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18.2.2 分式的乘方及乘除混合运算
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.2.2 分式的乘方及乘除混合运算教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能准确理解分式乘方的运算法则，即分式乘方要把分子、分母分别乘方，并能用式子\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(n\)为正整数，\(B 0\)）清晰表示。
能够熟练运用分式乘方法则进行分式的乘方运算，包括分子分母为单项式、多项式的不同情况，准确计算出结果。
掌握分式乘除混合运算的方法，能先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法，当分式的分子分母为多项式时，能正确进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，将计算结果化为最简分式或整式。
能分清乘方、乘除的运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除；有括号时要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序，准确进行分式的乘除、乘方混合运算。
（二）过程与方法目标
通过类比有理数乘方的概念和分式乘法的法则，推导分式乘方的法则，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，体会从已知到未知的探究过程。
在分式乘方及乘除混合运算的练习过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生认真审题、仔细计算、规范书写的良好习惯。
通过解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，提高学生的数学建模素养。
（三）情感态度与价值观目标
以有趣的数学情境或实际生活问题引入分式乘方及乘除混合运算，让学生感受数学与生活的紧密联系以及数学知识的趣味性，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
在探究分式乘方法则和解决运算问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于尝试的精神，增强学生学习数学的自信心，让学生在克服困难的过程中体验成功的喜悦。
通过小组合作学习和课堂交流活动，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生学会倾听他人意见，学会与他人合作解决问题，感受集体智慧的力量。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式乘方法则的推导和理解，熟练运用分式乘方法则进行分式的乘方运算。
掌握分式乘除混合运算的方法，能正确进行分式乘除混合运算，将结果化为最简形式。
明确分式乘除、乘方混合运算的顺序，并能按照正确的运算顺序进行准确计算。
（二）教学难点
当分式的分子分母为多项式时，在分式乘方及乘除混合运算中，准确进行因式分解，找到公因式进行约分，确保运算的准确性。
在分式乘除、乘方混合运算中，合理确定运算顺序，正确处理符号问题，避免出现运算错误，提高学生运算的正确率。
理解分式乘方及乘除混合运算的算理，能够清晰解释每一步运算的依据，提升学生对数学运算的理性认识和逻辑思维能力。
三、教学方法
类比教学法：通过回顾有理数乘方的概念和运算以及分式乘法法则，与分式乘方运算进行类比，引导学生自主推导分式乘方法则，降低学习难度，提高学生的学习兴趣和理解能力，让学生体会数学知识之间的内在联系。
探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算、归纳等活动，自主探究分式乘方法则的推导过程和分式乘除混合运算的方法，培养学生的自主探究能力和创新思维，提高学生的数学素养。
讲练结合法：在讲解分式乘方法则、运算顺序和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导，及时发现问题并纠正，通过反复练习，提高学生的运算技能和解题能力。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨分式乘方及乘除混合运算中的难点问题和实际应用问题，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生在合作学习中相互启发，共同进步。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾分式的乘除运算法则
请学生回答分式乘法法则，预设回答：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为\(\frac{A}{B} \frac{C}{D}=\frac{A C}{B D}\)（\(B 0\)，\(D 0\)）。
接着提问分式除法法则，学生回答：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{A}{B} ·\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \frac{D}{C}=\frac{A D}{B C}\)（\(B 0\)，\(C 0\)，\(D 0\)）。
随机给出简单的分式乘除运算题目，如\(\frac{3x}{4y} \frac{8y^2}{9x^2}\)，\(\frac{5a^2b}{6c} ·\frac{10ab}{3c^2}\)，请两位学生上台板演，其他学生在练习本上完成，然后师生共同批改，巩固分式乘除运算法则。
回顾乘方的意义
提问学生\(a^n\)的意义，学生回答：\(a^n\)表示\(n\)个\(a\)相乘，即\(a^n = \underbrace{a a · · · a}_{n a}\)。
举例让学生计算，如\(2^3\)，\(( - 3)^2\)等，复习乘方运算。
思考与启发
提出问题：既然我们已经学习了分式的乘除运算和乘方的意义，那么分式是否也可以进行乘方运算呢？比如\((\frac{a}{b})^n\)该如何计算？由此引出本节课的课题 —— 分式的乘方及乘除混合运算。
（二）探索新知（15 分钟）
分式乘方法则的推导
展示问题：根据乘方的意义和分式乘法法则，计算\((\frac{a}{b})^2\)，\((\frac{a}{b})^3\)。
