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第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系
[课程标准要求]
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
1.平面的基本性质
(1)与平面有关的三个基本事实.
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实1给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据.
(2)基本事实的三个推论.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类.
(2)异面直线所成的角.
①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围: (0,].
关于异面直线的结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
(3)分别在两个相交平面内的两条异面直线至少有一条直线与两个平面的交线相交.
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系.
位置 关系 图形表示 符号 表示 公共点
直线在 平面内 a α 无数个
直 线 不 在 平 面 内 直线与平 面平行 a∥α 0个
直 线 与 平 面 相 交 直线 与平 面斜 交 a∩α =A 1个
直线 与平 面垂 直 a⊥α 1个
(2)空间中平面与平面的位置关系.
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 α∥β 0个
两个平 面相交 α∩β=l 无数个
4.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
1.(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是(　　)
[A] 空间任意三个点确定一个平面
[B] 一个点和一条直线确定一个平面
[C] 两两相交的三条直线确定一个平面
[D] 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
2.(人教A版必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1,直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P为A1C1(包含A1,C1)上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
[A] DD1 [B] AC [C] AD1 [D] B1C
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的是　　　　(将你认为正确的序号都填上).
5.如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:
(1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件　　　　　　　　时,四边形EFGH为正方形.
考点一　基本事实的应用
1.给出以下说法,其中正确的是(　　)
[A] 不共面的四点中,其中任意三点可以共线
[B] 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
[C] 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
[D] 过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
2.(多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　)
[A] C1,M,O三点共线
[B] C1,M,O,C四点共面
[C] C1,O,A,M四点共面
[D] D1,D,O,M四点共面
3.(2025·青海玉树模拟)如图,在四面体A－BCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,给出以下命题:
①直线MN 平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中正确结论的序号为　　　　.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上,或者直接证明这些点都在同一条特定直线上(如两平面交线).
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
考点二　空间两条直线的位置关系
[例1] (1)已知a,b 是两条不同的直线,α是平面,若 a∥α,b α,则 a,b 不可能(　　)
[A] 平行 [B] 垂直 [C] 相交 [D] 异面
(2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　)
[A] l与l1,l2都不相交
[B] l与l1,l2都相交
[C] l至多与l1,l2中的一条相交
[D] l至少与l1,l2中的一条相交
(3)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(　　)
[A] 相交但不垂直 [B] 相交且垂直
[C] 异面 [D] 平行
(1)空间两直线位置关系的判定,注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体为模型.
(2)异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.
[针对训练] (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B] 异面
[C] 相交或平行
[D] 平行或异面或相交均有可能
(2) (多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个选项正确的是(　　)
[A] 直线AM与CC1是相交直线
[B] 直线AM与BN是平行直线
[C] 直线BN与MB1是异面直线
[D] 直线AM与DD1是异面直线
考点三　求异面直线所成的角
[例2] (2025·浙江台州模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
[典例迁移1] (变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,问题不变.
[典例迁移2] (变条件及结论)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,试求的值.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的方法:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实的应用 1,2,9
空间两条直线的位置关系 3,6,12
求异面直线所成的角 4,5,7,10
综合应用 8,11,13,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·宁夏银川模拟)A,B是两个不同的点,α,β为两个不同的平面,下列推理错误的是(　　)
[A] A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
[B] A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
[C] l α,A∈l A α
[D] A∈l,l α A∈α
2.(2025·云南昆明模拟)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是(　　)
[A] 若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
[B] 若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C β
[C] 若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则l1⊥l4
[D] 若A,B是两个不同的点,A∈α且B∈α,则直线AB α
3.如图,在四棱锥P－ABCD中,底面为梯形,AD∥BC,AD=3,BC=6,E,F分别为棱PB,PC的中点,则(　　)
[A] AE≠DF,且直线AE,FD是共面直线
[B] AE≠DF,且直线AE,FD是异面直线
[C] AE=DF,且直线AE,FD是异面直线
[D] AE=DF,且直线AE,FD是共面直线
4.(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P为AA1的中点,则直线PO与AD1所成的角为(　　)
[A] [B] [C] [D]
5.(2025·陕西西安模拟)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=AA1=1,则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]
6.(多选题)将下列平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
7.(5分)在四面体A－BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　.
