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17.2.1 用平方差公式分解因式
第十七章 因式分解
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
17.1 用平方差公式分解因式教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够清晰阐述平方差公式的结构特征，准确识别多项式中符合平方差公式的部分。
熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解，包括公式中字母代表数、单项式或多项式的不同情况。
能够利用平方差公式解决简单的数学问题，如代数式化简、求值以及简单几何图形的面积计算等。
（二）过程与方法目标
通过对平方差公式从整式乘法到因式分解的逆向推导过程，培养学生的逆向思维能力，提升学生从正向思维向逆向思维转换的能力。
借助对具体多项式的分析和分解过程，锻炼学生观察、分析、归纳和概括的能力，使学生学会从特殊到一般的数学研究方法。
在解决问题的过程中，体会整体代换、转化等数学思想，提高学生运用数学思想方法解决问题的意识和能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对因式分解中平方差公式学习的兴趣，让学生在自主探索和合作交流中感受数学的魅力，增强学习数学的自信心。
培养学生严谨认真的学习态度，在运用平方差公式进行因式分解时，注重步骤的规范性和准确性，提高学生的运算素养。
引导学生发现数学知识之间的内在联系，感受数学的简洁美和逻辑美，提升学生对数学学科的热爱之情。
二、教学重难点
（一）教学重点
深刻理解平方差公式的结构特征，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，表达式为\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) 。
熟练掌握运用平方差公式进行因式分解的方法，能够准确确定公式中的\(a\)和\(b\)，并正确进行分解。
（二）教学难点
当多项式形式较为复杂时，准确判断其是否符合平方差公式的结构特征，尤其是当公式中的\(a\)和\(b\)为多项式或较为复杂的代数式时。
理解因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的情况。
灵活运用平方差公式解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，运用公式进行求解。
三、教学方法
讲授法：系统讲解平方差公式的概念、结构特征、推导过程以及运用平方差公式进行因式分解的步骤和原理，确保学生对知识有全面、系统的理解。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探究平方差公式从整式乘法到因式分解的逆向过程，以及如何运用公式对不同形式的多项式进行因式分解，培养学生的自主探究能力和创新思维。
讨论法：组织学生进行小组讨论，针对在确定多项式是否符合平方差公式以及分解过程中遇到的问题进行交流和探讨，促进学生之间的思想碰撞，提高学生的合作交流能力和解决问题的能力。
练习法：设计有层次、有针对性的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在练习中巩固所学知识，熟练掌握平方差公式的运用技巧，及时发现并解决学生存在的问题。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾整式乘法中的平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) ，请学生举例说明，如\((3 + 2)(3 - 2) = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\) 。
提出问题：若已知\(9 - 4\)，如何将其写成两个因式乘积的形式？引导学生从整式乘法平方差公式的逆方向思考，引出本节课要学习的利用平方差公式进行因式分解，让学生体会因式分解与整式乘法的互逆关系。
（二）探索新知（15 分钟）
平方差公式的逆向推导
引导学生观察整式乘法的平方差公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) ，将其左右两边互换位置，得到\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) ，这就是因式分解中的平方差公式。
通过具体数值进一步说明，如\(25 - 16 = 5^2 - 4^2\) ，根据平方差公式可分解为\((5 + 4)(5 - 4)\) 。
平方差公式的结构特征分析
给出一些多项式，如\(x^2 - 9\) 、\(16y^2 - 25z^2\) 、\(4m^2 - 1\) 等，让学生观察这些多项式的特点。
总结得出能用平方差公式分解因式的多项式的结构特征：
必须是二项式，即多项式只有两项。
这两项符号相反，一项为正，一项为负。
每一项都能写成某个数或式子的平方形式。
以\(x^2 - 9\)为例，\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方，且两项符号相反，符合平方差公式的结构特征，可分解为\((x + 3)(x - 3)\) 。
确定公式中的\(a\)和\(b\)
对于不同形式的多项式，引导学生准确确定公式中的\(a\)和\(b\) 。
如在\(16y^2 - 25z^2\)中，\(16y^2 = (4y)^2\) ，这里\(4y\)就是公式中的\(a\)；\(25z^2 = (5z)^2\) ，\(5z\)就是公式中的\(b\) ，所以\(16y^2 - 25z^2 = (4y + 5z)(4y - 5z)\) 。
再如\(4m^2 - 1 = (2m)^2 - 1^2\) ，\(2m\)是\(a\)，\(1\)是\(b\) ，可分解为\((2m + 1)(2m - 1)\) 。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：将下列各式分解因式
(1) \(x^2 - 16\)
分析：\(x^2\)是\(x\)的平方，\(16 = 4^2\) ，符合平方差公式结构特征，\(a = x\) ，\(b = 4\) 。
解：\(x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)\)
(2) \(9y^2 - 4x^2\)
分析：\(9y^2 = (3y)^2\) ，\(4x^2 = (2x)^2\) ，两项符号相反，\(a = 3y\) ，\(b = 2x\) 。
解：\(9y^2 - 4x^2 = (3y + 2x)(3y - 2x)\)
例 2：分解因式\((a + b)^2 - c^2\)
分析：把\((a + b)\)看作一个整体，相当于平方差公式中的\(a\)，\(c\)相当于\(b\) 。
解：\((a + b)^2 - c^2 = [(a + b) + c][(a + b) - c] = (a + b + c)(a + b - c)\)
例 3：利用分解因式计算\(101^2 - 99^2\)
分析：可直接运用平方差公式，\(a = 101\) ，\(b = 99\) 。
解：\(101^2 - 99^2 = (101 + 99)(101 - 99) = 200 2 = 400\)
（四）课堂练习（10 分钟）
下列多项式中，哪些可以用平方差公式分解因式？
(1) \(x^2 + y^2\)
(2) \(x^2 - y^2\)
(3) \(-x^2 + y^2\)
(4) \(-x^2 - y^2\)
把下列各式因式分解
(1) \(4 - 25x^2\)
(2) \(16a^2 - 9b^2\)
(3) \(m^2 - 121\)
(4) \((x + y)^2 - (x - y)^2\)
