资源简介 第4节 空间直线、平面的垂直[课程标准要求]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义.一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理.项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0°.(2)范围:[0,].3.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角.若有①O∈l;②OA α,OB β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范围:[0,π].4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理.项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 α⊥β性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.3.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.1.(多选题)(人教A版必修第二册P162练习T1改编)下列命题中不正确的是( )[A] 如果直线a不垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a[B] 如果平面α垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线平行于平面β[C] 如果直线a垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线平行于直线a[D] 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β2.已知直线l,m,n与平面α,β,下列命题正确的是( )[A] 若l⊥n,m⊥n,则l∥m[B] 若l⊥α,l∥β,则α⊥β[C] 若l⊥α,l⊥m,则m∥α[D] 若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β3.(人教A版必修第二册P158例8改编)如图,AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有( )[A] 平面ABC⊥平面BCD[B] 平面BCD⊥平面ACD[C] 平面ABD⊥平面ACD[D] 平面BCD⊥平面ABD4.(2025·辽宁大连模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为正方形,直线B1C与直线AD所成角的正切值为2,则直线B1D与平面ABCD所成角的正切值为 . 考点一 直线与平面垂直的判定与性质[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2PD=2CD=2AD=4,E是PA的中点.(1)求证:DE⊥平面PAB;(2)求三棱锥P－BCE的体积.(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质.[针对训练] (2025·陕西咸阳模拟)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2BC=4,侧面ACC1A1为正方形,A1C∩AC1=M.(1)求证:AC1⊥BM;(2)求三棱锥A－A1BM的体积.考点二 平面与平面垂直的判定与性质[例2] (2025·山西太原模拟)如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,∠DAC=∠AOB.(1)求证:BE∥平面PAD;(2)求证:平面BEO⊥平面PCD.证明面面垂直的常用方法及关键点(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.[针对训练] (2025·江西赣州模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,平面PCD⊥平面APD,∠PDA=∠PDC=,底面ABCD是平行四边形,DC=PC=2AD=2,且点M,N分别是棱PD,AD的中点.(1)证明:平面PAD⊥平面CMN;(2)求点P到平面ABCD的距离.考点三 几何法求线面角与二面角角度1 线面角[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )[A] [B] 1 [C] 2 [D] 3求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.角度2 二面角[例4] (2025·广东广州模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,AD=2CD=2BC=4,PB=2.(1)求证:AD⊥PB;(2)求平面PAB与平面ABCD所成的角的正弦值.(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.(2)求二面角的大小的方法:一作:即先作出二面角的平面角;二证:即说明所作角是二面角的平面角;三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.[针对训练]1.(角度1)(2025·云南大理模拟)在四棱锥P－ABCD中,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,且AB=BC,平面PAD⊥平面ABCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为( )[A] [B] [C] [D] 12.(角度2)(2025·四川成都模拟)在四棱锥P－ABCD中,若四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=,则二面角A－BD－P的正切值为( )[A] [B] [C] [D]考点四 平行、垂直关系的综合应用[例5] 如图,在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD为菱形,△OCD为正三角形,平面OCD⊥平面ABCD,∠ADC=60°.(1)证明:OA⊥CD;(2)若M为线段AC上靠近A的三等分点,且M∈平面α,平面α∥平面OCD,OB∩平面α=N,求的值.(1)垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.(2)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(3)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.[针对训练] 如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求证:B1C∥平面A1BM;(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C 如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.微点培优11 动态问题 “动态”问题渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题意更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化,加强了对空间想象能力的考查.类型一 动态中的最值问题[典例1] 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”ABC－A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=,动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动,且AM=2,则∠MAB的最大值为( )[A] [B] [C] [D]在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的思路:(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解.(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.[拓展演练1] (多选题)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论正确的是( )[A] 当点E运动时,A1C⊥AE总成立[B] 当E向D1运动时,二面角A－EF－B逐渐变小[C] 二面角E－AB－C的最小值为45°[D] 三棱锥A－BEF的体积为定值类型二 动态中的轨迹问题[典例2] (1)(2025·山东聊城模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2,动点P满足·=0,且·=0,则点P的轨迹长为 . (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别为BC,CD的中点,P是线段A1B上的动点,C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 . 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法:根据平面的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算.(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.