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北师大版八年级下册数学期末专题训练：填空题
1．如图，，平分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为 ．
2．如图，中，，点D、E在直线上，，点F在上，，，则的长为 ．
3．如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ．
4．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
5．如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，，连接AD，则AD的长为 ．
6．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．
7．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点．若，，则的长为 ．
8．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
9．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ．
10．如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ．
11．已知如图，点、、，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是 时，点在整个运动过程中用时最少．
12．已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是 ．
14．若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是
15．不等式组的解集是 ．
16．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 ．
17．若方程组的解满足，则k的取值范围是 ．
18．若关于x的不等式组仅有1个整数解，则a的取值范围是 .
19．随着气温的逐渐升高，七（1）班开展“珍爱生命，谨防溺水”知识竞赛，共有20道题，评分办法：答对1题得5分，答错或不答扣6分，某位同学成绩要不低于60分，则该同学至少要答对的题数为 ．
20．某次单词听写共20个单词，每个单词写正确得10分，写错或不写扣5分，小明得分要超过90分，设他至少写对x个单词，可以得不等式 ．
21．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
22．随着人们生活水平的提高，豆浆机已经进入许多家庭，而新鲜的豆浆也成了餐桌上的必需品.豆浆机采用微电脑控制，实现了预热、打浆、煮浆和延时熬煮过程的全部自动化，特别是增设了“文火熬煮”的处理程序，使豆浆的营养更加丰富，口感更加香泽.某品牌豆浆机的进价为500元，若店长计划按标价的七五折出售，但仍要保持利润率不低于，则标价最低应为 元．
23．如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是 ．
24．如图，将绕着点O按顺时针方向旋转得到，若，则的度数为 ．
25．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为2的等边与O重合，将沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，每次翻转，经过2019次翻滚后，点B的坐标为 ．
26．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，．则图中阴影部分的面积为 ．
27．如图，中，，，点D、E是边上的两点，且，，则 ．
28．若点与点关于原点成中心对称，则的值是
29．如图，在中，，，是的中点，点在线段上，且，将绕点在平面内顺时针旋转至，连接，，．当时，的长为 ．
30．如图，将沿方向平移得到（其中点A，，分别与点，，对应）．若，则 ．
31．已知点与点关于原点对称，则 ， ．
32．在平面直角坐标系中，矩形位置如图放置，点，分别在，轴上，将逆时针旋转到，使得点落在轴的负半轴上．若，，则点的坐标是 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ．
34．如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ．
36．与的公因式是 ．
37．已知，则 ．
38．某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ．
39．已知直角三角形的两边长满足，则第三边的长是 ．
40．已知，则的值为 ．
41．分解因式： ．
42．已知，则的值为 ．
43．如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)．
44．已知，，且，则
45．多项式，，中，它们的公因式是 ．
46．分式与的最简公分母是 ．
47．化简 ．
48．若，则 ．
49．已知关于的分式方程有增根，则m的值是 ．
50．已知，则代数式的值= ．
51．若的值为负数，则的取值范围是 ．
52．在函数中，自变量的取值范围是 ．
53．对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ．
54．在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生 名．
55．如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ．
56．如图，线段与相交于点，，，则的最小值为 ．
57．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E、F两点；②作直线交于点M，交于点O；③连接，过点B作交于点N，连接．若，，则四边形的面积为 ．
58．如图，在平行四边形中，E为边上一点，，若平分，则 度．
59．在平行四边形中，分别以点B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，连接、、．若，，，，则 ．
60．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数为 ．
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第8页，共9页
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《北师大版八年级下册数学期末专题训练：填空题》参考答案
1．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质．由题意得，，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
2．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，由等边对等角得到，再由三角形外角的性质和已知条件可证明，则可证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．90
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案．
【详解】解：如图：
和分别垂直平分和，
，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：90．
4．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质及三角形的外角定理分别求出，，，进而得，然后在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：为等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
6．3
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．
过点D作于点F，则，运用勾股定理求出，由作图知，平分，得，可得，得，得到，设，则，根据，求得，即得．
【详解】解：过点D作于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由作图知，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
7．
【分析】本题考查了角平分线作图及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质可知，可证，得到，然后利用勾股定理在中求得，在中建立方程求得，最后在中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：作于点，如图所示，
根据作图可知，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，即
，
解得（负值已舍去），
在中，．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
9．或或
【分析】题目主要考查中垂线的性质，圆的基本性质，根据题意得出经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，然后作出图形求解即可．
【详解】解：经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，由条件“圆心O的横坐标为正整数、纵坐标为负整数”所限，
如图所示：
只有或或三点．
10．/0.6