8.(13分)如图所示,四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
9.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,
A1B1,A1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] E,F,G,H四点共面
[B] EF∥GH
[C] EG,FH,AA1三线共点
[D] ∠EGB1=∠FHC1
10.如图,圆锥的轴截面PAB是等边三角形,△ABC是等腰三角形,D是PA的中点,则异面直线CD与PB所成角的大小是(　　)
[A] 30° 　　　[B] 45°
[C] 60° 　　　[D] 75°
11.(2025·江西赣州模拟)在正四棱锥P－ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE所成角的正切值为,则的值为(　　)
[A] 1 [B] [C] 2 [D] 2
12.(5分)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.
13.(5分)已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中,AB=3A1B1=3.若异面直线AA1与BC所成角的余弦值为,则正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为　　　　.
14. (15分)已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点).
(1)若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线;
(2)若E,N分别为BC,AD的中点,AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线AB与DC所成角的余弦值.
15.(2025·吉林延吉模拟)如图,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
16.(2025·四川绵阳模拟)在梯形ABCD中, AB∥CD,AB⊥BD,且|AB|=|BD|=4,|BC|=2,沿对角线BD将△ABD折起,所得四面体 A－ BCD外接球的表面积为32π,则异面直线AB与CD所成的角为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）
[课程标准要求]
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
1.平面的基本性质
(1)与平面有关的三个基本事实.
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实1给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据.
(2)基本事实的三个推论.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类.
(2)异面直线所成的角.
①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围: (0,].
关于异面直线的结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
(3)分别在两个相交平面内的两条异面直线至少有一条直线与两个平面的交线相交.
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系.
位置 关系 图形表示 符号 表示 公共点
直线在 平面内 a α 无数个
直 线 不 在 平 面 内 直线与平 面平行 a∥α 0个
直 线 与 平 面 相 交 直线 与平 面斜 交 a∩α =A 1个
直线 与平 面垂 直 a⊥α 1个
(2)空间中平面与平面的位置关系.
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 α∥β 0个
两个平 面相交 α∩β=l 无数个
4.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
1.(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是(　　)
[A] 空间任意三个点确定一个平面
[B] 一个点和一条直线确定一个平面
[C] 两两相交的三条直线确定一个平面
[D] 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
【答案】 D
【解析】 对于A,不在一条直线上的三个点才能确定一个平面,A错误;对于B,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错误;对于C,当三条直线交于一点时不一定能确定一个平面,
C错误;只有选项D正确.故选D.
2.(人教A版必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1,直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 连接BD(图略),由于AA1∥DD1,所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角,不妨设正方体的棱长为a,则BD=a,BD1==a,
所以cos∠DD1B===.故选D.
3.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P为A1C1(包含A1,C1)上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
[A] DD1 [B] AC [C] AD1 [D] B1C
【答案】 B
【解析】 对于A,当P是A1C1的中点时,BP与DD1是相交直线;
对于B,根据异面直线的定义知,BP与AC是异面直线;
对于C,当点P与C1重合时,BP与AD1是平行直线;
对于D,当点P与C1重合时,BP与B1C是相交直线.故选B.
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的是　　　　(将你认为正确的序号都填上).
【答案】 ③④
【解析】 ①错误,a与b也可能异面.
②错误,a与b也可能平行.
③正确,因为α∥β,所以α与β无公共点.
又因为a α,b β,所以a与b无公共点.
④正确,由已知及③知,a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
⑤错误,a与β也可能平行.
5.如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:
(1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件　　　　　　　　时,四边形EFGH为正方形.
【答案】 (1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD
【解析】 (1)由题意知,EF∥AC∥HG,
EH∥BD∥FG,
且EF=AC=HG,EH=BD=FG,
所以四边形EFGH为平行四边形,
因为四边形EFGH为菱形,
所以EF=EH,所以AC=BD.
(2)由(1)知四边形EFGH为平行四边形,因为四边形EFGH为正方形,
所以EF=EH且EF⊥EH,
所以AC=BD且AC⊥BD.
考点一　基本事实的应用
1.给出以下说法,其中正确的是(　　)
[A] 不共面的四点中,其中任意三点可以共线
[B] 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
[C] 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
[D] 过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
【答案】 D
【解析】 对于A,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,A错误;
对于B,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但点A,B,C,D,E不共面,B错误;
对于C,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c有可能共面,也有可能异面,C错误;
对于D,过一条直线与这条直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确.故选D.
