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第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
[课程标准要求]
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征.
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点, 但不一定相等 延长线 交于一点
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
正棱锥的性质:
(1)各侧棱长相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.
(2)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
(2)旋转体的结构特征.
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等,垂直于底面 相交于 一点 延长线 交于一点
轴截面 矩形 等腰 三角形 等腰梯形 圆面
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
由直观图的画法规则可知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧= π(r1+r2)l
4.简单几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱 和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh
锥体(棱锥 和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh
台体(棱台 和圆台) S表面积= S侧+S上+S下 V=(S上+ S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3
1.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
2.球的截面性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r=.
3.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图=S原图形.
1.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC,则剩余的部分是(　　)
[A] 三棱锥 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 组合体
2.(人教A版必修第二册P112习题8.2 T2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(　　)
[A] 正三角形 [B] 锐角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角三角形
3.(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为(　　)
[A] 4π [B] 6π [C] 8π [D] 10π
4.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　)
[A] 2π [B] 3π [C] 6π [D] 9π
5.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P－ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,∠ABC为直角,且PA=AB=BC=2,则四面体P－ABC的体积为　　　　.
考点一　空间几何体的结构特征、直观图
1.下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
[A] 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
[B] 用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形
[C] 直平行六面体是长方体
[D] 存在每个面都是直角三角形的四面体
2.给出下列四个命题,正确的是(　　)
[A] 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
[B] 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
[C] 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
[D] 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
3.已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
[A] a2 [B] a2 [C] a2 [D] a2
4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O′A′∥
B′C′,∠O′A′B′=90°,O′A′=1,B′C′=2,则原四边形OABC的面积为(　　)
[A] [B] 3 [C] 4 [D] 5
1.空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:紧扣定义,由已知条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
2.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图形中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接画出.
考点二　空间几何体的表面积与体积
角度1　空间几何体的表面积
[例1] (1)我国古代有一种容器叫方斗,方斗的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台),如果一个方斗的容积为28 L(1 L=1 dm3),上底面边长为4 dm,下底面边长为2 dm,则该方斗的表面积为(　　)
[A] (20+3) dm2 [B] (20+4) dm2
[C] 56 dm2 [D] (20+12) dm2
(2)如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成,其中圆柱的高为2 m,底面半径为4 m,O是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以O为球心,半径为4 m的球相切,则圆锥的侧面积为(　　)
[A] 8π m2 [B] 16π m2
[C] 20π m2 [D] 40π m2
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.
角度2　空间几何体的体积
[例2] (1)如图所示一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2) (2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,
BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　)
[A] [B] +
[C] [D]
求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法:规则几何体的体积问题,直接利用公式进行求解.
(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体.
(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·浙江温州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为(　　)
[A] 33π [B] 39π [C] 48π [D] 57π
2.(角度2)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍薨者,下有袤有广,而上有袤无广,刍,草也,薨,屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示),下底面是边长为2的正方形,上棱EF=,EF∥平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍薨的体积为(　　)
[A] 6 [B] [C] [D] 12
考点三　折叠与展开问题
[例3](1)(2025·贵州贵阳模拟)某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是2 cm和4 cm)铁皮材料,通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为(　　)
[A] cm [B] 1 cm
[C] cm [D] cm
(2)《增删算法统宗》中许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的底面圆周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长得和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(　　)
[A] 21尺 [B] 25尺 [C] 29尺 [D] 33尺
多面体展开图问题的解题策略
绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
[针对训练] (1)(2025·江西九江模拟)已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆,则该圆锥的体积是(　　)
[A] [B] π
[C] [D] 8π
(2) (2025·吉林白山模拟)如图,这是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,半径为
3 km,山高为3 km,B是山坡SA上一点,且AB=7 km.现要建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最短时,公路上坡路段长为(　　)
[A] 10.2 km [B] 12 km
[C] km [D] km
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
空间几何体的 结构特征、直观图 1,2,3
空间几何体的表面积、体积 4,6,7,10,13
折叠与展开问题 5,11
综合应用 8,9,12,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南郑州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
2.(2025·江苏南通模拟)从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体,则该四面体不可能(　　)
[A] 每个面都是等边三角形
[B] 每个面都是直角三角形
[C] 有一个面是等边三角形,另外三个面都是直角三角形
[D] 有两个面是等边三角形,另外两个面是直角三角形
3.(2025·四川成都模拟)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行),O′B′=2O′D′=6,O′C′=8,则△OAB的面积为(　　)
5.如图,圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台,已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为,则圆台的侧面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D] 8π
6.(2025·天津模拟)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2两部分,则V1∶V2等于(　　)
[A] 1∶1 [B] 4∶3
[C] 6∶5 [D] 7∶5
7.(5分)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2－r1),3(r2－r1),则圆台甲与乙的体积之比为　　　　.