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解．
【详解】解：延长交于点E，
∵在中，，，
∴，
∵平分，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】根据时间的表达式，利用，点坐标特点构造等腰直角三角形，找到和之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与关系，为垂线的时候最短，即可找到点坐标．
【详解】解：在整个过程共用时：
如图分别作轴，轴，使、交于，
的坐标为，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
如图过点作于点，连接，
也是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最小值，即，
，
此时，与交于点，
的横坐标等于点的横坐标，
，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式得，
解得，
∴解析式为，
将代入，得，
∴当的坐标为，点M在整个运动过程中用时最少，
故答案为．
【点睛】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下F点的坐标是解答本题的关键．
12．
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，确定m的范围即可．
【详解】解：解，得，
关于x的不等式组无解，
，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第二象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．根据点在第二象限和第二象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式，从而可以得到的取值范围．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：；
故答案为：
14．/
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可．
【详解】解：代数式有意义，
∴，
解得，，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据一元一次不等式组的解法解答即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集为，
故答案为：．
16．
【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案．
本题考查了解一元一次不等式组；列一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图．
【详解】解：由题意可得：
第一次运算结果为：，
第二次运算结果为，
∵需要经过2次运算才能输出结果，
∴，
解得：．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可．
【详解】解：，
得，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，根据不等式组仅有1个整数解得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：，
不等式组仅有1个整数解，
，即
故答案为：
19．17
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等式成为解题的关键．
设该同学答对了道题，则答错或不答道题，然后根据题意列出不等式求解，最后确定解得最小整数值即可．
【详解】解：设该同学答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得，解得：，
又为正整数，
的最小值为，
该同学至少要答对道题．
故答案为：17．
20．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，由小明写对个单词，可得出小明写错或不写个，利用得分写对单词数量写错或不写单词数量，结合小明得分要超过90分，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：某次单词听写共20个单词，且小明写对个单词，
小明写错或不写个．
根据题意得：．
故答案为：．
21．2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是列出一元一次不等式组．
先列出一元一次不等式组，再求出其解集，然后求出整数解即可．
【详解】解：∵整式的值落在数轴上的区间②内，
∴，解得：，
∵是整数，
∴
故答案为：2 ．
22．700
【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式求解即可，设标价为x元，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：设标价为x元，
根据题意可得，，
解得，
标价最低应为700元，
故答案为：700．
23．1
【分析】本题主要考查图形的平移，掌握平移的性质是关键．
根据平移的性质得到线段就是平移距离，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵沿方向平移得到，
∴平移的距离是1．
故答案为：1
24．/度
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质可得，再利用角度加减即可解答，熟知旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转可得，
，
，
故答案为：．
25．
【分析】本题考查探究图形变化规律，等边三角形，直角三角形的性质，勾股定理，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
先求出第一次至第六次的点B坐标，探究总结出规律：第（m为正整数）次，点B坐标为，然后利用规律解决问题．
【详解】解：第一次点B坐标为，
第二次点B坐标为，
第三次点B坐标为，
第四次点B坐标为，
第五次点B坐标为，
第六次点B坐标为，
…
第（m为正整数）次，点B坐标为，
据此，因为，
所以经过2019次翻转之后，点B的坐标为即，
故答案为：．
26．15
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，推出阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：由平移的性质得，，
∵为和的公共部分，
∴阴影部分的面积，
，
∴阴影部分的面积为15．
故答案为：15．
27．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，先证明，由旋转的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再证明，可得．
【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
28．10
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键．
关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出和，代入计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：10．
29．或
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，由旋转得．再分两种情况：点与点在直线的同侧；点与点在直线的异侧；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：，，
．
为的中点，
，．
．
由旋转得．
如图，点与点在直线的同侧，
则．
点在线段上．
．
．
如图，点与点在直线的异侧，
，
则．
点在线段的延长线上．
．
．
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
30．12
【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，弄清楚线段之间的关系是解题的关键．
由平移性质求得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：12．
31．
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：，．
32．
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理和矩形的性质，先根据勾股定理求得的长，再由点的位置即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
由勾股定理可得，
由旋转的性质可得，
∴点的坐标是
故答案为：．
33．
【分析】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键．
过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】解：由旋转得，，
∵，
∴，
过点C作轴于点D，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
34．135
【分析】本题考查旋转的基本性质和全等三角形基本性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握基本性质是解题关键；
