人教版(2025)数学八年级上册18.1.2 第2课时 分式的约分和通分 课件(共38张PPT)

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人教版(2025)数学八年级上册18.1.2 第2课时 分式的约分和通分 课件(共38张PPT)

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18.1.2 分式的基本性质-
第2课时 分式的约分和通分
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
18.1.2 分式的基本性质 - 第 2 课时 分式的约分和通分教案
一、教学目标
(一)知识与技能目标
学生能够更加深入、透彻地理解分式约分和通分的依据,熟练掌握约分和通分的方法与步骤,准确无误地对各类分式进行约分和通分运算。
能够灵活运用约分和通分知识,对复杂的分式进行化简,解决分式的加减运算、方程求解等相关问题,提高分式运算的综合能力。
学会准确判断最简分式和最简公分母,能将分式化简到最简形式,正确进行异分母分式的转化,为后续分式的进一步学习奠定坚实基础。
(二)过程与方法目标
通过大量具体的分式实例,引导学生经历观察、分析、归纳、总结的过程,进一步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力,提升学生从具体问题中提炼数学方法的能力。
在探究分式约分和通分的过程中,强化学生运用类比、转化等数学思想方法的意识,让学生学会将分式问题与已学知识相联系,提高知识迁移和应用能力。
通过课堂练习和问题解决,锻炼学生独立思考、自主探索的能力,培养学生分析问题和解决问题的能力,增强学生的数学思维灵活性。
(三)情感态度与价值观目标
以分式约分和通分知识在实际问题中的应用为切入点,激发学生对数学学习的兴趣,让学生感受到数学知识的实用性和价值,提高学生学习数学的积极性。
在解决复杂分式问题的过程中,培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神,增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作交流,培养学生的团队协作精神和沟通能力,让学生在合作中学会分享与互助,营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
(一)教学重点
熟练掌握分式约分的方法,能够准确找出分子分母的公因式,并正确进行约分,将分式化为最简分式。
准确确定最简公分母,熟练运用通分方法将异分母分式化为同分母分式,为分式的加减运算做好准备。
灵活运用约分和通分知识解决分式的化简、求值等实际问题,提高学生运用知识解决问题的能力。
(二)教学难点
当分式的分子分母为多项式时,准确进行因式分解,从而找出公因式或确定最简公分母,这需要学生对因式分解知识有扎实的掌握。
在分式运算中,根据具体问题的要求,合理选择约分和通分的时机与方法,避免出现运算错误,提高学生综合运用知识的能力。
理解约分和通分的本质,以及它们在分式运算中的作用,能够清晰区分两者的不同,并在不同情境中正确运用,加深对分式基本性质的理解和应用。
三、教学方法
复习巩固法:通过回顾分式的基本性质,为本节课学习分式的约分和通分做好知识铺垫,让学生明确新知识与旧知识的联系,增强知识的连贯性。
实例教学法:展示丰富多样的分式实例,引导学生从实际例子中分析、总结约分和通分的方法与规律,使抽象的数学知识变得直观易懂,帮助学生更好地理解和掌握。
启发式教学法:在教学过程中,提出具有启发性的问题,引导学生积极思考,主动探索分式约分和通分的方法,培养学生的独立思考能力和创新思维。
小组合作学习法:组织学生进行小组合作学习,共同探讨复杂的分式约分和通分问题,促进学生之间的思想交流与碰撞,培养学生的团队合作精神和合作学习能力。
练习巩固法:设计有梯度的练习题,让学生在练习中巩固所学知识,及时发现问题并解决问题,提高学生的运算能力和解题技巧,同时加深对知识的理解和记忆。
四、教学过程
(一)复习导入(5 分钟)
提问回顾:同学们,上节课我们学习了分式的基本性质,谁能说一说分式的基本性质是什么呢?(预设学生回答:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变,用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\),\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\),其中\(A\)、\(B\)、\(C\)均为整式,且\(B 0\),\(C 0\))
简单应用:根据分式的基本性质,完成下列填空:
\(\frac{2a}{3b}=\frac{2a\times c}{3b\times( )}\)(\(c 0\))
\(\frac{x^2}{xy}=\frac{x^2\div x}{xy\div( )}\)(\(x 0\))
引出课题:分式的基本性质是分式运算的重要基础,今天我们将学习如何利用它进行分式的约分和通分,这也是我们解决分式相关问题的重要方法。
(二)探索新知(15 分钟)
分式的约分
