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2025年济南市莱芜区汶源学校九年级学业水平考试
数学模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．-3的绝对值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2．如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．将数字55000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上．若，则等于（ ）
A．115° B． C．135° D．145°
5．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ab>cb B．
C． D．
6．甲骨文是汉字始祖，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
9．反比例函数，图象如图所示，点在图象上，连接交图象于点，则的比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知将抛物线沿轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”）．现将抛物线沿轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接写答案．
11．因式分解：_____．
12．某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是_____小时．
13．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则表示重心的点是_____．
14．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示根据图象信息知，点的坐标是_____．
15．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为_____．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分7分）
计算：．
17．（本小题满分7分）
解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解．
18．（本小题满分7分）
如图，已知矩形中，E、F是上两点，且，求证：．
19．（本小题满分8分）
雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．
（参考数据：，，）
20．（本小题满分8分）
某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了_____名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于_____度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为_____人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少
21．（本小题满分9分）
如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，的半径为2，求线段的长度．
22．（本小题满分10分）
《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将于2022年9月正式实施，在第四学段（7~9年级）中要求：“独立制作午餐或晚餐中的3~4道菜”．某厂根据委托开始生产A，B两种型号的炒锅．王师傅在该厂工作，每月工作22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给工人发工资．王师傅每小时可以生产4个A型炒锅或6个B型炒锅．已知王师傅生产3个A型炒锅和2个B型炒锅可得工资23元，生产4个A型炒锅和3个B型炒锅可得工资32元．
（1）王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可得多少工资？
（2）工厂规定每个人生产的A型炒锅的数量不得低于B型炒锅数量的2倍，那么王师傅每个月应该生产A型炒锅、B型炒锅各多少个才能得到更多的工资，此时工资是多少元
23．（本小题满分10分）
如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数图象交于另一点，射线与轴交于点，，轴，垂足为．
（1）求的值；
（2）求的值及直线的解析式；
（3）如图2，是线段上方反比例函数图象上一动点，过作直线轴，与相交于点，连接，求面积的最大值．
24．（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在第一象限．
（1）如图1，若，抛物线交轴于点，交轴于点．
①求，两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的坐标；
（2）如图2，是抛物线对称轴与轴的交点，是轴负半轴上一点，，是轴下方抛物线上的两点，若四边形TMNP是平行四边形，且，求的最大值．
25．（本小题满分12分）
如图1，点是正方形边上任意点，以为边作正方形，连接．点是线段中点，射线与交于点，连接．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系：_____；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点顺时针旋转，此时点、恰好分别落在线段、上，如图2所示，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）若，．
①把图1中的正方形DEFG绕点顺时针旋转，此时点恰好落在线段上，连接，如图3所示，其他条件不变，计算EM的长度；
②若把图1中的正方形DEFG绕点顺时针旋转一周，请直接写出的最大值．
2025年济南市莱芜区汶源学校九年级学业水平考试
数学模拟试题参考答案评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B A D D B A D
评分意见：每小题选对的得4分，多选、错选或不选的均不得分．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共50分．每小题只有一个选项符合题目要求．
11． 12．11 13．点
14．（40，1600） 15．
三、解答题：本题共10小题，共86分．
16．解：原式．
17．解：
解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集是，
该不等式组的所有整数解为0，1，2，3．
18．证明：为矩形，，．
，．．．．
19．解：延长交于点，
由题意得：，，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
雷峰塔的高度约为．
20．解：（1），
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）最喜欢舞蹈类的人数为（人），
补全条形统计图为：
（4）50；72；640；
（5）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率．
21．解：（1）连接OA，是的切线，是的半径，
，，
，，，
；
（2），，，，
，，
，，，，
，．
22．解：（1）设王师傅生产一个型炒锅可得元工资，生产一个型炒锅可得元工资，
依题意得：，解得：．
答：王师傅生产一个A型炒锅可得5元工资，生产一个B型炒锅可得4元工资．
（2）设王师傅每个月生产个小时的型炒锅，则生产个小时的型炒锅，
依题意得：，
解得：．
设王师傅每个月的工资为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值，
此时，．
答：王师傅每个月应该生产A型炒锅528个，B型炒锅264个才能得到更多的工资，此时工资是3696元．
23．解：（1）把代入
得；
（2）作于，如图1，
把代入反比例函数解析式得，
点坐标为，，，
为等腰直角三角形，，
，，
；
轴，，，
，，，
点坐标为（0，-1），
设直线的解析式为，
把、代入得
解，直线的解析式为；
（3）设点坐标为，
直线轴，与相交于点，点的横坐标为，
点坐标为，
，
，
，当时，有最大值，最大值为．
24．解：（1）当时，抛物线的解析式为，
①当时，，解得，，
，．
②连接交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如图所示：
由题意，得，，（AAS），
，点为的中点，由，，点的坐标为，
求得的解析式为，
由，得，
解得，（舍去），
点为；
（2）过点作轴，垂足为，
是抛物线对称轴与轴的交点，，
是轴负半轴上一点，设．
，且，
，，
两式相加，得，
，为等腰直角三角形，，，，
整理为关于的方程为，
由题意，得，
解得，
此时关于的方程的两根之和，
当时，必有正根，的最大值是．
25．解：（1），；
（2）成立．
方法一：如图2，连接，，作于，
四边形DEFG和四边形DABC是正方形，
，
，，三点共线，
为的中点，
，，三点共线，
在和中，
（SAS），
，，
为的中点，，
，又，
，
，，
，，，，，（1）中的结论成立．
方法二：延长，交于点，连接，，
，
，
为的中点，，
在和中，
（AAS），，
，，
在和中，
（SAS），
，，
为的中点，，
，，
即，．
（3）①解：连接，，过点作于点，
四边形和四边形都是正方形，
，，点，，在同一直线上，
，，为的中点，
，，
，又，，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，，
在中，，，
，，，
；
②由（2）可知，，是等腰直角三角形，
当最大时，最大，
当点旋转至下方时，且，，共线时最大，此时，
设，，
解得，的最大值为．

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