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上海市向明初级中学2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试卷
一、选择题
1. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列方程中，有实数根的方程是（　　）
A. x4+16＝0 B. x3+9＝0 C. D. +3＝0
4. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，，，交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“”，则四边形是菱形
②添加“”，则四边形是矩形
③添加“”，则四边形是菱形
④添加“”，则四边形是正方形
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
7 分解因式：______．
8. 计算：______．
9. 已知，则______．
10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围是___________．
11. 如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）
12. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为__________．
13. 如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为_____．
14. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol·m-2·s-1），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_______（填“甲”或“乙”）．
15. 如图，在中，点D在边AB上，，，，设，，那么______．（用向量，的式子表示）
16. 如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为______．
17. 如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，的正弦值为，那么的长为______．
18. 如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是______．
三、解答题
19. 计算：．
20. 解方程组：
21. 如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB于点D，CD＝1．
（1）求圆⊙O的半径；
（2）过点B、点O分别作AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．
22. 当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立；
第二步：基于假设进行逻辑推理，
第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果，
第四步：从而假设不成立，求证的结论正确．
（1）阅读正文并解答下列问题：
如图1，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，
如图2，在内部作，交于点D．
∵，
∴；
∴，
∵
即：，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
②若，
···
综上，．
请你补充②中所缺失的部分
（2）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______．
（3）如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直．
23. 如图，在中，为上一点，为上一点，作平行四边形，边交于点，满足，联结．
（1）求证：．
（2）联结交于点，若，求证：四边形是等腰梯形．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P．
①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式；
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标．
25. 如图，在梯形中，，，点边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点．
（1）求梯形的面积；
（2）分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围；
（3）将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值．
参考答案
1-6.
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】C
【答案】C
【答案】B
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】2
10.【答案】且
11.【答案】增大
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】乙
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】或
21.【答案】（1）⊙的半径为5；（2）
22.【小问1】
解：若，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
综上，．
【小问2】
解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
【小问3】
证明：假设线段与垂直，
∵点D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵线段与垂直，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，这与均不相等矛盾，
∴假设不成立，
∴线段与不垂直．
23.【小问1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
【小问2】
解：联结,如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
由（1）得，
∴，
则，
由（1）得，
∴，
∴，
则，
即，
∴四边形是等腰梯形．
24.【小问1】
解：在中，当时，，
∴，
∵点C在y轴正半轴上，
∴，
∴，
∵，
∴，，
将，代入，得：，
解得：；
【小问2】
解：①设平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过，
∴，
∴；
在中，当时，，即，
又∵在轴负半轴，
∴，即，
∴，，
平移后的抛物线对称轴为直线，
∵原点O到新抛物线的对称轴的距离等于的长度，
∴，即，
解得：，
∴，
∴平移后新抛物线的解析式；
②连接交轴于，
由（1）可知原抛物线的解析式为，
∵，
∴，则，
∵，则，
∴，即，
设直线的解析式为，代入，，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或，
∴，
过点作轴，过点E作于G，
∴，
设，则，
∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，
∴新抛物线解析式为：，
又∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴平移后的新抛物线解析式为：，
∴新抛物线的顶点坐标为．
25.【小问1】
解：如图，作于点，连接，
梯形中，，且，
，
，
梯形的面积为；
【小问2】
解：根据（1）中可得
设、、，
，
，
四边形是梯形，且，
，
当时，
，，
，
，
，即，
解得：（经检验，舍去），
则，即圆的半径为，
圆与圆相交，且，
，
；
当时，
，即，为负值，不成立；
综上，；
【小问3】
解：如图，在圆上取点关于的对称点，连接，作于，于，
则、、、，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知、、，
、，
、，
，
，，
，
故线段和的比值为定值，为．

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