概念深化:再次强调分式约分的定义,即利用分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,得到最简分式。最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。
方法讲解:
对于分子分母是单项式的分式,如\(\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3}\),先找出系数的最大公约数,\(12\)和\(18\)的最大公约数是\(6\);再找出相同字母的最低次幂,\(a\)的最低次幂是\(a^2\),\(b\)的最低次幂是\(b^2\),所以公因式是\(6a^2b^2\)。然后根据分式基本性质进行约分,\(\frac{12a^3b^2\div6a^2b^2}{18a^2b^3\div6a^2b^2}=\frac{2a}{3b}\)。
当分子分母是多项式时,如\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\),先对分子分母进行因式分解,\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\),\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\),公因式是\(x + 2\),约分后得到\(\frac{x - 2}{x + 2}\) 。
学生练习:让学生尝试对\(\frac{20x^2y}{25xy^2}\)和\(\frac{x^2 - 9}{3x + 9}\)进行约分,教师巡视指导,及时纠正学生出现的错误。
分式的通分
概念强化:明确分式通分的定义,利用分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定最简公分母。
方法归纳:
对于分母是单项式的分式,如\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{3}{4xy^2}\),确定最简公分母的方法:先取各分母系数的最小公倍数,\(2\)和\(4\)的最小公倍数是\(4\);再取各字母的最高次幂,\(x\)的最高次幂是\(x^2\),\(y\)的最高次幂是\(y^2\),所以最简公分母是\(4x^2y^2\)。然后将两个分式通分,\(\frac{1}{2x^2y}=\frac{1\times2y}{2x^2y\times2y}=\frac{2y}{4x^2y^2}\),\(\frac{3}{4xy^2}=\frac{3\times x}{4xy^2\times x}=\frac{3x}{4x^2y^2}\)。
当分母是多项式时,如\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}\),先对分母因式分解,\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\),\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\),最简公分母是\((x + 1)^2(x - 1)\)。通分可得\(\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1\times(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)\times(x + 1)}=\frac{x + 1}{(x + 1)^2(x - 1)}\),\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}=\frac{2\times(x - 1)}{(x + 1)^2\times(x - 1)}=\frac{2x - 2}{(x + 1)^2(x - 1)}\) 。
学生尝试:让学生对\(\frac{1}{3ab}\)和\(\frac{2}{5a^2b}\)以及\(\frac{1}{x^2 - 4x + 4}\)和\(\frac{3}{x^2 - 4}\)进行通分,教师观察学生的做题情况,给予针对性指导。
(三)例题讲解(15 分钟)
例 1:约分
(1)\(\frac{-15xy^2z^3}{25x^2y^3z}\)
分析:先找系数的最大公约数\(5\),相同字母\(x\)、\(y\)、\(z\)的最低次幂分别为\(x\)、\(y^2\)、\(z\),公因式为\(5xy^2z\)。
解:\(\frac{-15xy^2z^3\div5xy^2z}{25x^2y^3z\div5xy^2z}=\frac{-3z^2}{5xy}\)
(2)\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)
分析:对分子分母因式分解,\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\),\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\),公因式为\(x - 2\)。
