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北师大版八年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题
1．已知，点A在边上，点P是边上一动点，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，作于点H．
(1)如图1，．
①依题意补全图形；
②连接，求的度数；
(2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
2．提出问题：
如果点P 是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点 P 到的三个顶点的距离之和的值为最小？
转化问题：
连接，把绕点A 逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：．
解决问题：
当点P到锐角的三个顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时点的位置：________．
延伸问题：
如图2，这是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为6，点P 是这个三角形内一动点，请你利用上述方法，求点P到这个三角形的三个顶点的距离之和的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标．
(4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为．
(1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______；
(2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程．
(3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，P是长方形的边上一动点（长方形四个内角都为直角，对边平行且相等），，连接，将线段绕P逆时针方向旋转得到，连接．
(1)随着点P的运动，线段的长都发生变化，观察与思考： _______（填“=”、“”或“”）：
(2)若的面积为5，求的长；
(3)若，的面积为2，求的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒：
①点的坐标为___________，点D的坐标为___________；
②若点在线段上，且的面积为10时，求的值；
③直接写出为何值时，为等腰三角形．
7．如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．
(1)________，________度；
(2)当时，________，________；（用含t的式子表示）
(3)是否存在t值，使以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．
8．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点，直线过点，交轴于点，交轴于点． 通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．
例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为；
若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为．
(1)直接写出点，，的坐标：______，_______，______；
(2)求；
(3)若点是直线上的一个动点，当时．求出的值，并写出点的坐标．
10．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．
(1)求点、的坐标以及直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，，求点的坐标；
(3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C，的对应点分别为．
(1)在图中画出平移后的三角形；
(2)求三角形的面积；
(3)点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是6时，直接写出点Q的坐标．
12．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．
(1)求点的坐标；
(2)若为直线上一点，点横坐标为，面积为，求与的关系式；
(3)过点作轴，垂足为是直线上的动点，是直线上的动点．试探究能否是以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
13．已知为等边三角形．
(1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：；
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；
(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值．
14．综合与实践
问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明：
（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：；
问题解决：
（2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长；
（3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
15．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)如图2，当点D落在边上时，求证：；
(3)当平行于的一边时，直接写出t的值；
(4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上．
16．在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，．
(1)若的面积为，在线段上存在点；
①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______；
②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标；
(2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求，，的数量关系．
17．已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)M是延长线上一点，连接，且．
①若，求证：；
②如图2，若，，连接、，求证：．
18．已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边．
(1)如图，若，平分，求的长；
(2)如图，点是的中点，的延长线交于点，求证：；
(3)若为射线上一动点，在（）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线，交x轴交于点C，．
(1)求直线的解析式；
(2)在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，交直线和分别于点D，E，若，求m的值；
(3)在直线上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知为等边三角形，其边长为4．点P是边上一动点，连接．
(1)如图1，点E在边上，且，连接交于点F．
①求证：；
②填空：______；
(2)如图2，将绕点C顺时针旋转至，即，，连接交于点D，试确定与满足的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，连接．在点P运动过程中，当时，则______．
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第14页，共14页
