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北师大版七年级下册数学期末专题训练：整式的乘除解答题
1．如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题．
(1)求；若，求矩形C落在边l上的长；
(2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由．
2．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)求该小区绿化的总面积；
(2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？
3．对于任意有理数，我们规定符号，例如．
(1)计算：_______；
(2)若，求的值．
4．如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)
(1)自主探究：
请你写出之间的等量关系是___；
(2)知识迁移：
设求的值；
(3)知识延伸：
若求的值．
5．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① ，图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，则的值为 ；
②计算：；
【拓展】计算的结果为 ．
6．【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若，，求的值；
【类比应用】（2）若，求的值；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，直接写出的面积．
7．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，．
(1)根据以上变形填空：已知；，则 ；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
8．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题．
①已知，，求的值．
②计算：．
9．【材料阅读】
利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题．
例：若满足，求的值．
解：设，则，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【初步应用】（1）已知，，则___________；
【问题解决】（2），求；
【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
10．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；
(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；
(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为___________．
②直接写出下面算式的计算结果：．
11．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)根据图1，图2的面积关系，请你直接写出代数式：之间的等量关系．
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值；
②已知，，，，求代数式的值．
12．现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）．
(1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为． 将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则 ， ；（用含a、b的代数式表示）；
(2)若，求的值；
(3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系： ．
13．（综合与实践）
杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质．
(1)写出杨辉三角第6行的数字：_________．
(2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______．
(3)求展开式中的系数；
(4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数．
14．探索规律．
乐乐在计算：、、 这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
①
②
③
(1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形．
(2)根据以上规律计算：________=________
(3)根据以上规律计算并写出过程：
15．如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示．
(1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______；
(2)根据（1）中的结论，若，，求；
(3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积．
16．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
17．如图，某学校对一宽为，长为b的长方形广场设计了绿化方案，其中阴影部分为两块边长为的正方形．阴影部分全部种植植物进行绿化，空白部分铺设地砖．记绿化（阴影部分）面积为，铺设地砖的面积为．

(1)用含a，b的代数式表示，．
(2)若，求．
18．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积．
19．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：
，
．
(1)根据以上变形填空：
已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
20．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；
(2)如果，则；如果，则；如果，则．
已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；
(3)已知，求的值．
21．阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．
解：
．
无论x取何值，总是非负数，
即，所以．
所以当时，有最小值，最小值为5．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．
22．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
(1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(2)若，，运用你所得到的公式，试求的值；
(3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度．
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第14页，共15页
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《北师大版七年级下册数学期末专题训练：整式的乘除解答题》参考答案
1．(1)；x
(2)，见解析
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据面积等于长乘宽，先表示，因为，故，即可作答．
（2）依题意，，，结合，即一定大于0，所以，即可作答．
【详解】（1）解：结合图形，；
∵
∴，
∴矩形C落在边l上的长为x；
（2）解：，理由如下：
依题意，，
∴
∵，
∴一定大于0，
∴，
即．
2．(1)该小区绿化的总面积S为平方米
(2)元
【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键．
（1）绿化的总面积等于大长方形面积减小长方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案；
（2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
平方米，
答：该小区绿化的总面积为平方米；
（2）当，时，
平方米，
元，
当完成绿化共需要元钱．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键．
（1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解；
（2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将整体代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
故答案为：；
（2）解：
，
∵，
∴，
故原式．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，平方差公式，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）根据图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积进行列式求解即可；
（2）根据结论可知，由此代入求解即可；
（3）先求得，再利用完全平方公式和整式加减得到，进而代值求解即可．
【详解】（1）解：∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
5．探究：（1），；（2）；
应用：①12；②；
拓展：．
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形.
