灵活性，使其能够根据不同的运算情境迅速且正确地选择和运用相应的运算法则。
四、教学方法
讲授法：通过条理清晰、精准明确的讲解，向学生系统传授同底数幂的除法运算法则的概念、推导过程和应用方法，使学生对知识形成全面、系统的认知。在讲解过程中，高度注重语言的准确性、简洁性和逻辑性，突出重点和难点内容，引导学生深入理解每一个步骤的依据和内在逻辑关系。
讨论法：精心组织学生进行小组讨论活动，共同深入探讨同底数幂除法运算法则的发现过程和应用技巧，大力促进学生之间的思想交流和智慧碰撞。在讨论过程中，教师积极引导学生主动思考，鼓励学生大胆发表自己的独特观点和新颖想法，全力培养学生的合作学习能力和创新思维。
练习法：匠心设计具有高度针对性、层次性和多样性的练习题，让学生在练习中不断巩固所学的运算法则，显著提高学生的运算能力和解题技巧。通过练习，及时精准地发现并纠正学生存在的问题，强化学生对知识的理解和掌握程度，同时着力培养学生良好的解题习惯和规范的运算格式。
五、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾同底数幂的乘法法则：
提问学生：“同学们，我们之前学习了同底数幂的乘法，谁能准确地说一说运算法则是什么？并举例说明。”
引导学生积极回答：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加。例如，\(2^3×2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)。”
进行简单的同底数幂乘法的练习：
在黑板上写出题目：\(3^2×3^3\)，\((-2)^4×(-2)^5\)。
请两位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成，然后集体订正，巩固同底数幂的乘法运算法则。
（二）探索新知（15 分钟）
创设情境：
问题：“同学们，有一种细胞每过 1 小时便由 1 个分裂成 2 个。经过 5 小时，这种细胞由 1 个能分裂成\(2^5\)个。那么，如果已知经过若干小时后细胞分裂成了\(2^8\)个，且每小时分裂的规律不变，大家思考一下，从最初的 1 个细胞分裂到\(2^8\)个细胞经过了多少小时呢？这其实就是要计算\(2^8÷2^5\)的结果，那我们该如何计算呢？”
引导学生思考：根据除法是乘法的逆运算，我们可以从同底数幂的乘法角度去尝试解决。
推导同底数幂的除法法则：
以\(2^8÷2^5\)为例，引导学生根据乘法与除法的逆运算关系逐步分析：
因为\(2^3×2^5 = 2^{3 + 5} = 2^8\)，所以\(2^8÷2^5 = 2^3\)。
进一步观察发现，\(2^8÷2^5\)中，底数都是 2 保持不变，指数是\(8 - 5 = 3\)。
推广到一般形式：对于\(a^m÷a^n\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m\gt n\)），同样从乘法逆运算角度分析。
因为\(a^{m - n}×a^n = a^{(m - n)+n} = a^m\)，所以\(a^m÷a^n = a^{m - n}\)。
归纳法则：
引导学生共同总结同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用符号表示为\(a^m\div a^n = a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m\gt n\)）。
着重强调：法则中底数\(a\)不能为 0，否则除法无意义；在运用法则进行计算时，要先准确判断底数是否相同，再进行指数相减运算；同时提醒学生注意结果的化简。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1) \(a^7÷a^3\)
分析：根据同底数幂的除法法则，底数\(a\)不变，指数相减，即\(7 - 3\)。
解：\(a^7÷a^3 = a^{7 - 3} = a^4\)
(2) \((-x)^6÷(-x)^2\)
分析：这里底数是\(-x\)，注意符号，同样按照法则计算。
解：\((-x)^6÷(-x)^2 = (-x)^{6 - 2} = (-x)^4 = x^4\)
例 2：计算
(1) \(x^{10}÷x^5÷x^3\)
分析：按照从左到右的顺序依次运用同底数幂的除法法则进行计算。
解：\(x^{10}÷x^5÷x^3 = x^{10 - 5}÷x^3 = x^5÷x^3 = x^{5 - 3} = x^2\)
(2) \((a^2)^3÷(a^3)^2×a^4\)
分析：先根据幂的乘方法则计算乘方，再进行同底数幂的乘除运算。
解：\(
\begin{align*}
&(a^2)^3 ·(a^3)^2 a^4\\
=&a^{2 3} ·a^{3 2} a^4\\
=&a^6 ·a^6 a^4\\
=&a^{6 - 6} a^4\\
=&a^0 a^4\\