[拓展演练2] (2025·陕西商洛模拟)如图,正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1内的动点,且MN∥平面ABC1,则点N的轨迹的长度为( )[A] [B] 2 [C] [D] 4类型三 动态中的折叠问题[典例3] (多选题)(2025·福建莆田模拟)如图,在等腰Rt△ABC中,BC=2,∠C=90°,D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点,且DE∥BC,现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCED,当D从B滑动到A的过程中,下列选项正确的是( )[A] ∠A′DB的大小不会发生变化[B] 二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化[C] 三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大[D] A′B与DE所成的角先变大后变小折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系,尤其是隐含的垂直关系.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一平面上的性质发生变化.[拓展演练3] (2025·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A－BCD,则在折叠过程中,不可能出现( )[A] AB⊥CD[B] AC⊥BD[C] 三棱锥A－BCD的体积为[D] 平面ABD⊥平面BCD(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号线面垂直、面面垂直的判定与性质 1,2,4,6,7,9几何法求线面角与面面角 3,5,8,12动态问题 11,13,15平行、垂直关系的综合应用 10,14单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·陕西安康模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题为真命题的是( )[A] 若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ[B] 若α⊥β,m α,n β,则m⊥n[C] 若m⊥α,n⊥α,则m∥n[D] m⊥n,m∥α,α∥β,则n⊥β2.(多选题)(2025·河北保定模拟)已知l,m表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,l⊥α,m β,则下面四个命题正确的是( )[A] 若α∥β,则l⊥m [B] 若α⊥β,则l∥m[C] 若l∥m,则α⊥β [D] 若l⊥m,则α∥β3.已知在三棱锥S－ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且△ABC为等边三角形,则二面角S－AB－C的正切值为( )[A] [B] [C] [D] 24.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在( )[A] 直线AC上[B] 直线BC上[C] 直线AB上[D] △ABC内部5.(多选题)(2025·广西南宁模拟)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P－AC－O的大小为45°,则( )[A] △PAC的面积为[B] 该圆锥的侧面积为2π[C] AC=[D] 该圆锥的体积为π6.(多选题)(2025·山东聊城模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形,则下列关系能同时成立的是( )[A] “AB=PB”与“PB=BD”[B] “PA⊥PC”与“PB⊥PD”[C] “PB⊥CD”与“PC⊥AB”[D] “平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”7.(5分)如图所示,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD(填写一个正确的条件即可). 8.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,∠PAD=,PD=2,PB=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若E为PC的中点,求直线EB与平面PAD所成角的正弦值.9.(多选题)如图,在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG垂直的是( ) [A] [B] [C] [D]10.(2023·北京卷)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=AD=10 m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为( )[A] 102 m [B] 112 m[C] 117 m [D] 125 m11.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正方形ABCD的边长为4,点E在线段AB上,BE=1.沿DE将△ADE折起,使点A翻折至平面BCDE外的点P,则( )[A] 存在点P,使得PE⊥DC[B] 存在点P,使得直线BC∥平面PDE[C] 不存在点P,使得PC⊥DE[D] 不存在点P,使得四棱锥P－BCDE的体积为812.已知△ABC中,AC=1,AB=2,BC=,点M为AB中点,连接CM.将△ACM沿直线CM折起,使得点A到达A′的位置,且平面A′CM⊥平面BCM,则二面角A′－BC－M的余弦值为( )[A] [B][C] [D]13.(5分)(2025·广东东莞模拟)将一个直角三角板放置在桌面上方,如图,记直角三角板为△ABC,其中∠C=,AB=14,BC=7,记桌面为平面α.若C∈α,且BC与平面α所成的角为,则点A到平面α的距离的最大值为 . 14.(13分)(2025·辽宁葫芦岛模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=3,BC=4,已知=,且PE⊥平面ABCD,=,=2.(1)在线段FG上确定一点M,使得平面PEM⊥平面PFG,并说明理由;(2)在(1)的条件下,若二面角P－FG－E的余弦值为,求PG与平面PEM所成角的正切值.15.(2025·湖北宜昌模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AD的中点,P为线段CE上的动点,则当C1P⊥A1C时,C1P的长为( )[A] [B][C] [D]第4节 空间直线、平面的垂直（解析版）[课程标准要求]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义.一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理.项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0°.(2)范围:[0,].3.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角.若有①O∈l;②OA α,OB β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范围:[0,π].4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理.项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 α⊥β性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.3.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.1.(多选题)(人教A版必修第二册P162练习T1改编)下列命题中不正确的是( )[A] 如果直线a不垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a[B] 如果平面α垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线平行于平面β[C] 如果直线a垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线平行于直线a[D] 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】 ABD【解析】 若直线a垂直于平面α,则直线a垂直于平面α内的所有直线,故C正确,其他选项均不正确.故选ABD.2.已知直线l,m,n与平面α,β,下列命题正确的是( )[A] 若l⊥n,m⊥n,则l∥m[B] 若l⊥α,l∥β,则α⊥β[C] 若l⊥α,l⊥m,则m∥α[D] 若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β【答案】 B【解析】 对于A,若l⊥n,m⊥n,则l,m平行、相交或异面,故A错误;对于B,若l∥β,则存在l1 β,使得l∥l1,又因为l⊥α,所以l1⊥α,而l1 β,所以α⊥β,故B正确;对于C,若l⊥α,l⊥m,则m∥α或m α,故C错误;对于D,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,且如果l不在α内,则不会有l⊥β,故D错误.故选B.3.(人教A版必修第二册P158例8改编)如图,AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有( )[A] 平面ABC⊥平面BCD[B] 平面BCD⊥平面ACD[C] 平面ABD⊥平面ACD[D] 平面BCD⊥平面ABD【答案】 B【解析】 因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD垂直于圆柱的底面,所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,AC,AD 平面ACD,所以BC⊥平面ACD,因为BC 平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.4.(2025·辽宁大连模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为正方形,直线B1C与直线AD所成角的正切值为2,则直线B1D与平面ABCD所成角的正切值为 . 