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13.1 三角形的概念
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过阅读课本了解三角形的顶点、边、角以及三角形的表示方法，能够认清三角形的分类，培养学生的分类讨论思想.（重点）
2.通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学来源于生活，又在实践中得到解决，培养学生学习数学的兴趣.
展示生活中常见的含有三角形的图片，如埃及金字塔、自行车车架、篮球架、屋顶等，引导学生观察并思考：“在这些图片中，你发现了什么共同的图形？”
学生回答后，教师引出本节课课题：“三角形在我们的生活中随处可见，它有着独特的魅力和重要的作用。今天，我们就一起来深入探究三角形的概念。”
（二）新知探究
三角形的定义及基本元素（10 分钟）
教师引导学生观察不同形状的三角形，提问：“大家观察这些三角形，它们是由什么组成的？” 鼓励学生用自己的语言描述。
师生共同总结三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
教师在黑板上画出一个三角形，介绍三角形的基本元素：边（组成三角形的三条线段）、角（相邻两边所组成的角）、顶点（相邻两边的公共端点），并分别用字母表示三角形的边（如 AB、BC、AC）、角（如∠A、∠B、∠C）、顶点（如点 A、点 B、点 C），同时说明三角形可以用符号 “△” 表示，这个三角形记作 “△ABC”。
组织学生进行练习：在练习本上画出几个不同的三角形，并分别标注出它们的边、角、顶点和三角形的符号表示。
三角形的分类（15 分钟）
按角分类
教师展示不同角度的三角形图片，让学生用量角器测量每个三角形的内角，并记录下来。
组织学生小组讨论：“根据测量结果，这些三角形的角有什么特点？可以如何分类？”
各小组派代表发言，教师总结并讲解：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
引导学生观察直角三角形，介绍直角三角形的直角边和斜边，并强调直角三角形的符号表示（如 Rt△ABC）。
按边分类
教师让学生用直尺测量一些三角形的三条边的长度，观察边的长度关系。
学生小组讨论：“根据边的长度关系，这些三角形可以怎样分类？”
师生共同归纳：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。
教师通过图示和举例，帮助学生理解等腰三角形和等边三角形的关系。
（三）课堂练习（10 分钟）
给出一些三角形的图形，让学生判断这些三角形是按角分类属于哪一类，按边分类又属于哪一类。
判断题：
一个三角形里如果有两个锐角，必定是一个锐角三角形。（ ）
所有的等腰三角形都是锐角三角形。（ ）
等边三角形一定是锐角三角形。（ ）
已知一个等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，求这个等腰三角形的周长。
（四）课堂小结（5 分钟）
教师提问：“通过本节课的学习，你都学到了哪些知识？” 引导学生回顾三角形的定义、基本元素、分类方法等内容。
教师进行补充和总结，强调本节课的重点知识，帮助学生梳理知识体系。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
有三条线段，三个角
边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点.
角：∠A,∠B,∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角.
问题1：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
问题2：三角形中有几条线段 有几个角
A
B
C
三角形的相关概念
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的相关概念
记法：三角形 ABC 用符号表示为________.
边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写
字母分别表示为________.
△ABC
c，b，a
边 c
边 b
边 a
顶点 C
角
角
角
顶点 A
顶点 B
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的相关概念
B
C
A
在△ABC 中，
AB 边所对的角是：
∠A 所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角：
三角形用符号“△”表示，如三角形 ABC 可记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外 △ABC 还可记作 △BCA，△CAB，△ACB 等.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
要点提醒
识别三角形的三个条件：
1. 三条线段；2. 不在同一条直线上；3. 首尾顺次相接.
表示方法：
A
B
C
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
素养考点 1：三角形的识别
例1 说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示，并指出每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角.
解：图中有3个三角形，分别是△EHG，△EHF，△EFG.
△EHG的三边是EH、HG、GE，三内角是∠G、∠GHE、∠HEG，三个顶点是G、H、E；
△EHF的三边是EH、HF、FE，三内角是∠EHF、∠HFE、∠HEF，三个顶点是F、H、E；
△EFG的三边是EF、FG、GE，三内角是∠G、∠GFE、∠FEG，三个顶点是G、F、E.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
方法点拨：数三角形个数的方法
1.按组成三角形的图形个数来数(如单个三角形，由两个图形组成的三角形， ，最后求和)；
2.从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另两条边；
3.先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组.