2.(多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　)
[A] C1,M,O三点共线
[B] C1,M,O,C四点共面
[C] C1,O,A,M四点共面
[D] D1,D,O,M四点共面
【答案】 ABC
【解析】 连接AC,A1C1,C1O(图略),由题意知O为BD,AC的交点,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因为直线A1C交平面C1BD于点M,直线A1C 平面A1ACC1,所以点M∈直线C1O,所以C1,M,O三点共线,故A正确;
因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;
因为C1,M,O三点共线,所以C1,O,A,M四点共面,故C正确;
显然D1,D,O,M四点不共面,故D错误.故选ABC.
3.(2025·青海玉树模拟)如图,在四面体A－BCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,给出以下命题:
①直线MN 平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中正确结论的序号为　　　　.
【答案】 ①②③
【解析】 如图所示,在四面体A－BCD中作截面PQR,
PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,
对于①,点M∈PQ,PQ 平面PQR,所以点M∈平面PQR;同理,点N∈平面PQR,所以直线MN 平面PQR,①正确;
对于②,点M∈平面PQR,点M∈平面BCD,点N∈平面PQR,点N∈平面BCD,
所以平面PQR∩平面BCD=MN,
又点K∈平面PQR,点K∈平面BCD,所以点K∈直线MN,即点K在直线MN上,②正确;
对于③,由②知M,N,K三点共线,则M,N,K,A四点共面,③正确.
综上,正确结论的序号是①②③.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上,或者直接证明这些点都在同一条特定直线上(如两平面交线).
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
考点二　空间两条直线的位置关系
[例1] (1)已知a,b 是两条不同的直线,α是平面,若 a∥α,b α,则 a,b 不可能(　　)
[A] 平行 [B] 垂直 [C] 相交 [D] 异面
(2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　)
[A] l与l1,l2都不相交
[B] l与l1,l2都相交
[C] l至多与l1,l2中的一条相交
[D] l至少与l1,l2中的一条相交
(3)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(　　)
[A] 相交但不垂直 [B] 相交且垂直
[C] 异面 [D] 平行
【答案】 (1)C　(2)D　(3)D
【解析】 (1)因为a∥α,b α,则a与b可能平行、异面和垂直,
若a与b相交,设a∩b=A,则A∈a,A∈b,又b α,所以A∈α,
即直线a与平面α有公共点,这与a∥α矛盾,故C不可能.故选C.
(2)如图(1),l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图(2),l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D.
(3)如图,连接D1E并延长,与AD交于点M,
由A1E=2ED,利用平行线分线段成比例,
可得==,所以M为AD的中点.
同理,连接BF并延长,交AD于点N,
因为CF=2FA,可得N为AD的中点,
所以M,N重合,所以EF和BD1共面,
且=,=,所以=,
所以EF∥BD1.故选D.
(1)空间两直线位置关系的判定,注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体为模型.
(2)异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.
[针对训练] (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B] 异面
[C] 相交或平行
[D] 平行或异面或相交均有可能
(2) (多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个选项正确的是(　　)
[A] 直线AM与CC1是相交直线
[B] 直线AM与BN是平行直线
[C] 直线BN与MB1是异面直线
[D] 直线AM与DD1是异面直线
【答案】 (1)D　(2)CD
【解析】 (1)根据条件作图,容易得到三种情况,
由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.故选D.
(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;取DD1的中点E,连接AE(图略),则BN∥AE,但AE与AM相交,所以AM与BN不平行,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.故选CD.
考点三　求异面直线所成的角
[例2] (2025·浙江台州模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 连接BC1,易证BC1∥AD1,
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=BC=1,AA1=2,则A1C1=
,A1B=BC1=,
故cos∠A1BC1==.故选D.
[典例迁移1] (变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,问题不变.
【解】 由平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1,则AA1=1.
此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1,
易知A1B与AD1所成角为∠A1BC1,连接A1C1,BC1(图略).
则△A1BC1为等边三边形,所以∠A1BC1=60°,
所以cos∠A1BC1=,
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
[典例迁移2] (变条件及结论)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,试求的值.
【解】 设=t(t>0),则AA1=tAB.