【答案】【解析】 长方体中,AD∥BC,所以∠BCB1就是直线B1C与直线AD所成角,因此tan∠BCB1==2,即BC=BB1,又由BB1⊥平面ABCD知,∠B1DB是直线B1D与平面ABCD所成角,tan∠B1DB====.考点一 直线与平面垂直的判定与性质[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2PD=2CD=2AD=4,E是PA的中点.(1)求证:DE⊥平面PAB;(2)求三棱锥P－BCE的体积.(1)【证明】 因为PD=AD,E是PA的中点,所以DE⊥PA,又PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PD⊥AB,又AB⊥AD,AD,PD 平面PAD,AD∩PD=D,所以AB⊥平面PAD,又DE 平面PAD,所以AB⊥DE,又PA,AB 平面PAB,PA∩AB=A,所以DE⊥平面PAB.(2)【解】 根据题意,得=,又CD∥AB,CD 平面PAB,AB 平面PAB,所以CD∥平面PAB,所以点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离,又S△PBE=PE·AB=××4=2,又DE⊥平面PAB,DE=,所以===×2×=.(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质.[针对训练] (2025·陕西咸阳模拟)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2BC=4,侧面ACC1A1为正方形,A1C∩AC1=M.(1)求证:AC1⊥BM;(2)求三棱锥A－A1BM的体积.(1)【证明】 因为ABC－A1B1C1为直三棱柱,则CC1⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以CC1⊥BC,AC⊥BC,又CC1∩AC=C,CC1,AC 平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,且AC1 平面ACC1A1,故BC⊥AC1,因为侧面ACC1A1为正方形,所以AC1⊥A1C,又A1C∩BC=C,A1C,BC 平面A1CB,所以AC1⊥平面A1CB,又因为BM 平面A1CB,所以AC1⊥BM.(2)【解】 由题意得,AC=AA1=4,BC=2,所以S△ABC=×4×2=4,所以=S△ABC·AA1=,又点M是A1C的中点,所以 ===×=.考点二 平面与平面垂直的判定与性质[例2] (2025·山西太原模拟)如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,∠DAC=∠AOB.(1)求证:BE∥平面PAD;(2)求证:平面BEO⊥平面PCD.【证明】 (1)在△PAC中,由题可知OE∥PA,又因为OE 平面PAD,PA 平面PAD,所以OE∥平面PAD,又因为∠DAC=∠AOB,所以OB∥AD,又因为OB 平面PAD,AD 平面PAD,所以OB∥平面PAD,又因为OB∩OE=O,OB,OE 平面BEO,所以平面BEO∥平面PAD,又因为BE 平面BEO,所以BE∥平面PAD.(2)因为AC是圆O的直径,所以AD⊥CD,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又因为平面BEO∥平面PAD,所以CD⊥平面BEO,又因为CD 平面PCD,所以平面BEO⊥平面PCD.证明面面垂直的常用方法及关键点(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.[针对训练] (2025·江西赣州模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,平面PCD⊥平面APD,∠PDA=∠PDC=,底面ABCD是平行四边形,DC=PC=2AD=2,且点M,N分别是棱PD,AD的中点.(1)证明:平面PAD⊥平面CMN;(2)求点P到平面ABCD的距离.(1)【证明】 因为DC=PC=2,∠PDC=,所以△PCD是等边三角形,所以PD=2.又AD=1,∠PDA=,由余弦定理得AP==,则AD2+AP2=DP2,所以∠DAP=,即AD⊥AP.因为点M是PD的中点,所以CM⊥DP,又点N是AD的中点,所以MN∥AP,所以AD⊥MN.又平面PCD⊥平面APD,平面PCD∩平面APD=DP,CM 平面PCD,所以CM⊥平面APD,因为AD 平面APD,所以CM⊥AD,因为CM∩MN=M,CM,MN 平面CMN,所以AD⊥平面CMN.又AD 平面PAD,所以平面PAD⊥平面CMN.(2)【解】 由(1)得CM⊥MN,CM=2sin=,MN=AP=,在直角△CMN中,CN==,设点P到平面ABCD的距离为h,=VC－APD,即×(×1×)×h=×(×1×)×,解得h=,所以点P到平面ABCD的距离为.考点三 几何法求线面角与二面角角度1 线面角[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )[A] [B] 1 [C] 2 [D] 3【答案】 B【解析】 法一 分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接A1D1,AD,则AD=3,A1D1=,可知S△ABC=×6×3=9,=×2×=,设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h,则=(9++)h=,解得h=,如图,分别过A1,D1往底面作垂线,垂足为M,N,设AM=x,则BB1=AA1==,DN=AD－AM－MN=2－x,可得DD1==,结合等腰梯形BCC1B1可得B=D+()2,即x2+=++4,解得x=,所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan ∠A1AD==1.故选B.法二 将正三棱台ABC－A1B1C1补形成正三棱锥P－ABC,则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为==,则=,可知==,则=18,设正三棱锥P－ABC的高为d,则=d××6×6×=18,解得d=2,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=2,所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan ∠PAO==1.故选B.求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.角度2 二面角[例4] (2025·广东广州模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,AD=2CD=2BC=4,PB=2.(1)求证:AD⊥PB;(2)求平面PAB与平面ABCD所成的角的正弦值.(1)【证明】 取AD中点为E,连接BE,PE,因为BC∥AD,且BC=AD=ED,所以四边形EBCD为平行四边形,即BE∥CD,因为CD⊥AD,所以BE⊥AD.因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,所以PE⊥AD.又PE∩BE=E,所以AD⊥平面PEB,PB 平面PEB,所以AD⊥PB.(2)【解】 过P作PO⊥平面ABCD,过O作OH⊥AB于H,连接PH,则∠PHO为平面PAB与平面ABCD所成的角,由(1)可知,AD⊥平面PEB,AD 平面ABCD,所以平面PEB⊥平面ABCD,平面PEB∩平面ABCD=BE,则O∈直线BE,由题意可知PE=2,BE=2,又PB=2,所以∠PEB=120°,在直角三角形PEO中,∠PEO=60°,所以PO=,OE=1,过E作EF⊥AB于F,则OH∥EF,在△AEB中,BE⊥AE,BE=AE=2,则AB=2,EF=AB=,所以==,所以OH=,tan∠PHO==,则sin∠PHO=.故平面PAB与平面ABCD所成的角的正弦值为.(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.(2)求二面角的大小的方法:一作:即先作出二面角的平面角;二证:即说明所作角是二面角的平面角;三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.[针对训练]1.(角度1)(2025·云南大理模拟)在四棱锥P－ABCD中,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,且AB=BC,平面PAD⊥平面ABCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为( )[A] [B] [C] [D] 1【答案】 A【解析】 因为平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,CD 平面ABCD,CD⊥AD,则CD⊥平面PAD,又CD 平面PCD,故平面PCD⊥平面PAD,取PD的中点M,连接AM,CM,如图所示,平面PCD∩平面PAD=PD,AM 平面PAD,△PAD为等边三角形,则AM⊥PD,故AM⊥平面PCD,则直线AC与平面PCD所成角即为∠ACM,令BC=a,则AB=a,AC=a,AM=a,故sin∠ACM==.故选A.2.(角度2)(2025·四川成都模拟)在四棱锥P－ABCD中,若四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=,则二面角A－BD－P的正切值为( )[A] [B] [C] [D]【答案】 D【解析】因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB.又四边形ABCD为正方形,则AD=AB,从而可得PD=PB,即△PBD为等腰三角形.取BD中点O,连接PO,AO,则PO⊥BD,AO⊥BD,又PO 平面PAO,AO 平面PAO,AO∩PO=O,则BD⊥平面PAO,即∠POA为二面角A－BD－P的平面角.又PA⊥平面ABCD,AO 平面ABCD,则PA⊥AO.又AO=,故tan∠POA===.故选D.考点四 平行、垂直关系的综合应用[例5] 如图,在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD为菱形,△OCD为正三角形,平面OCD⊥平面ABCD,∠ADC=60°.