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北师大版八年级下册数学期末专题训练：三角形证明题
1．如图，点P是的角平分线上的一点，过点P作交于点C，，若，．
(1)求证：；
(2)求的长度．
2．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．
(2)求证：G是线段的中点．
3．如图，点在同一条直线上，，点和点在直线上方，连接，其中相交于点．求证：．
4．如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．
(1)试说明；
(2)若，求和的大小．
5．如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证：
6．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
7．如图，在中，，，E为BC的中点，交AB于点N，连接EN．
(1)试说明：；
(2)试说明：（用两种方法）．
8．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．

(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
9．已知，在中，是上一点，交于点，连接．
(1)如图①，．求证：；
(2)如图②，点与点重合，．若，求的长．
10．如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
11．图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H．
(1)试说明：；
(2)连接，求的度数．
12．如图，已知在中，于点D，，，．
(1)求和的长；
(2)求证：．
13．如图，在中，，为的中线．以点为圆心、的长为半径画弧，与分别交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)试说明：；
(2)若，，试说明：；
15．如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
(1)当时，求的度数．
(2)若，求的度数．
16．在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．
(1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：；
(2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长．
17．如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若周长为，求的长．
18．如图，点D是所在平面内一点，连接．点E是线段上一点，连接，．其中，．
(1)如图1，当点D在线段上时，若垂直平分线段，且，，，求的长；
(2)如图2、当点D在外时，连接，若点H为线段的中点，且，求证：．
19．如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在中，点在边上，且点不与点，重合，点在的延长线上，交于点，过点作交于点．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)在（）的条件下，若，，求的度数．
21．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．已知在等腰三角形中，．
(1)如图1，，，分别是，上的点，且．求证：；
(2)如图2，，点是上的点，过点作于点．若，，求的长；
(3)如图3，，，分别是，上的点，且．当的值最小时，求此时的度数．
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试卷第10页，共11页
试卷第11页，共11页
《北师大版八年级下册数学期末专题训练：三角形证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边即可求出答案．
（2）过点P作于点E，根据角平分线定义及性质可得，，再根据三角形内角和定理及角之间的关系可得，再根据含角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：过点P作于点E
∵是的角平分线，，
∴，
由（1）知，
∵
在中，
∴
∴
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由得，证明，即可证明；
（2）证明，得到即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
即G是线段的中点．
3．详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等边对等角，先根据得到，再根据证明全等即可．
【详解】证明：
．
在和中，
．
4．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理.
（1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可.
（2）若，再证明，即可计算的度数.
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
5．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．
（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;
（2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴点A和D都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴．
6．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先证明，进而可依据“”判定和全等得，由此即可得出结论；
（2）先根据三角形外角性质求出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：是的外角，
，
，，
，
，
在中，，
由可知：，
，
，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：
（1）等边对等角，结合同角的余角相等，即可得证；
（2）方法一：延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差和等量代换，即可得出结果；
方法二：在上截取，连接，先证明，再证明，得到，根据线段的和差和等量代换，即可得出结果．
【详解】（1）解：设交于点．
因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，
所以．
（2）方法一：如答图①，延长至点，使，连接．
在和中，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为为中点，
所以．
在和中，
所以，
所以，
所以，
即．
方法二：如答图②，在上截取，连接．
在和中，
所以，
所以，
所以．
在和中，
所以，
所以，
所以．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求出的度数，证明是线段的垂直平分线，得到，等边对等角，即可得出结果．
【详解】（1）证明：点为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
在中，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）证即可；
（2）作,可推出，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）解：作,如图所示：
∵
∴，
∵
∴，
∴，为等腰三角形；
∴
∵
∴
10．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和，等腰三角形，熟练掌握是解答本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，为的中点，得到，可证明，即可证明；
（2）由（1）得，根据全等三角形可得，根据平角可得，根据得，在中，利用内角和可求，即，在中，利用内角和可求解．
【详解】（1）证明：，
，
为的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
11．(1)见解析
(2)45度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
（1）由折叠可知，，垂直平分，然后导角证明，进而可证明，则；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，则，再求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：由折叠可知，，垂直平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．(1)，
(2)详见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
即的长为12；
在中，，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，且，
即的度数为．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而由即可求证；
（）由等腰三角形的性质可得，即得，进而由即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，是的中线，
∴，
由题意得，，
在 和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
，
∵，
，
∴，
∵，为的中线，
∴，
∴，
．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证；
（2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可；
【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1） 知，，，
∵，，
∴，，
∴在和中，
∴
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，求出；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
【详解】（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键；
（1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明；
（2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到 ，，进一步可证明，得到；由可得，得到，得到 ，BG=2AE，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴，
，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴；
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】（1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可；
（2）先求得，再求出， 由，可得， 再推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18．(1)；
(2)见解析
【分析】（1）求得，利用垂直平分线的性质结合直角三角形的性质求得，，再求得是等边三角形，据此求解即可；
（2）延长至，使，连接，作于点，设，证明，推出，，利用等腰三角形的性质结合已知求得，再利用三角形的外角性质求得，，利用证明，推出，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：延长至，使，连接，作于点，
∵，
∴，
设，
∵点H为线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，第2问证明是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边对等角是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，再证明，即可证明，得到；
（2）由等边对等角可得，设，则，，再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解；∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，对顶角相等，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由，点是的中点，则，，然后根据“”证明即可；
（2）由，，则，再根据等边对等角，对顶角相等，三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，点是的中点，
∴ ，，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线作图、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
（1）由作图可知，，平分，则，由，，即可得到结论；
（2）证明，，得到，则，即可得到答案．
【详解】（1）证明：由作图可知，，平分，
∴
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
22．(1)见解析
(2)6
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
（1）证明，即可得到答案；
（2）过点作于点，则．证明，即可得到，即可得到答案；
（3）在下方，过点作，且，连接．证明，则．当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．进一步求出答案即可．
【详解】（1）证明：，，
为等边三角形，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，过点作于点，则．
，
．
，，
，，
．
，
．
在和中，
，
．
，
．
（3）解：如图2，在下方，过点作，且，连接．
在和中，
，
，
．
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，，
，
．
，
，
，
．
答案第22页，共22页
答案第3页，共23页

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