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第8节　利用空间向量求空间角
[课程标准要求]
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.两条异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos |=||=.
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos |=||=.
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)两平面夹角的计算:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos |=||=.
利用平面的法向量求二面角的大小时,求出两半平面α,β的法向量n1,n2后,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等还是互补.二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是[0,].
1.已知直线l1的一个方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的一个方向向量s2=(－1,2,－2),则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.若直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,－1,1),则l与α所成角为(　　)
[A] [B]
[C] 或 [D] 或
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 45°或135° [D] 90°
4.(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4 T10改编)设M,N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点,则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为　　　　.
考点一　用空间向量求异面直线所成的角
[例1] (1)(2025·山东泰安模拟)已知A,B两点都在以PC为直径的球O的球面上,AB⊥BC,
AB=BC=4,若球O的体积为36π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD为定长,当AB的长度变化时,异面直线PC与AD所成角的取值范围是　 .
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
[针对训练](1)如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.则异面直线BC与AD所成的角为(　　)
[A] 30° [B] 45°
[C] 60° [D] 90°
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2,D为B1B上的点,若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为,则BD长为(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
考点二　用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] (2025·广东梅州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是菱形,且与平面A1BC垂直,BC⊥AC,AA1=A1C=4,BC=2.
(1)证明:BC⊥平面ACC1A1.
(2)棱CC1上是否存在一点D,使得直线A1D与平面ABB1A1所成角为30° 若存在,请确定点D的位置;若不存在,请说明理由.
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
[针对训练](2025·山东潍坊模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=4,DD1⊥DC,M为BC的中点.
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值.
考点三　用空间向量求二面角
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,
∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2023·新课标Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,
C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
用空间向量求异面直线所成的角 1,2
用空间向量求直线与平面所成的角 3
用空间向量求二面角 4
1.(12分)(2025·云南玉溪模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,
BC=4,A1C1=B1C1=CC1=2.
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值;
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.
2.(12分)(2025·湖南邵阳模拟)如图所示,圆台的上、下底面圆半径分别为2和3,AA1,BB1为圆台的两条不同的母线.O1,O分别为圆台的上、下底面圆的圆心,且△OAB为等边三
角形.
(1)求证:A1B1∥AB.
(2)截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60°,求异面直线AA1与B1O1所成角的余弦值.
3.(13分)(2025·山东济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=2,平面PCB⊥平面ABCD,F为线段BC的中点,E为线段PF上一点.
(1)证明:PF⊥AD.
(2)当EF为何值时,直线BE与平面PAD夹角的正弦值为
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,AB=AA1=2AD=2,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥A1B.
(2)设点P为线段DC1上一点(异于D,C1),当DP为何值时,平面A1PB与平面AA1D1D夹角的余弦值最大
第8节　利用空间向量求空间角（解析版）
[课程标准要求]
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.两条异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos |=||=.
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos |=||=.
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)两平面夹角的计算:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos |=||=.
利用平面的法向量求二面角的大小时,求出两半平面α,β的法向量n1,n2后,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等还是互补.二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是[0,].
1.已知直线l1的一个方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的一个方向向量s2=(－1,2,－2),则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为s1=(1,0,1),s2=(－1,2,－2),所以cos===－.
所以直线l1和l2所成角的余弦值为.故选C.
2.若直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,－1,1),则l与α所成角为(　　)
[A] [B]
[C] 或 [D] 或
【答案】 A
【解析】 设l与α所成角为θ(0≤θ≤),因为直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,－1,1),所以sin θ=|cos|==,因为0≤θ≤,所以θ=.故选A.
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 45°或135° [D] 90°
【答案】 C
【解析】 cos ===,即=45°,所以两平面所成的二面角为45°或180°－45°=135°.故选C.
4.(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4 T10改编)设M,N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点,则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为　　　　.
【答案】
【解析】 建系如图,设AB=2,
则M(2,2,1),N(1,2,2),B(2,2,0),A′(2,0,2),C(0,2,0),
则=(－1,0,1),=(0,－2,2),=(－2,0,0).
设平面A′BCD′的法向量为
n=(x,y,z),故
令z=1,则y=1,x=0,
所以n=(0,1,1)为平面A′BCD′的一个法向量,
所以MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为|cos <,n>|=||=.
考点一　用空间向量求异面直线所成的角
[例1] (1)(2025·山东泰安模拟)已知A,B两点都在以PC为直径的球O的球面上,AB⊥BC,
AB=BC=4,若球O的体积为36π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD为定长,当AB的长度变化时,异面直线PC与AD所成角的取值范围是　 .