(1)证明:OA⊥CD;(2)若M为线段AC上靠近A的三等分点,且M∈平面α,平面α∥平面OCD,OB∩平面α=N,求的值.(1)【证明】 取CD的中点T,连接OT,AT,因为△OCD为正三角形,故OT⊥DC,而四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,故△ADC为等边三角形,故AT⊥DC,而OT∩AT=T,OT,AT 平面OTA,故CD⊥平面OTA,而OA 平面OTA,故OA⊥CD.(2)【解】 设直线BC与平面α交于点S,连接MS,NS,因为平面α∥平面OCD,平面α∩平面ABCD=MS,平面ABCD∩平面OCD=CD,故CD∥MS,同理OC∥NS.由菱形ABCD可得AB∥CD,故AB∥MS,故==2,又=,故=2,故BN=OB.连接BT,设AD=2a,则AT=OT=a.由(1)可得OT⊥DC,而平面OCD⊥平面ABCD,平面OCD∩平面ABCD=CD,OT 平面OCD,故OT⊥平面ABCD,而AT,BT 平面ABCD,故OT⊥AT,OT⊥BT,故OA=a.在△CBT中,CT=a,BC=2a,∠TCB=120°,故BT==a,故OB==a,故NB=a,故===.(1)垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.(2)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(3)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.[针对训练] 如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求证:B1C∥平面A1BM;(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C 如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.(1)【证明】如图,连接AB1,与A1B交于点O,连接OM,在△B1AC中,M,O分别为AC,AB1的中点,所以OM∥B1C,又OM 平面A1BM,B1C 平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)【证明】 因为AA1⊥底面ABC,BM 平面ABC,所以AA1⊥BM.又M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.因为AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BM⊥平面ACC1A1,AC1 平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.因为AC=2,所以AM=1.又AA1=,在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,所以∠AC1C=∠A1MA,即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1,又BM∩A1M=M,BM,A1M 平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.(3)【解】存在.当点N为BB1的中点时,平面AC1N⊥平面AA1C1C.理由如下:如图,设AC1的中点为D,连接DM,DN,因为D,M分别为AC1,AC的中点,所以DM∥CC1且DM=CC1,又N为BB1的中点,所以DM∥BN且DM=BN,所以四边形BNDM为平行四边形,故BM∥DN,由(2)知,BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC1A1,又DN 平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.此时=.微点培优11 动态问题 “动态”问题渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题意更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化,加强了对空间想象能力的考查.类型一 动态中的最值问题[典例1] 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”ABC－A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=,动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动,且AM=2,则∠MAB的最大值为( )[A] [B] [C] [D]【答案】 B【解析】 如图,取BC的中点O,连接AO,MO,则AO⊥BC.因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥AO,又BC∩BB1=B,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OM.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,∠BAC=,所以AO=,又AM=2,所以在Rt△OAM中,OM==1,所以动点M的轨迹是平面BCC1B1内以O为圆心,1为半径的半圆.连接BM,易得BO=BC=,所以－1≤BM≤+1.在△BAM中,AB=,AM=2,由余弦定理得cos∠MAB==≥=.即当BM=+1时,cos∠MAB取得最小值,结合选项可知,A,C,D均不正确,所以∠MAB的最大值为.故选B.在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的思路:(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解.(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.[拓展演练1] (多选题)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论正确的是( )[A] 当点E运动时,A1C⊥AE总成立[B] 当E向D1运动时,二面角A－EF－B逐渐变小[C] 二面角E－AB－C的最小值为45°[D] 三棱锥A－BEF的体积为定值【答案】 ACD【解析】 对于A,因为在正方体中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1,而AE 平面AB1D1,所以A1C⊥AE恒成立,A正确;对于B,平面EFB即平面BDD1B1,而平面EFA即平面AB1D1,所以当E向D1运动时,二面角A－EF－B的大小不变,B错误;对于C,当点E从B1D1的中点向点D1运动时,平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢,这个过程中,二面角E－AB－C越来越小,所以二面角E－AB－C的最小值为∠D1AD=45°,C正确;对于D,因为S△BEF=××1=,点A到平面BDD1B1的距离为,所以体积为××=,即体积为定值,D正确.故选ACD.类型二 动态中的轨迹问题[典例2] (1)(2025·山东聊城模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2,动点P满足·=0,且·=0,则点P的轨迹长为 . (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别为BC,CD的中点,P是线段A1B上的动点,C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 . 【答案】 (1) π (2)【解析】 (1)由·=0,故点P在过点A且垂直于CD的平面上,由·=0,故点P在以BC为直径的球面上,即点P的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以BC为直径的球面所得的圆,由正四面体的性质可得AB⊥CD,取CD中点E,连接AE,BE,则有AE⊥CD,又AB,AE 平面ABE,AB∩AE=A,故CD⊥平面ABE,取BC中点F,BE中点G,连接FG,则FG∥CD,由CD⊥平面ABE,故FG⊥平面ABE,FG=CE=CD=×2=,BF=BC=1,F为以BC为直径的球的球心,则该球半径为1,则点P的轨迹所形成的圆的半径为r==,则其轨迹长为2πr=π.(2)如图所示,连接EF,D1F,A1B,连接A1C1,B1D1交于点M,连接B1E,BC1交于点N,由EF∥B1D1,即E,F,B1,D1共面,由P是线段A1B上的动点,当P重合于A1或B时,C1A1,C1B与平面D1EF的交点分别为M,N,即Q的轨迹为MN,由棱长为3,得C1M=A1C1=3,则BC1=6,又==,则NC1=BC1=4,由A1B=BC1=A1C1,得∠A1C1B=60°,则MN===.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法:根据平面的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算.(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.[拓展演练2] (2025·陕西商洛模拟)如图,正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1内的动点,且MN∥平面ABC1,则点N的轨迹的长度为( )[A] [B] 2 [C] [D] 4【答案】 B【解析】如图,取B1C1的中点D,取BB1的中点E,连接MD,DE,ME,则DE∥BC1,又DE 平面ABC1,BC1 平面ABC1,所以DE∥平面ABC1.又M为A1C1的中点,所以MD∥A1B1∥AB.又MD 平面ABC1,AB 平面ABC1,所以MD∥平面ABC1.又DE∩MD=D,DE 平面DEM,MD 平面DEM,所以平面DEM∥平面ABC1,又因为N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,所以N的轨迹为线段DE,DE==2,所以点N的轨迹的长度为2.故选B.