因为AB=1,所以AA1=t,由题意知∠A1BC1为A1B与AD1所成的角,连接A1C1,BC1(图略),
又A1C1=,A1B==BC1,
所以cos∠A1BC1==,
所以t=3,即=3.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的方法:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实的应用 1,2,9
空间两条直线的位置关系 3,6,12
求异面直线所成的角 4,5,7,10
综合应用 8,11,13,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·宁夏银川模拟)A,B是两个不同的点,α,β为两个不同的平面,下列推理错误的是(　　)
[A] A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
[B] A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
[C] l α,A∈l A α
[D] A∈l,l α A∈α
【答案】 C
【解析】 对于A,直线上两个不同的点在某个平面内,则直线在该平面内,故A正确;
对于B,两个不同的点同时在两个不同的平面内,则两点所在直线为两平面的交线,故B
正确;
对于C,l α有两种情况,l与α相交或l∥α,其中若l与α相交,则交点可为A,故C错误;
对于D,直线在平面内,则直线上的点都在平面内,故D正确.故选C.
2.(2025·云南昆明模拟)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是(　　)
[A] 若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
[B] 若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C β
[C] 若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则l1⊥l4
[D] 若A,B是两个不同的点,A∈α且B∈α,则直线AB α
【答案】 C
【解析】 对于A,因为A∈α且A∈β,则A是平面α和平面β的公共点,
又因为α∩β=l,由基本事实3可得A∈l,故A正确;
对于B,由基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,
因为A∈β,B∈β且A,B,C∈α,则C β,故B正确;
对于C,
在正方体中,把AB看成l1,把BC看成l2,把CC1看成l3,把C1D1看成l4,
它们满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,但不满足l1⊥l4,故C错误;
对于D,由基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,
那么这条直线在这个平面内,故D正确.故选C.
3.如图,在四棱锥P－ABCD中,底面为梯形,AD∥BC,AD=3,BC=6,E,F分别为棱PB,PC的中点,则(　　)
[A] AE≠DF,且直线AE,FD是共面直线
[B] AE≠DF,且直线AE,FD是异面直线
[C] AE=DF,且直线AE,FD是异面直线
[D] AE=DF,且直线AE,FD是共面直线
【答案】 D
【解析】如图,连接EF,
因为E,F分别为棱PB,PC的中点,AD∥BC,AD=3,BC=6,
所以EF∥BC,EF=BC,
所以EF∥AD,且EF=AD,
所以四边形ADFE是平行四边形,
所以AE=DF,且AE∥DF,
所以AE,FD是共面直线.故选D.
4.(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P为AA1的中点,则直线PO与AD1所成的角为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】设正方体的棱长为2,
连接CD1,取CD1的中点M,连接OM,PM,AC,BO,
则OM为△AD1C的中位线,且OM=AD1=,
所以∠POM(或其补角)为直线PO与AD1所成的角,PO==,PM==,
在△POM中,由余弦定理得
cos∠POM==0,
所以∠POM=,
即直线PO与AD1所成的角为.故选A.
5.(2025·陕西西安模拟)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=AA1=1,则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]
【答案】 B
【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱,
连接B1D,AD,则B1D∥A1C,
则∠DB1A或其补角为异面直线AB1与A1C所成角,
又DB1=B1A==,AD==,
由余弦定理可得,
cos∠DB1A==,
所以sin∠DB1A==,故B正确.故选B.
6.(多选题)将下列平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 AD
【解析】 A对应图(1),Q是平面PMN外一点,P,N,M在平面PMN内,且P不在直线MN上,因此MN与PQ是异面直线,A正确;B对应图(2),Q,N重合,MN与PQ是相交直线,B错误;C对应图(3),由中位线定理得MN,PQ都与棱AB平行,从而MN∥PQ,C错误;D对应图(4),与图(1)类似得MN与PQ是异面直线,D正确.故选AD.
7.(5分)在四面体A－BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　.
【答案】 或
【解析】如图,取BC的中点O,连接OE,OF,
由题意,得OE∥AC,OF∥BD,
所以OE与OF所成的锐角即为AC与BD所成的角,
而AC,BD所成的角为60°,
所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.
当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=;
当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,
则OM⊥EF,EF=2EM=2×=,综上,EF的长为或.
8.(13分)如图所示,四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
(1)【证明】 由已知FG=GA,FH=HD,可得GHAD.又BCAD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)【解】 共面.因为BEFA,G为FA的中点,所以BEFG,
所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.
