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2025年辽宁省初中学业水平考试模拟考试
数 学 试 卷 x y
（本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间 120 分钟）
3y + 6 =10x, 3x + 6 =10y, 3x 6 =10y, 3y 6 =10x,

5x +1= 2y 5y +1= 2x 5y 1= 2x 5x 1= 2y
一、 选择题（每题 3分，共 30分）
ABCDE O OA =1
1. 以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
2
2
5 2
A. B. C. D.
2. 早在两千多年前，我国就有了正负数的概念.在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余
钱 4 文记为+4 文，那么亏钱 3 文记为（ ）
A. -3 文 B. -4 文 C. +4 文 D. +3 文
3. 以下几何体的左视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
2 2 2 5 2 3 2 3 6
A. 2m+ n = 2mn B. ( mn) = m n C. m m =m D. m m =m
k
y = kx 1 y =
6 6 x
5. 很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为6 10 米，则6 10 用小数表
示为（ ）
A. 0.00006 B. 0.00006 C. 0.000006 D. 0.000006
6. 点P (2, 3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. (2,3) B. ( 2, 3) C. ( 2,3) D. ( 3,2)
3 2 2 3
7. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二
秉．问上、下禾实一秉各几何 ”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于
十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打
岀来的谷子.问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打 x斗谷子，下等稻子每捆打 y斗
谷子，根据题意可列方程组为（ ）
3y + 6 =10x, 3x + 6 =10y, 3x 6 =10y, 3y 6 =10x,
A. B. C. D.
5x +1= 2y 5y +1= 2x 5y 1= 2x 5x 1= 2y
8．如图，正五边形 ABCDE内接于 O，若OA =1，则 的长为（ ）
2
A． B． C． D．2
5 2
第 8 题图 第 9 题图
9．从 A地到 B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对 6：00—10：00
时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从 A地到 B地）进行了调查、记录与整理，如图所
示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在 6：
30 以前或 9：30 以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要 30 分钟以内到
达，则 7：30 之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2
2m+ n = 2mn ( mn) = m2n2 m5 m2 =m3 m2 m3 =m6
k
10. 一次函数 y = kx 1与反比例函数 y = 在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（ ）
x
6 10 6 6 10 6
0.00006 0.00006 0.000006 0.000006 A. B. C. D.
P (2, 3)
(2,3) ( 2, 3) ( 2,3) ( 3,2) 二、 填空题（每题 3分，共 15分）
11. 3 2 2 3 （选填“<”“>”或“=”）.
12．如图，△ ABC中沿 BC所在直线向右平移得到△ DEF ，已知 EC = 2,BF = 8，则平移的距离
为 ．
第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图
13. 如图，随机闭合开K 、K 、K 关中的两个，能让两盏灯泡 L 、 L 同时发光的概率为 . 1 2 3 1 2
14. 如图，菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，点E为 BC边的中点，连接OE，已知
AC = 4,BD = 6，则OE的长为 .
15. 锐角△ ABC的面积为 S，且满足 BC = 2， B = 60 ，则 S的取值范围是 .
三、 解答题（共 75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
1
0 1 a = b = m =
16.（10 分）（1）计算： ( 5) + 2 cos 45 3 +
2
a 2 a2 4 5
（2）化简：
a +3 2a + 6 a + 2
17.（8 分）王老师准备购买 A、B两种型号的圆珠笔．已知 A型圆珠笔单价是 B型圆珠笔单价的 1.5
倍．用 60 元钱单独购买 B型圆珠笔可比单独购买 A型圆珠笔多买 5 支．
（1）求 A、B两种型号的圆珠笔单价各是多少； m
y1 = kx +b(k 0) y2 = (m 0)
x
（2）王老师想购买 A、B两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费
A(3,4) B (a, 2) x C
用不超过 80 元．求 A型圆珠笔最多可购买多少支？
18.（8 分）2025 年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒 2》）横空出世，现已登顶全球动画电影
票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在本校初三年级随机抽取了 10 名男生