类型三 动态中的折叠问题[典例3] (多选题)(2025·福建莆田模拟)如图,在等腰Rt△ABC中,BC=2,∠C=90°,D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点,且DE∥BC,现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCED,当D从B滑动到A的过程中,下列选项正确的是( )[A] ∠A′DB的大小不会发生变化[B] 二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化[C] 三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大[D] A′B与DE所成的角先变大后变小【答案】 AB【解析】 对于A选项,翻折前,因为DE∥BC,BC⊥AC,则DE⊥AC,翻折后,对应地有DE⊥A′E,DE⊥CE,因为平面A′DE⊥平面BCED,平面A′DE∩平面BCED=DE,A′E 平面A′DE,故A′E⊥平面BCED.连接BE,因为BE 平面BCED,故A′E⊥BE.设DE=x(0所以,A′B2=A′E2+BE2=2x2－4x+8,由余弦定理可得cos∠A′DB===－,故∠A′DB=,A正确;对于B选项,过点E在平面BCED内作EF⊥BD,交其延长线于点F,连接A′F,因为A′E⊥平面BCED,BD 平面BCED,故A′E⊥BD.因为EF⊥BD,A′E∩EF=E,故BD⊥平面A′EF.因为A′F 平面A′EF,故A′F⊥BD,所以二面角A′－BD－C的平面角为∠A′FE,因为∠EDF=,所以EF=DEsin =x,故tan∠A′FE==,所以二面角A′－BD－C的平面角的大小为定值,B正确;对于C选项,S△EBC=×2×(2－x)=2－x,=S△EBC·A′E=x(2－x)=(2x－x2)=－[(x－1)2－1],由二次函数单调性可知先变大再变小,C错误;对于D选项,因为DE⊥A′E,DE⊥CE,DE∥BC,则BC⊥A′E,BC⊥CE,因为A′E∩CE=E,A′E,CE 平面A′CE,所以BC⊥平面A′CE,所以A′B与DE所成的角为∠A′BC,且cos∠A′BC==,所以cos∠A′BC先递增后递减,故A′B与DE所成的角先变小后变大,D错误.故选AB.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系,尤其是隐含的垂直关系.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一平面上的性质发生变化.[拓展演练3] (2025·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A－BCD,则在折叠过程中,不可能出现( )[A] AB⊥CD[B] AC⊥BD[C] 三棱锥A－BCD的体积为[D] 平面ABD⊥平面BCD【答案】 A【解析】 对于A,若AB⊥CD,因为BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,而CD=2,AD=2,即直角边长与斜边长相等,显然不对,故A错误;对于B,取BD的中点O,因为AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,所以 BD⊥AC,故B正确;对于C,当折叠所成的二面角的平面角∠AOC=150°时,顶点A到底面BCD的距离为,此时=Sh=×2×=,故C正确;对于D,当沿对角线BD折叠成直二面角时,有平面ABD⊥平面CBD,故D正确.故选A.(分值:95分)选题明细表知识点、方法 题号线面垂直、面面垂直的判定与性质 1,2,4,6,7,9几何法求线面角与面面角 3,5,8,12动态问题 11,13,15平行、垂直关系的综合应用 10,14单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·陕西安康模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题为真命题的是( )[A] 若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ[B] 若α⊥β,m α,n β,则m⊥n[C] 若m⊥α,n⊥α,则m∥n[D] m⊥n,m∥α,α∥β,则n⊥β【答案】 C【解析】 对于A,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能相交,可能平行,故A错误;对于B,若α⊥β,m α,n β,则m与n可能相交,可能平行,故B错误;对于C,若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质知m∥n,故C正确;对于D,若m⊥n,m∥α,α∥β,则n与β可能相交,可能平行,故D错误.故选C.2.(多选题)(2025·河北保定模拟)已知l,m表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,l⊥α,m β,则下面四个命题正确的是( )[A] 若α∥β,则l⊥m [B] 若α⊥β,则l∥m[C] 若l∥m,则α⊥β [D] 若l⊥m,则α∥β【答案】 AC【解析】 因为l⊥α,α∥β,根据面面平行的性质定理知l⊥β,又m β,则l⊥m,故A正确;若α⊥β,l⊥α,则l可能在β内或与β平行,则l可能与m相交、平行或异面,故B错误;由l∥m,l⊥α可推出m⊥α,又m β,根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故C正确;若α,β的交线为m,则l⊥m,推不出α∥β,故D错误.故选AC.3.已知在三棱锥S－ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且△ABC为等边三角形,则二面角S－AB－C的正切值为( )[A] [B] [C] [D] 2【答案】 B【解析】由SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC以及AB=BC=AC可得△SAC≌△SBC,△SAC≌△SAB,故SC=SA=SB,进而可得AB=SA,不妨设SA=2,AB=2,取AB中点M,连接MS,MC,故MS⊥AB,MC⊥AB,故∠SMC即为二面角S－AB－C的平面角,由于SB⊥SC,SA⊥SC,SA∩SB=S,SA,SB 平面SAB,故SC⊥平面SAB,SM 平面SAB,故SC⊥SM,tan∠SMC===.故选B.4.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在( )[A] 直线AC上[B] 直线BC上[C] 直线AB上[D] △ABC内部【答案】 C【解析】连接AC1,如图所示.因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC.因为AB⊥AC,BC1⊥AC,AB∩BC1=B,AB,BC1 平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC.又因为平面ABC1∩平面ABC=AB,所以点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.故选C.5.(多选题)(2025·广西南宁模拟)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P－AC－O的大小为45°,则( )[A] △PAC的面积为[B] 该圆锥的侧面积为2π[C] AC=[D] 该圆锥的体积为π【答案】 BD【解析】如图,取AC中点D,则OD⊥AC,PD⊥AC,由二面角定义可知,∠PDO=45°.在△PAB中,PA=PB=2,∠APB=120°,所以PO=OD=1,CO=,所以PD=,AC=2=2×=2,故C错误;所以S△PAC=××2=2,故A错误;S侧=π××2=2π,故B正确;V=·3π·1=π,故D正确.故选BD.6.(多选题)(2025·山东聊城模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形,则下列关系能同时成立的是( )[A] “AB=PB”与“PB=BD”[B] “PA⊥PC”与“PB⊥PD”[C] “PB⊥CD”与“PC⊥AB”[D] “平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”【答案】 BC【解析】 若AB=PB与PB=BD同时成立,可得AB=BD,与底面ABCD是正方形矛盾,故A错误;若PA⊥PC与PB⊥PD同时成立,设AC与BD交于O点,则OP=OA=OB=OC=OD,成立,故B正确;若PB⊥CD与PC⊥AB同时成立,由PB⊥CD,又CD⊥BC,可得CD⊥平面PBC,则CD⊥PC,又AB∥CD,可得AB⊥PC,故C正确;若平面PAB⊥平面PBD与平面PCD⊥平面PBD同时成立,而平面PAB与平面PCD相交,可得它们的交线垂直于平面PBD,又交线与AB平行,与BD不垂直,故D错误.故选BC.7.(5分)如图所示,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD(填写一个正确的条件即可). 【答案】 DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】连接AC,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PC 平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC 平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.8.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,∠PAD=,PD=2,PB=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若E为PC的中点,求直线EB与平面PAD所成角的正弦值.