注意：无论采用哪种方法，数三角形的个数时要做到不重不漏.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
巩固练习
例2 找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
A
B
C
D
E
5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
（2）以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE、△BCE、△CDE.
（4）以∠D 为角的三角形有哪些？
△BCD、△DEC.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
巩固练习
例2 找一找：（5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD 的三个角是 ∠BCD、∠D 和 ∠CBD.
A
B
C
D
E
顶点 B 所对的边为 DC，
顶点 C 所对的边为 BD，
顶点 D 所对的边为 BC.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的分类
问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的分类
(1) 等腰三角形和等边三角形的区别是什么
(2) 从是否有相等边来看，除了等腰三角形和等边三角形之外还有什么样的三角形
(3) 根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
三边都不相等的三角形.
问题2：如果从三角形三边的相等关系来看，三角形该如何分类呢？观察图形回答下面各小题.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的分类
1.等腰三角形及等边三角形
三角形类型 概念 图例
等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底和腰相等的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
三角形的分类
2.三角形的分类
(1)按内角的大小分类(如图11.1－3)
锐角三角形(最大内角为锐角)
直角三角形(最大内角为直角)
钝角三角形(最大内角为钝角)
三角形
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
(2)按边的相等关系分类(如图11.1－4 )
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等
的等腰三角形
等边三角形
2.三角形的分类
三角形的分类
图11.1－4
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
方法点拨：三角形的分类
1.三角形按内角的大小分类和按边的相等关系分类是两种不同的分类方法，各自独立，但无论按哪种标准分类，原则都是不重不漏.
2.对于等腰直角三角形，按边的相等关系分类属于等腰三角形，按内角的大小分类属于直角三角形.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
素养考点 2：判断三角形的形状
解：①∵∠A，∠B，∠C 都小于90°，
∴△ABC是锐角三角形
②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形
③∵∠C=90°=90°， ∴△ABC是直角三角形
④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形
例3 根据下列条件，判断△ABC的形状.
①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°;
②∠C=110°; ③∠C=90°; ④AB=BC=3，AC=4
1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
2. 图中的三角形被木板遮住了一部分，这个
三角形是( )
D
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
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核心素养巩基础
3. ［2025安庆月考］用下面的图表示三角形的分类，其中不
正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，图中有___个三角形，含 的三
角形为____________________；在
中，的对角是_______， 的
对边是____.
6
,,
返回
5.母题教材P4习题 如图，在 中，
，点在上，且 ，
图中有哪些等腰三角形？
【解】，， ，
,, 是等腰三角形.
返回
6. ［2025威海期中］有若干个三角形，这些三角形的所有内
角中，有2个直角，3个钝角，22个锐角，则在这些三角形中
锐角三角形有( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 3个或4个 D. 5个
7. 母题教材P4习题 线段上有3个点，， ，直线
外有一点，把和，，，， 连接起来，可以得
到的三角形个数为( )
B
A. 8个 B. 10个
C. 12个 D. 20个
返回
8.如图，过，，，， 五个点中任意三点画三角形.
（1）以 为一边可以画出___个
三角形，在图①中画出图形.
3
【解】画出的,, 如图①所示.
（2）以 为顶点可以画出___个三角形，在图②中画出图形.
6
画出的，，，，，
如图②所示.
返回
9. 如图，在 中，
，， ，为边上不同的 个点，
首先连接 ，图中出现了3个不同的三角
（1）完成下表：
连接线段条数 1 2 3 4 5 6 …
出现三角形个数 3 6 ____ ____ ____ ____ …
10
15
21
28
（2）若出现了45个三角形，则共连接了___条线段;
8
形，再连接 ，图中出现了6个不同的三角形……
（3）若一直连接到 ，则图中共有_______________个三
角形.（用含 的代数式表示）
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课后总结与练习 /SUMMARY AFTER CLASS AND TEST
本课思维导图
有关概念
三角形
分类
按照角分类
按照边分类
顶点、角(内角)、边
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