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《北师大版八年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题》参考答案
1．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据题干描述作图即可；②由旋转可得且，进而证明是等边三角形，推出，再结合可得答案；
（2）如图，连接，，同（1）可证是等边三角形，再证，推出，，进而证明，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①补全图形如下；
②如图，连接，
线段绕点A逆时针旋转，
且，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图，连接，，
由（1）②知是等边三角形，
，，
线段绕点O顺时针旋转，得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．转化问题：见解析；解决问题：点满足；延伸问题：
【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
（1）转化问题：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论；
（2）解决问题：由“转化问题”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小，确定当时，满足三点共线；
（3）延伸问题：作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【详解】解：转化问题：由旋转得：，，
是等边三角形，
，
．
解决问题：如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接，
由“转化问题”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小，
，
，
由旋转得：，
所以当时，的值为最小，
故答案为：点满足；
延伸问题：如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接，
，，
，，
当、、、在同一直线上时，的值为最小，
由旋转得：，，，
，
，
由勾股定理得：，
则点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
3．(1)
(2)
(3)或
(4)或或或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的综合运用，等腰三角形的性质．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标；
（4）设，求出，分，，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把点，点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点，即，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点M的横坐标为m，
∵的面积是面积的，
∴，解得：，
当点M在上时，，
此时点M的坐标为；
当点M在上时，，
此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
（4）解：设，
∵，
∴，
当时，则，
∴，
解得：，
∴；
当时，
则，
∴或；
当时，点与点关于过点且垂直轴的直线对称，
则，
∴；
综上，当P的坐标为或或或时，是等腰三角形．
4．(1)，，
(2)，证明见解析
(3)存在，点M的坐标为或．
【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论；
（2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论；
（3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为
∴点的坐标为，
故答案为：；；；
（2）解：．
证明：∵，，
∴轴，
∴，
∵CD是由AB平移得到的，
∴．
∴轴，
∴．
∴
∵平分，
∴．
∵，
∴，
整理得：．
（3）解：存在，点M的坐标为或．
根据题意得，向上平移了3个单位长度．
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
设交y轴于点N，，
则，
解得，即．
当点M在点N上方时，，则；
当点M在点N下方时，，则．
5．(1)
(2)
(3)3或5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，算术平方根的应用，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）结合性旋转的性质证明，则，由垂线段最短得到，那么；
（2）由面积公式得到，而，即可求解；
（3）当点在的左侧，过点作延长线的垂线，垂足为点，可得，由平行线间得距离相等得到，而，可得，再由，得到，再由即可求解；当点在的右侧，同理可求，，再由即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，则
由旋转得：，
∵长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如上图：，而，
∴，
解得：（舍负）；
（3）解：当点在的左侧：过点作延长线的垂线，垂足为点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在的右侧：构造相同辅助线如图：
同上可得：，
∵，的面积为2，
∴，
∴，
同上可得：，
∴，
∴；
综上：的长为3或5．
6．(1)，；
(2)，；；或或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可；
（2）把代入直线解析式，即可求得；
利用面积公式列出方程进行求解即可；
分三种情况： ，和分别求t的值即可．
【详解】（1）解：在中，
当时，，
当时，，
，，
点在直线上，
，
，
又点也在直线上，
，
解得，，
，；
（2）解：直线与轴相交于点，
由（1）得，
，
解得，
点的坐标为，
由（1）得点的坐标为；
故答案为：，；
过点作于点，即为的高，如图所示，
，，
，
的面积为，
，，
，，
，
设，则，
，
解得；
为等腰三角形有三种情况：
过作于，如图1所示，
则，，
，
，
第一种情况：当时，，
，
此时，解得；
第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示，
则，
，
，
或，解得或；
第三种情况：当时，如图3所示，
设，则，
，
，
解得，，
与重合，，
，
，解得；
答：为等腰三角形时，的值为或或或．
7．(1)16，120
(2)，
(3)存在，或
(4)1或3
【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，即可求解；
（2）根据已知和平行四边形的性质可得，，结合已知时间即可知即可；
（3）分两种情况讨论，当为边时，结合平行四边形的性质得；当为对角线时，由平行四边形得，列出方程可求解；
（4）分两种情况讨论，当点的对称点在线段上时，判定是等边三角形，有；当点的对称点在线段的延长线上时，求得，列方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，
，，，
，，
，
∴，，
则，
故答案为：16，120；
（2）解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴，
∴，
综上所述：的值为或；
（4）解：1）如图，当点的对称点在线段上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
2）如图，当点的对称点在线段的延长线上时，
，
，
点的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，t为1或3，点P关于直线的对称点恰好在直线上．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质和对称的性质等知识，利用分类讨论思想和动态的思想解决问题是解题的关键．