(1)【证明】 在△PAD中,由=,得sin∠APD=1,∠APD∈(0,π),所以∠APD=,则PA=4cos =2,又PB=2,AB=4,所以PB2=PA2+AB2,即AB⊥PA,因为AB⊥AD,又AD,PA 平面PAD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,因为AB 平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)【解】 设PD,AB的中点分别为F,G,连接FE,FG,FA(图略),由题意得FE∥CD,FE=CD,GB∥CD,GB=CD,所以FE∥GB,FE=GB,即EFGB是平行四边形,则EB∥FG,由(1)可知AB⊥平面PAD,所以直线EB与平面PAD所成角为∠AFG,在Rt△APD中AF=,则FG==,sin∠AFG==,所以,直线EB与平面PAD所成角的正弦值为.9.(多选题)如图,在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG垂直的是( ) [A] [B] [C] [D]【答案】 ABC【解析】 如图,在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,且六点共面,直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且A项,B项,C项中的平面与这个平面重合.对于D项中的图形,由于E,F分别为AB,A1B1的中点,所以EF∥BB1,故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角,且tan∠B1BD1=,即∠B1BD1不是直角,故BD1与平面EFG不垂直.故选ABC.10.(2023·北京卷)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=AD=10 m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为( )[A] 102 m [B] 112 m[C] 117 m [D] 125 m【答案】 C【解析】 如图,过E作EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分别作EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM,由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO和∠EGO,所以tan∠EMO=tan∠EGO=.因为EO⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以EO⊥BC,因为EG⊥BC,EO,EG 平面EOG,EO∩EG=E,所以BC⊥平面EOG,因为OG 平面EOG,所以BC⊥OG,同理OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形,所以由BC=10得OM=5,所以EO=,所以OG=5,所以在直角三角形EOG中,EG===,在直角三角形EBG中,BG=OM=5,EB===8,又因为EF=AB－5－5=25－5－5=15,所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117(m).故选C.11.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正方形ABCD的边长为4,点E在线段AB上,BE=1.沿DE将△ADE折起,使点A翻折至平面BCDE外的点P,则( )[A] 存在点P,使得PE⊥DC[B] 存在点P,使得直线BC∥平面PDE[C] 不存在点P,使得PC⊥DE[D] 不存在点P,使得四棱锥P－BCDE的体积为8【答案】 AC【解析】 在正方形ABCD中,过点A作AM⊥DE,垂足为M.将△ADE翻折后,有PD=DC=4,PE=3,CE=,PE⊥PD,PM⊥DE.若PE⊥DC,又PE⊥PD,DC∩PD=D,DC 平面PCD,PD 平面PCD,则PE⊥平面PCD,又PC 平面PCD,则PE⊥PC,而CE=,PE=3,PC=2有解,A正确;若BC∥平面PDE,又BC 平面BCDE,平面BCDE∩平面PDE=DE,所以BC∥DE,矛盾,故B错误;取PC中点N,因为PD=DC,则DN⊥PC,若PC⊥DE,又DE∩DN=D,且DE 平面DEN,DN 平面DEN,则PC⊥平面DEN,又NE 平面DEN,则PC⊥NE,则EP=EC,矛盾,故C正确;当平面PDE⊥平面BCDE时,因为PM 平面PDE,PM⊥DE,平面PDE∩平面BCDE=DE,所以PM⊥平面BCDE.此时()max=S四边形BCDE×PM=××(1+4)×4×=8,故存在点P,使得四棱锥P－BCDE的体积为8,D错误.故选AC.12.已知△ABC中,AC=1,AB=2,BC=,点M为AB中点,连接CM.将△ACM沿直线CM折起,使得点A到达A′的位置,且平面A′CM⊥平面BCM,则二面角A′－BC－M的余弦值为( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 取CM的中点D,过点D作BC的垂线,垂足为E,连接A′E,A′D,则BC⊥DE,因为在△ABC中,AC=1,AB=2,BC=,点M为AB中点,所以∠ACB=90°,AM=BM=CM=1,则△ACM为等边三角形,所以∠CMA=60°,∠CMB=120°,∠MCB=∠MBC=30°,将△ACM沿直线CM折起,使得点A到达A′的位置,则△A′CM为等边三角形,A′D⊥CM,A′M=BM=CM=A′C=1,CD=,DE=,A′D=,因为平面A′CM⊥平面BCM,且A′D 平面A′CM,A′D⊥CM,平面A′CM∩平面BCM=CM,所以A′D⊥平面BCM.因为BC 平面BCM,所以BC⊥A′D,又因为A′D∩DE=D,A′D,DE 平面A′DE,所以BC⊥平面A′DE.又因为A′E 平面A′DE,所以A′E⊥BC,则二面角A′－BC－M的平面角为∠A′ED,在直角三角形△A′DE中,A′E===,所以cos∠A′ED===.故选B.13.(5分)(2025·广东东莞模拟)将一个直角三角板放置在桌面上方,如图,记直角三角板为△ABC,其中∠C=,AB=14,BC=7,记桌面为平面α.若C∈α,且BC与平面α所成的角为,则点A到平面α的距离的最大值为 . 【答案】【解析】 如图,过B作BB1⊥α,交α于点B1,过A作AA1⊥α,交α于点A1,因为在Rt△ABC中,∠ACB=,BC=7,AB=14,则AC===7,当A,B,B1,C四点共面时,点A到α的距离最大.因为BB1⊥α,所以∠BCB1是BC与平面α所成的角,则∠BCB1=,则∠ACA1=,于是,AA1=ACsin =7×=,即A到α的最大距离为.14.(13分)(2025·辽宁葫芦岛模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=3,BC=4,已知=,且PE⊥平面ABCD,=,=2.(1)在线段FG上确定一点M,使得平面PEM⊥平面PFG,并说明理由;(2)在(1)的条件下,若二面角P－FG－E的余弦值为,求PG与平面PEM所成角的正切值.【解】 (1)M为FG中点,证明如下:连接PM,EM,过E作EH⊥BC于点H,于是在Rt△EHF中,EH=3,HF=1,故EF=.在Rt△EDG中,ED=3,DG=1,故EG=,所以EF=EG,△EFG为等腰三角形,又PE⊥平面ABCD,Rt△PEF≌Rt△PEG,所以PF=PG,△PFG为等腰三角形,故在等腰三角形EFG和等腰三角形PFG中有FG⊥EM,FG⊥PM,又EM∩PM=M,且EM,PM 平面PME,所以FG⊥平面PME,又FG 平面PFG,所以平面PFG⊥平面PME.(2)由(1)知,∠PME为二面角P－FG－E的平面角,在Rt△PEM中,cos∠PME=,FG===2,FM=FG=,EM===2,所以PM===3,由(1)中证明可知GM⊥平面PEM,故PG与平面PEM所成角为∠GPM.在Rt△GMP中,tan∠GPM=,又GM=MF=,所以PG与平面PEM所成角的正切值为tan∠GPM==.15.(2025·湖北宜昌模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AD的中点,P为线段CE上的动点,则当C1P⊥A1C时,C1P的长为( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 如图,连接DC1,BC1,BD,AC,当且仅当C1P 平面BDC1时,C1P⊥A1C,证明如下:因为AA1⊥平面ABCD,由BD 平面ABCD,得AA1⊥BD,又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,由A1C 平面A1AC,得A1C⊥BD,同理A1C⊥BC1,又BC1∩BD=B,BC1,BD 平面BDC1,所以A1C⊥平面BDC1,先证充分性:当C1P 平面BDC1时,则C1P⊥A1C,此时BD∩CE=P;再证必要性,当C1P⊥A1C时,因为A1C⊥BC1,C1P∩BC1=C1,C1P,BC1 平面BC1P,所以A1C⊥平面BC1P,又平面BC1P与平面BDC1相交于B,C1,P,所以平面BC1P与平面BDC1是同一个平面,所以C1P 平面BDC1,此时BD∩CE=P;由△DPE∽△BPC,得==,所以CP=CE==,故C1P==.故选B.(第33页)(共122张PPT)第4节 空间直线、平面的垂直1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.[课程标准要求]必备知识课前回顾知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义.一般地,如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.任意项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线知识梳理(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理.两条相交直线平行知识梳理射影2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 ;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 .(2)范围: .90°0°知识梳理两个半平面3.二面角(1)定义:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角.若有①O∈l;②OA α,OB β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是.