8.(12分)如图所示,O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图,其中O′A′=3,
O′C′=1,B′C′=1.
(1)画出四边形OABC的平面图形,标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若该四边形OABC以OA所在直线为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
9.(多选题)(2025·河北邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,这个角接近30°,若取θ=30°,侧棱长为 m,则(　　)
[A] 正四棱锥的底面边长为6 m
[B] 正四棱锥的底面边长为3 m
[C] 正四棱锥的侧面积为24 m2
[D] 正四棱锥的侧面积为12 m2
10.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,
∠AOB=,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为(　　)
[A] π [B] π
[C] 3π [D] 3π
11.(2025·云南昆明模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,M是棱B1C上的一个动点(含端点),则MA+MC1的最小值为(　　)
[A] 4 [B] 2+
[C] + [D] 2
12.(2025·福建泉州模拟)已知△SAB是圆锥SO的轴截面,点C在SA上,且AC=.若过点C且平行于SB的平面恰过点O,且该平面与圆锥底面所成的二面角等于,则该圆锥的体积为(　　)
[A] [B] π [C] 3π [D] 9π
13.(5分)如图,在几何体ABECDF中,EF∥AD∥BC,梯形ABCD和梯形AEFD为等腰梯形,
AD=2EF=2BC=2AE=2AB=2BE,若几何体ABECDF的体积为,则AB=　　　　.
14.(17分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=,AB=4,E为BC上一点,满足BE=3EC,将菱形沿BD对折,形成四面体C－ABD,满足AC=BC.
(1)设折叠前△AED的面积为S1,折叠后的面积为S2,求的值;
(2)求三棱锥E－ABD的体积.
15.我国南北朝时期的祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体,如图,将底面半径都为b,高都为a(a>b)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置在同一平面β上,用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明S圆=S圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4的椭球的体积是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
16.(2025·河南信阳模拟)如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积（解析版）
[课程标准要求]
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征.
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点, 但不一定相等 延长线 交于一点
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
正棱锥的性质:
(1)各侧棱长相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.
(2)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
(2)旋转体的结构特征.
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等,垂直于底面 相交于 一点 延长线 交于一点
轴截面 矩形 等腰 三角形 等腰梯形 圆面
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
由直观图的画法规则可知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧= π(r1+r2)l
4.简单几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱 和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh
锥体(棱锥 和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh
台体(棱台 和圆台) S表面积= S侧+S上+S下 V=(S上+ S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3
1.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
2.球的截面性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r=.
3.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图=S原图形.
1.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC,则剩余的部分是(　　)
[A] 三棱锥 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 组合体
【答案】 B
【解析】 在三棱台A′B′C′－ABC中,沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC,剩余的部分是以A′为顶点,四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′－BCC′B′.故选B.
2.(人教A版必修第二册P112习题8.2 T2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(　　)
[A] 正三角形 [B] 锐角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角三角形
【答案】 D
【解析】 由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以
△ABC是直角三角形.故选D.