由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.
9.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,
A1B1,A1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] E,F,G,H四点共面
[B] EF∥GH
[C] EG,FH,AA1三线共点
[D] ∠EGB1=∠FHC1
【答案】 ABC
【解析】对于A,B,如图,
因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1,
因为B1E∥C1F,且B1E=C1F,所以四边形B1EFC1是平行四边形,
所以EF∥B1C1,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面,故A,B正确;
对于C,如图,延长EG,FH相交于点P,
因为P∈EG,EG 平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1,
因为P∈FH,FH 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,
因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以 P∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点,故C正确;
对于D,因为EB1=FC1,当GB1≠HC1时,tan∠EGB1≠tan∠FHC1,
又0<∠EGB1,∠FHC1<,则∠EGB1≠∠FHC1,故D错误.故选ABC.
10.如图,圆锥的轴截面PAB是等边三角形,△ABC是等腰三角形,D是PA的中点,则异面直线CD与PB所成角的大小是(　　)
[A] 30° 　　　[B] 45°
[C] 60° 　　　[D] 75°
【答案】 B
【解析】设等边△PAB的边长为2a,
如图,取AB的中点O,连接OC,OD,OP,
由圆锥的性质可得OP⊥平面ABC,
因为D是PA的中点,
所以OD∥PB,OD=PB=a,
所以∠ODC或其补角即为直线CD与PB所成的角,因为OP⊥平面ABC,OC 平面ABC,
所以OP⊥OC,
又等腰三角形ABC,且O为AB的中点,
所以OC⊥AB,OC=AB=a,
因为OP∩AB=O,OP,AB 平面PAB,
所以OC⊥平面PAB,
因为OD 平面PAB,所以OC⊥OD,在Rt△OCD中,OD=OC=a,所以∠ODC=45°.故选B.
11.(2025·江西赣州模拟)在正四棱锥P－ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE所成角的正切值为,则的值为(　　)
[A] 1 [B] [C] 2 [D] 2
【答案】 C
【解析】 如图,取正方形ABCD的中心O,连接BD,OE,OP,OC,因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OC,又因为四边形ABCD为正方形,所以OC⊥BD,因为PO∩BD=O,PO,BD 平面PBD,所以OC⊥平面PBD,所以OC⊥OE,△OEC为直角三角形,因为OE∥PB,所以直线PB与直线CE所成的角即为直线OE与直线CE所成的角,即tan∠OEC=,所以=,即=,所以=,所以=2.故选C.
12.(5分)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.
【答案】 3
【解析】 画出该正方体的直观图如图所示,
易知异面直线有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),故共有3对.
13.(5分)已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中,AB=3A1B1=3.若异面直线AA1与BC所成角的余弦值为,则正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为　　　　.
【答案】
【解析】如图,在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中,BC∥AD,
所以∠A1AD为异面直线AA1与BC所成的角,又AB=3A1B1=3,
所以AD=3,A1D1=1,且cos∠A1AD==,所以AA1=.
连接A1C1,AC,过点A1作A1E⊥AC交AC于点E,过点C1作C1F⊥AC交AC于点F,
则A1E⊥平面ABCD,且AC==3,A1C1==,
所以AE=CF=(AC－A1C1)=,则A1E===2,
即正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高h=2,
所以正四棱台的体积V=×(32+12+)×2=.
14. (15分)已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点).
(1)若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线;
(2)若E,N分别为BC,AD的中点,AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线AB与DC所成角的余弦值.
(1)【证明】 因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD,
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,所以EF 平面CBD,
由于直线MN与直线EF相交于点O,即O∈MN,O∈平面ABD,O∈EF,O∈平面CBD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,则O∈BD,所以B,D,O三点共线.
(2)【解】作BD的中点G,并连接GN,GE,如图所示,
在△ABD中,N,G分别是AD和BD的中点,且AB=6,
所以GN∥AB,且GN=AB=3,
在△CBD中,E,G分别是BC和BD的中点,且DC=4,
所以GE∥CD,且GE=DC=2,
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角,即∠EGN或其补角,
又NE=2,由余弦定理得
cos∠EGN===>0,
故异面直线AB与DC所成角的余弦值为.
