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2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学试题
注意事项：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
2.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
3.作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
4.本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据2,8,14,16,20的平均数为
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
2.已知z=1+i, 则
A. - i B. i C. - 1 D.1
3. 已知集合A={-4,0,1,2,8}, B={x|x =x},则A∩B=
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
4.不等式 2的解集是
A. {x|-2≤x≤1} B. {x|x≤-2} C. {x|-2≤x＜1} D. {x|x＞1}
5. 在△ABC中, BC=2,AC=1+ AC= 则A=
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
6.设抛物线的焦点为F ，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若 , 则|AF|=
A.3 B.4 C.5 D.6
7.记Sn,为等差数列{an}的前n项和，若 则
A. - 20 B. - 15 C. - 10 D. - 5
8.已知 则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记 Sn为等比数列{an}的前n项和, q为{an}的公比, q＞0，若 则
A. B. C. D.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时， 则
A. f(0)=0 B.当x＜0时,
C. f(x)≥2当且仅当 D. x=-1是f(x)的极大值点
11.双曲线 的左、右焦点分别是F ，F ，左、右顶点分别为A ，A ，以F F 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 则
A. B.
C. C的离心率为 D. 当 时，四边形NA MA 的面积为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量a=(x,1), b=(x-1,2x), 若a⊥(a-b), 则|a|= 。
13. 若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-α)的极值点, 则f(0)= 。
14.一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (13分) 已知函数
(1) 求φ;
(2)设函数 求g(x)的值域和单调区间。
16. (15分) 已知椭圆 的离心率为 长轴长为4。
(1) 求C的方程;
(2) 过点(0,-2)的直线l与C交于A, B 两点, O为坐标原点, 若△OAB的面积为 求|AB|。
17. (15分)
如图, 在四边形ABCD中, AB∥CD, ∠DAB=90°, F为CD的中点, 点E在AB上,EF∥AD, AB=3AD, CD=2AD, 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形. 使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°。
(1) 证明: A′B∥平面CD′F;
(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值。
18. (17分) 已知函数 其中
(1)证明： f (x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2) 设x , x 分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点。
(i) 设函数.
证明: g(t)在区间(0,x )单调递减;
(ii)比较2x 与x 的大小，并证明你的结论。
19.(17分)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球甲胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 记 Pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。
(1) 求P , P (用p表示)
(2) 若 求p;
(3)证明：对任意正整数m，
1-8.
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.
因为( 所以
所以
因为 所以当 时， 当 时
所以g(x)的值域为
由 得
根据复合函数的单调性得g(x)的单调递减区间为
同理可得：g(x)的单调递增区间为
16.
(2) 设直线AB为. 与C联立消y得 整理为 设A， 的横坐标分别为. 则 则 解得 则
17.(1)证明：有 故
有
故
故面
A′B∥面CD′F
(2) 延长EF交BC延长线于(
面EFDA与面EFCB二面角(
即
设
故
且
则F到面 距离
F到 距离
故正弦值
18.方法一：
(x),单调递增； f(x)单调递减, 存在唯 使得
(2) (i) 由 (1) 知
g(t)在区间( 内单调递减
(ii) 由 (2) (i) 知g(t)在(0,x )单调递减, 则 又因 1而 故
方法二: (1)
那么在上的零点，显然只有
而且明摆着是个极大值点，说明这玩意先增后减。
另一方面，显然， 而 再加上先增后减，说明
过了极值点以后恒递减，这就说明在 上，有且仅有一个零点。
(2)根据前面的结果，显然
(i)这个没什么难的，就是纯粹的运算。
此时有
为了方便观察，我们把k换成. 也就是把 丢进去，这样就有
当 的时候， 那么当然会有
(ii)这个实在没难度，而且跟 (i)也没什么关系。
既然x 是位于减区间上的，我们完全可以比较. 和 )的值，这里. 已知，只需要考察f(2x ), 有
令这玩意为h(k)，如果对k求导，会有
注意 故此这玩意其实是恒正的，说明h(k)关于k递增，也就有
即
因此
方法三：
故 唯一零点
时f(x)>0 f(x)递增
时f'(x)<0 f(x)递减
时
时
故f(x)有唯一零点x
令
故 恒成立
g(t)在(0,x )递减
且f(a)在( 递减
故
19.方法一：(1)不妨令 表示n局以后甲的得分，那么显然乙的得分即为 (每个球总得有人得分，不是甲就是乙)，然后显然.
既然要甲比乙至少多2分，就得
如此
以及
(2)难得见最后一题第二问还在送分的…
按 (1)的方法同理，会得到
而
同理
如此
(3)先来看左边的不等式，注意
这时考察前2m个球，如果前面已经有 那无论如何都会有
而如果 则需要最后一个球甲得分；如果 那是无论如何也无法完成的，因此会有
同理会有
故此
右边可以采用差不多的办法，只不过这次要一次性考虑两个球。
此时要求 当已经有 时，无论如何都会有 当 时，只要保障不连丢两球就行；当 时，就必须连赢两球；当 则完全不可能。
即
同理
于是
方法二： 即打完3个球后甲比乙至少多得2分
(只能三场均胜)
(可以输一场)
与 完全对称
(3)设甲左n句得分. 先证左边
即证
即 显然成立
在证明右边 胜 即前2m胜 或前2m胜. 再胜1局或前2m胜m再胜一句

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