教师巡视学生练习情况，及时给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调平方差公式的结构特征以及在确定\(a\)和\(b\)时的注意事项，如要准确识别平方项，对于系数不是 1 的情况要化为平方形式等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)的结构特征，包括二项式、符号相反、可写成平方形式等要点。
总结运用平方差公式进行因式分解的步骤：先判断多项式是否符合平方差公式的结构特征，若符合，准确确定公式中的\(a\)和\(b\)，然后代入公式进行分解。
强调因式分解要分解彻底，以及平方差公式与整式乘法的互逆关系，可利用整式乘法来检验因式分解的正确性。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于利用平方差公式分解因式的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
拓展作业：
已知\(a^2 - b^2 = 15\)，\(a + b = 5\)，求\(a - b\)的值。
分解因式\(x^4 - 16\) 。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对平方差公式的理解和运用情况。通过学生在课堂练习和回答问题时出现的错误，分析学生的学习困难点，如对平方差公式结构特征判断不准确、确定\(a\)和\(b\)错误以及分解不彻底等问题。针对这些问题，在后续教学中加强对平方差公式结构特征的专项训练，增加更多复杂形式多项式的练习，注重对学生易错点的反复强调和纠正。同时，关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生给予更多的辅导和帮助，确保每个学生都能在本节课中有所收获。此外，思考在教学方法上是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到知识的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过学生自主探究，掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解，提高学生的自学意识．
2．通过具体练习理解运用平方差公式分解因式，掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用，培养学生解决问题的能力．
3．经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性．
重点
难点
旧识回顾
整式乘法中的平方差公式是什么？
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
情境导入
同学们，我们来解决一个面积问题：
从前，有一位张大爷向地主租了一块“十字形”土地（如图）.为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种，你能帮助张大爷算一算长方形土地的长和宽吗？
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
知识点
想一想
学生活动 【一起探究】
)
)(
(
b
a
b
a
–
+
=
2
2
b
a
–
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
–
+
=
–
整式乘法
因式分解
平方差公式：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
(1)x2+y2
(2)x2–y2
(3)–x2–y2
–(x2+y2)
y2–x2
(4)–x2+y2
(5)x2–25y2
(x+5y)(x–5y)
(6)m2–1
(m+1)(m–1)
例1 分解因式：
素养考点 1
利用平方差公式分解因式的应用
a
a
b
b
(
+
)
(
–
)
a2 – b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
方法点拨
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
例2 分解因式：
素养考点 2
多次因式分解
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a–1).
方法点拨
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
分解因式：
(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
素养考点 3
利用因式分解求整式的值
∴x–y＝–2②.
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得：
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题：
(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
素养考点 4
利用因式分解进行简便运算
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52–46.52)
＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
素养考点 5
利用因式分解进行证明
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
1. 母题教材P128例1 分解因式： ( )
A
A. B.
C. D.
2. 将“ ？”因式分解得到
，则“？”是( )
B
A. B.
C. D.
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3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目：
用平方差公式分解因式：
（1）； （2） ；
（3）； （4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2）
C. （3） D. （4）
返回
4. 下列分解因式错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
6.若，，则 的值为___.
4
返回
7.母题教材P129练习 分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） .
.
（3） .
.
返回
8. 有四个式子：，， ，
，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行
因式分解，并写出因式分解的结果.
（1）利用提公因式法；
【解】选取与 ，
.
（2）利用平方差公式法.
（答案不唯一）选取与 ，
.
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9. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值
( )
B
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 不能确定
10. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子
中的一部分弄污了，那么式子中
所对应的代数式是( )
A
A. B. C. D.
返回
11. 若，则 的值为( )
C
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【点拨】 ，
.
返回
12. ［2025威海期中］对于任意整数， 都
( )
C
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被4整除，不能被8整除
C. 能被8整除
D. 能被5整除
平方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
谢谢观看！

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