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17.2.2 用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
17.1 用完全平方公式分解因式教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够精准阐述完全平方公式的结构特征，清晰辨别多项式中符合完全平方公式的部分。
熟练运用完全平方公式对多项式进行因式分解，涵盖公式中字母代表数、单项式或多项式等不同情形。
能够借助完全平方公式解决简单的数学问题，如代数式化简、求值以及与完全平方相关的几何图形面积计算等。
（二）过程与方法目标
通过对完全平方公式从整式乘法到因式分解的逆向推导，培养学生的逆向思维，提升学生在正向与逆向思维间灵活转换的能力。
借助对具体多项式的分析与分解过程，锻炼学生的观察、分析、归纳和概括能力，使其掌握从特殊到一般的数学研究方法。
在解决问题过程中，渗透整体代换、转化等数学思想，增强学生运用数学思想方法解决问题的意识和能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对因式分解中完全平方公式学习的兴趣，让学生在自主探索与合作交流中感受数学魅力，增强学习数学的自信心。
培养学生严谨认真的学习态度，在运用完全平方公式进行因式分解时，注重步骤的规范性和准确性，提升学生的运算素养。
引导学生发现数学知识间的内在联系，体会数学的简洁美和逻辑美，加深对数学学科的热爱。
二、教学重难点
（一）教学重点
透彻理解完全平方公式的结构特征，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数和（或差）的平方，表达式为\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) ，\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) 。
熟练掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法，能够准确确定公式中的\(a\)和\(b\) ，并正确分解。
（二）教学难点
当多项式形式复杂时，准确判断其是否符合完全平方公式的结构特征，尤其是当公式中的\(a\)和\(b\)为多项式或复杂代数式时。
理解因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，避免分解不彻底。
灵活运用完全平方公式解决实际问题，将实际问题转化为数学模型并运用公式求解。
三、教学方法
讲授法：系统讲解完全平方公式的概念、结构特征、推导过程以及运用该公式进行因式分解的步骤和原理，确保学生全面、系统地理解知识。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探究完全平方公式从整式乘法到因式分解的逆向过程，以及如何运用公式对不同形式的多项式进行因式分解，培养学生的自主探究和创新思维能力。
讨论法：组织学生小组讨论，针对确定多项式是否符合完全平方公式以及分解过程中遇到的问题进行交流探讨，促进学生思想碰撞，提高合作交流和解决问题的能力。
练习法：设计有层次、有针对性的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在练习中巩固知识，熟练掌握完全平方公式的运用技巧，及时发现并解决问题。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾整式乘法中的完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ，请学生举例说明，如\((2 + 3)^2 = 2^2 + 2 2 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25\) ，\((5 - 2)^2 = 5^2 - 2 5 2 + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9\) 。
提出问题：若已知\(4 + 12 + 9\) ，如何将其写成一个整式平方的形式？引导学生从整式乘法完全平方公式的逆方向思考，引出本节课利用完全平方公式进行因式分解的内容，让学生体会因式分解与整式乘法的互逆关系。
（二）探索新知（15 分钟）
完全平方公式的逆向推导
引导学生观察整式乘法的完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ，将其左右两边互换位置，得到\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) ，\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) ，这就是因式分解中的完全平方公式。
通过具体数值进一步说明，如\(16 + 24 + 9 = 4^2 + 2 4 3 + 3^2\) ，根据完全平方公式可写成\((4 + 3)^2\) 。
完全平方公式的结构特征分析
给出一些多项式，如\(x^2 + 6x + 9\) 、\(4y^2 - 12y + 9\) 、\(9m^2 + 30m + 25\) 等，让学生观察这些多项式的特点。
总结能用完全平方公式分解因式的多项式的结构特征：
必须是三项式。
其中有两项能写成两个数（或式子）的平方形式，且这两项符号相同。
另一项是这两个数（或式子）乘积的 2 倍，符号可正可负。
以\(x^2 + 6x + 9\)为例，\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方，\(6x = 2 x 3\) ，符合完全平方公式的结构特征，可分解为\((x + 3)^2\) 。
确定公式中的\(a\)和\(b\)
对于不同形式的多项式，引导学生准确确定公式中的\(a\)和\(b\) 。
如在\(4y^2 - 12y + 9\)中，\(4y^2 = (2y)^2\) ，这里\(2y\)就是公式中的\(a\)；\(9 = 3^2\) ，\(3\)就是公式中的\(b\) ，\(-12y = -2 2y 3\) ，所以\(4y^2 - 12y + 9 = (2y - 3)^2\) 。
再如\(9m^2 + 30m + 25 = (3m)^2 + 2 3m 5 + 5^2\) ，\(3m\)是\(a\)，\(5\)是\(b\) ，可分解为\((3m + 5)^2\) 。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：将下列各式分解因式
(1) \(x^2 + 10x + 25\)
分析：\(x^2\)是\(x\)的平方，\(25 = 5^2\) ，\(10x = 2 x 5\) ，符合完全平方公式结构特征，\(a = x\) ，\(b = 5\) 。
解：\(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)
(2) \(16a^2 - 24ab + 9b^2\)
分析：\(16a^2 = (4a)^2\) ，\(9b^2 = (3b)^2\) ，\(-24ab = -2 4a 3b\) ，两项平方项符号相同，中间项是两数乘积的 2 倍，\(a = 4a\) ，\(b = 3b\) 。
解：\(16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2\)
例 2：分解因式\((m - n)^2 - 4(m - n) + 4\)
分析：把\((m - n)\)看作一个整体，相当于完全平方公式中的\(a\)，\(2\)相当于\(b\) 。
解：\((m - n)^2 - 4(m - n) + 4 = [(m - n) - 2]^2 = (m - n - 2)^2\)
例 3：利用分解因式计算\(99^2 + 198 + 1\)
分析：可将式子变形为\(99^2 + 2 99 1 + 1^2\) ，符合完全平方公式，\(a = 99\) ，\(b = 1\) 。
解：\(99^2 + 198 + 1 = 99^2 + 2 99 1 + 1^2 = (99 + 1)^2 = 100^2 = 10000\)
（四）课堂练习（10 分钟）
下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) \(x^2 - 4x + 4\)
(2) \(x^2 + x + 1\)
(3) \(9y^2 - 6y + 1\)
(4) \(4x^2 + 16xy + 16y^2\)
把下列各式因式分解
(1) \(x^2 + 12x + 36\)
(2) \(25m^2 - 20mn + 4n^2\)
(3) \((a + b)^2 + 10(a + b) + 25\)