8．(1)
(2)的值为或
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解；
（3）根据当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：，，
点整个运动过程中，路程为，
点整个运动过程中，所需时间为秒，
故 答 案 为：；
（2）当在上运动时，，
解 得：，
当在上运动时，，
解得：，
综上可得的值为或；
（3）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可得：．
9．(1)，，
(2)
(3)或，或
【分析】（1）根据坐标和平移的性质，得；结合题意，根据一次函数的性质，得直线解析式为：，通过计算即可完成求解；
（2）结合（1）的结论，连接，，通过计算即可得到答案；
（3）依题意，点，分点P在线段上、点P在点B的左侧、点P在点A的右侧三种情况，通过列一元一次方程并求解，结合一次函数的性质计算，即可得到答案．
本题考查了一次函数的几何综合、点的坐标、平移的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【详解】（1）解：点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，
∴，
即
∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解
∴直线解析式为：
当时，，即
当时，，即
故答案为：，，；
（2）解：如图，连接，，
由（1）得，，，
∴，
∵
∴；
（3）解：点是直线上的一个动点，
如图，当点P在线段上时，
由（2）得
∵，
则
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点
当点P在点B的左侧时，
∵，且
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点
当点P在点A的右侧时，得
∴点P在点A的右侧不符合题意；
∴或．
10．(1)点、，直线的解析式为
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用．
（）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解；
（）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可；
（）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，，
∴点、，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∵为直线上一动点，
∴设，
∴，
∴，解得：，
∴点的坐标为或；
（3）解：如图，当，时，过作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，当，时，过作轴于点，
同理得：，
∵点，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，当，时，过作轴于点，过作交于点，
同理得：，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴，即，，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或或．
11．(1)见解析
(2)7
(3)或．
【分析】本题主要考查了图形的平移、运用割补法求图形的面积、三角形的面积、解绝对值方程等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先确定平移方式，再根据平移的定义确定的对应点，然后再顺次连接即可解答；
（2）直接运用割补法求面积即可；
（3）设，则，然后根据三角形的面积公式列绝对值方程求得q的值即可．
【详解】（1）解：∵三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，
∴将三角形作向左平移2个单位，向上平移3个单位得到三角形，
∴平移后的三角形如图所示：
（2）解：如图：三角形的面积为．
（3）解：设，则，
由三角形的面积是6，则，解得：或．
所以点Q的坐标为或．
12．(1)
(2)
(3)点坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数综合，一次函数点的坐标特征、等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键．
（1）解方程得到，，过点作轴于点，证明即可求解；
（2）过点作于，可得直线的表达式为，，，同理可得：，过点作轴于点，当点在射线上，由求解；当点在延长线上时，同理可求；
（3）是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论：或，都通过“一线三直角”模型构造全等三角形，然后设出、两点的坐标，再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点的坐标即可．
【详解】（1）解： 为等腰直角三角形，，
，
如图，过点作轴于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故点的坐标为；
（2）解：如图，过点作于，
设直线的表达式为：，
把代入可得，
解得：，
直线的表达式为，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
如图，过点作轴于点，
①当点在射线上时，
，点的纵坐标为，
，
，
；
②当点在延长线上时，如图：
，点的纵坐标为，
，
，
；
综上：；
（3）解：设点的坐标为，点的坐标为，
以为直角边的是等腰直角三角形，分为两种情况：
①时，
如图．过点作轴的平行线交轴于点，交于点，
同（1）问可证得，
，，
，，
，
解得或，
当时，如图1，此时；
当时，如图2，此时，；
②当时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为，，
同理可证得．
，，
，，，．
，
解得：或8，
当时，与重合，舍去，
当时，；
综上，点坐标为或或．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明；
（2）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证；
（3）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴平分，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，则是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
又∵由旋转可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∴点的轨迹是射线，
作点关于直线的对称点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
14．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到即可；
（2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果；
（3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论．
【详解】证明：（1）和是等边三角形，
，，，
，
，，
∴，
是等边三角形，
．
．
，
，
∴；
（2）如图2，过点作，交于，
和是等边三角形．
，，．
，
，．
是等边三角形，
，
，
，
，
．
，
．
．
（3）．
如图，过点作，交于，
和是等边三角形．
，，．
．
，．
是等边三角形．
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)的值为4或6
(4)10
【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1），当时，，当时，；