【答案】 (1)A　(2)(,)
【解析】 (1)如图,取AC中点M,连接MO.
由AB⊥CB可得M是△ABC的外心,则OM⊥平面ABC.
又BC=BA,所以BM⊥AC.由V=πR3=36π得R=3,即OC=3.
又BC=BA=4,所以MC=MA=MB=2,
M,O分别是AC,PC中点,
所以PA∥OM,PA=2OM,
OM==1.
以MC,MB,MO所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(－2,0,0),P(－2,0,2),B(0,2,0),=(2,2,－2),与平行的向量n=(1,0,0),
cos===,
故异面直线PB与AC所成角的余弦值为.故选A.
(2)由题意可知,AB,AD,AP两两互相垂直,则以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
设PA=AD=a(a>0),AB=b(b>0),
则P(0,0,a),C(b,a,0),D(0,a,0),A(0,0,0),=(0,a,0),=(b,a,－a),设异面直线PC与AD所成的角为θ,
则cos θ===,
因为a为定值,随着b的增大而增大,所以>0,则>,
所以0<<,
即cos θ∈(0,),
所以异面直线PC与AD所成角的取值范围是(,).
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
[针对训练](1)如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.则异面直线BC与AD所成的角为(　　)
[A] 30° [B] 45°
[C] 60° [D] 90°
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2,D为B1B上的点,若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为,则BD长为(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
【答案】 (1)C　(2)A
【解析】 (1)取AD的中点E,连接OE,则OE∥CD,故AC⊥OE.以O为坐标原点,OA,OE,OB所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(,0,0),B(0,0,),C(－,0,0),
D(－,,0),=(－,0,－),
=(－,,0),设异面直线BC与AD所成的角为θ,cos θ=|cos<,>|==
=,所以θ=60°,即异面直线BC与AD所成的角为60°.故选C.
(2)以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,2),C1(0,2,2),C(0,2,0).
设D(2,0,t),0≤t≤2,
则=(0,2,－2),=(－2,2,2－t),
所以|cos<,>|===,解得t=1(负值舍去).故选A.
考点二　用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] (2025·广东梅州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是菱形,且与平面A1BC垂直,BC⊥AC,AA1=A1C=4,BC=2.
(1)证明:BC⊥平面ACC1A1.
(2)棱CC1上是否存在一点D,使得直线A1D与平面ABB1A1所成角为30° 若存在,请确定点D的位置;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 连接C1A,
由于四边形ACC1A1为菱形,故C1A⊥CA1,
由于侧面ACC1A1与平面A1BC垂直,且两平面的交线是CA1,AC1 侧面ACC1A1,
故AC1⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC,故AC1⊥BC,
又BC⊥AC,AC1∩AC=A,AC1,AC 平面ACC1A1,故BC⊥平面ACC1A1.
(2)【解】 由(1)知BC⊥平面ACC1A1,又BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACC1A1,且交线为AC,
由于AA1=A1C=AC=4,故三角形AA1C为等边三角形,取AC中点为O,则A1O⊥AC,又A1O 平面ACC1A1,所以A1O⊥平面ABC,
故建立如图所示的空间直角坐标系,其中y轴与BC平行,
A(2,0,0),C(－2,0,0),A1(0,0,2),B(－2,2,0),C1(－4,0,2),
=(－4,2,0),=(－2,0,2),
=(－2,0,2),
设平面ABB1A1的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取x=3,则n=(3,6,),
设=m=(－2m,0,2m),其中m∈[0,1],故D(－2m－2,0,2m),=(－2m－2,0,2m－2),
故|cos|== =,化简得(2m－1)2=0,
解得m=,故=.故存在D,且D在CC1的中点.
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
[针对训练](2025·山东潍坊模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=4,DD1⊥DC,M为BC的中点.
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)【证明】 在平行四边形ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°,而DC=2,CM=4,
在△DCM中,由余弦定理,
得DM==2,
则DM2+CD2=CM2,即DM⊥CD,又CD⊥D1D,DD1∩DM=D,DD1,DM 平面D1DM,因此CD⊥平面D1DM,而CD 平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)【解】 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,由AB=2A1B1,得AD=2A1D1=8,有A1D1=4,
在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,过A1作A1E∥D1D交AD于点E,
则AE=4,A1E=4,又AA1=4,显然AE2+A1E2=A,则A1E⊥AD,即D1D⊥AD,
又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD 平面ABCD,于是D1D⊥平面ABCD,
以D为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,
D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(2,0,0),=(－2,2,0),=(0,－1,4),
设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=,得n=(4,4,),
而=(2,0,0),
设DM与平面BCC1B1所成角大小为θ,
因此sin θ=|cos<,n>|===,所以直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
考点三　用空间向量求二面角
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,
∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第一册P39例10.