(4) \(9x^4 - 6x^2 + 1\)
教师巡视学生练习情况，及时给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调完全平方公式的结构特征以及在确定\(a\)和\(b\)时的注意事项，如准确识别平方项、注意系数的处理以及中间项与两平方项的关系等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾完全平方公式\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) ，\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)的结构特征，包括三项式、平方项符号相同、中间项是两数乘积的 2 倍等要点。
总结运用完全平方公式进行因式分解的步骤：先判断多项式是否符合完全平方公式的结构特征，若符合，准确确定公式中的\(a\)和\(b\) ，然后代入公式进行分解。
强调因式分解要分解彻底，以及完全平方公式与整式乘法的互逆关系，可利用整式乘法来检验因式分解的正确性。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于利用完全平方公式分解因式的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
拓展作业：
已知\(a^2 + 2ab + b^2 = 25\) ，\(a + b\)的值为多少？
分解因式\((x^2 + 4)^2 + 8x(x^2 + 4) + 16x^2\) 。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对完全平方公式的理解和运用情况。通过学生在课堂练习和回答问题时出现的错误，分析学生的学习困难点，如对完全平方公式结构特征判断不准确、确定\(a\)和\(b\)错误以及分解不彻底等问题。针对这些问题，在后续教学中加强对完全平方公式结构特征的专项训练，增加更多复杂形式多项式的练习，注重对学生易错点的反复强调和纠正。同时，关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生给予更多的辅导和帮助，确保每个学生都能在本节课中有所收获。此外，思考在教学方法上是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到知识的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过学生自主探究，理解完全平方式的特点，培养学生的观察能力．
2．通过对用完全平方公式分解因式的探究学习，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达和交流的习惯．
3．通过练习用完全平方公式分解因式，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
用完全平方公式分解因式
知识点
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
学生活动 【一起探究】
同学们拼出图形为：
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2–2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个多项式：
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m –6m+9=( ) – 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m – 3
3
x
2
m
3
试一试
下列各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4; (2)1+4a ;
(3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
只有两项；
不是
4b 与–1的符号不统一；
不是
不是
是
ab不是a与b的积的2倍.
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
素养考点 1
利用完全平方公式分解因式
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)–x2+ 4xy–4y2
= –(x2–4xy+4y2)
= –(x–2y)2.
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
素养考点 2
利用完全平方公式求字母的值
方法点拨
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
±8
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
素养考点 3
利用完全平方公式进行较复杂的因式分解
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62
=(a+b–6)2.
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
因式分解：
(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；
(2)(a2＋4)2–16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a＋2)2(a–2)2.
有公因式要先提公因式.
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1)1002–2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
素养考点 4
利用完全平方公式进行简便运算
解：(1)原式=(100–99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
＝2500.
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
素养考点 5
利用完全平方公式和非负性求字母的值
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0
即(a+1)2+(b–2)2=0
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的式子有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知，为任意有理数，记，，则
与 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
返回
3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分
别为,,, ，则大正方形的边长为( )
D
A. B.
C. D.
4. 若有理数，满足，则 的
值为( )
A
A. 2 B. C. 1 D.
返回
5. 整式 可以写成( )
A. B.
C. D.
B
返回
6. 若多项式 能用完全平
方公式因式分解，则 的值是_____.
【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式
分解，， .
7.利用因式分解计算： ____.
16
返回
8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 给出三个多项式： ;
; .
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
【解】选择 （答案不唯一）.
.
（2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值.
当，时，原式 .
返回
10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，
以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
11. ［2025泰安期中］无论， 为何值，
的值都是( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 非负数
【点拨】， ，
， ，即
无论, 为何值，
的值都是正数.
返回
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
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