和 10 名女生展开问卷调查（问卷调查满分为 100 分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用
x表示，共分为四组：A： x 70 ；B：70 x 80；C：80 x 90；D：90 x 100，下面给出了部分
信息：
10 名女生对《哪吒 2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10 名男生对《哪吒 2》的评分分数在 C 组的数据是：82，83，86 P △POC P
ABC BC DEF EC = 2,BF = 8 20 名同学对《哪吒 2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
K1 K2 K3 L1 L2
ABCD AC BD O E BC OE
AC = 4,BD = 6 OE
ABC S BC = 2 B = 60 S
根据以上信息，解答下列问题：
1
0 1 （1）上述图表中的a =___________b = ___________，m = ___________
( 5) + 2 cos 45 3 +
2 （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒 2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条
a 2 a2 4 5 理由即可）

a +3 2a + 6 a + 2
（3）该校初三年级有 500 名女生和 600 名男生去看过《哪吒 2》，估计这些学生中对《哪吒 2》的评分
在 C 组共有多少人？
m
19．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1 = kx +b(k 0)的图象与反比例函数 y2 = (m 0)
x
的图象相交于第一，三象限内的 A(3,4)，B (a, 2)两点，与 x轴交于点C．
x x 70 70 x 80 80 x 90 90 x 100
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在第三象限的反比例函数图象的一点P，使得△POC的面积等于 18，求点 P的坐标．
20.（8 分）如图 1 是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图 2 是平面示意图.路灯 AB和汽车折臂升 ABC O AB OA =OC
降机的折臂底座 CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离 BC=2m，折臂底座高 CD=1.5m，上折 ABC
臂 AE与下折臂 DE的夹角 AED = 88 ，下折臂 DE与折臂底座的夹角 CDE =135 ，下折臂端点 P AC AB OP BP AB BP
E到地面MN距离是 4.5m . ABPQ AOC = 2 OPQ
（1）求下折臂 DE的长；（结果保留根号）
P AC AB1 P2 P3
（2）求路灯 AB的高 .(结果精确到 0.1m，参考数据:sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈ 0.93）
25
ABPQ ABC1 1 OBP S1 OBP =1 2
ABC S ABC
ABP2Q2 ABP3Q3 OP2 = 2P P sin CAB2 3
21.（8 分）如图，已知四边形 ABCD内接于 O， AC是直径，DB平分 ADC ,CD平分 ACM .
（1）尺规作图：过点D作DE ⊥CM 于点 E，并证明DE是 O的切线；
（2）将BD绕点B顺时针旋转 90°后得到的射线交DC的延长线于点F ，若 AC = 8,CF = 6，求CE
的长.
22. （12 分）已知△ ABC中，O是 AB边的中点，且满足OA =OC .
（1）如图①，判断△ ABC的形状，并说明理由；
AED = 88 CDE =135 （2）如图②，点P在线段 AC的垂直平分线上，且位于直线 AB下方，连接OP、BP，以 AB、BP
为邻边作平行四边形 ABPQ，求证： AOC = 2 OPQ；
（3）若P、P 、P 是线段 AC的垂直平分线上的动点，且均位于直线 AB下方，其余条件同（2）. 1 2 3
25
（i）如图③，当四边形 ABPQ 是正方形时，在图③中画出△ ABC，若△OBP的面积 S OBP = ，1 1 1 1 2
求△ ABC的面积 S ABC ；
（ii）当四边形 ABP2Q2是矩形，四边形 ABP3Q3是菱形时，且满足OP2 = 2P2P3，直接写出sin CAB
的值.
ABCD O AC DB ADC CD ACM
D DE ⊥CM E DE O
BD B DC F AC = 8,CF = 6 CE
图① 图② 图③
备用图
23.（13 分）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对 X 、Y 两种药物在注射后几小时
内的微量元素E的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题．
数据获取：待测量对象注射 X 药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，
直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（80 ～120 mg/dL），无较大幅度变化时停止记
录，得到注射 X 药物后几小时内的微量元素E的浓度变化 y （单位：mg/dL）与时间 x（单位：h）的1
曲线图如下．
【初步探究】
（1）观察图象推断，正常情况下人体的
微量元素E可能是（ ）
A. 50 mg/dL B. 100 mg/dL C. 135 mg/dL D. 160 mg/dL
【问题解决】已知 AB段微量元素E的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式
为 y1 = 15x
2 +bx + c .
（2）求 AB段抛物线的函数解析式；
（3）该测量对象注射 X 药物后多久时，微量元素E的浓度达到最大值，最大值是多少？
【拓展应用】
信息 1：第二次测量时，该测量对象注射Y 药物，通过测量发现，微量元素E的浓度的最大值比注射 X
药物高 40%，且达到最大值的时间比注射 X 药物延长了 1 小时（己知第二次测量时微量元素E的浓度
变化曲线 y 仍是抛物线且经过点 A2 ）.
