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2025年浙江省学业水平考试数学模拟试卷（二）
一、单项选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则A∩B＝（　　）
A．[2，3） B．（2，3] C．[2，3] D．（2，3）
2．已知复数z满足1+iz＝z﹣2i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）的定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为（　　）
A．[0，3] B．[0，2] C．[0，7] D．[1，2]
4．已知，，若，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
5．半径为3cm的圆中，有一条弧，长度为cm，则此弧所对的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
6．设a，b∈R，则下列结论错误的是（　　）
A．若a＞b＞0，则 B．若a＜b＜0，则（a﹣1）2＜（b﹣1）2
C．若a+b＝2，则2a+2b≥4 D．若a，b＞0且，则a＞b
7．“a＝0”是“函数f（x）＝sinxa为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为Bb，母亲的基因是bb，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（　　）
A．0 B． C． D．
9．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知，则方程e（f（x））2﹣（x+e）f（x）+x＝0的解的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则下列正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是周期函数
C．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＜f（x+2） D．当0＜x＜1时，f（x2+1）＞f（2x）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、多选、错选均不得分。）
13．下列命题正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．
C．（lg2）2+lg2×lg5+lg5＝2 D．若3a＝10，log925＝b，则
14．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝cosx B．y＝x2+|x| C．y＝log2|x| D．
15．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形A1B1C1D1E1F1，ABCDEF，它们的中心分别为O1，O，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则下列命题正确的是（　　）
A．异面直线O1A1与OA所成的角为 B．AB1⊥平面O1OA
C．该多面体外接球的表面积为
D．直线AB，与下底面所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分.）
16．对于任意实数x，（x）表示不小于x的最小整数，例如（1.2）＝2，（﹣0.2）＝0，[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣0.2]＝﹣1．已知定义在R上的函数f（x）＝（2x） [3x]，若集合A，则集合A中所有元素的和为 　 　 ．
17．抛掷一枚均匀的正方体骰子（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P（A+B）＝　 　 ．
18．某水产单位对其投放的网箱产量（单位：kg）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为 　 　 kg．
19．设函数y＝f（x）的定义域为D，若函数y＝f（x）满足条件：存在[a，b] D，使得y＝f（x）在[a，b]上的取值范围是[]，则称f（x）为“半缩函数”．若函数f（x）＝log5（5x+t﹣2）为“半缩函数”，则实数t的取值范围是 　 　 ．
四、解答题（本大题共3小题，共34分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
20．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，c﹣b＝2，cosA．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sinC的值；
（Ⅲ）求的值．
21．（11分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，，DC1⊥D1B
（1）求证：DA⊥DB；
（2）求三棱锥C﹣A1C1D的体积；
（3）线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数k的值，并判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性（不需要证明）；
（2）当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与p的值；
（3）当a≥6时，设函数g（x）＝﹣ax2+8（x﹣1）af（x）﹣5，若存在实数λ，使得不等式﹣5≤g（x）≤5对任意的x∈（1，λ]恒成立，求λ的最大值φ（a）．
2025年浙江省学业水平考试数学模拟试卷（二）
一、单项选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1．C．
2．C．
3．B．
4．B．
5．A．
6．B．
7．C．
8．C．
9．B．
10．D．
11．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、多选、错选均不得分。）
13．AD．
14．BC．
15．BCD．
三．填空题（共4小题）
16．67．
17．．
18．49.375．
19．．
四、解答题（本大题共3小题，共34分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
20．解：（Ⅰ）△ABC的面积为，c﹣b＝2，cosA，
可得sinA，
所以S△ABCbcsinAbc，可得bc＝3，
将c﹣b＝2两边平方，可得b2+c2＝4+2bc＝4+2×3＝10，
由余弦定理可得a2；
（Ⅱ）由b＝c﹣2，所以c（c﹣2）＝3，即c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3，
由正弦定理可得：，即sinC sinA；
（Ⅲ）因为cos2A＝2cos2A﹣1＝21，sin2A＝2sinAcosA＝2（），
所以cos（2A）＝cos2Acossin2Asin（）．
21．解：（1）证明：由题，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），，C（0，4，0），，
设B（a，b，0）（a＞0），则A（a，b﹣4，0），
所以，，
由DC1⊥D1B得，所以b＝3，
又因为DA＝2，所以，解得，
所以，，
则，，所以，
所以DA⊥DB；
（2）因为DC＝2DA＝4，由（1）知∠ADB＝90°，所以∠ADC＝120°，
如图，过作AH⊥CD于H，
则，
在直棱柱中平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，AH 平面ABCD，
所以AH⊥平面CC1D1D，所以
；
（3）由（1）得平面ABB1A1的一个法向量为，
假设存在E点满足条件，设D1E＝λD1C1（0≤λ≤1），
则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，则x2＝﹣3，z2＝﹣2λ，所以，
所以，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为，
所以，解得，
又因为0≤λ≤1，所以舍去，
所以线段C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为．
22．解：（1）因为f（x）＝loga（a＞0，a≠1）是奇函数，
所以f（﹣x）+f（x）＝0对定义域中的x均成立，
所以，
即，
整理得k2x2﹣1＝x2﹣1，对定义域中的x均成立，
即（k2﹣1）x2＝0，所以k2＝1，
当k＝﹣1时，f（x）无意义，故舍去；
当k＝1时，f（x）为奇函数，故k＝1；
所以，
因为y＝1在（1，+∞）上单调递减
所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）由（1）得，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
①若p＜a﹣2≤﹣1，则0＜a＜1，
所以函数f（x）在区间（p，a﹣2）上为单调递增函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则，无解；
②若1≤p＜a﹣2，则a＞3，
所以函数f（x）在区间（p，a﹣2）上为单调递减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则，
解得，P＝1，故，p＝1；
（3）由题可得：，
函数g（x）的对称轴为，因为a≥6，所以，
故函数g（x）在x∈（1，λ]上单调递减，
要使得x∈（1，λ]时﹣5≤g（x）≤5恒成立，
则﹣5≤g（λ）≤g（x）＜g（1）≤5，由g（1）＝﹣a+11≤5，得a≥6；
又g（λ）≥﹣5，即﹣aλ2+8λ+3≥﹣5，
所以aλ2﹣8λ﹣8≤0，即，所以，
故，
所以，
又因为λ＞1，故，解得a＜16，
故．

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