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4.5《函数模型及其应用》课堂训练
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.牛奶的保鲜时间因储藏时温度的不同而不同当储藏温度为时，保鲜时间为当储藏温度为时，保鲜时间为假定保鲜时间与储藏温度之间的关系式为，则当储藏温度为时牛奶的保鲜时间为( )
A. B. C. D.
2.科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率单位：心跳次数与体重单位：的次方成反比若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为次，的脉搏率是次，则的体重为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代已知碳的半衰期为年现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的，则该遗址大约距今
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长某公司现有新一代芯片、两套研发方案，若设计方案中初始计算量为，每年增长设计方案中初始计算量为，每年增长如此预计至少几年后设计方案计算量更高参考数据：，
A. B. C. D.
6.专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高某地发生海水倒灌，未来需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机经测算，需要调用台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调若抽调的抽水机每隔才有一台到达施工现场投入工作，要在内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机( )
A. 台 B. 台 C. 台 D. 台
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.已知函数若的最小值为，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增
C. D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
8.心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率假设一个学生有个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了个单词该学生记忆个单词大约需要 ．
9.雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小为了简化问题小明做出下列假设：
假设：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形“纸片人”；
假设：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设：伞柄长为，可绕矩形“纸片人”上点旋转；
假设：伞面为被伞柄垂直平分的线段，．
如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿阴影部分的面积______结果精确到
10.增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域该模型的数学表达式为，其中表示时刻的种群数量，为环境的最大承载容量种群数量的上限，为初始时刻的种群数量，为种群的内禀增长率与繁殖率、死亡率相关，．
若，，则初始时刻生物种群的增长速度是______；
若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是______用，表示
11.如图，一块边长为的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域阴影部分的面积为若设，，则的最大值为__________．
12.函数，若，则 ；
若函数是上的增函数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，每件产品售价为元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式．注：年利润年销售收入固定成本变动成本
年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
14.本小题分
某市有一特色酒店由座完全相同的帐篷构成如图每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体如图经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为千元，下方圆柱体的侧面隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为千元，设所有帐篷的总建造费用为千元．
求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．
15.本小题分
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建立一个内接矩形花园阴影部分，则其一边长为单位：，设花园面积为，
Ⅰ当时，求花园面积；
Ⅱ欲建一个面积最大的内接矩形花园，求其边长的值；
16.本小题分
教练对小悦推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度单位：与水平距离单位：之间的函数解析式为．
如图所示，求点的坐标，并指出它表示的实际意义
小悦第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球行进的水平距离为时，铅球行进的高度为，求铅球推出的距离的长
小悦第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求第二次铅球行进的最大高度．
17.本小题分
某网店试销一种成本为元的亚运会吉祥物相关工艺品，试销期间销售单价不低于成本价经试销测算发现，销售量个与销售单价元之间的关系见表所列．
若销售量个与销售单价元之间符合一次函数关系式，试根据题表求此关系式
若该网店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，网店可获得利润最大最大利润是多少元
18.本小题分
科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差
若，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度是多少
若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍
19.本小题分
甲厂以千克小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求，每小时可获得的利润是元．
要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围
要使生产千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度并求最大利润．
20.本小题分
经调查测算，某产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足为常数，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件．已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍产品生产成本包括固定投入和再投入两部分资金．
将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
该厂家年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，得
所以 ，
当 时， ，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：依题意，设，
由，，
得，
则，
当时，，
所以．
故选：．
根据给定信息求出关系式，再代入计算即得．
本题考查了函数在生活中的实际运用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于拔高题．
化简，而方程的解为，
方程的解为，，故只需，从而可得答案．
【解答】
解：，
而方程的解为，方程的解为，；
若函数恰有三个不同的零点，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位，
则经过年动物标本中碳含量为，
令，则年．
5.【答案】
【解析】解：因为设计方案中初始计算量为，每年增长即，
则年后方案的计算量为，
因为设计方案中初始计算量为，每年增长即，
则年后方案的计算量为，
当时，，
因为，两边同时除以，得到，
进一步变形为，即，
则，
因为，
可得，
将，代入得：，
因为为年数，需取整数，所以．
6.【答案】
【解析】【分析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机完成的任务为单位，台抽水机完成的任务依次为，，是公差为的等差数列，解不等式即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论．
【详解】设至少需要台抽水机，记一台抽水机完成的任务为单位，这台抽水机完成的任务依次为，
依题意，，是公差为的等差数列，
，
要完成所有任务，则，
，
记，在上是减函数，
，，
所以时，，
所以最小值需要台抽水机，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，
由条件知，否则的最小值不是，
函数在上单调递减，，
则，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，正确的选项是．
故选：．
利用基本不等式可得时，当时取最小值，把时的二次函数配方，分析可得，得到函数在上单调递减，可得，解得；在分析在时的单调性，结合选项得答案．
本题考查分段函数的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，
解得，则，，
故，，
，，
．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作对边的垂线，垂足为点，
过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，
由题意，，
因为为的中点，
所以，
又，
所以，，
又，，
由正弦定理，
所以，
又，
所以，
，
所以，
所以
，
所以阴影部分面积为．
故答案为：．
过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了利用正弦定理解三角形、数形结合思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，对求导来得到种群增长速度的表达式，
令，则，
根据复合函数求导法则，先对关于求导，，
再对关于求导，，
那么，
然后将即，代入增长速度表达式，
当时，，
把代入得：
，
故初始时刻生物种群的增长速度是；
对于，当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，即，
把代入可得：，
两边同时约去得：，
则，即，
把代入种群增长速度表达式，
此时，
所以当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是．
故答案为：；．
首先求种群增长速度的表达式，对求导得到种群增长速度表达式，根据已知条件确定，，的值，再结合初始时刻，将这些值代入计算出初始时刻生物种群的增长速度；
当种群数量达到环境最大承载容量一半时，即，代入表达式求出的值，将的值代入种群增长速度表达式，计算出此时生物种群的增长速度．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的实际应用，以及基本不等式的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用，利用基本不等式求出面积的最小值即可．
【解答】
解：因为，，，所以，
令，则，而，
所以，
，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题．
直接代入求解即可；根据分段函数单调递增需要满足的条件，列出对应的不等式组即可求解结论．
【解答】
解：函数，
若，则，
故，；
函数是上的增函数，
，解得，即的取值范围是．
故答案为：；．
13.【答案】解：每件产品售价为元，万件产品的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，．
当时，，
当时，取得最大值．
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值．
，
当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元．
【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题，二次函数的最值，由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
根据“年利润年销售收入固定成本变动成本”，分和即可求出的解析式；
根据二次函数和基本不等式分别求出在和时的最大值，比较即可得到答案．
14.【答案】解：由题意可得，
所以，
所以，即；
因为，，
所以，则，
所以定义域为，
设，，
则，令，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取极小值也是最小值，且．
答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．

