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2025年深圳市南山区深圳湾学校九年级数学第三次模拟测试试卷
一．选择题（共8小题，每小题3分）
1．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　）
转账——来自小明+18.00 微信红包——发给小红﹣12.00
A． B． C．6 D．12
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．（2a3）2＝4a5 C．a8÷a2＝a6 D．|﹣6|＝﹣6
4．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率 94% 87% 92% 90% 90% 91% 91% 91% 91%
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
A．91% B．90% C．92% D．89%
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．10 C．15 D．30
6．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
7．一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
二．填空题（共5小题，每小题3分）
9．因式分解：a2﹣a＝　 　 ．
10．点A，B，C在数轴上的位置如图，点A表示的数是﹣5，点B表示的数是3，点C是AB的中点，则点C表示的数是 　 　 .
11．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是 　 　 （结果保留π）．
12．如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　 ．
13．如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．则QP：PC＝　 　．
三．解答题（共7小题，第14小题6分，第15小题7分，第16小题7分，第17小题10分，第18小题8分，第19小题11分，第20小题12分）
14．计算：．
15. 先化简，再求值：，其中a＝1．
16．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
A型号 14和16 b 15 1.4
B型号 a 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中a＝　 　 ，b＝　 　；
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
（3）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率．
17．
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）； ①若使用无人机配送商品，共需要 　 　 元； ②若不使用无人机配送商品，共需要 　 　 元．（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
18．如图，在四边形ADBE中，对角线AB，ED相交于点F，且AF＝BF，EF＝DF，过点A作AC∥ED，交BD的延长线于点C，　 　 ．
请从“①AF＝EF；②AB＝AC”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）若，AE＝5，求线段DF的长．
19．对于平面直角坐标系中的点P（x，y），若x，y满足|x﹣y|＝5，则点P（x，y）就称为“平衡点”．例如：（1，6），因为|1﹣6|＝5，所以（1，6）是“平衡点”．
（1）下列是平衡点的是 　 　 ；（填序号）
A（2，7），B（﹣1，﹣5），C（﹣9，4），D（2，﹣3）;
（2）已知一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上有一个“平衡点”的坐标是（3，8），求出一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上另一个“平衡点”的坐标；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+a+2（a≠0）的图象上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
20．数学课上，张老师提出如下数学问题．
如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，P是AB边上一点，Q是BC边上一点，且满足∠DPQ＝∠A．试探究DP与PQ之间的数量关系．
两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法：
方法1：以点P为圆心，PA的长为半径画弧，交AD边于点M，连接PM．
方法2：连接DB，过点P作PM∥AD交DB于点M．
（1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题；
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在正方形ABCD中，P是BA延长线上的一点，Q是AB边下方的一点．若∠DPQ＝90°，∠PBQ＝45°，求证：DP＝PQ；
（3）如图3，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°后，点E落在AB边上的点F处．若AE＝4，BC＝6，求AB的长．

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