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第3讲　共点力的平衡及其应用
一、受力分析
1.概念：把研究对象（指定物体）在指定的物理环境中受到的所有力都分析出来，并画出物体所受力的　 　　，这个过程就是受力分析.
2.受力分析的一般顺序.
先分析场力，然后按接触面分析接触力（弹力、摩擦力），最后分析已知力.
示意图
静止　
匀速直线运动
F合=0
三、平衡条件的几条重要推论
1.二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小　　　　，方向　　　　.
2.三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小　　　　，方向　　　　.
3.多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡，其中任何一个力与其余力的合力大小　　　　，方向　　　　.
相等
相反
相等
相反
相等
相反
（1）分析受力时，只分析物体受到的力，不分析物体对其他物体的力；只分析外力，不分析内力；性质力和效果力不可重复分析；分力与合力不可重复分析.
（2）合力为零是平衡状态的根本原因.
（3）三力平衡时，首尾相连，构成封闭三角形.
1.［受力分析］矢量发动机是喷口可向不同方向偏转以产生不同方向推力的一种发动机.当战斗机以速度v斜向上飞行时，其矢量发动机的喷口如图所示.已知飞机受到重力G、发动机推力F1、与速度方向垂直的升力F2和与速度方向相反的空气阻力Ff.下列受力分析示意图可能正确的是 （　　）
A
【解析】由题意可知所受重力G竖直向下，空气阻力Ff与速度方向相反，升力F2与速度方向垂直，发动机推力F1的方向沿喷口的反方向，对比图中选项可知只有A选项符合题意.
2.［平衡状态］（2023年浙江卷）如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则 （　　）
A.FTB.FT=FN
C.FT>G
D.FT=G
C
D
4.［平衡分析］（2024年梅州联考）如图所示，半径为R的半球形碗固定在水平面上，O为球心.一只蚂蚁从半球形碗底沿碗内表面缓慢向上爬，爬到位置A时刚好要下滑，此时OA与竖直方向夹角为θ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数为μ，蚂蚁的质量为m，下列说法正确的是 （　　）
A.R越大，θ越大 B.μ越大，θ越大
C.m越大，θ越大 D.m越小，θ越大
B
【解析】缓慢向上爬，爬到位置A时刚好要下滑，有mgsin θ=μmgcos θ，解得μ=tan θ，可知μ越大，θ越大，B正确.
考点1　物体的受力分析　［基础考点］　　　　　　　　　　　　　　　　
1.受力分析的基本步骤
2.受力分析的常用方法
（1）整体法和隔离法.
（2）假设法：在不确定某力是否存在时，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与不存在对物体运动状态是否产生影响来判断该力是否存在.
D　
1.（2024年汕头检测）扑克牌可以用来“搭房子”，如图甲所示.每一张纸牌的质量为m，在图乙的示意图中，下列说法正确的是 （　　）
A.a纸牌受到其他纸牌的作用力大小为mg，方向竖直向上
B.B纸牌受到其他纸牌的作用力大小为mg，方向竖直向下
C.纸牌对地面的压力大小为6mg
D.每一张纸牌的合外力都不相同
A
【解析】a纸牌处于静止状态，受到其他纸牌的作用力和自身重力，根据力的平衡条件可知其他纸牌对a纸牌的作用力大小为mg，方向竖直向上，A正确，B错误；共有7张纸牌，整体受力分析，可知地面对其支持力为7mg，则纸牌对地面的压力大小为7mg，C错误；每张纸牌都处于静止状态，合外力都为0，D错误.
2.（2024年广东大湾区模拟）（多选）如图所示，水平面上两个小孩提起一装满水的水桶并保持静止.已知右边男孩手臂对水桶拉力方向与竖直方向的夹角比女孩手臂对水桶拉力方向与竖直方向的夹角稍小一些，则下列说法正确的是 （　　）
A.两小孩对水桶拉力的大小之和等于水桶重力
B.男孩对水桶拉力大于女孩对水桶拉力
C.男孩对地面的摩擦力的大小等于地面对女孩摩擦力的大小
D.两小孩对地面的压力大小一定相等
BC
【解析】水桶保持静止，两小孩对水桶拉力的矢量之和等于水桶重力，A错误；设拉力与竖直方向夹角分别为θ男、θ女，则F男sin θ男=F女sin θ女，因为θ男<θ女，所以F男>F女，B正确；对男孩、女孩及水桶整体进行受力分析，整体受力平衡，故地面对男孩的摩擦力的大小等于地面对女孩摩擦力的大小，C正确；因两小孩体重未知，故两小孩对地面压力大小不一定相等，D错误.