连接，先通过旋转性质是等腰直角三角形．再通过勾股定理得到，进而通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，进而可求出．
【详解】解：连接．
∵绕点顺时针旋转到，
，
是直角三角形．
∵由旋转性质可知，与全等，
，．
．
∵，，，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：135．
35．
【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．
作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可．
【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置，
∵，
∴第2025次旋转结束时，图形旋转了．
过点作于点E，过点作于点D，如图
有
∵点，，，且．
∴，，
∴，，
∴，即，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点的纵坐标为．
故答案为．
36．/
【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解．
【详解】解：，，则公因式为；
故答案为：．
37．1
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
将原式提取公因式，再将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】∵，，
故答案为1．
38．2453（答案不唯一）
【分析】本题考查了因式分解，其中灵活应用平方差公式是解题的关键．将进行因式分解即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．
多项式因式分解后呈现的密码信息可以是：2453．
故答案为：2453（答案不唯一）．
39．或
【分析】考查非负数的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题利用非负数的性质求出、的值即可解决问题；
【详解】∵，即
∴
、是直角边时，第三边为;
②当是斜边时，第三边为
故答案是：或
40．
【分析】本题主要考查了分解因式的应用，根据平方差公式可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
41．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
42．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
43．
【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴
∴
故答案为：．
44．
【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
45．
【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解，熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：
；
；
∵各项都含有，
∴它们的公因式是．
故答案为：．
46．或
【分析】此题主要考查了最简公分母的定义，即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
根据确定最简公分母的方法解答即可．
【详解】解：分式与的最简公分母是，
故答案为：．
47．
【分析】本题考查分式的加减法，平方差公式的应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
先把分子相减，然后约分即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
48．
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故，
故答案为：．
49．
【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据分式方程有增根条件求出m的值即可．
【详解】解：
去分母得：
当时，，解得
故m的值为．
故答案为：．
50．
【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用等知识，先求出，把变形为，然后把整体代入计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
51．
【分析】本题考查分式的加法运算，求不等式的解集，先进行异分母分式的加法运算，再根据分式的值为负数，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：
是负数，
∴，即：；
故答案为：．
52．
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．
根据分式有意义的条件分母不为零，分析原式，即可得出答案．
【详解】解：有意义，
，
，
故答案为：．
53．
【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键；
根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案．
【详解】解：根据题意：方程即为：，
即，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为：．
54．30
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙班有学生x名，则甲班有学生名，根据甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的建立方程求解即可．
【详解】解：设乙班有学生x名，则甲班有学生名，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙班有学生30名，
故答案为：30．
55．
【分析】作，使得，作关于对称点，交于点，连接，交于点，过作于点，过作于点，则四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，故有，，，，由等腰三角形的性质和勾股定理得，，则，，当三点共线时最小，即最小值为，再以为原点，所在直线为轴，最后由平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解．
【详解】解：如图，作，使得，作关于对称点，交于点，连接，，交于点，过作于点，过作于点，
∴四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴，，
∵，
∴当三点共线时最小，即最小值为，
如图，以为原点，所在直线为轴，
∴，，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，平行四边形与矩形的判定与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，两点之间线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
56．
【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，可得四边形是平行四边形，，在中，可得的长度，根据勾股定理可得的长度，根据，可得的最小值为，即的最小值为，由此即可求解．
【详解】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，图形平移的性质，两点之间线段最短，平行四边形的判定和性质等知识的综合，掌握合理构造辅助线，运用勾股定理，三角形三边关系是解题的关键．
57．24
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质得，由作图得，根据勾股定理求出，证明得出,再求出四边形的面积即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由作图得，是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∵，
∴,
又∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：24．
58．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，证明出是等边三角形，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
59．
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键．先证明是等边三角形，再根据平行四边形的性质，证明，再证明是等边三角形，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：由作法可知，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
，
故答案为：．
60．
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由三角形中位线的性质可得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点是对角线的中点，点和点分别是与的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
答案第34页，共34页
答案第33页，共34页

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