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18.1.2 分式的基本性质-
第2课时 分式的约分和通分
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.1.2 分式的基本性质 - 第 2 课时 分式的约分和通分教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够更加深入、透彻地理解分式约分和通分的依据，熟练掌握约分和通分的方法与步骤，准确无误地对各类分式进行约分和通分运算。
能够灵活运用约分和通分知识，对复杂的分式进行化简，解决分式的加减运算、方程求解等相关问题，提高分式运算的综合能力。
学会准确判断最简分式和最简公分母，能将分式化简到最简形式，正确进行异分母分式的转化，为后续分式的进一步学习奠定坚实基础。
（二）过程与方法目标
通过大量具体的分式实例，引导学生经历观察、分析、归纳、总结的过程，进一步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提升学生从具体问题中提炼数学方法的能力。
在探究分式约分和通分的过程中，强化学生运用类比、转化等数学思想方法的意识，让学生学会将分式问题与已学知识相联系，提高知识迁移和应用能力。
通过课堂练习和问题解决，锻炼学生独立思考、自主探索的能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的数学思维灵活性。
（三）情感态度与价值观目标
以分式约分和通分知识在实际问题中的应用为切入点，激发学生对数学学习的兴趣，让学生感受到数学知识的实用性和价值，提高学生学习数学的积极性。
在解决复杂分式问题的过程中，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作交流，培养学生的团队协作精神和沟通能力，让学生在合作中学会分享与互助，营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练掌握分式约分的方法，能够准确找出分子分母的公因式，并正确进行约分，将分式化为最简分式。
准确确定最简公分母，熟练运用通分方法将异分母分式化为同分母分式，为分式的加减运算做好准备。
灵活运用约分和通分知识解决分式的化简、求值等实际问题，提高学生运用知识解决问题的能力。
（二）教学难点
当分式的分子分母为多项式时，准确进行因式分解，从而找出公因式或确定最简公分母，这需要学生对因式分解知识有扎实的掌握。
在分式运算中，根据具体问题的要求，合理选择约分和通分的时机与方法，避免出现运算错误，提高学生综合运用知识的能力。
理解约分和通分的本质，以及它们在分式运算中的作用，能够清晰区分两者的不同，并在不同情境中正确运用，加深对分式基本性质的理解和应用。
三、教学方法
复习巩固法：通过回顾分式的基本性质，为本节课学习分式的约分和通分做好知识铺垫，让学生明确新知识与旧知识的联系，增强知识的连贯性。
实例教学法：展示丰富多样的分式实例，引导学生从实际例子中分析、总结约分和通分的方法与规律，使抽象的数学知识变得直观易懂，帮助学生更好地理解和掌握。
启发式教学法：在教学过程中，提出具有启发性的问题，引导学生积极思考，主动探索分式约分和通分的方法，培养学生的独立思考能力和创新思维。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨复杂的分式约分和通分问题，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。
练习巩固法：设计有梯度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，及时发现问题并解决问题，提高学生的运算能力和解题技巧，同时加深对知识的理解和记忆。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
提问回顾：同学们，上节课我们学习了分式的基本性质，谁能说一说分式的基本性质是什么呢？（预设学生回答：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)均为整式，且\(B 0\)，\(C 0\)）
简单应用：根据分式的基本性质，完成下列填空：
\(\frac{2a}{3b}=\frac{2a\times c}{3b\times( )}\)（\(c 0\)）
\(\frac{x^2}{xy}=\frac{x^2\div x}{xy\div( )}\)（\(x 0\)）
引出课题：分式的基本性质是分式运算的重要基础，今天我们将学习如何利用它进行分式的约分和通分，这也是我们解决分式相关问题的重要方法。
（二）探索新知（15 分钟）
分式的约分
概念深化：再次强调分式约分的定义，即利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，得到最简分式。最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。
方法讲解：
对于分子分母是单项式的分式，如\(\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3}\)，先找出系数的最大公约数，\(12\)和\(18\)的最大公约数是\(6\)；再找出相同字母的最低次幂，\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b^2\)，所以公因式是\(6a^2b^2\)。然后根据分式基本性质进行约分，\(\frac{12a^3b^2\div6a^2b^2}{18a^2b^3\div6a^2b^2}=\frac{2a}{3b}\)。
当分子分母是多项式时，如\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\)，先对分子分母进行因式分解，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)，公因式是\(x + 2\)，约分后得到\(\frac{x - 2}{x + 2}\) 。
学生练习：让学生尝试对\(\frac{20x^2y}{25xy^2}\)和\(\frac{x^2 - 9}{3x + 9}\)进行约分，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
分式的通分
概念强化：明确分式通分的定义，利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定最简公分母。
方法归纳：
对于分母是单项式的分式，如\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{3}{4xy^2}\)，确定最简公分母的方法：先取各分母系数的最小公倍数，\(2\)和\(4\)的最小公倍数是\(4\)；再取各字母的最高次幂，\(x\)的最高次幂是\(x^2\)，\(y\)的最高次幂是\(y^2\)，所以最简公分母是\(4x^2y^2\)。然后将两个分式通分，\(\frac{1}{2x^2y}=\frac{1\times2y}{2x^2y\times2y}=\frac{2y}{4x^2y^2}\)，\(\frac{3}{4xy^2}=\frac{3\times x}{4xy^2\times x}=\frac{3x}{4x^2y^2}\)。