3.(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为(　　)
[A] 4π [B] 6π [C] 8π [D] 10π
【答案】 C
【解析】 由题意可知该球为圆柱的外接球,所以球心为圆柱的中心,设球半径为r,则r==,故该球的表面积为4πr2=8π.故选C.
4.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　)
[A] 2π [B] 3π [C] 6π [D] 9π
【答案】 B
【解析】 设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为,
而它们的侧面积相等,所以2πr×=πr×,即2=,故r=3,
故圆锥的体积V=π×9×=3π.故选B.
5.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P－ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,∠ABC为直角,且PA=AB=BC=2,则四面体P－ABC的体积为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知PA⊥平面ABC,∠ABC=,PA=AB=BC=2,所以=AB·BC=2,所以=S△ABC·PA=×2×2=.
考点一　空间几何体的结构特征、直观图
1.下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
[A] 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
[B] 用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形
[C] 直平行六面体是长方体
[D] 存在每个面都是直角三角形的四面体
【答案】 D
【解析】对于A,只有当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;对于B,当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆面,否则为椭圆面或椭圆面的一部分,B不正确;对于C,直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直,所以底面可以是平行四边形,它不是长方体,C不正确;对于D,如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC,四个面都是直角三角形,D正确.故选D.
2.给出下列四个命题,正确的是(　　)
[A] 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
[B] 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
[C] 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
[D] 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
【答案】 D
【解析】对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错误;对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错误;对于C,若底面不是矩形,则C错误;对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确.故选D.
3.已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
[A] a2 [B] a2 [C] a2 [D] a2
【答案】 A
【解析】 法一　根据题意,建立如图(1)所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出
△ABC的直观图,如图(2)所示.
由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a.作C′D′⊥A′B′于D′,则C′D′=O′C′=a,S△A′B′C′=A′B′·C′D′=a·a=a2.故选A.
法二　易得S△ABC=a2,所以S△A′B′C′=S△ABC=a2.故选A.
4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O′A′∥
B′C′,∠O′A′B′=90°,O′A′=1,B′C′=2,则原四边形OABC的面积为(　　)
[A] [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 B
【解析】法一　由已知求得O′C′=,把直观图还原为原图形如图,
可得原图形为直角梯形,OA∥CB,OA⊥OC,且OA=1,BC=2,OC=2,得原四边形OABC的面积为×(1+2)×2=3.故选B.
法二　由题意知A′B′=1,
所以S直观图=×(1+2)×1=,
所以S原图形=2S直观图=3.故选B.
1.空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:紧扣定义,由已知条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
2.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图形中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接画出.
考点二　空间几何体的表面积与体积
角度1　空间几何体的表面积
[例1] (1)我国古代有一种容器叫方斗,方斗的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台),如果一个方斗的容积为28 L(1 L=1 dm3),上底面边长为4 dm,下底面边长为2 dm,则该方斗的表面积为(　　)
[A] (20+3) dm2 [B] (20+4) dm2
[C] 56 dm2 [D] (20+12) dm2
(2)如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成,其中圆柱的高为2 m,底面半径为4 m,O是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以O为球心,半径为4 m的球相切,则圆锥的侧面积为(　　)
[A] 8π m2 [B] 16π m2
[C] 20π m2 [D] 40π m2
【答案】 (1)D　(2)C
【解析】 (1)如图所示,高线为MN,由方斗的容积为28 L,可得28=×(4+16+)·MN,解得MN=3 dm.
由上底面边长为4 dm,下底面边长为2 dm可得
AM=2 dm,NB= dm,
AB==(dm),侧面梯形面积为×(2+4)×=3(dm2),
所以方斗的表面积为S=(22+42+4×3) dm2=(20+12) dm2.故选D.
(2)如图,设PO1=h,PA=l(h为圆锥的高,l为圆锥的母线长),
OM⊥PA,因为以O为球心,半径为4的球与圆锥侧面相切,则OM=4,
在△POA中,S△POA=(h+2)×4=×4l,可得h+2=l,
且h2+16=l2,则(l－2)2+16=l2,解得l=5,
所以圆锥的侧面积为S侧=πrl=π×4×5=20π(m2).故选C.
