资源简介

(共33张PPT)
18.2.1 分式的乘除
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.2.1 分式的乘除教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解并熟练掌握分式的乘除运算法则，即分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
能熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算，包括分子分母为单项式、多项式的不同形式，准确进行约分，将结果化为最简分式或整式。
能够运用分式乘除运算解决实际问题，将实际问题中的数量关系转化为分式的乘除运算，提高数学建模和应用能力。
（二）过程与方法目标
通过类比分数的乘除运算，引导学生探究分式乘除法则，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，让学生体会从熟悉知识到新知识的转化过程。
在分式乘除运算的练习过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的计算习惯和认真审题的意识。
通过解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
（三）情感态度与价值观目标
以实际生活中的问题引入分式乘除运算，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
在探究分式乘除法则和解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生在合作中体验成功的喜悦，感受集体的力量。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式乘除运算法则的推导和理解，掌握分式乘除运算的基本方法和步骤。
熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算，能够准确进行约分，将结果化为最简形式。
运用分式乘除运算解决实际问题，理解实际问题中的数量关系并转化为数学运算。
（二）教学难点
当分式的分子分母为多项式时，准确进行因式分解，以便找到公因式进行约分，确保运算的准确性。
在分式乘除混合运算中，合理确定运算顺序，正确运用法则进行计算，避免出现符号错误和运算顺序错误。
理解分式乘除运算的算理，能够解释每一步运算的依据，提高学生对数学运算的理性认识。
三、教学方法
类比教学法：通过回顾分数的乘除运算规则和方法，与分式的乘除运算进行类比，引导学生自主发现分式乘除法则，降低学习难度，提高学生的学习兴趣和理解能力。
探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算等活动，自主探究分式乘除法则的推导过程，培养学生的自主探究能力和创新思维。
讲练结合法：在讲解分式乘除法则和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导，及时发现问题并纠正，提高学生的运算技能。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨分式乘除运算中的难点问题和实际应用问题，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾分数的乘除运算法则：
提问学生分数乘法的运算法则，预设学生回答：分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，如\(\frac{2}{3} \frac{4}{5}=\frac{2 4}{3 5}=\frac{8}{15}\)。
提问分数除法的运算法则，学生回答：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数，如\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}=\frac{2}{3} \frac{5}{4}=\frac{2 5}{3 4}=\frac{5}{6}\)。
思考与启发：
提出问题：既然分数有这样的乘除运算法则，那么分式的乘除运算是否也有类似的规律呢？引导学生思考分式乘除运算的方法，从而引出本节课的课题 —— 分式的乘除。
（二）探索新知（15 分钟）
分式乘法法则的推导
展示问题：一个长方形的长为\(\frac{a}{b}\)，宽为\(\frac{c}{d}\)，求它的面积。
引导学生根据长方形面积公式\(S = é \)，列出算式\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}\)。
类比分数乘法，让学生尝试计算\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}\)，得出\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}=\frac{ac}{bd}\) 。
再给出多个分式乘法的例子，如\(\frac{2x}{3y} \frac{3y}{4x^2}\)，\(\frac{m^2 - n^2}{m + n} \frac{1}{m - n}\)，引导学生计算并观察结果。
总结归纳分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)（\(B 0\)，\(D 0\)）。
分式除法法则的推导
提出问题：已知一个数与\(\frac{c}{d}\)的乘积为\(\frac{a}{b}\)，求这个数。
引导学生根据除法的意义列出算式\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}\)。
类比分数除法，思考\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}\)的计算方法，因为除法是乘法的逆运算，所以\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}=\frac{ad}{bc}\) 。
同样给出多个分式除法的例子，如\(\frac{4a}{5b} ·\frac{2a^2}{15b^2}\)，\(\frac{x^2 - 9}{x + 3} ·\frac{x - 3}{x^2 + 3x}\)，让学生计算并总结规律。
归纳分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示为\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)（\(B 0\)，\(C 0\)，\(D 0\)）。
约分与最简分式
结合前面的计算过程，讲解约分的概念和方法。在分式乘除运算中，要先将分子分母进行因式分解（若为多项式），然后找出公因式进行约分，将结果化为最简分式或整式。
例如对于\(\frac{m^2 - n^2}{m + n} \frac{1}{m - n}\)，先对\(m^2 - n^2\)因式分解为\((m + n)(m - n)\)，则原式\(=\frac{(m + n)(m - n)}{m + n} \frac{1}{m - n}=1\) 。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1)\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^3}{4x^2}\)
分析：根据分式乘法法则，分子相乘，分母相乘，然后约分。
解：\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^3}{4x^2}=\frac{2x 9y^3}{3y 4x^2}=\frac{18xy^3}{12x^2y}=\frac{3y^2}{2x}\)
(2)\(\frac{a^2 - 4}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}\)
分析：先对分子\(a^2 - 4\)因式分解为\((a + 2)(a - 2)\)，再进行计算和约分。
解：\(\frac{a^2 - 4}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}=a + 2\)
例 2：计算
(1)\(\frac{3xy^2}{4z^2} ·\frac{5x^2y}{8z^2}\)
分析：根据分式除法法则，将除法转化为乘法，再进行计算。
解：\(\frac{3xy^2}{4z^2} ·\frac{5x^2y}{8z^2}=\frac{3xy^2}{4z^2} \frac{8z^2}{5x^2y}=\frac{3xy^2 8z^2}{4z^2 5x^2y}=\frac{24xy^2z^2}{20x^2yz^2}=\frac{6y}{5x}\)
(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 1}{x + 2}\)
分析：先对分子\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，分母\(x^2 + 4x + 4\)因式分解为\((x + 2)^2\)，然后将除法转化为乘法进行计算。