考点2　静态平衡　［能力考点］　　　　　　　　　　　　　　
1.处理静态平衡问题的常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分
解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
相似三
角形法 对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
2.平衡中的“四看”与“四想”
（1）看到“缓慢”或“匀速直线运动”，想到“物体处于动态平衡状态”.
（2）看到“轻绳、轻环”，想到“绳、环的质量可忽略不计”.
（3）看到“光滑”，想到“摩擦力为零”.
（4）看到“恰好”，想到“题述的过程存在临界点”.
3.整体法与隔离法
考向1　单体静态平衡
例2　（2023年广东卷）如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体.壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ.船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面.下列关系式正确的是 （　　）
A.Ff=G
B.F=FN
C.Ff=Gcos θ
D.F=Gsin θ
C
【解析】如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，沿斜面方向，由平衡条件得Ff=Gcos θ，A错误，C正确；垂直斜面方向，由平衡条件得F=Gsin θ+FN，B、D错误.
BC
1.为落实“五育并举”促进学生全面发展，有些学校尝试将“做家务”列入家庭作业.小明同学在家做家务时用拖把拖地，沿推杆方向对拖把施加推力F，如图所示，此时推力与水平方向的夹角为θ，且拖把刚好做匀速直线运动，则 （　　）
A.拖把所受地面的摩擦力为Fsin θ
B.地面对拖把的支持力大小等于拖把的重力
C.小明同学对推杆的作用力与推杆对拖把的作用力是一对作用力与反作用力
D.从某时刻开始保持力F的大小不变，减小F与水平方向的夹角θ，地面对拖把的支持力FN也变小
D
【解析】拖把刚好做匀速直线运动，则拖把所受地面的摩擦力为Ff=Fcos θ，A错误；拖把在竖直方向受支持力FN=mg+Fsin θ，地面对拖把的支持力大小大于拖把的重力，B错误；从某时刻开始保持力F的大小不变，减小F与水平方向的夹角θ，地面对拖把的支持力FN也变小，D正确；小明同学对推杆的作用力与推杆对小明的作用力是一对作用力与反作用力，C错误.
B
考点3　动态平衡　［能力考点］　　　　　　　　　　　　　　
1.动态平衡
物体受力情况在缓慢变化，变化的每一刻物体都可看作是受力平衡的状态.
2.分析动态平衡问题的常用方法
方法 步骤
解析法 （1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（2）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况；
（3）三力平衡还可列正弦定理和余弦定理分析
图解法 （1）根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；
（2）确定未知量大小、方向的变化
相似三角
形法 （1）根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；
（2）确定未知量大小的变化情况；
（3）若一力和其对角不变，可用“等弦所对的圆周角相等”的规律模拟变化
例4　（2024年中山模拟）（多选）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.一小孩站在水平地面上放风筝，慢慢地释放拉线，风筝越飞越高，先后经过同一竖直面的a、B两点，如图所示.若风筝在a、B两点时，拉线的张力大小相等，风筝的重力不能忽略，小孩受到的风力不计，则风筝在B点时 （　　）
A.小孩受到地面的支持力比在a点时的大
B.小孩受到地面的摩擦力比在a点时的小
C.风筝受到的风力方向与在a点时的相同
D.风筝受到的风力比在a点时的大
BD
【解析】根据题意，对小孩受力分析，受重力、地面的摩擦力、地面的支持力和绳子的拉力，如图甲所示.由几何关系有f=Fcos θ，FN+Fsin θ=G.风筝在B点时，拉力F的大小不变，与水平面夹角θ变大，可知，f变小，FN变小，即小孩受到地面的支持力比在a点时的小，受到地面的摩擦力比在a点时的小，A错误，B正确；根据题意，在a、B两点分别对风筝受力分析，由共点力平衡的特点可知，风筝受到风力与绳子拉力和风筝重力的合力等大反向，如图乙所示.由平行四边形法则可知，风筝受到的风力方向与在a点时的不同，由于绳子的拉力和风筝的重力大小不变，在B时两个力间夹角小，则合力大，即风筝受到的风力比在a点时的大，C错误，D正确.
1.（多选）倾角为45°的光滑斜面静止在水平面上，斜面顶端固定有光滑小滑轮，现用轻绳通过小滑轮拉住一半径为R的球体，初始时刻绳与竖直方向的夹角为60°.若缓慢移动绳的端点使球体往下移动，此过程中力F方向不变，斜面始终保持静止.则下列说法正确的是 （　　）
A.力F先减小后增大
B.斜面对球体的支持力减小
C.地面对斜面的支持力保持不变
D.地面对斜面的摩擦力逐渐减小
BD
【解析】根据题意，对小球受力分析，受重力、斜面的支持力和绳子的拉力，如图甲所示.缓慢移动绳的端点使球体往下移动，绳子的拉力与竖直方向的夹角减小，但是不会小于45°，由矢量三角形法则有如图乙，可知绳子的拉力一直减小，斜面对球体的支持力一直减小，A错误，B正确；根据题意，对整体受力分析，受重力、拉力、地面的支持力和地面的摩擦力，如图丙所示，由于整体处于动态平衡，由于F一直减小，由平衡条件可得，地面对斜面的支持力减小，地面对斜面的摩擦力逐渐减小，C错误，D正确.