引导学生思考，\((\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b} \frac{a}{b}\)，根据分式乘法法则，分子相乘为\(a a = a^2\)，分母相乘为\(b b = b^2\)，所以\((\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}\)。
同理，\((\frac{a}{b})^3 = \frac{a}{b} \frac{a}{b} \frac{a}{b}\)，分子相乘为\(a a a = a^3\)，分母相乘为\(b b b = b^3\)，即\((\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}\)。
让学生观察计算结果，猜想\((\frac{a}{b})^n\)（\(n\)为正整数）的结果，学生可能会猜出\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)。
进一步引导学生从乘方的意义和分式乘法法则的角度进行一般性推导：\((\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \frac{a}{b} · · · \frac{a}{b}}_{n \frac{a}{b}}\)
分子是\(n\)个\(a\)相乘，即\(a^n\)；分母是\(n\)个\(b\)相乘，即\(b^n\)，所以\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)（\(n\)为正整数，\(B 0\)）。
总结归纳分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示为\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(n\)为正整数，\(B 0\)）。
分式乘除混合运算方法
展示问题：计算\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ·\frac{x - 1}{x + 1} \frac{x + 1}{x + 2}\)。
引导学生分析，根据分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法，即\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} \frac{x + 1}{x - 1} \frac{x + 1}{x + 2}\)。
对分子分母为多项式的部分进行因式分解，\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)，\(x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2\)。
则原式变为\(\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2} \frac{x + 1}{x - 1} \frac{x + 1}{x + 2}\)。
然后约去分子分母的公因式，得到\(\frac{x + 1}{x + 2}\)。
总结分式乘除混合运算方法：
先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法。
当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式。
计算结果应为最简分式或整式。
分式乘除、乘方混合运算顺序
展示问题：计算\((\frac{a^2}{b})^3 \frac{b^2}{a} ·(\frac{a}{b})^2\)。
引导学生思考运算顺序，类比有理数的混合运算顺序，先算乘方。
计算\((\frac{a^2}{b})^3=\frac{(a^2)^3}{b^3}=\frac{a^6}{b^3}\)，\((\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}\)。
则原式变为\(\frac{a^6}{b^3} \frac{b^2}{a} ·\frac{a^2}{b^2}\)。
再把除法转化为乘法，即\(\frac{a^6}{b^3} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{a^2}\)。
接着进行乘法运算，分子相乘为\(a^6 b^2 b^2 = a^6b^4\)，分母相乘为\(b^3 a a^2 = a^3b^3\)。
最后约分得到\(\frac{a^3b}{1}=a^3b\)。
总结分式乘除、乘方混合运算顺序：在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除；有括号时要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序进行计算。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1)\((\frac{2x^2}{3y})^3\)
分析：根据分式乘方法则，把分子分母分别乘方。
解：\((\frac{2x^2}{3y})^3=\frac{(2x^2)^3}{(3y)^3}=\frac{2^3 (x^2)^3}{3^3 y^3}=\frac{8x^6}{27y^3}\)
(2)\((\frac{-a^3}{2b^2})^4\)
分析：注意负数的偶次幂是正数，再分别对分子分母乘方。
解：\((\frac{-a^3}{2b^2})^4=\frac{(-a^3)^4}{(2b^2)^4}=\frac{a^{12}}{16b^8}\)
例 2：计算
(1)\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \frac{2x + 4}{x - 2} ·\frac{1}{x^2 - 4}\)
分析：先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法进行计算。
解：对分子分母因式分解，\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，\(x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2\)，\(2x + 4 = 2(x + 2)\)。