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.
角度2　空间几何体的体积
[例2] (1)如图所示一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2) (2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,
BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　)
[A] [B] +
[C] [D]
【答案】 (1)A　(2)C
【解析】 (1)由题意可知,容器中液体分为下半部分为圆柱,上半部分为圆台,
取轴截面,如图所示,O1,O2,O3分别为AB,CD,EF的中点,
可知AB∥CD∥EF,且O1B=O2C=2,O1O2=6,O2P=4,O2O3=1,O3P=3,
可得==,
即O3F=,
所以该容器中液体的体积为π×22×6+×[π×22+π×()2+]×1=.故选A.
(2)如图,延长AD到G,使DG=2,延长BE到H,使EH=1,连接AF,BF,GH,HF,GF,
可得AG=BH=CF=3,结合AG∥BH∥CF,可知几何体ABC－GHF为三棱柱,
因为四边形ABED与四边形HGDE全等,所以==,
由AG∥BH∥CF,且它们两两之间的距离为1可知,
当几何体ABC－GHF为正三棱柱时,底面边长为1,高为3,此时=×12×3=.根据棱柱的性质,若几何体ABC－GHF为斜三棱柱,体积也是,
因此==,可得该五面体的体积V==.故选C.
求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法:规则几何体的体积问题,直接利用公式进行求解.
(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体.
(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·浙江温州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为(　　)
[A] 33π [B] 39π [C] 48π [D] 57π
【答案】 C
【解析】 体积最大的圆锥的母线为l===5,则S表=S圆柱侧+S圆柱底+
S圆锥侧=2πrh+πr2+πrl=24π+9π+15π=48π.故选C.
2.(角度2)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍薨者,下有袤有广,而上有袤无广,刍,草也,薨,屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示),下底面是边长为2的正方形,上棱EF=,EF∥平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍薨的体积为(　　)
[A] 6 [B] [C] [D] 12
【答案】 B
【解析】 如图,作FN∥AE,FM∥ED,分别交AB,CD于点N,M,连接MN,则多面体被分割为棱柱与棱锥两个部分,则该刍薨的体积为+=S四边形MNBC·2+S直截面·=
×2×(2－)×2+×=.故选B.
考点三　折叠与展开问题
[例3](1)(2025·贵州贵阳模拟)某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是2 cm和4 cm)铁皮材料,通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为(　　)
[A] cm [B] 1 cm
[C] cm [D] cm
(2)《增删算法统宗》中许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的底面圆周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长得和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(　　)
[A] 21尺 [B] 25尺 [C] 29尺 [D] 33尺
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)设圆台的上底面半径为r cm,下底面半径为R cm,母线长为l cm,高为h cm,
由题意可得解得
所以该圆台的高为h== cm.故选C.
(2)如图所示,圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,由题意得AB=2丈=20尺,圆周长BE=3尺,则葛藤均匀绕圆柱7周,葛藤长为
BD===29(尺).故选C.
多面体展开图问题的解题策略
绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
[针对训练] (1)(2025·江西九江模拟)已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆,则该圆锥的体积是(　　)
[A] [B] π
[C] [D] 8π
(2) (2025·吉林白山模拟)如图,这是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,半径为
3 km,山高为3 km,B是山坡SA上一点,且AB=7 km.现要建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最短时,公路上坡路段长为(　　)
[A] 10.2 km [B] 12 km
[C] km [D] km
【答案】 (1)A　(2)D
【解析】 (1)设圆锥底面圆半径为r,母线为l,高为h.由题意得解得l=2,r=1,所以h==,所以该圆锥的体积是V=×π×12×=.故选A.
