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17.1 用提公因式法分解因式
第十七章 因式分解
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
17.1 用提公因式法分解因式教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能准确阐述公因式的概念，清晰掌握确定多项式各项公因式的方法。
熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，包括公因式为单项式以及较为简单的多项式的情况。
能够利用提公因式法解决相关的简单数学问题，如代数式的化简、求值等。
（二）过程与方法目标
通过观察、类比、归纳等活动，培养学生从具体到抽象的思维能力，提升学生的观察能力和归纳总结能力。
在探索提公因式法分解因式的过程中，体会逆向思维的方法，以及数学知识之间的相互联系和转化，增强学生的逻辑推理能力。
借助小组合作学习，锻炼学生的合作交流能力，培养学生共同解决问题的意识和能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对因式分解学习的兴趣，在自主探究和合作交流中，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
培养学生严谨认真的学习态度，在因式分解过程中，注重每一个步骤的准确性和规范性，提高学生的运算素养。
引导学生发现数学中的简洁美，感受数学知识的实用性，提升学生对数学学科的热爱之情。
二、教学重难点
（一）教学重点
准确确定多项式各项的公因式，包括系数、相同字母以及相同多项式的最低次幂等方面。
熟练运用提公因式法将多项式进行因式分解，掌握提公因式的步骤和方法。
（二）教学难点
当多项式的项数较多、形式较复杂时，准确找出公因式，尤其是公因式为多项式的情况。
在提取公因式后，对另一个因式的正确确定，避免出现漏项或符号错误等问题。
理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系，并能运用这种关系检验因式分解的正确性。
三、教学方法
讲授法：详细讲解公因式的概念、确定方法以及提公因式法分解因式的步骤和原理，使学生对知识有系统的认识。通过清晰的语言阐述，帮助学生理解重点和难点内容。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探究如何确定公因式以及如何运用提公因式法进行因式分解。让学生在探究过程中发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力和创新思维。
讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨在不同多项式中寻找公因式的技巧和遇到的问题。通过讨论，促进学生之间的思想交流，让学生从不同角度理解和掌握知识，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
练习法：设计有针对性的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在练习中巩固所学知识，熟练掌握提公因式法分解因式的技能。通过练习，及时发现学生存在的问题，进行有针对性的辅导和纠正。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾整式乘法的相关知识，如单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。请学生举例说明，如单项式乘单项式：\(3x \cdot 2x^2 = 6x^3\)；单项式乘多项式：\(2x(x + 3) = 2x^2 + 6x\)；多项式乘多项式：\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\) 。
提出问题：\(99^2 + 99\)能被 100 整除吗？引导学生思考如何简便计算。学生可能会想到先计算\(99^2 = 9801\)，再加上 99 得到 9900，从而得出能被 100 整除。进一步引导学生从乘法分配律的逆运算角度思考，\(99^2 + 99 = 99 99 + 99 1 = 99 (99 + 1) = 99 100\)，更简便地得出能被 100 整除的结论。通过这个例子，引出本节课要学习的因式分解以及提公因式法，让学生体会从整式乘法的逆运算来研究因式分解的思路。
（二）探索新知（15 分钟）
公因式的概念
多项式观察：给出多项式\(ab + ac\)，让学生观察各项的特点。学生容易发现各项都含有字母\(a\)。再给出多项式\(3x^2 + x\)，学生能看出都含有\(x\)；对于多项式\(mb^2 + nb - b\)，各项都含有\(b\) 。
概念归纳：总结得出多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。例如在\(ab + ac\)中，公因式是\(a\)；\(3x^2 + x\)中，公因式是\(x\)；\(mb^2 + nb - b\)中，公因式是\(b\) 。
公因式确定方法探究：以多项式\(2x^2 + 6x^3\)为例，分析公因式的确定。系数方面，2 和 6 的最大公约数是 2；字母方面，都含有\(x\)，且\(x\)的最低次幂是\(x^2\)，所以公因式是\(2x^2\) 。再看多项式\(2x^2y + 6x^3y^2\)，系数 2 和 6 的最大公约数是 2，都含有的字母是\(x\)和\(y\)，\(x\)的最低次幂是\(x^2\)，\(y\)的最低次幂是\(y\)，则公因式为\(2x^2y\) 。由此归纳出确定公因式的方法：
各项系数是整数时，公因式的系数取各项系数的最大公约数。
字母取各项都含有的相同字母，且各字母的指数取次数最低的。
若有相同的多项式，多项式的次数取最低的。
提公因式法的概念及步骤
概念引入：将\(ab + ac\)写成\(a(b + c)\)的形式，把多项式中的公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
步骤讲解：以\(3x + 6\)为例，首先找公因式，系数 3 和 6 的最大公约数是 3，都含有字母\(x\)，\(x\)的最低次幂是\(x^0\)（可看作 1），所以公因式是 3；然后提公因式，\(3x + 6 = 3(x + 2)\) 。再如\(7x^2 - 21x\)，公因式为 7x，提公因式后得到\(7x(x - 3)\) 。总结提公因式法的步骤为：
找公因式：按照确定公因式的方法，从系数、字母、多项式等方面准确找出公因式。
提公因式：将公因式提取出来，用原多项式除以公因式得到另一个因式。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：将下列各式分解因式
(1) \(8a^3b^2 - 12ab^3c + abc\)
分析：先确定公因式，系数 8、 - 12、1 的最大公约数是 1，都含有的字母是\(a\)、\(b\)，\(a\)的最低次幂是\(a\)，\(b\)的最低次幂是\(b\)，所以公因式是\(ab\) 。