【解析】本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．
由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得，再由，则，所以定义域为
，，根据导函数求出其最小值即可．
15.【答案】Ⅰ设矩形的另一边长为，
由题意可得，
，
；
Ⅱ设矩形的另一边长为，
由题意可得，
，
，
，，
时，函数取得最大值

【解析】本题主要考查函数模型的应用，以及二次函数求最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于一般题．
Ⅰ设矩形的另一边长为，利用三角形相似，求出，代入面积公式即可求出；
Ⅱ设矩形的另一边长为，利用三角形相似，将用表示，再对二次函数进行配方，然后根据二次函数的性质可知开口向下的二次函数在对称轴处取最大值，从而求出所求．
16.【答案】解：点的坐标为，
它表示的实际意义是铅球被推出时的初始高度．
由题意得，
又抛物线经过点，
，解得，
，
当时，，
解得，舍去．
铅球推出的距离的长为．
，
又，解得，
．
当时，，
即第二次铅球行进的最大高度为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：设，
则
则．
，
当单价元时，取得最大值，此时网店可获利最多
利润的最大值为元．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：将，代入函数式可得：
，
故此时候鸟飞行速度为
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得：
，
两式相减可得：，于是，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】．
19.【答案】解：生产该产品小时获得的利润为，
根据题意，，
即，
或，
，
；
设利润为元，则生产千克该产品获得的利润为，
，
，
时，取得最大利润为元，
故甲厂应以千克小时的速度生产，可获得最大利润为元．

【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．
求出生产该产品小时获得的利润，建立不等式，即可求的取值范围；
确定生产千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．
20.【答案】解：由题意可知，当时，，
，解得，即，
每万件产品的销售价格为万元，
年的利润


．
与之间的函数关系式是．
由知．
当时，，
当且仅当，即时取等号．
，
即当时，取得最大值为．
当该厂家年的促销费用投入万元时，厂家获得的利润最大，为万元．

【解析】本题考查函数模型的应用和利用基本不等式求最值，属中档题．
由题意可知，当时，，，解得，即，每万件产品的销售价格为万元，年的利润；
由知，当时，利用基本不等式求最值，即可得当该厂家年的促销费用投入万元时，厂家获得的利润最大，为万元．

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