(2)依题意,半径为3 km,山高为3 km,则母线SA==12,
底面圆周长2πr=6π,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角α==,如图,是圆锥侧面展开图,
显然AB==13,
由点S向AB作垂线,垂足为点H,此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值,即点H为公路的最高点,AH段为上坡路段,HB段为下坡路段,由直角三角形射影定理知SA2=
AH·AB,
即122=13AH,解得AH= km,
所以公路上坡路段长为 km.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
空间几何体的 结构特征、直观图 1,2,3
空间几何体的表面积、体积 4,6,7,10,13
折叠与展开问题 5,11
综合应用 8,9,12,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南郑州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
【答案】 D
【解析】对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点,所以B错误;对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心,所以C错误;对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故
选D.
2.(2025·江苏南通模拟)从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体,则该四面体不可能(　　)
[A] 每个面都是等边三角形
[B] 每个面都是直角三角形
[C] 有一个面是等边三角形,另外三个面都是直角三角形
[D] 有两个面是等边三角形,另外两个面是直角三角形
【答案】 D
【解析】如图,四面体D－BA1C1每个面都是等边三角形,排除A;四面体A－DD1C1每个面都是直角三角形,排除B;四面体D－ABC1三个面是直角三角形,一个面是等边三角形,排除C.故选D.
3.(2025·四川成都模拟)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行),O′B′=2O′D′=6,O′C′=8,则△OAB的面积为(　　)
[A] 8 [B] 12
[C] 24 [D] 48
【答案】 D
【解析】 由直观图可得如图所示平面图形,
其中OB=O′B′=6,OD=O′D′=3,OC=2O′C′=16,AD∥y轴,且AD=OC=16,所以
S△OAB=×6×16=48.故选D.
4.(2025·河南洛阳模拟)如图,AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径,且AB⊥CD.O1,O2分别为上、下底面圆的圆心,若圆柱的轴截面为正方形,且三棱锥A－BCD的体积为4,则该圆柱的侧面积为(　　)
[A] 9π [B] 10π [C] 12π [D] 14π
【答案】 C
【解析】 设圆柱的母线长为2a,且圆柱的轴截面为正方形,则圆柱的底面圆的半径为a,连接O1C,O1D,O1O2,如图,由题意可知=2=2××AO1×=2××AO1×
×O1O2×CD=2××a××2a×2a=a3=4,解得a=,所以该圆柱的侧面积S=2π×a×2a=2π×
×2=12π.故选C.
5.如图,圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台,已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为,则圆台的侧面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D] 8π
【答案】 C
【解析】 假设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则R=1.设圆台的上底面半径为r,母线长为l1,则r=.由已知可得,==,所以l=6.作出圆锥、圆台的轴截面(图略),则==,所以l1=
4.所以圆台的侧面积为π(R+r)l1=(1+)×4π=.故选C.
6.(2025·天津模拟)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2两部分,则V1∶V2等于(　　)
[A] 1∶1 [B] 4∶3
[C] 6∶5 [D] 7∶5
【答案】 D
【解析】 设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h,上、下底面面积均为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh,
因为E,F分别为AB,AC的中点,故S△AEF=S,
结合题意可知几何体AEF－A1B1C1为棱台,
则V1=h(S+S+)=Sh,故V2=Sh－Sh=Sh,故V1∶V2=7∶5.故选D.
7.(5分)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2－r1),3(r2－r1),则圆台甲与乙的体积之比为　　　　.
【答案】 ∶4
【解析】 由题可得两个圆台的高分别为
h甲==(r2－r1),
h乙==2(r2－r1),
设两圆台上、下底面的面积分别为S1,S2,则 ====.
8.(12分)如图所示,O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图,其中O′A′=3,
O′C′=1,B′C′=1.
(1)画出四边形OABC的平面图形,标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若该四边形OABC以OA所在直线为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【解】 (1) 平面四边形OABC的平面图形如图所示.
由图可知,平面四边形OABC为直角梯形,
其面积为=4.