2.（2024年新课标卷）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定距离.如图所示，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降.若重物的质量m=42 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，当P绳与竖直方向的夹角α=37°时，Q绳与竖直方向的夹角β=53°.（sin 37°=0.6）
（1）求此时P、Q绳中拉力的大小；
解：（1）重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为FT1和FT2，竖直方向有
FT1cos α=mg+FT2cos β，
水平方向有FT1sin α=FT2sin β，
联立解得FT1=1 200 N，FT2=900 N.
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度h=10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功.
（2）重物下降到地面的过程中，设两根绳子拉力对重物做的总功为W，根据动能定理得W+mgh=0，
解得W=-4 200 J.
考点4　平衡状态中的临界与极值问题　［能力考点］　　　　　　　　　　　　　　　
1.临界、极值问题特征
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述.
（2）极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题.
2.解决极值和临界问题的三种方法
极限
分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学
分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
B
A
A
平衡状态中的两种经典模型
1.“死结” 与“活结” 模型
模型 模型示例
“死结”
模型
“活结”
模型
例6　如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，球心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上质量为m的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一质量为m0的钩码挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态，四分之一圆柱体P与水平地面上有摩擦，其他摩擦不计.若在钩码下方再加挂一个钩码，P始终未动，小球没有离开圆柱体P，当系统再次处于静止状态时，则 （　　）
A.轻绳的张力增大
B.P对小球的弹力减小
C.P对地面的压力不变
D.P对地面的摩擦力减小
D
2.“动杆” 与“定杆” 模型
模型 模型示例
“动杆”
模型
“定杆”
模型
例7　（多选）如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）.在人向上攀爬的过程中可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳.已知OC长度不变，人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形，则 （　　）
BD
A.轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力
B.在此时刻，轻绳对人的拉力大小等于G
C.在虚线位置时，轻绳AC承受的拉力更小
D.在虚线位置时，OC段承受的压力不变
D
2.（多选）图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物.图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°.图甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法正确的是 （　　）
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知识巩固练
1.（2024年佛山调研）用轻绳将一重物固定悬挂在天花板上，悬点为O，轻绳上有一结点A，用一与水平方向夹角恒为30°的拉力F作用在绳的结点上，使结点A沿虚线轨迹缓慢的移动到O'位置，如图所示，用FOA表示绳OA段的拉力大小，下列选项正确的是 （　　）
A.F先变大后变小 B.F先变小后变大
C.FOA保持不变 D.FOA先变小再变大
（本栏目对应学生用书P344）
D　
【解析】对结点受力分析，绳与拉力的合力等于物体的重力，其大小和方向都不变，AO绳拉力方向改变，拉力与重力的方向不变，根据平行四边形定则如图所示，可知FOA先减小后增大，F一直增大，故选D.
D
C
综合提升练
4.一质量为M，带有挂钩的球形物体套在倾角为θ的固定细杆上，并能沿杆匀速下滑.如在挂钩上再挂一质量为m的物体，让它们沿细杆下滑，如图所示.则球形物体 （　　）
A.仍匀速下滑
B.沿细杆加速下滑
C.受到的摩擦力不变
D.受到的合外力增大
A
【解析】不挂物体时，球形物体受力情况如图，由于球形物体匀速下滑，所以有Mgsin θ=μMgcos θ，即μ=tan θ；当挂上物体后，重力沿细杆的分力F=（M+m）gsin θ，球形物体受到摩擦力f=μ（M+m）gcos θ=（M+m）gsin θ，所以两物体处于平衡状态，其受到摩擦力变大，合外力仍为零，故只有A正确.
5.冰雪运动爱好者利用无人机牵引，在光滑水平冰面上匀速滑行，如图所示.牵引绳与竖直方向成角θ，人所受空气阻力恒定.则 （　　）
A.θ角越大，绳子对人的拉力越大
B.θ角越大，地面对人的支持力越大
C.空气对无人机的作用力可能沿着绳子向右下方
D.无人机对绳的拉力与绳对人的拉力是一对相互作用力
B
6.（2024年韶关模拟）我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物.如图甲所示，将质量为m的货物平放在手推车底板上，此时底板水平；缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为60°.不计货物与支架及底板间的摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是 （　　）
A

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