(1)【证明】 由AB=8,AD=5,
=,=,
得AE=2,AF=4,
又∠BAD=30°,
在△AEF中,由余弦定理得
EF===2,
所以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,
即EF⊥AD,
所以EF⊥PE,EF⊥DE,
又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,
所以EF⊥平面PDE,又PD 平面PDE,
故EF⊥PD.
(2)【解】 如图,连接CE,
由∠ADC=90°,ED=3,CD=3,
则CE2=ED2+CD2=36,
在△PEC中,PC=4,
PE=2,EC=6,
得EC2+PE2=PC2,
所以PE⊥EC,
由(1)知PE⊥EF,
又EC∩EF=E,EC,EF 平面ABCD,
所以PE⊥平面ABCD,又ED 平面ABCD,
所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,
则E(0,0,0),P(0,0,2),D(0,3,0),C(3,3,0),F(2,0,0),A(0,－2,0),
由F是AB的中点,得B(4,2,0),
所以=(3,3,－2),=(0,3,－2),=(4,2,－2),=(2,0,－2).
设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),
则
令y1=2,x2=,
得x1=0,z1=3,y2=－1,z2=1,
所以m=(0,2,3),n=(,－1,1),
所以|cos|===,
设平面PCD和平面PBF所成的二面角为θ,则 |cos θ|=,sin θ==,
即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为.
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2023·新课标Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,
C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
(1)【证明】 以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以=(0,－2,1),
=(0,－2,1),所以∥,又B2C2,A2D2不在同一条直线上,所以B2C2∥A2D2.
(2)【解】 设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),则=(－2,－2,2),=(0,－2,3－λ),=(－2,0,1),
设平面PA2C2的法向量n=(x,y,z),则
令z=2,得y=3－λ,x=λ－1,所以n=(λ－1,3－λ,2)为平面PA2C2的一个法向量,
设平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c),
则
令a=1,得b=1,c=2,
所以m=(1,1,2)为平面A2C2D2的一个法向量,
所以|cos|===|cos 150°|=,
化简可得,λ2－4λ+3=0,
解得λ=1或λ=3,
所以P(0,2,1)或P(0,2,3),
所以B2P=1.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
用空间向量求异面直线所成的角 1,2
用空间向量求直线与平面所成的角 3
用空间向量求二面角 4
1.(12分)(2025·云南玉溪模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,
BC=4,A1C1=B1C1=CC1=2.
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值;
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.
【解】 (1)依题意,以点C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
在三棱台ABC-A1B1C1中.
因为A1C1=B1C1,所以AC=BC=4,
所以C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),
因为A1C1=B1C1=CC1=2,
所以A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),
所以=(－2,4,－2),=(0,－2,0),
所以cos<,>===－.
设异面直线A1B与B1C1所成角为α,则α∈(0,],
所以cos α=|cos<,>|=,
即直线A1B与B1C1所成角的余弦值是.
(2)设直线A1B与平面A1B1C所成角为β,则β∈[0,].设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),=(－2,2,0),=(－2,0,－2),
所以
令x=1,则y=1,z=－1,所以n=(1,1,－1),
所以sin β=|cos|===,
即直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值是.
2.(12分)(2025·湖南邵阳模拟)如图所示,圆台的上、下底面圆半径分别为2和3,AA1,BB1为圆台的两条不同的母线.O1,O分别为圆台的上、下底面圆的圆心,且△OAB为等边三
角形.
(1)求证:A1B1∥AB.
(2)截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60°,求异面直线AA1与B1O1所成角的余弦值.
(1)【证明】 因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
所以母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点,
所以A,A1,B,B1四点共面.
因为圆面O1∥圆面O,
且平面ABB1A1∩圆面O1=A1B1,平面ABB1A1∩圆面O=AB.
所以A1B1∥AB.
(2)【解】 因为△ABO为等边三角形,
所以∠AOB=,
如图建立空间直角坐标系O-xyz,
设|OO1|=t(t>0).
A(3,0,0),B(,,0),A1(2,0,t).
=(－1,0,t),=(－,,0).
设平面ABB1A1的一个法向量n1=(x,y,z).则有
令x=,则y=1,z=,
所以n1=(,1,).
圆台下底面的一个法向量n2=(0,0,1),
因为截面与下底面所成的夹角大小为60°,
所以cos 60°=|cos|===,
所以t=(负值舍去),
所以=(－1,0,),
又==(－1,,0),
所以B1坐标为(1,,).
所以=(1,,0),|cos<,>|===.