(2)以OA所在直线为旋转轴旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥,由(1)可知几何体的底面圆半径r=2,圆柱高h1=1,圆锥的高h2=2,圆锥的母线长l=2,所以体积V=V柱+V锥=πr2h1+πr2h2=4π+=,表面积S=πr2+2πrh1+πrl=4π+4π+4π=(8+4)π.
9.(多选题)(2025·河北邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,这个角接近30°,若取θ=30°,侧棱长为 m,则(　　)
[A] 正四棱锥的底面边长为6 m
[B] 正四棱锥的底面边长为3 m
[C] 正四棱锥的侧面积为24 m2
[D] 正四棱锥的侧面积为12 m2
【答案】 AC
【解析】 如图,在正四棱锥S－ABCD中,O为正方形ABCD的中心,H为AB的中点,则
SH⊥AB,设底面边长为 2a m.因为∠SHO=30°,所以OH=AH=a m,OS=a m,SH=a m.在 Rt△SAH中,a2+(a)2=21,解得a=3,所以正四棱锥的底面边长为6 m,侧面积为S=×6×
2×4=24(m2).故选AC.
10.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,
∠AOB=,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为(　　)
[A] π [B] π
[C] 3π [D] 3π
【答案】 B
【解析】在△AOB中,∠AOB=,而OA=OB=,取AB的中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,
PC⊥AB,如图所示,∠ABO=,OC=,AB=2BC=3,由△PAB的面积为,得×3×PC=,
解得PC=,于是PO===,所以圆锥的体积为V=π·OA2·PO=π×()2×=π.故选B.
11.(2025·云南昆明模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,M是棱B1C上的一个动点(含端点),则MA+MC1的最小值为(　　)
[A] 4 [B] 2+
[C] + [D] 2
【答案】 C
【解析】 由正方体的性质可得△ACB1为等边三角形,边长为2,△CB1C1为等腰直角三角形,其直角边长为2,将图(1)中△ACB1绕CB1翻折至与△CB1C1共平面[如图(2)所示],因为CA=CB1=AB1=2,CC1=B1C1=2,所以A,M,C1共线时,MA+MC1最小,此时M为CB1的中点,则MA+MC1的最小值为 +.故选C.
12.(2025·福建泉州模拟)已知△SAB是圆锥SO的轴截面,点C在SA上,且AC=.若过点C且平行于SB的平面恰过点O,且该平面与圆锥底面所成的二面角等于,则该圆锥的体积为(　　)
[A] [B] π [C] 3π [D] 9π
【答案】 C
【解析】 如图,由过点C且平行于SB的平面恰过点O,知CO∥SB,根据二面角定义知
∠COA=,因为O是AB的中点,所以C是SA的中点,且∠ABS=,因为AC=,所以△SAB是边长为2的等边三角形,所以圆锥的底面半径为,圆锥的高为SO==
=3,所以该圆锥的体积为×π×()2×3=3π.故选C.
13.(5分)如图,在几何体ABECDF中,EF∥AD∥BC,梯形ABCD和梯形AEFD为等腰梯形,
AD=2EF=2BC=2AE=2AB=2BE,若几何体ABECDF的体积为,则AB=　　　　.
【答案】 2
【解析】 如图所示,取AD的中点M,连接EM,BM,
由EF∥AD,AD=2EF,可得四边形EFDM为平行四边形,可得EM=FD,又由AE=EF,可得EM=AE=AM,可得△AME为等边三角形,三棱锥E－ABM为正三棱锥,
设AB=a,过点E作OE⊥平面ABM,连接OM,
可得OM=×a=a,EO===a,
=×a2××a=a3,
又由AM=MD,可得三棱柱BEM－CFD的体积是三棱锥E－ABM体积的3倍,
可得 a3×4=,解得a=2.
14.(17分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=,AB=4,E为BC上一点,满足BE=3EC,将菱形沿BD对折,形成四面体C－ABD,满足AC=BC.
(1)设折叠前△AED的面积为S1,折叠后的面积为S2,求的值;
(2)求三棱锥E－ABD的体积.