=&1 a^4\\
=&a^4
\end{align*}
\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
(1) \(b^5÷b\)
(2) \((xy)^4÷(xy)^2\)
(3) \(m^{12}÷(m^4÷m^2)\)
(4) \((-y)^3÷(-y)^2×(-y)^5\)
下面的计算是否正确？如果错误，请改正。
(1) \(a^5÷a^2 = a^3\) （ ）
(2) \((-b)^4÷(-b)^2 = -b^2\) （ ）
(3) \(x^6÷x^3 = x^2\) （ ）
已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\(a^{m - n}\)的值。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一同全面回顾同底数幂的除法运算法则，着重强调底数不变，指数相减这一核心内容，以及法则中底数不能为 0 等关键要点。
系统总结在计算同底数幂的除法运算时学生容易出现错误的地方，如底数判断失误、指数运算错误等，郑重提醒学生在今后的计算中务必仔细认真，养成严谨规范的运算习惯。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：完成教材课后练习题中与同底数幂的除法相关的题目，通过练习进一步巩固课堂所学的基本运算方法和技巧。
拓展作业：
已知\(3^x = 81\)，\(3^y = 27\)，求\(3^{x - y}\)的值。
若\((a^m)^n÷a^3 = a^{mn - 3}\)，求\(m\)、\(n\)满足的条件（提示：根据幂的运算法则进行分析）。
六、教学反思
在教学过程中，要时刻紧密关注学生对同底数幂的除法运算法则的理解和应用状况。从复习旧知导入环节开始，就要确保学生能够顺利且准确地回顾同底数幂的乘法知识，为新知识的学习筑牢坚实的基础。在探索法则的关键环节，要给予学生充足的自主思考和小组讨论时间，引导他们深入理解法则的推导过程，真正做到知其然且知其所以然。讲解例题时，要高度注重解题思路和方法的细致引导，严格规范书写格式，着重强调易错点，让学生清晰掌握正确的解题方法和步骤。课堂练习环节要及时收集学生的反馈信息，对于学生出现的问题要迅速且准确地进行纠正和指导。通过认真批改分析学生的作业情况，深入了解学生对知识的掌握程度和存在的问题，以便在后续教学中进行更具针对性的辅导和及时调整教学策略，全力以赴帮助学生更好地掌握同底数幂的除法运算，切实提高学生的运算能力和数学综合素养。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算，理解零指数幂的意义，提高学生观察、归纳、类比、概括等能力．
2．通过运用同底数幂的除法的运算法则解决问题，培养学生的计算能力和综合运用知识的能力．
重点
难点
旧识回顾
前面我们学习了同底数幂的乘法法则，同学们还记得吗？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
问题导入
同学们，我们学习完同底数幂的乘法，还会研究什么问题？
我们来看下面这个问题：
一种数码照片的文件大小是28kb，一个存储量为216kb的移动储存器，能存储多少张这样的数码照片？
请同学们列出算式，观察这个式子，还是我们之前学过的内容吗？它有什么特征呢？
类比导入
同学们，我们知道加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，在之前我们学习了整式的乘法，那对应的，整式的除法呢？
我们来类比同底数幂的乘法，看看同底数幂的除法.
我们已经知道am·an=am+n（m，n都是正整数），那么你知道am÷an=的结果是什么吗？
1.计算：
(1)25×23=？ (2)x6·x4=
(3)2m×2n=？
28
x10
2m+n
本题直接利用同底数幂的乘法法则计算
同底数幂的除法
知识点 1
学生活动一 【一起探究】
2.填空：
(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10
(3)( )( )×2n=2m+n
2
5
x
4
2
m
本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算
相当于求28 ÷23=？
相当于求x10÷x6=？
相当于求2m+n ÷2n=？
3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？
(1)28 ÷23=25
(2)x10÷x6=x4
(3) 2m+n ÷2n=2m
同底数幂相除，底数不变，指数相减
=28–3
=x10–6
=2(m+n)–n
4. 试猜想：am ÷an= (m，n都是正整数，且m>n)
am ÷an=am–n
验证：因为am–n ·an=am–n+n=am，所以am ÷an=am–n.
