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16.3.1 平方差公式
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
16.3.1 平方差公式教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够透彻理解平方差公式的结构特征，熟练掌握公式的形式，准确用文字语言和符号语言表述公式。
能够熟练且准确地运用平方差公式进行多项式乘法运算，快速计算符合公式形式的式子，包括底数为具体数字、字母、单项式以及多项式的情况。
学会运用平方差公式对一些多项式进行简便运算和因式分解，提高运算的效率和准确性，增强对整式运算的综合应用能力。
（二）过程与方法目标
通过创设具体的数学问题情境和实例，引导学生自主探索、观察、分析多项式乘法运算中的规律，经历平方差公式的推导过程，培养学生从特殊到一般的归纳概括能力和逻辑推理能力。
组织学生开展小组合作学习和讨论活动，共同探讨平方差公式的发现、推导和应用，促进学生之间的思想交流与碰撞，提高学生的合作交流能力和团队协作意识。
通过对不同类型例题的讲解和练习，引导学生学会运用平方差公式解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及灵活运用数学知识的能力。
鼓励学生尝试用多种方法推导平方差公式，拓展学生的思维方式，培养学生的创新思维和发散思维能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学运算规律的探索兴趣和求知欲，让学生在自主探究和发现平方差公式的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心和成就感。
培养学生严谨认真的学习态度和科学的探究精神，使学生在公式的推导和应用过程中，注重逻辑的严密性和计算的准确性。
让学生感受数学知识之间的内在联系和规律性，体会数学的简洁美和应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性。
培养学生的合作精神和竞争意识，在小组活动和课堂互动中，学会与他人合作交流，共同进步。
二、学情分析
学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式与多项式相乘的运算法则，具备了一定的整式乘法运算基础。然而，平方差公式作为一种特殊的多项式乘法形式，其结构特征较为抽象，学生在理解和运用公式时可能会遇到困难。部分学生可能难以准确识别式子是否符合平方差公式的结构，在应用公式进行计算时容易出现符号错误、项的对应错误等问题。同时，从一般的多项式乘法运算过渡到运用特定公式进行简便运算，在思维方式上对学生有一定挑战。因此，在教学过程中，要充分利用学生已有的知识经验，通过大量具体的实例，引导学生逐步发现和理解平方差公式的结构特征和运算规律，加强对公式应用的指导和练习，关注学生的个体差异，及时给予帮助和反馈，让学生顺利掌握平方差公式的运用。
三、教学重难点
（一）教学重点
深刻理解平方差公式的结构特征，准确掌握公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，能够熟练运用公式进行多项式乘法运算。
学会运用平方差公式解决实际问题，包括进行简便运算和对符合条件的多项式进行因式分解，提高学生综合运用知识的能力。
（二）教学难点
理解平方差公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力。
能够准确识别多项式乘法式子中哪些符合平方差公式的结构，灵活运用公式进行计算，避免出现符号错误和项的对应错误等问题。
四、教学方法
讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解平方差公式的概念、推导过程和应用方法，使学生对知识有系统的认识。重点讲解公式的结构特征和应用要点，强调容易出错的地方。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探索平方差公式的规律，让学生经历公式的推导过程，培养学生的探究能力和创新思维。
讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨平方差公式的应用技巧和解题思路，促进学生之间的思想交流和合作学习，培养学生的团队协作能力。
练习法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学的平方差公式，提高学生的运算能力和解题技巧，及时发现并解决学生存在的问题。
五、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾多项式与多项式相乘的运算法则：
提问学生：“多项式与多项式相乘的法则是什么？” 请学生回答，教师进行补充和强调。
引导学生回顾：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算下列式子：
\((x + 2)(x - 2)\)
\((1 + 3a)(1 - 3a)\)
\((m + 5n)(m - 5n)\)
请三位学生到黑板上板演，其他学生在练习本上完成，然后集体订正答案，为引出平方差公式做铺垫。
（二）探索新知（15 分钟）
观察与发现：
引导学生观察上面计算的三个式子及其结果：
\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 = x^2 - 2^2\)
\((1 + 3a)(1 - 3a) = 1 - 9a^2 = 1^2 - (3a)^2\)
\((m + 5n)(m - 5n) = m^2 - 25n^2 = m^2 - (5n)^2\)
提出问题：“观察这些式子的左边和右边，你能发现什么规律？” 让学生独立思考片刻后，进行小组讨论交流。
推导公式：
请小组代表发言，分享小组讨论的发现。教师根据学生的回答进行引导和总结。
对于一般形式\((a + b)(a - b)\)，根据多项式与多项式相乘的法则展开：
\((a + b)(a - b) = a a - a b + b a - b b\)
化简可得：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
得出平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用符号表示为\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) 。
剖析公式结构：
引导学生分析平方差公式的结构特征：
公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
公式的右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。
强调：公式中的\(a\)和\(b\)可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；在使用公式时，要准确判断哪一项是相同项，哪一项是相反项。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：运用平方差公式计算
(1) \((3x + 2)(3x - 2)\)
分析：在这个式子中，\(3x\)是相同项，\(2\)和\(-2\)是相反项，符合平方差公式的结构。
解：\((3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\)
(2) \((-x + 2y)(-x - 2y)\)
分析：这里\(-x\)是相同项，\(2y\)和\(-2y\)是相反项。
解：\((-x + 2y)(-x - 2y) = (-x)^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2\)
例 2：利用平方差公式进行简便运算
(1) \(102 98\)
分析：将\(102\)写成\((100 + 2)\)，\(98\)写成\((100 - 2)\)，就可以利用平方差公式进行简便计算。
解：\(102 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996\)
(2) \(59.8 60.2\)
分析：把\(59.8\)写成\((60 - 0.2)\)，\(60.2\)写成\((60 + 0.2)\)，再运用平方差公式。
解：\(59.8 60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96\)
例 3：利用平方差公式分解因式
(1) \(x^2 - 9\)
分析：\(x^2 - 9\)可以写成\(x^2 - 3^2\)，符合平方差公式的逆用形式。
解：\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)
(2) \(16a^2 - 25b^2\)
分析：\(16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2\)，可利用平方差公式分解。
解：\(16a^2 - 25b^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)\)