【解】 (1)因为在菱形ABCD中,∠ABC=,AB=4,BE=3EC,所以CE=1,∠DCE=.设△ADE的高为h,则=sin =,所以h=2,所以S1=×4×2=4.因为折叠后是一正四面体,所以DE=AE,此时△ADE为等腰三角形,在△CDE中,由余弦定理得
DE===,
在△ADE中,由勾股定理,以AD为底边的高为=3,所以S2=×4×3=6.所以=
=.
(2)如图,将正四面体放入如图所示的正方体中,
已知BC=4,则正方体棱长为2,
体积V总=16,三棱锥A－BOC体积V1=Sh=××2×2×2=,所以正四面体的体积V=V总－4V1=16－4×=,因为E点满足BE=3EC,所以E－ABD的体积为 V=×
=4.
15.我国南北朝时期的祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体,如图,将底面半径都为b,高都为a(a>b)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置在同一平面β上,用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明S圆=S圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4的椭球的体积是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为S圆=S圆环总成立,所以半椭球的体积为πb2a－πb2a=πb2a,故椭球的体积V=πb2a,因为椭球短半轴长为2,长半轴长为4,所以该椭球的体积V=π×22×4=.故选C.
16.(2025·河南信阳模拟)如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 设OB=1,则OD=,AC=AD·sin θ=OD·sin θcos θ=cos2θ,
令大圆锥DBB′的体积为V,圆锥OAA′和圆锥DAA′的体积分别为V1,V2,
V=,V1+V2=OD·π·AC2=··π·cos4θ,
由题意可得V=2(V1+V2),=··π·cos4θ,解得cos4θ=,cos θ=(cos θ>0).故选B.
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第
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第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
第七章　立体几何与空间向量
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征.
平行
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且 多边形 互相 且
全等
平行
相似
知识梳理
侧棱 相交于 ,但不一定相等 延长线交于
侧面 形状 梯形
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
释疑
正棱锥的性质:
(1)各侧棱长相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.
(2)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
(2)旋转体的结构特征.
知识梳理
垂直
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等, 于底面 相交于 延长线交于
一点
一点
知识梳理
矩形
轴截面 等腰梯形 圆面
侧面 展开图 扇环
等腰三角形
矩形
扇形
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为
,z′轴与x′轴、y′轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 .
知识梳理
45°(或135°)
垂直
平行于
不变
一半
释疑
由直观图的画法规则可知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
知识梳理
2πrl
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧= S圆锥侧= S圆台侧=
πrl
π(r1+r2)l
4.简单几何体的表面积和体积
知识梳理
Sh
4πR2
重要结论
1.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
重要结论
2.球的截面性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
对点自测
1.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC,则剩余的部分是(　　)
[A] 三棱锥 [B] 四棱锥
[C] 三棱柱 [D] 组合体
B
【解析】 在三棱台A′B′C′－ABC中,沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC,剩余的部分是以A′为顶点,四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′－BCC′B′.故选B.
对点自测
2.(人教A版必修第二册P112习题8.2 T2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(　　)
[A] 正三角形 [B] 锐角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角三角形
D
【解析】 由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以
△ABC是直角三角形.故选D.
对点自测
3.(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为(　　)
[A] 4π [B] 6π [C] 8π [D] 10π
C
对点自测
B
对点自测
5.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P－ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,∠ABC为直角,且PA=AB=BC=2,则四面体
P－ABC的体积为　　　　.
关键能力
课堂突破
考点一　空间几何体的结构特征、直观图
D
1.下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
[A] 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
[B] 用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形
[C] 直平行六面体是长方体
[D] 存在每个面都是直角三角形的四面体
【解析】对于A,只有当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥,
A不正确;对于B,当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆面,否则为椭圆面或椭圆面的一部分,B不正确;对于C,直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直,所以底面可以是平行四边形,它不是长方体,C不正确;对于D,如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC,四个面都是直角三角形,D正确.故选D.
