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2025学年北京市石景山区七年级（下）期末数学自编练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.下面是投影屏上出示的填空题，需要回答描线上符号代表的内容．
则回答正确的是( )
A. 代表 B. @代表同位角 C. 代表直角 D. 代表
3.设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中错误的是( )
A. 三角形三条中线的交点是三角形的重心 B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 等腰三角形底边的中线是它的对称轴 D. 三角形任意两边之和大于第三边
5.某学校初一年级学生来自农村、牧区、城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下个判断，其中错误的有( )
该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为：：．
若已知该校来自牧区的初一学生为人，则初一学生总人数为人．
若从该校初一学生中抽取人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取、、人，样本更具有代表性．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形 ，把剩下的部分沿对角线剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是( )
A. B.
C. D.
7.若，与互为余角，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.下列多项式中，分解因式的结果为的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.把因式分解的结果是______．
10.“的倍与的差不大于”列出不等式是______．
11.将一副直角三角板，按如图叠加放置，其中与重合，，将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的平分线，当三角板旋转至如图的位置时，的度数为______
12.若和都是方程的解，则 ______．
13.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小天利用直尺和三角板进行如下操作：
老师说：“小天的作法正确．”
请回答：小天的作图依据是__________．
14.为弘扬传统文化，某校结合当地实际情况，面向社会公开招聘一名数学课课后服务教师，设置了笔试、面试、试讲三项测试每项成绩的满分均为分，某应聘者的成绩如表所示该校规定综合成绩按照笔试占，面试占，试讲占进行计算，则这名应聘者的综合成绩为______分
测试内容 笔试 面试 试讲
成绩分
15.解不等式组：
解：解不等式，得______．
解不等式，得______．
在同一数轴上表示不等式、的解集，如图，
可知所求不等式组的解集是______．
16.初三所有班级中人数最少的有人，最多的有人，在最近一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了分，小楠抱怨道：“我们女生就是分的小倩拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多分．”小西反驳说：“我们男生要是不算得了分的小强，平均分也会再多分．”班长小北听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小倩和小强的体育成绩都能提高到分，那么男生和女生的平均分就一样了．”请问：整数______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是，例如，．
按照这个规定请计算的值；
按照这个规定请求中的．
18.本小题分
解方程组：．
19.本小题分
解方程：；
解不等式组：．
20.本小题分
解下列方程组或不等式组．
21.本小题分
完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，请你解决下列问题：
若，，则 ______．
若，则 ______．
已知，求的值．
22.本小题分
先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题：
分解因式：______；
若的三边长是，，，且满足，边的长为奇数，求的周长的最小值；
当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
23.本小题分
如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图．
过点画出的平行线；
将向右平移格，向上平移格，请画出经平移后得到的．
24.本小题分
某商店计划购进、两种玩具，已知购进件玩具和件玩具共需要元，购进件玩具和件玩具共需要元．
求每件、玩具的进价分别是多少元？
商店计划用不超过元的资金购进、两种玩具共件，如果商店将这批玩具全部销售，种玩具每件可获利元，种玩具每件可获利元，那么商店应购进种玩具多少件时获得利润最多？
25.本小题分
一个角的补角比这个角的余角的倍多，请你计算出这个角的大小．
26.本小题分
解不等式及不等式组组
；
．
27.本小题分
已知一次函数，．
若，求的取值范围；
若关于的一元一次不等式组的解集为，求的值；
若，对于任意的，都有，求的取值范围．
28.本小题分
开展阳光体育运动，要以“达标争优，强健体魄”为目标某学校为了解全校学生利用课外时间进行体育锻炼的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外锻炼时间小时，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表根据图表信息，解答下列问题：
锻炼时间小时 频数人 百分数
求抽取的学生总人数和，的值；
补全频数分布直方图；
将抽取的学生一周的课外锻炼时间绘制成扇形统计图，若将课外锻炼时间在的学生评为“体育小标兵”，求被评为“体育小标兵”的学生所在扇形圆心角的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B错误；
C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C正确；
D、不是同类项不能合并，故D错误；
故选：．
根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变是解题关键．
2.【答案】
【解析】证明：过点作直线，使．
，
，两直线平行，内错角相等，
平角定义，
等量代换，
即．
代表，@代表同位角，代表平角，．
故选：．
欲证明三角形的三个内角的和为，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答．
本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，且是整数，
的最大值是；
，且是整数，
的最大值是：；
，且是整数，
的最大值是：；
，且是整数，
的最大值是：．
故选：．
首先根据，且是整数，判断出的最大值是，所以的最大值是；然后根据，求出的最大值，再根据，求出的最大值即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：、三角形三条中线的交点是三角形的重心，说法正确，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，底边中线所在的直线是它的对称轴，说法错误，符合题意；
D、三角形任意两边之和大于第三边，说法正确，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念、三角形的性质以及平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题与定理、三角形的性质以及平行线的性质，正确掌握相关概念以及性质定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：，
该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为：：：：，故正确，不符合题意；
若已知该校来自牧区的初一学生为人，则初一学生总人数为人，故错误，符合题意；
人，
人，
人，
故正确，不符合题意；
故选：．
根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．
本题考查了扇形统计图，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．
6.【答案】
【解析】此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式，分别求得第一个图形阴影部分的面积和第二个图形阴影部分的面积即可得出结论．
解：第一个图形阴影部分的面积，