(3)二面角的平面角α的范围:[0,π].∠AOB知识梳理4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义.两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.直二面角知识梳理(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理.垂线项目 文字语言 图形表示 符号表示判定 定理 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面垂直交线l βl β重要结论1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.重要结论3.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.对点自测1.(多选题)(人教A版必修第二册P162练习T1改编)下列命题中不正确的是( )[A] 如果直线a不垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a[B] 如果平面α垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线平行于平面β[C] 如果直线a垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线平行于直线a[D] 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βABD【解析】 若直线a垂直于平面α,则直线a垂直于平面α内的所有直线,故C正确,其他选项均不正确.故选ABD.对点自测2.已知直线l,m,n与平面α,β,下列命题正确的是( )[A] 若l⊥n,m⊥n,则l∥m[B] 若l⊥α,l∥β,则α⊥β[C] 若l⊥α,l⊥m,则m∥α[D] 若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB对点自测【解析】 对于A,若l⊥n,m⊥n,则l,m平行、相交或异面,故A错误;对于B,若l∥β,则存在l1 β,使得l∥l1,又因为l⊥α,所以l1⊥α,而l1 β,所以α⊥β,故B正确;对于C,若l⊥α,l⊥m,则m∥α或m α,故C错误;对于D,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,且如果l不在α内,则不会有l⊥β,故D错误.故选B.对点自测3.(人教A版必修第二册P158例8改编)如图,AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有( )[A] 平面ABC⊥平面BCD[B] 平面BCD⊥平面ACD[C] 平面ABD⊥平面ACD[D] 平面BCD⊥平面ABDB对点自测【解析】 因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD垂直于圆柱的底面,所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,AC,AD 平面ACD,所以BC⊥平面ACD,因为BC 平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.对点自测4.(2025·辽宁大连模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为正方形,直线B1C与直线AD所成角的正切值为2,则直线B1D与平面ABCD所成角的正切值为 . 关键能力课堂突破考点一 直线与平面垂直的判定与性质[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2PD=2CD=2AD=4,E是PA的中点.(1)求证:DE⊥平面PAB;(1)【证明】 因为PD=AD,E是PA的中点,所以DE⊥PA,又PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PD⊥AB,又AB⊥AD,AD,PD 平面PAD,AD∩PD=D,所以AB⊥平面PAD,又DE 平面PAD,所以AB⊥DE,又PA,AB 平面PAB,PA∩AB=A,所以DE⊥平面PAB.[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2PD=2CD=2AD=4,E是PA的中点.(2)求三棱锥P－BCE的体积.(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质.解题策略[针对训练] (2025·陕西咸阳模拟)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2BC=4,侧面ACC1A1为正方形,A1C∩AC1=M.(1)求证:AC1⊥BM;(1)【证明】 因为ABC－A1B1C1为直三棱柱,则CC1⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以CC1⊥BC,AC⊥BC,又CC1∩AC=C,CC1,AC 平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,且AC1 平面ACC1A1,故BC⊥AC1,因为侧面ACC1A1为正方形,所以AC1⊥A1C,又A1C∩BC=C,A1C,BC 平面A1CB,所以AC1⊥平面A1CB,又因为BM 平面A1CB,所以AC1⊥BM.[针对训练] (2025·陕西咸阳模拟)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2BC=4,侧面ACC1A1为正方形,A1C∩AC1=M.(2)求三棱锥A－A1BM的体积.考点二 平面与平面垂直的判定与性质[例2] (2025·山西太原模拟)如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,∠DAC=∠AOB.(1)求证:BE∥平面PAD;【证明】 (1)在△PAC中,由题可知OE∥PA,又因为OE 平面PAD,PA 平面PAD,所以OE∥平面PAD,又因为∠DAC=∠AOB,所以OB∥AD,又因为OB 平面PAD,AD 平面PAD,所以OB∥平面PAD,又因为OB∩OE=O,OB,OE 平面BEO,所以平面BEO∥平面PAD,又因为BE 平面BEO,所以BE∥平面PAD.【证明】 (2)因为AC是圆O的直径,所以AD⊥CD,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又因为平面BEO∥平面PAD,所以CD⊥平面BEO,又因为CD 平面PCD,所以平面BEO⊥平面PCD.[例2] (2025·山西太原模拟)如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,∠DAC=∠AOB.(2)求证:平面BEO⊥平面PCD.证明面面垂直的常用方法及关键点(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.解题策略(1)证明:平面PAD⊥平面CMN;又平面PCD⊥平面APD,平面PCD∩平面APD=DP,CM 平面PCD,所以CM⊥平面APD,因为AD 平面APD,所以CM⊥AD,因为CM∩MN=M,CM,MN 平面CMN,所以AD⊥平面CMN.又AD 平面PAD,所以平面PAD⊥平面CMN.(2)求点P到平面ABCD的距离.考点三 几何法求线面角与二面角角度1 线面角B解题策略求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.角度2 二面角(1)求证:AD⊥PB;(2)求平面PAB与平面ABCD所成的角的正弦值.解题策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.(2)求二面角的大小的方法:一作:即先作出二面角的平面角;二证:即说明所作角是二面角的平面角;三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.[针对训练]AD【解析】因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB.又四边形ABCD为正方形,则AD=AB,从而可得PD=PB,即△PBD为等腰三角形.考点四 平行、垂直关系的综合应用[例5] 如图,在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD为菱形,△OCD为正三角形,平面OCD⊥平面ABCD,∠ADC=60°.(1)证明:OA⊥CD;(1)【证明】 取CD的中点T,连接OT,AT,因为△OCD为正三角形,故OT⊥DC,而四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,故△ADC为等边三角形,故AT⊥DC,而OT∩AT=T,OT,AT 平面OTA,故CD⊥平面OTA,而OA 平面OTA,故OA⊥CD.[例5] 如图,在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD为菱形,△OCD为正三角形,平面OCD⊥平面ABCD,∠ADC=60°.解题策略(1)垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.(2)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(3)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.(1)求证:B1C∥平面A1BM;(1)【证明】如图,连接AB1,与A1B交于点O,连接OM,在△B1AC中,M,O分别为AC,AB1的中点,所以OM∥B1C,又OM 平面A1BM,B1C 平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(2)【证明】因为AA1⊥底面ABC,BM 平面ABC,所以AA1⊥BM.又M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.