解：\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 1}{x + 2}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 2)^2} \frac{x + 2}{x - 1}=\frac{x + 1}{x + 2}\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
(1)\(\frac{5a^3b}{2c} \frac{4c^2}{5a^2b^2}\)
(2)\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \frac{x + 3}{x - 3}\)
(3)\(\frac{4a^2b}{3c} ·\frac{8ab^2}{9c^2}\)
(4)\(\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 1} ·\frac{m - 2}{m + 1}\)
解决实际问题：小明家承包了一块长方形土地，长为\(\frac{2a}{b}\)米，宽为\(\frac{3b^2}{4a}\)米，求这块土地的面积。若每平方米土地可种植\(5\)棵果树，这块土地一共能种植多少棵果树？
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如因式分解错误、约分不彻底、符号处理不当等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾分式乘除的运算法则，强调分式乘法和除法的计算方法以及两者之间的联系（除法转化为乘法）。
总结在分式乘除运算中进行约分的重要性和方法，以及如何将结果化为最简分式或整式。
鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握分式乘除运算，提高运算的准确性和速度。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于分式乘除运算的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的知识和技能。
拓展作业：
计算\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ·\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}\)，提高学生综合运用分式乘除和加减运算的能力。
编写一道与生活实际相关的分式乘除应用题，并解答，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新思维。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对分式乘除运算法则的理解和掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在运算过程中出现的问题，如因式分解不熟练导致无法准确约分、运算顺序错误、符号处理不当等。针对这些问题，在后续教学中加强因式分解知识的复习和巩固，增加分式乘除混合运算的练习，强化学生对运算顺序和符号规则的理解和应用。同时，关注学生在小组合作学习中的表现，及时给予指导和反馈，提高学生的合作学习效果。此外，思考如何设计更有趣、更贴近生活的实际问题，激发学生的学习兴趣，让学生更好地体会数学知识的实用性，进一步优化教学方法，提高课堂教学质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，培养学生类比、归纳的意识以及准确的语言表达能力．
2．让学生在自主探究、合作交流中体会类比、转化的思想，使学生感受探索的乐趣和成功的体验．
3．通过具体的分式乘除计算，进一步巩固掌握分式的乘除法法则，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
类比导入
请同学们观察下列运算：
这是我们之前学习的什么？
你能根据上述算式猜测：
？，？
1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水高多少
解：长方体容器的高为 ，
水高为
知识点
分式的乘除法法则
学生活动 【一起探究】
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
解：大拖拉机的工作效率
是 公顷/天，
小拖拉机的工作效率是 公顷/天，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
和 ，其中涉及到分式的哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？
观察上述两个问题中所列出的式子　　　
【思考】
在计算的过程中，运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？　　　
3.计算：
分式的乘除法法则
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
例1 计算：
2
2
素养考点 1
利用分式的乘除法法则进行单项式的计算
2
解法一:
解法二:
2
分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；
②分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.
归纳总结
等于( )
A. B.
C. D.
2
解析：
C
例2 计算：
素养考点 2
利用分式的乘除法法则进行多项式的计算
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行.
一定要注意符号变化呦！
①若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；
②分式与分式相除时，一定要先转化为乘法，再按照乘法法则运算.
归纳总结
1
1
1
1
1
解：原式
计算:
(1)
1
1
1
1
(2)
解：原式
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
素养考点 3
分式的乘除法法则的实际应用
∵0＜(a–1)2＜ a2–1，
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
∴
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m ，单位
面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是
(a–1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
(2)
1. 教材P146例1 计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
3. 若“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是( )
B
A. 1 B. 2 C. 4 D.
返回
4. 下面是某同学化简式子
的过程，则横线上依次填入的序号为( )
.
C
；；； .
A. ③②① B. ③①② C. ④②① D. ④①②
返回
5.已知，则式子 的值是___.
6. 八年级的三名同学在一起讨论一个分式乘
法题目：
4
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解.
丙：计算结果是 .
请写出一个符合上述条件的题目:________________________
____.
（答案不唯一）
返回
7.请从，， 中选取两个式子相乘并化
简，再从 ，1，2中选择合适的数代入求值.
【解】选取， 两个式子相乘，
.当 时，
.（答案不唯一）
返回
8. ［2025石家庄校级期中］若 为正整数，则化简
的结果可以是( )
B
A. 0 B. C. D. 2
【点拨】原式 .
,,，且且 .又
为正整数，，即且 选项A,C,
D均不符合题意，故选B.
返回
9. 式子的值为，当为整数时，整数 的值有
( )
B
A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
【点拨】由题意得
. 为整
数，且为整数，或或或， 或1
或4或0或6或或10或.又且 ，
且或1或4或0或6或 或10，共有7个.
返回
10.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以
它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：
则第次的运算结果是_ ________（用含有字母和 的代数式
表示）.
分式的乘除法法则
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；
②若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；
③分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.
注意事项：
谢谢观看！

展开更多......

收起↑