当分母是多项式时，如\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}\)，先对分母因式分解，\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)，\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)，最简公分母是\((x + 1)^2(x - 1)\)。通分可得\(\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1\times(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)\times(x + 1)}=\frac{x + 1}{(x + 1)^2(x - 1)}\)，\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}=\frac{2\times(x - 1)}{(x + 1)^2\times(x - 1)}=\frac{2x - 2}{(x + 1)^2(x - 1)}\) 。
学生尝试：让学生对\(\frac{1}{3ab}\)和\(\frac{2}{5a^2b}\)以及\(\frac{1}{x^2 - 4x + 4}\)和\(\frac{3}{x^2 - 4}\)进行通分，教师观察学生的做题情况，给予针对性指导。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：约分
(1)\(\frac{-15xy^2z^3}{25x^2y^3z}\)
分析：先找系数的最大公约数\(5\)，相同字母\(x\)、\(y\)、\(z\)的最低次幂分别为\(x\)、\(y^2\)、\(z\)，公因式为\(5xy^2z\)。
解：\(\frac{-15xy^2z^3\div5xy^2z}{25x^2y^3z\div5xy^2z}=\frac{-3z^2}{5xy}\)
(2)\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)
分析：对分子分母因式分解，\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，公因式为\(x - 2\)。
解：\(\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x - 3}{x + 2}\)
例 2：通分
(1)\(\frac{2}{3a^2b}\)，\(\frac{1}{4ab^2}\)，\(\frac{3}{2ab}\)
分析：系数\(3\)、\(4\)、\(2\)的最小公倍数是\(12\)，字母\(a\)的最高次幂是\(a^2\)，\(b\)的最高次幂是\(b^2\)，最简公分母是\(12a^2b^2\)。
解：\(\frac{2}{3a^2b}=\frac{2\times4b}{3a^2b\times4b}=\frac{8b}{12a^2b^2}\)，\(\frac{1}{4ab^2}=\frac{1\times3a}{4ab^2\times3a}=\frac{3a}{12a^2b^2}\)，\(\frac{3}{2ab}=\frac{3\times6ab}{2ab\times6ab}=\frac{18ab}{12a^2b^2}\)
(2)\(\frac{1}{x^2 - 2x}\)，\(\frac{2}{x^2 - 4}\)
分析：对分母因式分解，\(x^2 - 2x = x(x - 2)\)，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，最简公分母是\(x(x + 2)(x - 2)\)。
解：\(\frac{1}{x^2 - 2x}=\frac{1\times(x + 2)}{x(x - 2)\times(x + 2)}=\frac{x + 2}{x(x + 2)(x - 2)}\)，\(\frac{2}{x^2 - 4}=\frac{2\times x}{(x + 2)(x - 2)\times x}=\frac{2x}{x(x + 2)(x - 2)}\)
（四）课堂练习（10 分钟）
约分
(1)\(\frac{18a^2b}{24ab^2}\)
(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)
通分
(1)\(\frac{3}{5x^2y}\)，\(\frac{1}{10xy^2}\)
(2)\(\frac{1}{x^2 - 9}\)，\(\frac{2}{x^2 + 6x + 9}\)
化简求值：已知\(x = 2\)，求\(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}\div\frac{x + 2}{x - 2}\)的值，要求先对分式进行约分，再代入求值。
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和讲解，强调约分和通分过程中的易错点，如公因式找错、因式分解不彻底、通分后分母计算错误等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课的重点内容，包括分式约分和通分的定义、方法，强调约分要找公因式化为最简分式，通分要确定最简公分母。
总结在进行分式约分和通分过程中容易出现的错误及注意事项，如分子分母为多项式时先因式分解、注意公因式和最简公分母的确定方法等。
引导学生思考分式约分和通分在分式运算中的重要作用，鼓励学生课后多做练习，熟练掌握这两种运算方法。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于分式约分和通分的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的基本方法和技能。
拓展作业：
化简\(\frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}\div\frac{x - 1}{x + 1}\)，并说明每一步的依据。
已知\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{a + b}\)，求\(\frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2}\)的值，提示学生先对已知条件进行通分变形，再求解。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，要密切关注学生对分式约分和通分方法的掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在找公因式、确定最简公分母、进行因式分解等方面存在的问题，如部分学生对多项式因式分解不熟练，导致无法准确找出公因式或最简公分母；有些学生在约分和通分过程中容易忽略符号问题等。针对这些问题，在后续教学中要加强因式分解知识的复习和巩固，增加相关练习，强化学生对符号的处理能力。同时，关注学生在小组合作学习中的参与度和表现，及时给予指导和鼓励，提高学生的合作学习效果。此外，思考如何设计更具针对性和趣味性的练习，激发学生的学习兴趣，进一步提高学生运用约分和通分知识解决问题的能力，优化教学方法，提升课堂教学质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念，掌握分式的约分与通分的方法和步骤，体会用类比转化的思想研究数学问题．