第二个图形阴影部分的面积，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：根据余角的定义列式计算可得．
故选：．
根据余角的定义列式计算即可．
本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故选B．
整式乘法和因式分解是相反方向的互逆变形，根据二者关系，将按整式乘法中的平方差公式展开后可得．
本题考查整式乘法与因式分解的关系，对此应掌握整式乘法中和因式分解中的公式，并能灵活进行应用．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
不大于就是小于等于，根据的倍与的差不大于可列出不等式．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是理解“不大于”的意思，从而可列出不等式．
11.【答案】
【解析】解：，分别为，的角平分线，
，，
；
故答案为：．
由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数．
本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差是解题关键，注意要分情况讨论．
12.【答案】
【解析】解：和都是方程的解，
，
解得：，
则，
故答案为：．
根据二元一次方程组的解的定义得到关于，的二元一次方程组，解得，的值后计算的值即可．
本题考查二元一次方程组的解，理解其解的意义是解题的关键．
13.【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】
本题考查的是作图基本作图及平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键根据同位角相等即可得出结论．
【解答】
解：由作法可知，
，
．
故答案为同位角相等，两直线平行．
14.【答案】
【解析】解：应聘者的综合成绩为分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15.【答案】；；
【解析】解：解不等式，得，
解不等式，得，
在同一数轴上表示不等式、的解集，如图，
故所求不等式组的解集是．
故答案为：，，．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设该班女生有人，男生有人，女生的平均分为分，则男生的平均分为分，
依题意，得：，
由，得：；
由，得：．
将代入，得：，
，
，
．
将代入，得：，
；
将代入，得：，
．
为正整数，
，为的倍数．
，即，
．
又为正整数，且为的倍数，
．
故答案为：．
设该班女生有人，男生有人，女生的平均分为分，则男生的平均分为分，根据小楠、小西及小北的言论，即可得出关于，，的方程组，由变形后代入可得，分别将代入可得出，，结合为正整数且，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再由为正整数且为的倍数，即可求出的值．
本题考查了二元一次不定方程的应用，根据班级人数的要求，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
由题意可知：，
，
，
或．
【解析】根据新定义运算法则即可求出答案．
化简原式，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
本题新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于中等题型．
18.【答案】解：，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
则原方程组的解为．
【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
由得；，
由得：，
则不等式组的解集是；
【解析】根据配方法的步骤，先移项，再两边同时加上，再直接开平方即可求出答案；
分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，用到的知识点是配方法和一元一次不等式组的解法，关键是找出解集的公共部分．
20.【答案】解：
，得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
所以方程组的解为；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
【解析】利用加减消元法求解可得；
分别求出每个不等式的解集，再根据“小大大小，取中间”确定不等式组的解集．
本题主要考查解二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组、解一元一次不等式的基本步骤．
21.【答案】；
；
．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，
，
故答案为：；
令，，
则，，
那么，
即，
，
，
，
即．
将两边同时平方并利用完全平方公式展开，然后代入已知数值解得的值即可；
将两边同时平方并利用完全平方公式展开后解得的值即可；
令，，则，，将两边同时平方并利用完全平方公式展开，然后代入已知数值解得的值即可．
本题考查整式的混合运算，理解题意并进行正确地变形是解题的关键．
22.【答案】解：；
故答案为：；
，
，
，
，，
解得，，，
的三边长是，，，
，
又边的长为奇数，
，，，
当，，时，的周长最小，最小值是：；
，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值是．
【解析】根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；
根据题目中的式子，利用配方法可以求得、的值，根据三角形三边关系确定的值，由三角形周长可得结论；
根据配方法即可求出答案．
本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．
23.【答案】解：如图所示，直线即为所求；
如图所示，即为所求．
【解析】根据平行线的概念，结合网格作图即可；
将点、、分别向右平移格，向上平移格得到其对应点，再首尾顺次连接即可得．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．
24.【答案】解：设每件玩具的进价为元，每件玩具的进价为元，
由题可得：，
解得，
答：每件玩具的进价为元，每件玩具的进价为元；
设应购进中玩具件，则购进种玩具件，商店所获利润为元，
由题可得，
解得，，
又因为，
因为，所以随的增大而减小，
所以当时，有最大值：元，
答：商店购进种玩具件时获得利润最多．
【解析】根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价；
由资金限制列不等式求得玩具数量的范围，再由利润和玩具数量的函数关系，确定的具体数量．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
25.【答案】解：设这个角为，
由题意得，，
解得，
答：这个角的度数是．
【解析】设这个角为，由题意得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了余角和补角，能根据题意得出方程是解此题的关键，注意：的余角是，的补角是．
26.【答案】解：去分母得：
移项得：，
合并同类项得：，
把的系数化为得：；
，
由得：，
由得：，
故不等式组的解集为：．
【解析】首先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为可．
首先分解解出两个不等式，再根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
27.【答案】解：，．
时，，解得，
即若，的取值范围是；
，，
关于的一元一次不等式组：即为，
解得，
关于的一元一次不等式组：的解集为，
，，
解得，，
；
把代入得，，
当时，对于的每一个值，都有，
当时，，即，
解得，
故的取值范围是．
【解析】将，代入，得到不等式，即可求出的取值范围；
解不等式组：即为，求出，根据不等式组的解集为，得出，，求出，，代入，计算即可．
求得时所对应的的值，根据题意即可得到关于的不等式，解不等式即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式组，以及代数式求值，都是基础知识，需熟练掌握．
28.【答案】解：抽取的学生总人数为人，
，
；
补全频数分布直方图如下．
被评为“体育小标兵”的学生所在扇形圆心角的度数为．
【解析】由的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以第组对应百分比可得的值，总人数乘以第组对应的百分比即可得出答案；
根据以上所求、的值即可补全图形；
用乘以课外锻炼时间在的学生人数所占比例即可．
本题考查的是频数率分布表与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

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