一般地，我们有
am ÷an=am–n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
想一想：am÷am= (a≠0)
同底数幂的除法
想一想：am÷am= (a≠0)
答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
规定
a0 =1(a ≠0)
这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.
例1 计算：
(1)x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6;
(2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
素养考点 1
同底数幂除法法则的应用
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
计算：
(1)(–xy)13÷(–xy)8； (2)(x–2y)3÷(2y–x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
(3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5；
(2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y；
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
素养考点 2
同底数幂除法法则的逆运用
(1)已知xa=32，xb=4，求xa–b；
解：xa–b=xa ÷ xb=32 ÷ 4=8；
(2)已知xm=5，xn=3，求x2m–3n.
解：x2m–3n=(xm)2÷(xn)3=52 ÷ 33= .
单项式除以单项式
(1)计算：4a2x3·3ab2= ;
(2)计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= .
12a3b2x3
知识点 2
学生活动二 【一起探究】
(2)计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= .
4a2x3
解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3.
理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.
解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.
由(1)可知括号里应填4a2x3.
单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式除以单项式的法则
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
例 计算：
(1)28x4y2 ÷7x3y；
(2)–5a5b3c ÷15a4b.
=4xy；
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
= ab2c.
单项式除法以单项式法则的应用
素养考点
多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
下列计算错在哪里？怎样改正？
(1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( )
(2)10a3 ÷5a2=5a ( )
2a6
2a
×
×
系数相除
同底数幂的除法，
底数不变，指数相减.
(3)(–9x5) ÷(–3x) =–3x4 ( )
(4)12a3b ÷4a2=3a ( )
3x4
7ab
×
×
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求商的系数，应注意符号.
计算：
(1)(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，在计算过程中注意有乘方的先算乘方，再算乘除．
多项式除以单项式
一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.
面积为(a+b)m=ma+mb.
若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？
长为(ma+mb)÷m.
知识点 3
问题1：
问题2：
学生活动三 【一起探究】
如何计算(am+bm) ÷m
计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，因此不难推断出括里应填a+b.
又知am ÷m+bm ÷m=a+b.
即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
问题3：
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
多项式除以单项式的法则
例1 计算(12a3–6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3–6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(–2a)+1
=4a2–2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
素养考点 1
多项式除以单项式的法则的应用
例2 先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，
原式＝x–y＝2015–2014＝1.
＝x–y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得
素养考点 2
多项式除以单项式的化简求值问题
1. 计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
2. 在推导过程：对于非零实数，， .
要使推导过程成立，则和 中分别应填( )
D
A. ，1 B. ，0
C. ，0 D. ，1
返回
3. 计算： ( )
A. B.
C. D.
【点拨】 .
B
返回
4.若，则 ___.
5.［2025武汉青山区期中］已知，，则
的值是___.
2
【点拨】， ，
.
返回
6.母题教材P109练习 计算：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） ;
.
（4） .
.
返回
7. 我们都知道，先看见闪电后听见雷声，如
果光在空气中传播速度为 ，而声音在空气中的传
播速度大约只有 ，则光的传播速度是声音传播速度
的( )
B
A. 倍 B. 倍
C. 倍 D. 倍
返回
8. 计算 的值为( )
A. B. C. D.
C
返回
9.［2025上海普陀期中］如果 ，那么
____.
16
【点拨】， .
返回
10. 如果，那么称为 的“拉格数”，
记为，由定义可知：.例如，因为 ，
所以.若, ，则
___.
4
【点拨】由题意，得,,设 ,则
,
, ,,即 .
返回
整式的除法
同底数幂的除法
单项式除以单项式
底数不变，指数相减
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式的问题
0指数幂的性质
除0以外任何数的0次幂都等于1
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