因为AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BM⊥平面ACC1A1,AC1 平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.微点培优11 动态问题知识链接“动态”问题渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题意更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化,加强了对空间想象能力的考查.题型演绎B类型一 动态中的最值问题反思归纳在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的思路:(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解.(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.[A] 当点E运动时,A1C⊥AE总成立[B] 当E向D1运动时,二面角A－EF－B逐渐变小[C] 二面角E－AB－C的最小值为45°[D] 三棱锥A－BEF的体积为定值ACD类型二 动态中的轨迹问题【解析】 (2)如图所示,连接EF,D1F,A1B,连接A1C1,B1D1交于点M,连接B1E,BC1交于点N,由EF∥B1D1,即E,F,B1,D1共面,由P是线段A1B上的动点,当P重合于A1或B时,C1A1,C1B与平面D1EF的交点分别为M,N,即Q的轨迹为MN,反思归纳解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法:根据平面的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算.(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.B类型三 动态中的折叠问题[典例3] (多选题)(2025·福建莆田模拟)如图,在等腰Rt△ABC中,BC=2,∠C=90°,D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点,且DE∥BC,现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCED,当D从B滑动到A的过程中,下列选项正确的是( )[A] ∠A′DB的大小不会发生变化[B] 二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化[C] 三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大[D] A′B与DE所成的角先变大后变小AB反思归纳折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系,尤其是隐含的垂直关系.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一平面上的性质发生变化.A【解析】 对于A,若AB⊥CD,因为BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,而CD=2,AD=2,即直角边长与斜边长相等,显然不对,故A错误;对于B,取BD的中点O,因为AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,所以 BD⊥AC,故B正确;课时作业(分值:95分)选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号线面垂直、面面垂直的判定与性质 1,2,4,6,7,9几何法求线面角与面面角 3,5,8,12动态问题 11,13,15平行、垂直关系的综合应用 10,14基础巩固练C1.(2025·陕西安康模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题为真命题的是( )[A] 若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ[B] 若α⊥β,m α,n β,则m⊥n[C] 若m⊥α,n⊥α,则m∥n[D] m⊥n,m∥α,α∥β,则n⊥β【解析】 对于A,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能相交,可能平行,故A错误;对于B,若α⊥β,m α,n β,则m与n可能相交,可能平行,故B错误;对于C,若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质知m∥n,故C正确;对于D,若m⊥n,m∥α,α∥β,则n与β可能相交,可能平行,故D错误.故选C.AC2.(多选题)(2025·河北保定模拟)已知l,m表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,l⊥α,m β,则下面四个命题正确的是( )[A] 若α∥β,则l⊥m [B] 若α⊥β,则l∥m[C] 若l∥m,则α⊥β [D] 若l⊥m,则α∥β【解析】 因为l⊥α,α∥β,根据面面平行的性质定理知l⊥β,又m β,则l⊥m,故A正确;若α⊥β,l⊥α,则l可能在β内或与β平行,则l可能与m相交、平行或异面,故B错误;由l∥m,l⊥α可推出m⊥α,又m β,根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故C正确;若α,β的交线为m,则l⊥m,推不出α∥β,故D错误.故选AC.3.已知在三棱锥S－ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且△ABC为等边三角形,则二面角S－AB－C的正切值为( )B4.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在( )[A] 直线AC上[B] 直线BC上[C] 直线AB上[D] △ABC内部C【解析】连接AC1,如图所示.因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC.因为AB⊥AC,BC1⊥AC,AB∩BC1=B,AB,BC1 平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC.又因为平面ABC1∩平面ABC=AB,所以点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.故选C.BD6.(多选题)(2025·山东聊城模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形,则下列关系能同时成立的是( )[A] “AB=PB”与“PB=BD”[B] “PA⊥PC”与“PB⊥PD”[C] “PB⊥CD”与“PC⊥AB”[D] “平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”BC【解析】 若AB=PB与PB=BD同时成立,可得AB=BD,与底面ABCD是正方形矛盾,故A错误;若PA⊥PC与PB⊥PD同时成立,设AC与BD交于O点,则OP=OA=OB=OC=OD,成立,故B正确;若PB⊥CD与PC⊥AB同时成立,由PB⊥CD,又CD⊥BC,可得CD⊥平面PBC,则CD⊥PC,又AB∥CD,可得AB⊥PC,故C正确;若平面PAB⊥平面PBD与平面PCD⊥平面PBD同时成立,而平面PAB与平面PCD相交,可得它们的交线垂直于平面PBD,又交线与AB平行,与BD不垂直,故D错误.故选BC.7.(5分)如图所示,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD(填写一个正确的条件即可). DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】连接AC,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PC 平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC 平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若E为PC的中点,求直线EB与平面PAD所成角的正弦值.综合运用练9.(多选题)如图,在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG垂直的是( )ABC[A] [B] [C] [D]C[A] 102 m [B] 112 m[C] 117 m [D] 125 mAC11.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知正方形ABCD的边长为4,点E在线段AB上,BE=1.沿DE将△ADE折起,使点A翻折至平面BCDE外的点P,则( )[A] 存在点P,使得PE⊥DC[B] 存在点P,使得直线BC∥平面PDE[C] 不存在点P,使得PC⊥DE[D] 不存在点P,使得四棱锥P－BCDE的体积为8若BC∥平面PDE,又BC 平面BCDE,平面BCDE∩平面PDE=DE,所以BC∥DE,矛盾,故B错误;取PC中点N,因为PD=DC,则DN⊥PC,若PC⊥DE,又DE∩DN=D,且DE 平面DEN,DN 平面DEN,则PC⊥平面DEN,又NE 平面DEN,则PC⊥NE,则EP=EC,矛盾,故C正确;B(1)在线段FG上确定一点M,使得平面PEM⊥平面PFG,并说明理由;应用创新练B【解析】 如图,连接DC1,BC1,BD,AC,当且仅当C1P 平面BDC1时,C1P⊥A1C,证明如下:因为AA1⊥平面ABCD,由BD 平面ABCD,得AA1⊥BD,又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,由A1C 平面A1AC,得A1C⊥BD,同理A1C⊥BC1,又BC1∩BD=B,BC1,BD 平面BDC1,所以A1C⊥平面BDC1, 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第七章 第4节 空间直线、平面的垂直.docx 第七章 第4节 空间直线、平面的垂直.pptx
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