所以异面直线AA1与O1B1所成角的余弦值是.
3.(13分)(2025·山东济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=2,平面PCB⊥平面ABCD,F为线段BC的中点,E为线段PF上一点.
(1)证明:PF⊥AD.
(2)当EF为何值时,直线BE与平面PAD夹角的正弦值为
(1)【证明】 过D作DM⊥AB,垂足为M,
由题意知,四边形BCDM为矩形,可得AM=2,BC=DM=AM·tan 60°=2,
由PC=2,∠PCB=60°,则△PBC为等边三角形,且F为线段BC的中点,则PF⊥BC,
又因为平面PCB⊥平面ABCD,平面PCB∩平面ABCD=BC,PF 平面PCB,
可得PF⊥平面ABCD,且AD 平面ABCD,所以PF⊥AD.
(2)【解】 由(1)可知,PF⊥平面ABCD,取线段AD的中点N,连接NF,则FN∥AB,FN=2,
又因为AB⊥BC,可知NF⊥BC,以F为坐标原点,NF,FB,FP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(3,,0),D(1,－,0),P(0,0,3),B(0,,0),
因为E为线段PF上一点,
设E(0,0,a),a∈[0,3],
可得=(2,2,0),=(－1,,3),=(0,－,a),
设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z),
则
令x=－3,则y=,z=－2,
可得n=(－3,,－2),
由题意可得,
|cos|===,
整理得a2－4a+4=0,
解得a=2,
所以当EF=2时,直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,AB=AA1=2AD=2,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥A1B.
(2)设点P为线段DC1上一点(异于D,C1),当DP为何值时,平面A1PB与平面AA1D1D夹角的余弦值最大
(1)【证明】 连接BD,AB=2AD=2,
∠DAB=60°,
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcos∠DAB=5－4cos 60°=3,
即BD=.
所以AD2+BD2=AB2,
即AD⊥BD,
因为A1D⊥底面ABCD,
所以A1D⊥AD,
因为A1D∩BD=D,
所以AD⊥平面A1BD,
又A1B 平面A1BD,
所以AD⊥A1B.
(2)【解】 结合(1)可知,DA,DA1,DB两两垂直,故以D为坐标原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(0,0,),B(0,,0),C(－1,,0),
所以=++=++=(0,0,)+(－1,,0)+(－1,0,0)=(－2,,),即C1(－2,,),
因为点P为线段DC1上一点(异于D,C1),所以,设=λ=(－2λ,λ,λ)(0<λ<1),
所以==(－2λ,λ,λ－),
=(0,,－),
设n=(x,y,z)是平面A1PB的一个法向量,
则
即
即
故令z=2λ,则y=2λ,x=2λ－,
即n=(2λ－,2λ,2λ).
由于DA,DA1,DB两两垂直,且DA∩DA1=D,
所以DB⊥平面AA1D1D,故平面AA1D1D的一个法向量可以为m=(0,1,0),
设平面A1PB与平面AA1D1D夹角为θ,
则cos θ===,0<λ<1.
所以,当=2时,即λ=时,cos θ取得最大值,所以DP=DC1=.
(
第
14
页
)(共78张PPT)
第8节　利用空间向量
求空间角
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.两条异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos |=
= .
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方
向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos |= = .
知识梳理
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)两平面夹角的计算:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=
|cos |= = .
释疑
对点自测
1.已知直线l1的一个方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的一个方向向量s2=(－1,2,
－2),则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
C
对点自测
2.若直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,－1,1),则l与α所成角为(　　)
A
对点自测
对点自测
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　　)
[A] 45° [B] 135°
[C] 45°或135° [D] 90°
C
4.(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4 T10改编)设M,N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点,则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为　　　　.
对点自测
【解析】 建系如图,设AB=2,
则M(2,2,1),N(1,2,2),B(2,2,0),A′(2,0,2),C(0,2,0),
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　用空间向量求异面直线所成的角
[例1] (1)(2025·山东泰安模拟)已知A,B两点都在以PC为直径的球O的球面上,AB⊥BC,AB=BC=4,若球O的体积为36π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为(　　)
A
【解析】 (1)如图,取AC中点M,连接MO.
由AB⊥CB可得M是△ABC的外心,则OM⊥平面ABC.
(2)已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD为定长,当AB的长度变化时,异面直线PC与AD所成角的取值范围是　 .