解:\(\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x - 3}{x + 2}\)
例 2:通分
(1)\(\frac{2}{3a^2b}\),\(\frac{1}{4ab^2}\),\(\frac{3}{2ab}\)
分析:系数\(3\)、\(4\)、\(2\)的最小公倍数是\(12\),字母\(a\)的最高次幂是\(a^2\),\(b\)的最高次幂是\(b^2\),最简公分母是\(12a^2b^2\)。
解:\(\frac{2}{3a^2b}=\frac{2\times4b}{3a^2b\times4b}=\frac{8b}{12a^2b^2}\),\(\frac{1}{4ab^2}=\frac{1\times3a}{4ab^2\times3a}=\frac{3a}{12a^2b^2}\),\(\frac{3}{2ab}=\frac{3\times6ab}{2ab\times6ab}=\frac{18ab}{12a^2b^2}\)
(2)\(\frac{1}{x^2 - 2x}\),\(\frac{2}{x^2 - 4}\)
分析:对分母因式分解,\(x^2 - 2x = x(x - 2)\),\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\),最简公分母是\(x(x + 2)(x - 2)\)。
解:\(\frac{1}{x^2 - 2x}=\frac{1\times(x + 2)}{x(x - 2)\times(x + 2)}=\frac{x + 2}{x(x + 2)(x - 2)}\),\(\frac{2}{x^2 - 4}=\frac{2\times x}{(x + 2)(x - 2)\times x}=\frac{2x}{x(x + 2)(x - 2)}\)
(四)课堂练习(10 分钟)
约分
(1)\(\frac{18a^2b}{24ab^2}\)
(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)
通分
(1)\(\frac{3}{5x^2y}\),\(\frac{1}{10xy^2}\)
(2)\(\frac{1}{x^2 - 9}\),\(\frac{2}{x^2 + 6x + 9}\)
化简求值:已知\(x = 2\),求\(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}\div\frac{x + 2}{x - 2}\)的值,要求先对分式进行约分,再代入求值。
教师巡视学生练习情况,及时发现问题并给予指导,选取部分学生的答案进行展示和讲解,强调约分和通分过程中的易错点,如公因式找错、因式分解不彻底、通分后分母计算错误等。
(五)课堂小结(3 分钟)
与学生一起回顾本节课的重点内容,包括分式约分和通分的定义、方法,强调约分要找公因式化为最简分式,通分要确定最简公分母。
总结在进行分式约分和通分过程中容易出现的错误及注意事项,如分子分母为多项式时先因式分解、注意公因式和最简公分母的确定方法等。
引导学生思考分式约分和通分在分式运算中的重要作用,鼓励学生课后多做练习,熟练掌握这两种运算方法。
(六)作业布置(2 分钟)
基础作业:教材课后练习题中关于分式约分和通分的基础题目,要求学生认真完成,巩固本节课所学的基本方法和技能。
拓展作业:
化简\(\frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}\div\frac{x - 1}{x + 1}\),并说明每一步的依据。
已知\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{a + b}\),求\(\frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2}\)的值,提示学生先对已知条件进行通分变形,再求解。
五、教学反思
在本节课的教学过程中,要密切关注学生对分式约分和通分方法的掌握情况。通过课堂练习和学生的回答,分析学生在找公因式、确定最简公分母、进行因式分解等方面存在的问题,如部分学生对多项式因式分解不熟练,导致无法准确找出公因式或最简公分母;有些学生在约分和通分过程中容易忽略符号问题等。针对这些问题,在后续教学中要加强因式分解知识的复习和巩固,增加相关练习,强化学生对符号的处理能力。同时,关注学生在小组合作学习中的参与度和表现,及时给予指导和鼓励,提高学生的合作学习效果。此外,思考如何设计更具针对性和趣味性的练习,激发学生的学习兴趣,进一步提高学生运用约分和通分知识解决问题的能力,优化教学方法,提升课堂教学质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的约分与通分,理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念,掌握分式的约分与通分的方法和步骤,体会用类比转化的思想研究数学问题.
2.通过探究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神,体会逆向思维的数学思想.
3.通过具体的题目练习,能依据分式的基本性质进行约分和通分,锻炼学生的计算能力.