15.(2025·吉林延吉模拟)如图,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 D
【解析】由题意,还原正四棱柱的直观图,取AA1的中点G,A1G的中点N,BB1的中点O,并连接相关线段,如图所示,
所以MN=OL,ML=NO,NO∥GK,由几何知识得,四边形LMNO是平行四边形,ML∥NO,所以KG∥LM,所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角.由题知 AG=2,AK=KG=
=,则有AK2+KG2=AG2,所以∠AKG=90°,即异面直线AK和LM所成的角的大小
为90°.
故选D.
16.(2025·四川绵阳模拟)在梯形ABCD中, AB∥CD,AB⊥BD,且|AB|=|BD|=4,|BC|=2,沿对角线BD将△ABD折起,所得四面体 A－ BCD外接球的表面积为32π,则异面直线AB与CD所成的角为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 C
【解析】 如图,将梯形ABCD补成长方形AECF,折后得到直三棱柱ABE－FDC,
因为|AB|=|BD|=4,|BC|=2,所以|BE|=|DC|=2,
异面直线AB与CD所成的角即为AB与BE所成的角,即∠ABE或其补角,
又该三棱柱的外接球即为三棱锥A－BCD的外接球,设外接球半径为R,则4πR2=32π,
所以R2=8,设△ABE外接圆半径为r,圆心为O1,△FDC外接圆圆心为O2,
则三棱柱的外接球的球心为O1O2的中点O,连接AO,则|AO|=R,|AO1|=r,
所以r=|AO1|==2,又2r==4,即|AE|=4sin∠ABE,又在△ABE中,|AE|2=|AB|2+|BE|2－2|AB|·|BE|cos∠ABE,
即16sin2∠ABE=16+4－2×4×2cos∠ABE,
化简得(2cos∠ABE－1)2=0,即cos∠ABE=,所以∠ABE=60°.故选C.
(
第
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第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.平面的基本性质
(1)与平面有关的三个基本事实.
基本事实1:过 的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个 ,那么它们 过该点的公共直线.
不在一条直线上
两个点
公共点
有且只有一条
释疑
基本事实1给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据.
(2)基本事实的三个推论.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
知识梳理
相交
平行
知识梳理
2.空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类.
相交
平行
任何
(2)异面直线所成的角.
①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
知识梳理
释疑
关于异面直线的结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面
直线.
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
(3)分别在两个相交平面内的两条异面直线至少有一条直线与两个平面的交线相交.
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系.
知识梳理
位置 关系 图形表示 符号 表示 公共点
直线在 平面内 a α 无数个
知识梳理
0
直线不在平面内 直线与平面平行 a∥α 个
直线与平面相交 直线与平 面斜交 a∩α=A 个
直线与平 面垂直 a⊥α 个
1
1
知识梳理
0
(2)空间中平面与平面的位置关系.
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 α∥β 个
两个平 面相交 α∩β=l 个
无数
知识梳理
平行
4.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 .
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
.
相等或互补
重要结论
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
对点自测
1.(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是(　　)
[A] 空间任意三个点确定一个平面
[B] 一个点和一条直线确定一个平面
[C] 两两相交的三条直线确定一个平面
[D] 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
D
【解析】 对于A,不在一条直线上的三个点才能确定一个平面,A错误;对于B,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错误;对于C,当三条直线交于一点时不一定能确定一个平面,C错误;只有选项D正确.故选D.
对点自测
2.(人教A版必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1,直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　)
D
对点自测
3.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P为A1C1(包含A1,C1)上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
[A] DD1 [B] AC [C] AD1 [D] B1C
B
【解析】 对于A,当P是A1C1的中点时,BP与DD1是相交直线;
对于B,根据异面直线的定义知,BP与AC是异面直线;
对于C,当点P与C1重合时,BP与AD1是平行直线;
对于D,当点P与C1重合时,BP与B1C是相交直线.故选B.
对点自测
③④
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的是　　　　(将你认为正确的序号都填上).
对点自测
【解析】 ①错误,a与b也可能异面.
②错误,a与b也可能平行.
③正确,因为α∥β,所以α与β无公共点.
又因为a α,b β,所以a与b无公共点.
④正确,由已知及③知,a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
⑤错误,a与β也可能平行.
对点自测
5.如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:
(1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;
AC=BD
对点自测
5.如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:
(2)当AC,BD满足条件　　　 　　　　　时,四边形EFGH为正方形.