2.给出下列四个命题,正确的是(　　)
[A] 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
[B] 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
[C] 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
[D] 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
D
【解析】对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错误;对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错误;对于C,若底面不是矩形,则C错误;对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确.故选D.
3.已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A
4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O′A′∥B′C′,∠O′A′B′=90°,O′A′=1,B′C′=2,则原四边形OABC的面积为(　 )
B
1.空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:紧扣定义,由已知条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
2.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图形中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接画出.
题后悟通
考点二　空间几何体的表面积与体积
[例1] (1)我国古代有一种容器叫方斗,方斗的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台),如果一个方斗的容积为28 L(1 L=1 dm3),上底面边长为4 dm,下底面边长为2 dm,则该方斗的表面积为(　　)
D
角度1　空间几何体的表面积
(2)如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成,其中圆柱的高为2 m,底面半径为4 m,O是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以O为球心,半径为4 m的球相切,则圆锥的侧面积为(　 　)
C
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.
解题策略
[例2] (1)如图所示一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为(　 　)
A
角度2　空间几何体的体积
(2) (2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　)
C
求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法:规则几何体的体积问题,直接利用公式进行求解.
(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体.
(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.
解题策略
[针对训练]
1.(角度1)(2025·浙江温州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为(　　)
[A] 33π [B] 39π [C] 48π [D] 57π
C
B
考点三　折叠与展开问题
C
[例3](1)(2025·贵州贵阳模拟)某学生为制作圆台形容器,利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是2 cm和4 cm)铁皮材料,通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面,则该圆台的高为(　　)
C
(2)《增删算法统宗》中许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的底面圆周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长得和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(　　)
[A] 21尺 [B] 25尺 [C] 29尺 [D] 33尺
解题策略
多面体展开图问题的解题策略
绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
A
D
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
空间几何体的结构特征、直观图 1,2,3
空间几何体的表面积、体积 4,6,7,10,13
折叠与展开问题 5,11
综合应用 8,9,12,14,15,16
基础巩固练
D
1.(2025·河南郑州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
[B] 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
[C] 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
[D] 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
【解析】 对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点,所以B错误;对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心,所以C错误;对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故
选D.
D
2.(2025·江苏南通模拟)从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体,则该四面体不可能(　　)
[A] 每个面都是等边三角形
[B] 每个面都是直角三角形
[C] 有一个面是等边三角形,另外三个面都是直角三角形
[D] 有两个面是等边三角形,另外两个面是直角三角形
【解析】 如图,四面体D－BA1C1每个面都是等边三角形,排除A;四面体
A－DD1C1每个面都是直角三角形,排除B;四面体D－ABC1三个面是直角三角形,一个面是等边三角形,排除C.故选D.
3.(2025·四川成都模拟)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行),O′B′=2O′D′=6,O′C′=8,则△OAB的面积为(　　)
D
[A] 9π [B] 10π [C] 12π [D] 14π
C
C
6.(2025·天津模拟)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2两部分,则V1∶V2等于(　　)
[A] 1∶1 [B] 4∶3
[C] 6∶5 [D] 7∶5
D
7.(5分)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2－r1),3(r2－r1),则圆台甲与乙的体积之比为
　　　　.
8.(12分)如图所示,O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图,其中O′A′=3,
O′C′=1,B′C′=1.
(1)画出四边形OABC的平面图形,标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
8.(12分)如图所示,O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图,其中O′A′=3,
O′C′=1,B′C′=1.
(2)若该四边形OABC以OA所在直线为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
综合运用练
AC
B
11.(2025·云南昆明模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,M是棱B1C上的一个动点(含端点),则MA+MC1的最小值为(　　)
C
C
2
(2)求三棱锥E－ABD的体积.
应用创新练
15.我国南北朝时期的祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体,如图,将底面半径都为b,高都为a(a>b)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置在同一平面β上,用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明S圆=S圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4的椭球的体积是(　　)
C
16.(2025·河南信阳模拟)如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角余弦值为(　　)
B

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