2．通过探究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神，体会逆向思维的数学思想．
3．通过具体的题目练习，能依据分式的基本性质进行约分和通分，锻炼学生的计算能力．
重点
难点
旧识回顾
分式的基本性质是什么？
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
问题导入
请同学们计算下列式子：
（1）；（2）.
提出问题：在运算中运用了什么方法？
复习导入
同学们，分数的约分和通分在分数中起着非常重要的作用，你还记得分数的约分和通分法则吗？
把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
同学们，我们来看这个式子：，这是利用了什么？
如果把式子左右两边交换位置：，这又是利用的什么？
视频导入
请同学们观看一段视频
填空：
知识点 2
约分
观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？
分式的分子、分母约去公因式，值不变.
问题5：
学生活动二 【一起探究】
　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　
约分的应用
例 约分:
素养考点 2
解：
约分的方法：
①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；
②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.
③约分结果为最简分式或整式.
归纳总结
下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).
(2)
(4)
解：
约分：
通分
知识点 3
填空：
分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac.
分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
1. 通分的依据是什么？
2. 通分的关键是什么？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
想一想
学生活动三 【一起探究】
3. 如何确定n个分式的公分母？
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
例 通分：
通分的应用
素养考点 3
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
(2)最简公分母是(x + 5)(x－5).
1. 通分的步骤
①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.
2.确定最简公分母的方法
(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.
(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
归纳总结
通分：
解：(3)最简公分母是
(3) ， ，
1.化简 的结果是( )
A. B.
C. D.
D
D
2.下列说法中，错误的是( )
A. 与 通分后为
B. 与 通分后为
与 的最简公分母为m2-n2
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
3. 已知 则 的值是( )
A. B. – C.2 D. –2
D
4.化简： = ．
x+3
5.化简：
x-y+1
1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ，
， 中，最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式 相等的是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 化简 的结果是( )
D
A. B. 1 C. D.
4. 分式，， 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
找最简公分母的方法:
（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最
小公倍数.
（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式
子都要选取.
（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子
中指数的最大值.
. .
. .
. .
返回
5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请
推测*部分的式子应该是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】， 部分的式子
应该是 .故选B.
返回
6. 已知三张卡片上面分别写有6， ，
，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________
__________.（写出一个分式即可）
（答案不唯一）
返回
7.母题教材P144练习 约分：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体
和分母的整体都除以同一个因式.
. .
返回
8.母题教材P144练习 通分：
（1），， ；
【解】， ，
.
（2），， .
， ，
.
返回
9. 下列各式的变形不正确的有( )
; ;
; .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①原式 ，不符合题意；②原式
，符合题意；③原式 ，符合题意；
④原式为最简分式，不能再化简，符合题意.
返回
10. 已知， 两数在数轴上的位置如图所
示，则化简 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
11. 若，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
分式的基本性质
约分
一般地，对于任意一个分式 ，有
其中A， B， C 是整式．
通分
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