资源简介

导数及其几何意义 教学设计
教学目标
（1）能够通过具体情境直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质，理解导数是一种建立在极限上的运算。理解其几何意义。
（2）掌握导数的基本运算规则，能求简单导数和简单复合函数的导数。
（3）重点提升数学抽象，数学运算，直观想象，数学建模和逻辑推理素养。
重难点
（1）通过对跑步运动过程中平均速率与瞬时速度之间的关系，体会极限思想理解导数是一种建立在极限上，提升其数学建模、逻辑推理素养。
（2）通过对函数平均变化率和瞬时转化率之间的关系，体会瞬时变化率即为函数的导数；同时由曲线割线的斜率去逼近切线的斜率，理解导数的几何意义，体会数与形的有机结合，提升学生的直观想象、逻辑推理等素养。
（3）能够计算简单导数和简单复合函数的导数，提升学生对导数概念的理解，提升学生的数学运算素养。
教学过程
导数及其几何意义
教师活动学生活动环节一：情景导学教师活动1 问题1. 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A,B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同. 那么到底什么是瞬时速度呢？怎样才能确定一般曲线在某一点的切线 例如,图中物体在B处的速度方向与向量还是向量的方向相同？ 探究1.已知物体运动的位移与时间的关系为 （1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度； （2）思考物体在时的速度该如何定义，并指出这一速度的实际意义. 学生活动1 根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为 . 在这段时间内物体的平均速度为 . 不难想到，如果记时物体速度为, 那么当很小时， 物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即 0.5 而且，近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的，如下表所示. 0.5 -0.1-0.01-0.0010.0010.010.1区间平均速度 0.51.951.9951.99952.00052.0052.05
因此，可以认为时，是物体的速度 ， 这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）.这一速度的实际意义是，在附近 的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为设计意图： 通过具体问题的思考和分析，提出计算瞬时速度的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。环节二：讲解新知瞬时变化率与导数 一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)=k. 为了简单起见,“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f'(x0)=. 前面的尝试与发现中， 时的瞬时速度实际上就是函数 在处的导数即 学生活动2 学生自己书写，总结 设计意图： 由特殊到一般的思想，建立导数的概念，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。环节三：例题讲解教师活动： 典例解析 例1. 已知函数，求在处的导数 例2. 在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作,称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续的取值，并将总成本函数的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC. 已知某产品的总成本函数,求边际成本MC，并说明实际意义. “增量、比式、取极限”，求解导数三步骤解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 .
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于-6，因此 解：设Q=300时产量的改变量为则 令 ，可得MC 因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是： 此时多生产1件产品，成本要增加600. 设计意图： 通过典型例题，加深学生对导数的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共18张PPT)
　导数的几何意义
1.理解导数的几何意义.（重点）
2.会求曲线的切线方程. (难点）
观察函数f (x)的图象，可知：
函数平均变化率恰好等于曲线f(x)的割线AB的斜率.
O
A
B
y
y=f(x)
x0
X0+△x
f(x0)
f(X0+△x)
△x
引入:我们学习过函数平均变化率，如函数f (x)在x0附近的平均变化率为
这就是平均变化率的几何意义.
思考：函数瞬时变化率（即导数）又有什么几何意义吗？
x
观察图形，回答下列问题：
问题1：曲线的割线与切线有什么关系？
问题2：曲线在某点处切线与在该点处的
导数有什么关系？
探究点1: 曲线的切线
如图,观察当点B沿着曲线逐渐向点A接近时,割线AB绕着点A逐渐转动的情况.
A
B
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
D
我们发现,当点B沿
着曲线无限接近点A，
即Δx →0时,割线AB有
一个极限位置AD.则我
们把直线AD称为曲线在
点A处的 .
切线
【思考】曲线切线的斜率与A点的瞬时变化率有何关系？
如图,继续观察当点B沿着曲线逐渐向点A接近时,割线AB绕着点A逐渐转动的情况.
探究点2:导数的几何意义
A
B
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
D
这表明，函数在某点处的导数
等于曲线在该点处的 .
切线的斜率
例1
解：
1.解：
【变式练习】
例2
解：
例3
解：
[3x02+3Δx·x0+(Δx)2]=3x02
已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记 k1=f′(1)，
k2=f′(2)，k3=f(2)-f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为
　　　　　.(请用“>”连接)
1.已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1=f′(1)，
k2=f′(2)，k3=f(2)-f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为
　　　　　.(请用“>”连接)
2.曲线y= 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角
形的面积是　　　　.
例4.
解:
3.如图,已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)点P处的切线方程是y- =4(x-2),即12x-3y-16=0.
1.导数的几何意义
函数在某点处的导数等于
曲线在该点处的切线的斜率.

展开更多......

收起↑