人教版(2025)数学八年级上册18.2.1 分式的乘除 课件(共33张PPT)

资源下载
  1. 二一教育资源

人教版(2025)数学八年级上册18.2.1 分式的乘除 课件(共33张PPT)

资源简介

(共33张PPT)
18.2.1 分式的乘除
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
18.2.1 分式的乘除教案
一、教学目标
(一)知识与技能目标
学生能够准确理解并熟练掌握分式的乘除运算法则,即分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
能熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算,包括分子分母为单项式、多项式的不同形式,准确进行约分,将结果化为最简分式或整式。
能够运用分式乘除运算解决实际问题,将实际问题中的数量关系转化为分式的乘除运算,提高数学建模和应用能力。
(二)过程与方法目标
通过类比分数的乘除运算,引导学生探究分式乘除法则,培养学生的类比推理能力和知识迁移能力,让学生体会从熟悉知识到新知识的转化过程。
在分式乘除运算的练习过程中,提高学生的运算能力和逻辑思维能力,培养学生严谨的计算习惯和认真审题的意识。
通过解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
(三)情感态度与价值观目标
以实际生活中的问题引入分式乘除运算,让学生感受数学与生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。
在探究分式乘除法则和解决问题的过程中,培养学生勇于探索、敢于创新的精神,增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习,培养学生的团队合作精神和交流能力,让学生在合作中体验成功的喜悦,感受集体的力量。
二、教学重难点
(一)教学重点
分式乘除运算法则的推导和理解,掌握分式乘除运算的基本方法和步骤。
熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算,能够准确进行约分,将结果化为最简形式。
运用分式乘除运算解决实际问题,理解实际问题中的数量关系并转化为数学运算。
(二)教学难点
当分式的分子分母为多项式时,准确进行因式分解,以便找到公因式进行约分,确保运算的准确性。
在分式乘除混合运算中,合理确定运算顺序,正确运用法则进行计算,避免出现符号错误和运算顺序错误。
理解分式乘除运算的算理,能够解释每一步运算的依据,提高学生对数学运算的理性认识。
三、教学方法
类比教学法:通过回顾分数的乘除运算规则和方法,与分式的乘除运算进行类比,引导学生自主发现分式乘除法则,降低学习难度,提高学生的学习兴趣和理解能力。
探究式教学法:设置问题情境,引导学生通过观察、分析、计算等活动,自主探究分式乘除法则的推导过程,培养学生的自主探究能力和创新思维。
讲练结合法:在讲解分式乘除法则和例题后,及时安排针对性的练习题,让学生在练习中巩固所学知识,教师巡视指导,及时发现问题并纠正,提高学生的运算技能。
小组合作学习法:组织学生进行小组合作学习,共同探讨分式乘除运算中的难点问题和实际应用问题,促进学生之间的交流与合作,培养学生的团队合作精神。
四、教学过程
(一)复习导入(5 分钟)
回顾分数的乘除运算法则:
提问学生分数乘法的运算法则,预设学生回答:分数乘以分数,用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母,如\(\frac{2}{3} \frac{4}{5}=\frac{2 4}{3 5}=\frac{8}{15}\)。
提问分数除法的运算法则,学生回答:分数除以分数,等于被除数乘以除数的倒数,如\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}=\frac{2}{3} \frac{5}{4}=\frac{2 5}{3 4}=\frac{5}{6}\)。
思考与启发:
提出问题:既然分数有这样的乘除运算法则,那么分式的乘除运算是否也有类似的规律呢?引导学生思考分式乘除运算的方法,从而引出本节课的课题 —— 分式的乘除。
(二)探索新知(15 分钟)
分式乘法法则的推导
展示问题:一个长方形的长为\(\frac{a}{b}\),宽为\(\frac{c}{d}\),求它的面积。
引导学生根据长方形面积公式\(S = é \),列出算式\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}\)。
类比分数乘法,让学生尝试计算\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}\),得出\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}=\frac{ac}{bd}\) 。
再给出多个分式乘法的例子,如\(\frac{2x}{3y} \frac{3y}{4x^2}\),\(\frac{m^2 - n^2}{m + n} \frac{1}{m - n}\),引导学生计算并观察结果。
总结归纳分式乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子表示为\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)(\(B 0\),\(D 0\))。
分式除法法则的推导
提出问题:已知一个数与\(\frac{c}{d}\)的乘积为\(\frac{a}{b}\),求这个数。
引导学生根据除法的意义列出算式\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}\)。
类比分数除法,思考\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}\)的计算方法,因为除法是乘法的逆运算,所以\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}=\frac{ad}{bc}\) 。
同样给出多个分式除法的例子,如\(\frac{4a}{5b} ·\frac{2a^2}{15b^2}\),\(\frac{x^2 - 9}{x + 3} ·\frac{x - 3}{x^2 + 3x}\),让学生计算并总结规律。
归纳分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,用式子表示为\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)(\(B 0\),\(C 0\),\(D 0\))。
约分与最简分式
结合前面的计算过程,讲解约分的概念和方法。在分式乘除运算中,要先将分子分母进行因式分解(若为多项式),然后找出公因式进行约分,将结果化为最简分式或整式。
例如对于\(\frac{m^2 - n^2}{m + n} \frac{1}{m - n}\),先对\(m^2 - n^2\)因式分解为\((m + n)(m - n)\),则原式\(=\frac{(m + n)(m - n)}{m + n} \frac{1}{m - n}=1\) 。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:计算
(1)\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^3}{4x^2}\)
分析:根据分式乘法法则,分子相乘,分母相乘,然后约分。
解:\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^3}{4x^2}=\frac{2x 9y^3}{3y 4x^2}=\frac{18xy^3}{12x^2y}=\frac{3y^2}{2x}\)