则原式\(=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \frac{2(x + 2)}{x - 2} (x^2 - 4)\)\(=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \frac{2(x + 2)}{x - 2} (x + 2)(x - 2)\)
约去公因式后得到\(2(x + 2)^2 = 2(x^2 + 4x + 4)=2x^2 + 8x + 8\)
(2)\((\frac{x}{y})^2 ·(-\frac{x^2}{y^3})^3 (\frac{y^2}{x})^4\)
分析：按照先乘方，再乘除的顺序进行计算。
解：先算乘方，\((\frac{x}{y})^2=\frac{x^2}{y^2}\)，\((-\frac{x^2}{y^3})^3=-\frac{(x^2)^3}{(y^3)^3}=-\frac{x^6}{y^9}\)，\((\frac{y^2}{x})^4=\frac{(y^2)^4}{x^4}=\frac{y^8}{x^4}\)。
则原式\(=\frac{x^2}{y^2} ·(-\frac{x^6}{y^9}) \frac{y^8}{x^4}\)
将除法转化为乘法，\(\frac{x^2}{y^2} (-\frac{y^9}{x^6}) \frac{y^8}{x^4}\)
分子相乘为\(x^2 (-y^9) y^8=-x^2y^{17}\)，分母相乘为\(y^2 x^6 x^4 = x^{10}y^2\)。
约分得到\(-\frac{y^{15}}{x^8}\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
(1)\((\frac{3a^3}{4b^2})^2\)
(2)\((\frac{-2x^3y}{3z^2})^3\)
(3)\(\frac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} ·\frac{a - 3}{a + 3} \frac{1}{a + 3}\)
(4)\((\frac{2a}{b})^2 (-\frac{b^3}{4a^2})^3 ·(\frac{-b}{2a})^2\)
解决实际问题：一个长方体容器的容积为\(V\)，底面的长为\(\frac{3}{2}a\)，宽为\(\frac{2}{3}a\)，当容器内的水占容积的\(\frac{2}{3}\)时，水高为多少？（用含\(a\)，\(V\)的式子表示）
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如分式乘方时分子分母忘记分别乘方、因式分解错误、运算顺序错误、符号处理不当等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾分式乘方的运算法则，强调分子分母分别乘方以及运算时的注意事项。
总结分式乘除混合运算的方法，包括统一成乘法、因式分解和约分等
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过转化思想将乘除混合运算统一为乘法运算，熟练地进行分式乘除法的混合运算，培养学生的计算能力．
2．通过学生自主探索分式的乘方运算法则，让学生通过探索、讨论、练习等熟练进行相关运算，提高学生运用数学知识解决问题的能力．
3．通过经历转化过程，感受事物间辩证统一的相互关系，让学生在探索讨论中养成与他人合作交流的习惯，并培养克服困难的勇气和信心．
重点
难点
旧识回顾
古文导入
同学们，《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”
有同学知道这是什么意思吗？
问题：如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取10次，剩余的棍棒长度是多少？
如果我们把这个数字换成分式呢？
分式乘除混合运算的计算方法：
(1)分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法.
(2)当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为最简分式或整式.
分式乘除的混合运算
知识点 1
例 计算：
素养考点
分式乘除的混合运算
解：
计算：
解：原式
你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
知识点 2
分式的乘方
学生活动 【一起探究】
　　猜想：n 为正整数时　　　　　　　　
你能写出推导过程吗？试试看．
你能用文字语言叙述得到的结论吗？　　　
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
即
一般地，当n 是正整数时，　　
分式的乘方法则
例1　计算：　　　
素养考点 1
分式乘方的运算
解：
归纳总结：
分式的乘方，把分子分母分别乘方，再算积的乘方、幂的乘方.也可以先确定符号，再把分子、分母分别乘方.
计算：
解:原式
解:原式
例2　计算：　　　
素养考点 2
分式乘方的混合运算
解：
归纳总结：
分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号先算括号内的.
计算：
解:原式
解:原式
1. 下列计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
3. 教材P149例5 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
B
A
返回
4. 化简 的结果为( )
C
A. B. C. D.
5. 计算与 的结果可知，它们( )
C
A. 相等 B. 互为倒数
C. 互为相反数 D. 以上都不对
6.若，则 中的式子是___.
返回
7.已知，则 的值为___.
6
【点拨】， ，
， .
返回
8. 教材P151习题 计算：
（1）［2025东营月考］ ；
【解】 .
（2） .
原式 .
返回
9.已知 ,求
的值.
【解】 .
,
.
, ,
, ,
, ,
原式 .
返回
10. 彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题
是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
分式混合运算
混合运算
应用
关键是明确运算种类及运算顺序
明确运算顺序
1.同级运算自左向右进行；
2.运算律可简化运算
明确运算方法及运算技巧
技巧
注意
分式的乘方
分式乘方的法则
1.掌握分式乘方的运算法则；
2.熟练地进行分式乘方的运算.
谢谢观看！

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