（四）课堂练习（10 分钟）
运用平方差公式计算：
(1) \((2a + 3b)(2a - 3b)\)
(2) \((-5x + y)(-5x - y)\)
(3) \((m^2 + n)(m^2 - n)\)
利用平方差公式进行简便运算：
(1) \(101 99\)
(2) \(49.9 50.1\)
利用平方差公式分解因式：
(1) \(4 - 25x^2\)
(2) \(9m^2 - 16n^2\)
教师巡视学生的练习情况，及时给予指导和帮助，选取部分学生的答案进行展示和点评，纠正学生出现的错误。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾平方差公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，强调公式的结构特征和应用要点。
总结运用平方差公式进行计算和因式分解时需要注意的问题，如准确识别相同项和相反项，注意符号等。
引导学生回顾平方差公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于平方差公式计算和应用的相关题目。
拓展作业：
计算\((a + b + c)(a + b - c)\)，思考如何通过变形运用平方差公式。
已知\(x^2 - y^2 = 12\)，\(x + y = 4\)，求\(x - y\)的值。
六、教学反思
在教学过程中，要关注学生对平方差公式的理解和掌握程度。从复习导入到探索新知，要确保学生能够积极参与公式的推导过程，理解公式的来源和结构。在例题讲解和课堂练习环节，要及时发现学生存在的问题，如公式运用不熟练、符号错误等，针对性地进行指导和强化训练。通过作业反馈，了解学生对知识的掌握情况，对学习困难的学生进行个别辅导，调整教学策略，帮助学生更好地掌握平方差公式及其应用。同时，要引导学生学会总结归纳，提高学生自主学习和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
重点
难点
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏.
请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这个数的和，接着乘100与这个数的差.
(给学生半分钟思考、计算的时间)
同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗
（请两位学生来试验）
等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运数字.
多项式与多项式是如何相乘的？
知识点
平方差公式
学生活动【一起探究】
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
面积变了吗？
a米
5米
5米
a米
(a–5)米
相等吗？
①(x ＋ 1)( x–1)；
②(m ＋ 2)( m–2)；
③(2m＋ 1)(2m–1)；
④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
做一做
x2 – 12
m2–22
(2m)2 – 12
(5y)2 – z2
这些计算结果有什么特点？
想一想
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
相同为a
相反为b，–b
适当交换
合理加括号
平方差公式
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项
式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另
一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
a2– b2.
温馨提示
(1+x)(1–x)
(–3+a)(–3–a)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
a
b
a2–b2
1
x
–3
a
12–x2
(–3)2–a2
a
1
a2–12
0.3x
1
( 0.3x)2–12
(a–b)(a+b)
填一填
口答下列各题：
(1)(–a+b)(a+b)=_________.
(2)(a–b)(b+a)= __________.
(3)(–a–b)(–a+b)= ________.
(4)(a–b)(–a–b)= _________.
a2–b2
a2–b2
b2–a2
b2–a2
做一做
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y).
素养考点 1
利用平方差公式计算
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；
易错警示：
当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
利用平方差公式计算：
(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；
(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
素养考点 2
利用平方差公式简便运算
= 1002–22
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
=9996；
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
计算:
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
素养考点 3
利用平方差公式进行化简求值
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，
先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1)
=9–x2+2x2–2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22 =7+4=11
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
素养考点 4
利用平方差公式进行证明
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
n为正整数，
∴n2–1为整数
对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
归纳总结
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
素养考点 5
利用平方差公式解决实际问题
∵a2＞a2–16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
∴李大妈吃亏了．
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
归纳总结
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
b
a
图1
b
a
图2
A
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
4. 若，则 的值为( )
D
A. 4 B. 2 C. D.
返回
5. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
6.若，则， 的值分别为
_________.
，
返回
7. 教材P117习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值：
，其中， .
【解】
，
当， 时，原式
.
9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为
( )
A
A. B.
C. D.
10. 已知,则 的值是( )
A
A. B. C. 9 D. 27
【点拨】 .
返回
11. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子
的值为____.
返回
13. 在一个艺术工作室中，
设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用
了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图，
12
其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起
时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么
阴影部分的面积是____.
平方差公式
内容
注意
两个数的 与这两个数的 ，等于这两个数的
1.符号表示：
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
和
平方差.
差的积
(a+b)(a–b)=a2–b2
谢谢观看！

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