(2)\(\frac{a^2 - 4}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}\)
分析:先对分子\(a^2 - 4\)因式分解为\((a + 2)(a - 2)\),再进行计算和约分。
解:\(\frac{a^2 - 4}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 3} \frac{a + 3}{a - 2}=a + 2\)
例 2:计算
(1)\(\frac{3xy^2}{4z^2} ·\frac{5x^2y}{8z^2}\)
分析:根据分式除法法则,将除法转化为乘法,再进行计算。
解:\(\frac{3xy^2}{4z^2} ·\frac{5x^2y}{8z^2}=\frac{3xy^2}{4z^2} \frac{8z^2}{5x^2y}=\frac{3xy^2 8z^2}{4z^2 5x^2y}=\frac{24xy^2z^2}{20x^2yz^2}=\frac{6y}{5x}\)
(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 1}{x + 2}\)
分析:先对分子\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\),分母\(x^2 + 4x + 4\)因式分解为\((x + 2)^2\),然后将除法转化为乘法进行计算。
解:\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 1}{x + 2}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 2)^2} \frac{x + 2}{x - 1}=\frac{x + 1}{x + 2}\)
(四)课堂练习(10 分钟)
计算
(1)\(\frac{5a^3b}{2c} \frac{4c^2}{5a^2b^2}\)
(2)\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \frac{x + 3}{x - 3}\)
(3)\(\frac{4a^2b}{3c} ·\frac{8ab^2}{9c^2}\)
(4)\(\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 1} ·\frac{m - 2}{m + 1}\)
解决实际问题:小明家承包了一块长方形土地,长为\(\frac{2a}{b}\)米,宽为\(\frac{3b^2}{4a}\)米,求这块土地的面积。若每平方米土地可种植\(5\)棵果树,这块土地一共能种植多少棵果树?
教师巡视学生练习情况,及时发现问题并给予指导,选取部分学生的答案进行展示和点评,强调运算过程中的易错点,如因式分解错误、约分不彻底、符号处理不当等。
(五)课堂小结(3 分钟)
与学生一起回顾分式乘除的运算法则,强调分式乘法和除法的计算方法以及两者之间的联系(除法转化为乘法)。
总结在分式乘除运算中进行约分的重要性和方法,以及如何将结果化为最简分式或整式。
鼓励学生在课后多做练习,熟练掌握分式乘除运算,提高运算的准确性和速度。
(六)作业布置(2 分钟)
基础作业:教材课后练习题中关于分式乘除运算的基础题目,要求学生认真完成,巩固本节课所学的知识和技能。
拓展作业:
计算\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ·\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}\),提高学生综合运用分式乘除和加减运算的能力。
编写一道与生活实际相关的分式乘除应用题,并解答,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新思维。
五、教学反思
在教学过程中,密切关注学生对分式乘除运算法则的理解和掌握情况。通过课堂练习和学生的回答,分析学生在运算过程中出现的问题,如因式分解不熟练导致无法准确约分、运算顺序错误、符号处理不当等。针对这些问题,在后续教学中加强因式分解知识的复习和巩固,增加分式乘除混合运算的练习,强化学生对运算顺序和符号规则的理解和应用。同时,关注学生在小组合作学习中的表现,及时给予指导和反馈,提高学生的合作学习效果。此外,思考如何设计更有趣、更贴近生活的实际问题,激发学生的学习兴趣,让学生更好地体会数学知识的实用性,进一步优化教学方法,提高课堂教学质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,培养学生类比、归纳的意识以及准确的语言表达能力.
2.让学生在自主探究、合作交流中体会类比、转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.
3.通过具体的分式乘除计算,进一步巩固掌握分式的乘除法法则,锻炼学生的计算能力.
重点
难点
类比导入
请同学们观察下列运算:
这是我们之前学习的什么?
你能根据上述算式猜测:
?,?
1.一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
解:长方体容器的高为 ,
水高为
知识点
分式的乘除法法则
学生活动 【一起探究】
2.大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地 b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
解:大拖拉机的工作效率
是 公顷/天,
小拖拉机的工作效率是 公顷/天,
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
和 ,其中涉及到分式的哪些运算?你能用学过的运算法则求出结果吗?
观察上述两个问题中所列出的式子   
【思考】
在计算的过程中,运用了分数的什么法则?你能叙述这个法则吗?
如果将分数换成分式,那么你能类比分数的乘除法法则,说出分式的乘除法法则吗?
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢?   
3.计算:
分式的乘除法法则
乘法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
除法法则:
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
例1 计算:
2
2
素养考点 1
利用分式的乘除法法则进行单项式的计算
2
解法一:
解法二:
2
分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
①若分子分母都是单项式,把分子分母分别相乘,约去公因式,最后化为最简分式或整式;
②分式与分式相除时,按照法则先转化为乘法,再运算.
归纳总结
等于( )
A. B.
C. D.
2
解析:
C
例2 计算:
素养考点 2
利用分式的乘除法法则进行多项式的计算
当分子分母是多项式时,先分解因式便于约分的进行.
一定要注意符号变化呦!
①若分子分母有多项式,先把多项式分解因式,看能约分的先约分,然后相乘;
②分式与分式相除时,一定要先转化为乘法,再按照乘法法则运算.
归纳总结
1
1
1
1
1
解:原式
计算:
(1)
1
1
1
1
(2)
解:原式
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1) m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
素养考点 3
分式的乘除法法则的实际应用
∵0<(a–1)2< a2–1,
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.