信息 2：注射 X ,Y 药物后，微量元素 F 的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过 A点的射线
y = k (x 2)+90,(x 2) （其中 k 0）若注射药物生效后（ x 2 ），微量元素E的浓度高于微量元
素 F 的浓度时为药物有效时间，记 X 药物的有效时间为 t1，Y 药物的有效时间为 t2 ，由于不同的病毒
t 3
会导致注射药物后微量元素 F 的浓度函数中的 k值不同，临床上通常比较 1 与 的大小进行决策.
t 52
t 3
（4）请帮助综合实践小组的同学求出注射Y 药物后的微量元素E的浓度函数 y ，并直接写出当 1 =2
t2 5
时的 k值.
2025 年辽宁省初中学业水平考试模拟考试
数学参考答案
一、选择题
1-5 BABCD 6-10 CBAAC
二、填空题
11. ＞ 12. 3 13.13 14.
13
2
15. 32 ＜S＜2 3
三、解答题（评分标准中的得分均为累计到此步得分）
16.（10 分）
（1）原式=1 + 2 × 2 ― 3 + 2
2
=1 + 1 ― 3 + 2
=1 ------5 分
―2 ( +2)( ―2) 5
（2）原式= +3 ÷ ―2( +3) +2
= ―2 2( +3) 5 +3 ―( +2)( ―2) +2
= 2 5 +2 ― +2
= ― 3 +2 ------5 分
17. （8 分）
解：（1）设 B 种型号的圆珠笔的单价是 元，则 A 种型号的圆珠笔的单价是 1.5 元
由题意得： 60 ― 60 = 5 ------1 分1.5
解得： = 4 ------2 分
经检验： = 4是原分式方程的解 ------3 分
∴1.5 =6
答：A 种型号的圆珠笔的单价是 4 元，B 种型号的圆珠笔的单价是 6 元。
------4 分
（2）设 A 型圆珠笔购买 m 支，则 B 种型号购买（15-m）支，
由题意得：6m + 4(15 ― m) ≤ 80 ------5 分
解得：m ≤ 10 ------6 分
∵m 为正整数
∴m 的最大值是 10 ------7 分
答：A 型圆珠笔最多可购买 10 支。 ------8 分
18.（8 分）
（1） = 98 = 93 = 10 ------3 分
（2）男生更喜欢《哪吒 2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒 2》。
------5 分
（3）500 × 2 +600 × 3 = 280（人） ------7 分10 10
答：估计这些学生中对《哪吒 2》的评分在 C 组约有 280 人。 ------8 分
m
19.（8 分）（1）解：将 A(3,4) 代入 y2 = (m 0)，得：m = 3 4 =12，x
12
∴反比例函数的表达式为 y2 = ． ------1 分x
将点B(a,-2)代入 y
12
2 = ，可得 a = -6 ，x
∴ B(-6,-2) ． ------2 分
ì3k + b = 4
把 A(3,4) ，B(-6,-2) 代入 y1 = kx + b，得 í 6k b 2， ------3 分 - + = -
ì 2
k =
解得： í 3
b = 2
2
∴一次函数的表达式为 y1 = x + 2． ------4 分3
2
（2）一次函数的表达式为 y1 = x + 2，3
令 y 0
2
= ，则 x + 2 = 0， x = -3．
3
∴点C 坐标为 (-3,0)， ------5 分
12
∵点 P 在反比例函数 y2 = 的图象上，x

设 P 点坐标为 n,
12
n ÷
，
è
∵ S△POC = 18，
1
\ | 3 | 12- =18
2 n ，
解得： n = -1或 n =1，
又∵点 P 在第三象限，
∴点 P 坐标为 (-1, -12)． ------8 分
20.（1）解:过点 E 作 EG⊥MN 于点 G，过点 D 作 DH⊥EG 于点 H，
由题意可得四边形 HGCD 是矩形， ………………1 分
∴HG=DC=1.5m，∠HDC=90°，
∴EH=EG-HG=4.5-1.5=3m, ………………2 分
∵∠CDE=135°，∴∠EDH=∠EDC-∠HDC=45°.