探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积；
（2）根据图①与图②的面积相等即可得；
应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；
②利用两次平方差公式即可得；
拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得．
【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为，
故答案为：，；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：，
故答案为：；
应用：①，
故答案为：12；
②原式，
，
；
拓展：原式，
，
，
，
，
．
故答案为：．
6．（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
（1）用完全平方公式展开，代入已知代数式即可得出答案；
（2）利用完全平方公式由可得，化简再将代入即可得出答案；
（3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
即：，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）设，，
∵，A，O，D在一直线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴．
7．(1)3；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，完全平方公式的几何背景，梯形的面积公式，熟练掌握题干中的公式变式是解题的关键．
利用：解答即可；
利用解答即可；
利用梯形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
故答案为：3；
（2）解：，，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
8．(1)
(2)①3；②
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
（1）根据图1和图2的面积相等即可得到答案；
（2）①运用平方差公式求解即可；
②将原式变形为，然后连续运用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：图1的阴影部分的面积是，图2的阴影部分的面积是，
这两个阴影部分的面积相等，所以上述操作能验证的等式是；
故答案为：；
（2）解：①∵，，且，
∴，
∴；
②
．
9．（1）22；（2）；（3）阴影部分的面积为16．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）先利用完全平方公式求得，再根据，代入计算即可；
（2）设，，根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案；
（3）长方形的长，宽，则有，因此有，求出x的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设，，
则，
，
∵，
∴，
∴；
（3）由题意得，长方形的长，宽，
则有，
由题意得，
即，
∴，
∴或（舍去）．
∴阴影部分的面积为：，
答：阴影部分的面积为16．
10．(1)
(2)
(3)
(4)①3；②
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键．
（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解；
（2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解；
（3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解；
（4）①根据平方差公式，进行计算即可求解．
②连续使用平方差公式，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
；
故答案为：；
（2）解：由题意得
拼接后的长方形长为、宽为，
；
故答案为：；
（3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变，
；
故答案为：；
（4）解：①，
，
，
故答案为：；
②
．
故答案为：．
11．(1)
(2)①，；②16
【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．
（1）利用正方形面积的两种方法表示方法即可得出结论；
（2）①由（2）的关系可得，进而求解即可；
②根据，求出，而，利用整体思想求解即可．
【详解】（1）正方形面积等于
正方形面积各部分面积和为：；
∴；
（2）①由（2）得，
∴，
解得，
∴，
②∵，，
∴，
又，，
∴，
∴
12．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，等于长为b，宽为的长方形面积，据此列式求解即可；
（2）根据（1）所求得到，据此代值计算即可；
（3）等于两邻边长为的长方形面积，等于两邻边长为、的长方形面积，据此求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，；；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：由题意得，，
，
∵，
∴，
∴．
13．(1)1，5，10，10，5，1
(2)
(3)35
(4)2
【分析】本题考查了数字类规律的探索，多项式乘多项式的应用，找到规律是解题的关键．
（1）根据规律：两端的两个数为1，中间数等于其上方两数和，由此即可求解；
（2）分别求出前面5行中各行数字的和，找到规律即可求解；
（3）根据（1）中第6行的数字，可写出第7、8行的数字，从而可得展开式中的系数；
（4）把第8个数用10的幂表示出来；在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11；把所有展开式中最后一项相加，和便是余数．
【详解】（1）解：根据规律得：1，5，10，10，5，1
故答案为：1，5，10，10，5，1；
（2）解：第1行数字和为1，第2行数字和为，第3行数字和为，
第4行数字和为，第5行数字和为，……，
一般地，第n行数字和为；
则第10行数字和为：；
故答案为：；
（3）解：由（1）得第7行的数字分别为：1，6，15，20，15，6，1；
第8行的数字为：1，7，21，35，35，21，7，1；
则，其展开式中的系数为35；
（4）解：由（3）知，第8个数为172135352171，用10的幂表示为；
在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11；
故当172135352171被11除时，用幂表示的每项中最后一项分别为，其和为2，故余数为2．
14．(1)9，1
(2)，199
(3)9996
【分析】本题考查数字类规律探索，平方差与几何图形，应用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解；
（2）根据（1）中所得规律可解；
（3）根据（1）中所得规律将原式变形为即可求解．
【详解】（1）解：，
这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形，
故答案为：9，1；
（2）解：，
故答案为：，199；
（3）解：
．
15．(1)
(2)2
(3)84
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案；
（2）将，代入（1）中公式即可；
（3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可．
【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，
，
故答案为：；
（2）解：∵，
将，代入得：，
，
，
∵，
，
故答案为：2；
（3）解：∵正方形的边长为，
，
，
设，
，
，
∴图中阴影部分的面积为84．
16．(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据新定义的运算进行计算即可；
（2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可；
（3）①根据，，进行计算即可；
②由，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵，，且，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴．
故答案为：3．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以单项式运算，单项式除以单项式运算，掌握运算法则，正确理解题意是解题的关键．
（1）利用正方形的面积公式即可表示，再由大长方形面积减去即可表示；
（2）将，代入，利用完全平方公式求解得到，再代入即可求解．
【详解】（1）解：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
整理得，，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查用面积表示代数恒等式，整式的混合运算，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案；
（2）根据解析（1）中得出的公式进行计算即可；
（3）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）结论变形知：
．
（3）解：
，
，
∴，
，
，
．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据求出，即可求解；
（3）根据题意可得：，，，得到，根据，，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，
故答案为：；
（2），，
，
；
（3）正方形、的边长分别为、，
，，
，
，
，，
，
，
或（负值舍去），
．
20．(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键；
（1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解；
（2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意得，．
又∵对于任意实数满足，
．
的最小值为．
故答案为：；
（2）解：由题意得，
．
∵对于任意实数满足，
．
．
（3）解：∵，
∴，
∴．
∴，，
∴，，
；
21．(1)36；6
(2)变形见解析；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
（1）利用配方法即可得；
（2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得；
（3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得．
【详解】（1）解：，
故答案为：，6；
（2）解：
，
无论x取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：
，
，
∴
，
∵无论a取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴，
∴．
22．(1)，
(2)49
(3)9
【分析】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．
（1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长，再结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案；
（2）利用（1）结论，先计算即可得到答案；
（3）设，，根据已知求出即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
答案第2页，共23页
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