【解析】 (2)由题意可知,AB,AD,AP两两互相垂直,则以A为原点,AB为x轴,
AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
解题策略
[针对训练](1)如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.则异面直线BC与AD所成的角为(　　)
[A] 30° [B] 45°
[C] 60° [D] 90°
C
【解析】 (1)取AD的中点E,连接OE,则OE∥CD,故AC⊥OE.以O为坐标原点,
OA,OE,OB所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
A
【解析】 (2)以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,2),C1(0,2,2),C(0,2,0).
设D(2,0,t),0≤t≤2,
考点二　用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] (2025·广东梅州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是菱形,且与平面A1BC垂直,BC⊥AC,AA1=A1C=4,BC=2.
(1)证明:BC⊥平面ACC1A1.
(1)【证明】 连接C1A,
由于四边形ACC1A1为菱形,故C1A⊥CA1,
由于侧面ACC1A1与平面A1BC垂直,且两平面的交线是CA1,AC1 侧面ACC1A1,
故AC1⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC,故AC1⊥BC,
又BC⊥AC,AC1∩AC=A,AC1,AC 平面ACC1A1,故BC⊥平面ACC1A1.
(2)棱CC1上是否存在一点D,使得直线A1D与平面ABB1A1所成角为30° 若存在,请确定点D的位置;若不存在,请说明理由.
(2)【解】 由(1)知BC⊥平面ACC1A1,又BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACC1A1,且交线为AC,
由于AA1=A1C=AC=4,故三角形AA1C为等边三角形,取AC中点为O,
则A1O⊥AC,又A1O 平面ACC1A1,所以A1O⊥平面ABC,
故建立如图所示的空间直角坐标系,其中y轴与BC平行,
解题策略
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM.
则DM2+CD2=CM2,即DM⊥CD,又CD⊥D1D,DD1∩DM=D,DD1,DM 平面D1DM,因此CD⊥平面D1DM,而CD 平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(2)【解】 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,由AB=2A1B1,得AD=2A1D1=8,
有A1D1=4,
在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,过A1作A1E∥D1D交AD于点E,
考点三　用空间向量求二面角
(1)证明:EF⊥PD.
所以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,
即EF⊥AD,
所以EF⊥PE,EF⊥DE,
又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,
所以EF⊥平面PDE,又PD 平面PDE,
故EF⊥PD.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
由(1)知PE⊥EF,
又EC∩EF=E,EC,EF 平面ABCD,
所以PE⊥平面ABCD,又ED 平面ABCD,
所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第一册P39例10.
解题策略
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2023·新课标Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,
AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,
CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
课时作业
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
用空间向量求异面直线所成的角 1,2
用空间向量求直线与平面所成的角 3
用空间向量求二面角 4
1.(12分)(2025·云南玉溪模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,
AC⊥BC,BC=4,A1C1=B1C1=CC1=2.
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值;
【解】 (1)依题意,以点C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
在三棱台ABC-A1B1C1中.
因为A1C1=B1C1,所以AC=BC=4,
所以C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),
因为A1C1=B1C1=CC1=2,
所以A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.
2.(12分)(2025·湖南邵阳模拟)如图所示,圆台的上、下底面圆半径分别为2和3,AA1,BB1为圆台的两条不同的母线.O1,O分别为圆台的上、下底面圆的圆心,且△OAB为等边三角形.
(1)求证:A1B1∥AB.
(1)【证明】 因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
所以母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点,
所以A,A1,B,B1四点共面.
因为圆面O1∥圆面O,
且平面ABB1A1∩圆面O1=A1B1,平面ABB1A1∩圆面O=AB.
所以A1B1∥AB.
(2)截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60°,求异面直线AA1与B1O1所成角的余弦值.
(1)证明:PF⊥AD.
(1)【证明】 过D作DM⊥AB,垂足为M,
又因为平面PCB⊥平面ABCD,平面PCB∩平面ABCD=BC,PF 平面PCB,
可得PF⊥平面ABCD,且AD 平面ABCD,所以PF⊥AD.
(2)【解】 由(1)可知,PF⊥平面ABCD,取线段AD的中点N,连接NF,
则FN∥AB,FN=2,
又因为AB⊥BC,可知NF⊥BC,以F为坐标原点,NF,FB,FP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,AB=AA1=2AD=2,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥A1B.
(1)【证明】 连接BD,AB=2AD=2,∠DAB=60°,
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcos∠DAB=5－
4cos 60°=3,
所以AD2+BD2=AB2,即AD⊥BD,
因为A1D⊥底面ABCD,所以A1D⊥AD,
因为A1D∩BD=D,所以AD⊥平面A1BD,
又A1B 平面A1BD,所以AD⊥A1B.
(2)设点P为线段DC1上一点(异于D,C1),当DP为何值时,平面A1PB与平面AA1D1D夹角的余弦值最大

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