在 Rt△EHD 中，
DE EH= = 3 2m . ………………3 分
sin EDH
答:下折臂 DE 的长为3 2 m . ………………4 分
（2）解:过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，由题意可得四边形 EGBF 是矩形，
∴BF=EG=4.5m，∠GEF=90°， ………………5 分
∵由（1）知∠HED=45°，∴∠DEF=90°-45°=45°，
∵四边形 HGCD 是矩形，
∴DH=CG=3m，
∵BC=2m,∴BG=5m,∴EF=5m,
∵∠AED = 88°，∠DEF = 45°，
∴∠AEF=88°-45°=43°， ………………6 分
在 Rt△AEF 中，AF=EF tan∠AEF ≈ 5×0.93=4.65m
∴AB=AF +BF = 4.65+4.5=9.15≈ 9.2m ………………7 分
答:路灯 AB 的高约为 9.2m . ………………8 分
21.（1）尺规作图：如图所示. ………………1 分
证明：连接 OD，∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，
∵CD 平分∠ACM，∴∠ACD=∠DCM， ………………1 分
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠DCM=∠ODC，∴OD∥CM，
∴∠ODE+∠DEC=180°，∴∠ODE=90°， ………………1 分
∴OD⊥DE，∵OD 是半径，∴DE 是⊙O 的切线. ………………1 分
（2）∵AC 是直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵ DB 平分∠ADC，∴ ∠ADB =∠BDC=45°，
∴ ∠ACB =∠ADB=45°， ∠BAC=∠BDC=45°，
∴ACB =∠BAC， ∴AB=BC， ………………1 分
由旋转知 ∠DBF=90°，∴∠DBC+∠CBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠CBF，∵∠BDC=45°，∠DBF=90°，∴∠BFC=45°，∴ ∠ADB =∠BFC（或证明∠DAB=∠FCB 或证明
BD=BF） ∴△ABD≌△CBF， ………………1 分
∴AD=CF=6， ∵AC=8，∠ADC=90°，∴ CD = 82 - 62 = 2 7 ， ………………1 分
∵∠ADC=∠DEC=90°，∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，
AC CD 8 2 7 7
∴ = ，∴ = ∴ CE = . ………………1 分
CD CE 2 7 CE 2
22.（1）△ ABC 是直角三角形………………1 分
理由如下：∵ O是 AB 中点，OA = OC ，
∴ OA = OB = OC ，
∴ 1 = 4 = a， 2 = 3 = b
∵ 4 + 1+ 2 + 3 = 2a + 2b =180°
∴ ACB = a + b = 90°
∴ △ ABC 是直角三角形………………3 分
（2） 延长 PO交 AC 于点M .
∵ OA = OC ，
∴ O在 AC 的垂直平分线上，
∴ PO是 AC 的垂直平分线 ………………4 分
∴ PMA = 90°， PMA = ACB
∴ PM∥CB
∴ 3 = 5
又∵ 四边形 ABPQ 是平行四边形， AB∥PQ
∴ 5 = 6 = 3 = b
∵ AOC = 2 + 3 = 2b
∴ AOC = 2 OPQ ………………6 分
（3）（i）如图所示，………………7 分
∵ 正方形 ABP1Q1 中， AB = BP1, ABP1 = 90°，
又∵ AMO = 90°, AOM = BOP1，
∴ CAB = OP1B
又∵ ACB = ABP1
所以△ ABC : △ P1OB ， CAB = OP1B
BC
，相似比 k = ，
OB
Rt △ OBP1中 tan OP1B
OB 1
= = ，则 Rt △ ABC 中 tan CAB CB 1= = ，设 BC = x, AC = 2x，
BP1 2 AC 2
2 2 5 BC 2 4
由勾股定理得 AB = AC + BC = 5x ，OB = x ， k = = ， k 2 = .
2 OB 5 5
S
∴ VACB
4
=
SVOBP 51
4 4 25
所以 SVABC = S5 VOBP
= =10 ………………9 分
1 5 2
1 6 1 6
（ii） 或 ………………12 分 其中 （1 分）， （2 分）
4 4 4 4
23.（13 分）（本题答案为简易过程）
（1）B …………2 分
（2） y1 = -15x
2 +120x - 90 ……………………5 分
y = -15 x - 4 2（3） 1 +150
当 x = 4时， ymax =150 ……7 分
y 40（4） 2 = - x - 5
2 + 210 ……………………10 分
3
k 240 = …………………………13 分
13

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