（2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证；
（3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故；
（4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而．
【详解】（1）解：由已知得，，
当时，，
当时，；
；
（2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：当时，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
当时，如图：
，
，
，重合，
，
，
综上所述，的值为4或6；
（4）解：如图：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
关于点的对称点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：10．
16．(1)①；；②
(2)
【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标；
②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出；
（2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证．
【详解】（1）解：∵点，点均在坐标轴上，
∴，则，
∵的面积为，
∴，则，
∴，
如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
故答案为：；；
②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
∵点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
如图所示，在上取点，，
∵，
则是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，再由可得，从而得出，再由平行四边形的判定可得结论；
（2）①先证明，再证明，推出，可得结论；
②延长至N，使，联结、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，延长交于E，则，最后由勾股定理得出，最后可得结论．
【详解】（1）如图1，
，
；
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①如图1，
，，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
②如图2，延长至N，使，连接、，
在与中，
，
，
，；
，
是线段的线段垂直平分线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
；
四边形是平行四边形，
，
，
；
在与中，
，
，
，，
；
延长交于E，则，
，
，
四边形内角和为，，
，
在中，
，
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键．
18．(1)的长为；
(2)证明见解析；
(3)的度数为或．
【分析】（）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质即可求得答案；
（）连接，在上截取，连接，利用证明，可得，，进而证明 ，可得，即可证得结论；
（）分两种情况：当点在的延长线上时，当点在边上时，分别求出的度数即可．
【详解】（1）解: ∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴的长为；
（2）证明: 如图，连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点在的延长线上时，如图，
∵中，，，点是的中点，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴平分，
∴，
当点在边上时，如图，
由（）知，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∵ 为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，即点是的中点，
即点重合，
在和中，
，
∴，
∴，
即；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
19．(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）先求出直线与x轴、y轴的交点B、A的坐标，再求出、的长，由可求得的长，进而得出点的坐标，设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而得出直线的解析式；
（2）先求出点D、E的坐标，由可得一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（3）先证明，再根据题意得出，然后分两种情况讨论：①当点在第二象限时；设点，可推出，由两点之间的距离公式可得关于的一元二次方程，解方程即可求出点的坐标；②当点在第四象限时；过点O作于点，可推出点为的中点，先求出点的坐标，进而可求出点的坐标；综上，即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点和代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：如图，
在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，交直线和分别于点D，E，
对于直线，
令，则，
解得：，
，
对于直线，
令，则，
解得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或；
（3）解：存在，点F的坐标为或，
理由如下：
由（1）得：，，，
，
，
由题意得：，
由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
又，
，
如图，当点在第二象限时，设点，
，，
，
，
，
又，，
∴，
解得：或（因点在第二象限，故舍去），
点的坐标为；
如图，当点在第四象限时，过点O作于点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，即点为的中点，
，，
，
，
所在直线的解析式为，
又直线的解析式为，
将两者联立，得：
，
解得：，
，
点为的中点，，
点的坐标为，即；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，一元一次方程的应用（几何问题），一次函数图象与坐标轴的交点问题，等角对等边，解二元一次方程组，解一元一次方程，求一次函数的函数值，三角形外角的性质，利用平方根解方程，垂直于同一直线的两直线平行，两直线的交点与二元一次方程组的解，中点坐标公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
20．(1)①详见解析；②
(2)4
(3)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）①证明即可；②根据全等三角形的性质及三角形的外角即可求出；
（2）在上截取，连接，证明，推出，即可得到结论；
（3）延长至M，使，连接．证明，推出是等边三角形，得到，即可求出答案．
【详解】（1）①证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
；
②∵，
∴，
∴
故答案为；
（2）如图2，在上截取，连接，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中

，
；
（3）如图3，延长至M，使，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，则，
∴是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
由（2）可知，则，
故答案为：．
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