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2025年普通高等学校招生全国统一考试（新Ⅰ卷）
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。（题为回忆版，可能会有些许错误，公众号：MST数学聚集地MathHub）
一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共计 40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请
把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 1+5i i的虚部为 ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 6
2.设全集U={x|x是小于 9的正整数},集合A={1,3,5},则 UA中元素个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍,则C的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
4.若点 a,0 π a>0 是函数 y= 2tan x- 3 的图象的一个对称中心,则 a的最小值为 ( )
A. π B. π4 2 C.
π 4π
3 D. 3
5.设 f x 是定义在R上且周期为 2的偶函数, 3当 2≤ x≤ 3时, f x = 5- 2x,则 f - 4 = ( )
A. - 1 1 1 12 B. - 4 C. 4 D. 2
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速
对应的向量大小相等，方向相反。图 1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船
运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2（风速的大小和向量的大小相同，
单位 m/s ，则真风为 ( ) y
等级 风速大小m/s 名称
2 1. 1~3.3 3轻风 视风风速
3 3. 4~5.4 微风 2
4 5.5~7.9 和风 1
船速
5 8.0~10.1 劲风 O 1 2 3 x
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
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7.若圆 x2+ y+2 2 = r2 r>0 上到直线 y= 3x+ 2的距离为 1的点有且仅有 2个,则 r的取值范围是
( )
A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞ D. 0,+∞
8.若实数 x,y,z满足 2+ log2x= 3+ log3y= 5+ log5z,则 x,y,z的大小关系不可能是 ( )
A. x> y> z B. x> z> y C. y> x> z D. y> z> x
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选
对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则 ( )
A. AD⊥A1C B. B1C⊥平面AA1D C. CC1 平面AA1D D. AD A1B1
10.设抛物线C :y2= 6x 3的焦点为F,过F的直线交C于A、B,过F且垂直于AB的直线交准线 l:x=- 2 于
E，过点A作准线 l的垂线，垂足为D,则 ( )
A. AD = AF B. AE = AB C. AB ≥ 6 D. AE BE ≥ 18
11. 1已知△ABC的面积为 4 ,若 cos2A+ cos2B+ 2sinC = 2,cosAcosBsinC=
1
4 ,则 ( )
A. sinC= sin2A+ sin2B B. AB= 2
C. sinA+ sinB= 62 D. AC
2+BC2= 3
三、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分,共计 15分.
12.若直线 y= 2x+ 5是曲线 y= ex+ x+ a的切线,则 a= .
13.若一个等比数列的前 4项和为 4,前 8项和为 68,则该等比数列的公比为 .
14.一个箱子里有 5个相同的球,分别以 1 5标号,从中有放回地取三次,记至少取出一次的球的个数X,
则数学期望E X = .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)为研究某乘病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000人,得到
如下列联表：
超声波检查结果
正常 不正常 合计
组别
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P,求P的估计值；
(2)根据小概率值 α= 0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
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2 n=
ad-bc 2
附：χ ,
a+b c+d a+c b+d
P χ2≥k 0.005 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16. (15分)
a a
设数列 a a = 3 n+1 = n + 1n 满足 1 ， n n+1 .n n+1
(1)证明: nan 为等差数列；
(2)设 f x = a1x+ a2x2+ +a xmm ,求 f -2 .
17. (15分)
如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC AD,AB⊥AD.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=AB= 2 ,AD= 3+ 1,BC= 2,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为O.
(i)证明:O在平面ABCD上；
(ii)求直线AC与直线PO所成角的余弦值.
P
A D
B C
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18. (17分)
x2 y2
设椭圆C: 2 + 2 = 1 a>b>0
2 2
的离心率为 3 ,下顶点为A，右顶点为B， AB = 10 .a b
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动点P不在 y轴上，点R在射线AP上，且满足 AR AP = 3.
(i)设P m,n ,求点R的坐标 用m,n表示 ;
(ii)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的 3倍，求 PQ 的最大值.
19. (17分)
设函数 f x = 5cosx- cos5x.
(1) π求 f x 在 0, 4 的最大值；
(2)给定 θ∈ 0,π ,设 a为实数,证明:存在 y∈ a-θ,a+θ ,使得 cosy≤ cosθ；
(3)若存在 φ使得对任意 x,都有 5cosx- cos 5x+φ ≤ b,求 b的最小值.
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