AC=BD且AC⊥BD
【解析】(2)由(1)知四边形EFGH为平行四边形,因为四边形EFGH为正方形,
所以EF=EH且EF⊥EH,
所以AC=BD且AC⊥BD.
关键能力
课堂突破
考点一　基本事实的应用
D
1.给出以下说法,其中正确的是(　　)
[A] 不共面的四点中,其中任意三点可以共线
[B] 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
[C] 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
[D] 过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
【解析】对于A,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,A错误;
对于B,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但点A,B,C,D,E不共面,B错误;
对于C,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c有可能共面,也有可能异面,C
错误;
对于D,过一条直线与这条直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确.故选D.
2.(多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　 )
[A] C1,M,O三点共线
[B] C1,M,O,C四点共面
[C] C1,O,A,M四点共面
[D] D1,D,O,M四点共面
ABC
【解析】连接AC,A1C1,C1O(图略),由题意知O为BD,AC的交点,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因为直线A1C交平面C1BD于点M,直线A1C 平面A1ACC1,所以点M∈直线C1O,所以C1,M,O三点共线,故A正确;
因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;
因为C1,M,O三点共线,所以C1,O,A,M四点共面,故C正确;
显然D1,D,O,M四点不共面,故D错误.故选ABC.
3.(2025·青海玉树模拟)如图,在四面体A－BCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,给出以下命题:
①直线MN 平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中正确结论的序号为　　　　.
①②③
【解析】 如图所示,在四面体A－BCD中作截面PQR,
PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,
对于①,点M∈PQ,PQ 平面PQR,所以点M∈平面PQR;同理,点N∈平面PQR,所以直线MN 平面PQR,①正确;
对于②,点M∈平面PQR,点M∈平面BCD,点N∈平面PQR,点N∈平面BCD,
所以平面PQR∩平面BCD=MN,
又点K∈平面PQR,点K∈平面BCD,所以点K∈直线MN,即点K在直线MN上,②正确;
对于③,由②知M,N,K三点共线,则M,N,K,A四点共面,③正确.
综上,正确结论的序号是①②③.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平
面内.
(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上,或者直接证明这些点都在同一条特定直线上(如两平面交线).
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
题后悟通
考点二　空间两条直线的位置关系
[例1] (1)已知a,b 是两条不同的直线,α是平面,若 a∥α,b α,则 a,b 不可能(　 )
[A] 平行 [B] 垂直 [C] 相交 [D] 异面
C
【解析】 (1)因为a∥α,b α,则a与b可能平行、异面和垂直,
若a与b相交,设a∩b=A,则A∈a,A∈b,又b α,所以A∈α,
即直线a与平面α有公共点,这与a∥α矛盾,故C不可能.故选C.
(2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　)
[A] l与l1,l2都不相交
[B] l与l1,l2都相交
[C] l至多与l1,l2中的一条相交
[D] l至少与l1,l2中的一条相交
D
【解析】(2)如图(1),l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图(2),l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D.
(3)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,
CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(　　)
[A] 相交但不垂直 [B] 相交且垂直
[C] 异面 [D] 平行
D
(1)空间两直线位置关系的判定,注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体为模型.
(2)异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.
解题策略
[针对训练] (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B] 异面
[C] 相交或平行
[D] 平行或异面或相交均有可能
D
【解析】 (1)根据条件作图,容易得到三种情况,
由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.故选D.
CD
(2) (多选题)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个选项正确的是(　 　)
[A] 直线AM与CC1是相交直线
[B] 直线AM与BN是平行直线
[C] 直线BN与MB1是异面直线
[D] 直线AM与DD1是异面直线
【解析】 (2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;取DD1的中点E,连接AE(图略),则BN∥AE,但AE与AM相交,所以AM与BN不平行,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.故选CD.
考点三　求异面直线所成的角
D
[例2] (2025·浙江台州模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
(　　)
[典例迁移1] (变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,问题不变.