解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m ,单位
面积产量是 kg/m2;“丰收2号”小麦的试验田面积是
(a–1)2 m2,单位面积产量是 kg/m2.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
(2)
1. 教材P146例1 计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
3. 若“”可以进行约分化简,则“ ”不可以是( )
B
A. 1 B. 2 C. 4 D.
返回
4. 下面是某同学化简式子
的过程,则横线上依次填入的序号为( )
.
C
;;; .
A. ③②① B. ③①② C. ④②① D. ④①②
返回
5.已知,则式子 的值是___.
6. 八年级的三名同学在一起讨论一个分式乘
法题目:
4
甲:它是一个整式与一个分式相乘.
乙:在计算过程中,用到了平方差公式进行因式分解.
丙:计算结果是 .
请写出一个符合上述条件的题目:________________________
____.
(答案不唯一)
返回
7.请从,, 中选取两个式子相乘并化
简,再从 ,1,2中选择合适的数代入求值.
【解】选取, 两个式子相乘,
.当 时,
.(答案不唯一)
返回
8. [2025石家庄校级期中]若 为正整数,则化简
的结果可以是( )
B
A. 0 B. C. D. 2
【点拨】原式 .
,,,且且 .又
为正整数,,即且 选项A,C,
D均不符合题意,故选B.
返回
9. 式子的值为,当为整数时,整数 的值有
( )
B
A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
【点拨】由题意得
. 为整
数,且为整数,或或或, 或1
或4或0或6或或10或.又且 ,
且或1或4或0或6或 或10,共有7个.
返回
10.有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘2,再除以
它与1的和,多次重复这种运算的过程如下:
则第次的运算结果是_ ________(用含有字母和 的代数式
表示).
分式的乘除法法则
①若分子分母都是单项式,把分子分母分别相乘,约去公因式,最后化为最简分式或整式;
②若分子分母有多项式,先把多项式分解因式,看能约分的先约分,然后相乘;
③分式与分式相除时,按照法则先转化为乘法,再运算.
注意事项:
谢谢观看!

展开更多......

收起↑

资源预览