解：\(8a^3b^2 - 12ab^3c + abc = ab(8a^2b - 12b^2c + c)\)
(2) \(-24x^3 - 12x^2 + 28x\)
分析：系数 - 24、 - 12、28 的最大公约数是 4，都含有的字母是\(x\)，\(x\)的最低次幂是\(x\)，又因为首项系数为负，所以公因式是\(-4x\) 。
解：\(-24x^3 - 12x^2 + 28x = -4x(6x^2 + 3x - 7)\)
例 2：分解因式\(3x(x - 2) - (2 - x)\)
分析：先将式子变形为\(3x(x - 2) + (x - 2)\)，此时公因式为\((x - 2)\) 。
解：\(3x(x - 2) - (2 - x) = 3x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(3x + 1)\)
例 3：利用分解因式计算\(3^{2004} - 3^{2003}\)
分析：公因式为\(3^{2003}\) 。
解：\(3^{2004} - 3^{2003} = 3^{2003} (3 - 1) = 2 3^{2003}\)
（四）课堂练习（10 分钟）
找出下列各多项式的公因式
(1) \(4x + 8y\)
(2) \(am + an\)
(3) \(48mn - 24m^2n^3\)
(4) \(a^2b - 2ab^2 + ab\)
把下列各式因式分解
(1) \(x^2 + 4x\)
(2) \(mb^2 + nb - b\)
(3) \(6xy - 9x^2y\)
(4) \((a - 3)^2 - (2 - a)(3 - a)\)
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，纠正学生出现的错误，强调确定公因式的方法和提公因式时的注意事项，如符号问题、不要漏项等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾公因式的概念，确定公因式的方法（系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、相同多项式的最低次幂）。
总结提公因式法分解因式的步骤（找公因式、提公因式），以及在提公因式过程中需要注意的符号问题、避免漏项等易错点。
强调因式分解与整式乘法的互逆关系，可利用整式乘法来检验因式分解的正确性。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于提公因式法分解因式的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
拓展作业：
已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2b + ab^2\)的值。
分解因式\((x + y)^2 - 3(x + y)\) 。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对提公因式法的理解和掌握程度。通过学生在课堂练习和回答问题时出现的错误，分析学生的学习困难点，如公因式确定不准确、提公因式后另一个因式计算错误等。针对这些问题，在后续教学中加强对确定公因式方法的专项训练，增加更多复杂形式多项式的练习，注重对学生易错点的反复强调和纠正。同时，关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生给予更多的辅导和帮助，确保每个学生都能在本节课中有所收获。此外，思考在教学方法上是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到知识的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念，体会数学知识的内在含义与价值.
2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式，培养学生有条理的思考和运算能力.
3.会利用因式分解进行简便计算，体会因式分解的价值，培养学生创新意识。
4.经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用，培养学生的应用意识.
学习重点：运用提公因式法分解因式.
学习难点：正确理解因式分解的概念，准确找出公因式.
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
知识点 1
因式分解的概念
a
b
c
m
学生活动一 【一起探究】
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 –1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x–1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2–1 (x+1)(x–1)
因式分解
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
等式的特征：左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
想一想
例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
素养考点
因式分解变形的识别
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
1. 下列各式的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
返回
2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
B
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】
，
，， .
，故选B.
返回
6.母题教材P125练习 分解因式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
7.利用简便方法计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ．
返回
8. 计算 的值是( )
A
A. B. C. D. 0
9. 如果能被整除，则 的值可能是( )
B
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【点拨】
，
则 的值可能是30.故选B.
返回
10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.
11.［2025淄博月考］在分解因式时，甲看错了
的值，分解的结果是，乙看错了 的值，分解
的结果是，则 _____.
返回
提公因式法分解因式
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
谢谢观看！

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