解题策略
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的方法:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
基本事实的应用 1,2,9
空间两条直线的位置关系 3,6,12
求异面直线所成的角 4,5,7,10
综合应用 8,11,13,14,15,16
基础巩固练
C
1.(2025·宁夏银川模拟)A,B是两个不同的点,α,β为两个不同的平面,下列推理错误的是(　　)
[A] A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
[B] A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
[C] l α,A∈l A α
[D] A∈l,l α A∈α
【解析】 对于A,直线上两个不同的点在某个平面内,则直线在该平面内,故A正确;
对于B,两个不同的点同时在两个不同的平面内,则两点所在直线为两平面的交线,故B正确;
对于C,l α有两种情况,l与α相交或l∥α,其中若l与α相交,则交点可为A,故C
错误;
对于D,直线在平面内,则直线上的点都在平面内,故D正确.故选C.
C
2.(2025·云南昆明模拟)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是
(　　)
[A] 若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
[B] 若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C β
[C] 若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则l1⊥l4
[D] 若A,B是两个不同的点,A∈α且B∈α,则直线AB α
【解析】 对于A,因为A∈α且A∈β,则A是平面α和平面β的公共点,
又因为α∩β=l,由基本事实3可得A∈l,故A正确;
对于B,由基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,
因为A∈β,B∈β且A,B,C∈α,则C β,故B正确;
对于C,在正方体中,把AB看成l1,把BC看成l2,把CC1看成l3,把C1D1看成l4,
它们满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,但不满足l1⊥l4,故C错误;
对于D,由基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,
那么这条直线在这个平面内,故D正确.故选C.
3.如图,在四棱锥P－ABCD中,底面为梯形,AD∥BC,AD=3,BC=6,E,F分别为棱PB,PC的中点,则(　　)
[A] AE≠DF,且直线AE,FD是共面直线
[B] AE≠DF,且直线AE,FD是异面直线
[C] AE=DF,且直线AE,FD是异面直线
[D] AE=DF,且直线AE,FD是共面直线
D
4.(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P为AA1的中点,则直线PO与AD1所成的角为(　　)
A
B
6.(多选题)将下列平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是(　 　)
AD
[A] [B] [C] [D]
【解析】 A对应图(1),Q是平面PMN外一点,P,N,M在平面PMN内,且P不在直线MN上,因此MN与PQ是异面直线,A正确;B对应图(2),Q,N重合,MN与PQ是相交直线,B错误;C对应图(3),由中位线定理得MN,PQ都与棱AB平行,从而MN∥PQ,C错误;D对应图(4),与图(1)类似得MN与PQ是异面直线,D正确.故
选AD.
7.(5分)在四面体A－BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为
60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　.
【解析】如图,取BC的中点O,连接OE,OF,
由题意,得OE∥AC,OF∥BD,
所以OE与OF所成的锐角即为AC与BD所成的角,
而AC,BD所成的角为60°,
所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
综合运用练
ABC
9.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,则下列说法正确的是(　 　)
[A] E,F,G,H四点共面
[B] EF∥GH
[C] EG,FH,AA1三线共点
[D] ∠EGB1=∠FHC1
【解析】对于A,B,如图,
因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1,
因为B1E∥C1F,且B1E=C1F,所以四边形B1EFC1是平行四边形,
所以EF∥B1C1,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面,故A,B正确;
对于C,如图,延长EG,FH相交于点P,
因为P∈EG,EG 平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1,
因为P∈FH,FH 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,
因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以 P∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点,故C正确;
对于D,因为EB1=FC1,当GB1≠HC1时,tan∠EGB1≠tan∠FHC1,
又0<∠EGB1,∠FHC1< ,则∠EGB1≠∠FHC1,故D错误.故选ABC.
B
10.如图,圆锥的轴截面PAB是等边三角形,△ABC是等腰三角形,D是PA的中点,则异面直线CD与PB所成角的大小是(　　)
[A] 30° 　　　[B] 45°
[C] 60° 　　　[D] 75°
C
3
12.(5分)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.
【解析】 画出该正方体的直观图如图所示,
易知异面直线有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),故共有3对.
14. (15分)已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点).
(1)若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线;
(1)【证明】 因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD,
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,所以EF 平面CBD,
由于直线MN与直线EF相交于点O,即O∈MN,O∈平面ABD,O∈EF,O∈平面CBD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,则O∈BD,所以B,D,O三点共线.
14. (15分)已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点).
(2)若E,N分别为BC,AD的中点,AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线AB与DC所成角的余弦值.
应用创新练
15.(2025·吉林延吉模拟)如图,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
D
C

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