重点
难点
旧识回顾
分式的基本性质是什么?
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变
问题导入
请同学们计算下列式子:
(1);(2).
提出问题:在运算中运用了什么方法?
复习导入
同学们,分数的约分和通分在分数中起着非常重要的作用,你还记得分数的约分和通分法则吗?
把3个苹果平均分给6个同学,每个同学得到几个苹果?
同学们,我们来看这个式子:,这是利用了什么?
如果把式子左右两边交换位置:,这又是利用的什么?
视频导入
请同学们观看一段视频
填空:
知识点 2
约分
观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化?类比分数的相应变形,你联想到什么?
分式的分子、分母约去公因式,值不变.
问题5:
学生活动二 【一起探究】
  像这样,根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.经过约分后的分式如上例 ,其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的式子,叫做最简分式. 
约分的应用
例 约分:
素养考点 2
解:
约分的方法:
①如果分式的分子、分母都是单项式,直接约去分子、分母的公因式;
②如果分子或分母是多项式,就要先对多项式进行因式分解,以便找出分母、分子的公因式,最后约分.
③约分结果为最简分式或整式.
归纳总结
下列分式中,是最简分式的是:    (填序号).
(2)
(4)
解:
约分:
通分
知识点 3
填空:
分母乘以2ac,根据分式的基本性质,分子也乘以2ac.
分母乘以3b,根据分式的基本性质,分子也乘以3b,整理得6ab-3b2
像这样,根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
1. 通分的依据是什么?
2. 通分的关键是什么?
分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
想一想
学生活动三 【一起探究】
3. 如何确定n个分式的公分母?
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
例 通分:
通分的应用
素养考点 3
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
(2)最简公分母是(x + 5)(x-5).
1. 通分的步骤
①确定最简公分母,②化异分母分式为同分母分式.
2.确定最简公分母的方法
(1)分母为单项式:①取各分母系数的最小公倍数,②相同字母取次数最高的,③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.
(2)分母为多项式:①把各分母分解因式,②把每一个因式看做一个整体,按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
归纳总结
通分:
解:(3)最简公分母是
(3) , ,
1.化简 的结果是( )
A. B.
C. D.
D
D
2.下列说法中,错误的是( )
A. 与 通分后为
B. 与 通分后为
与 的最简公分母为m2-n2
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
3. 已知 则 的值是( )
A. B. – C.2 D. –2
D
4.化简: = .
x+3
5.化简:
x-y+1
1. [2025上海嘉定区月考]下列分式, ,
, 中,最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式 相等的是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 化简 的结果是( )
D
A. B. 1 C. D.
4. 分式,, 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
找最简公分母的方法:
(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最
小公倍数.
(2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式
子都要选取.
(3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子
中指数的最大值.
. .
. .
. .
返回
5. 小明化简分式时, 部分不小心滴上了墨水,请
推测*部分的式子应该是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】, 部分的式子
应该是 .故选B.
返回
6. 已知三张卡片上面分别写有6, ,
,从中任选两张卡片,组成一个最简分式为_________
__________.(写出一个分式即可)
(答案不唯一)
返回
7.母题教材P144练习 约分:
(1) ;
【解】 .
(2) .
.
(1)约分前后分式的值要相等.
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
(3)约分是对分子、分母整体进行的,也就是分子的整体
和分母的整体都除以同一个因式.
. .
返回
8.母题教材P144练习 通分:
(1),, ;
【解】, ,
.
(2),, .
, ,
.
返回
9. 下列各式的变形不正确的有( )
; ;
; .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①原式 ,不符合题意;②原式
,符合题意;③原式 ,符合题意;
④原式为最简分式,不能再化简,符合题意.
返回
10. 已知, 两数在数轴上的位置如图所
示,则化简 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
11. 若,则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
分式的基本性质
约分
一般地,对于任意一个分式 ,有
其中A, B, C 是整式.
通分
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