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第一章《勾股定理》单元达标卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下面四组数中是勾股数的一组是（　 　）
A.6，8，9 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.2，3，4
2.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路.已知AB＝4米，BC＝3米，则这条近路AC的长是（　 　）
第2题图
A.2米 B.3米 C.4米 D.5米
3.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　 　）
第3题图
A.4 B.8 C.12 D.16
4.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径BC为9 cm，内壁高为12 cm，则这支铅笔的长度可能是（　 　）
第4题图
A.1.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
5.已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　 　）
A.b2－c2＝a2 B.a∶b∶c＝3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15 D.∠C＝∠A－∠B
6.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（　 　）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
7.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm，长都是50 cm，宽都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短路线的长度是（　 　）
第7题图
A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm
8.一架5 m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙角3 m，若梯子的顶端下滑1 m，则梯子底端将滑动（　 　）
A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.已知△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，则△ABC的面积是　 　cm2.
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AB＝10，BC＝8，则CD的长为　 　.
第10题图
11.如图，在正方形网格中，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝　 　°.
第11题图
12.如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米，则牵狗绳（绳子一直是直的）BD的长为　 　.
第12题图
13.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长为　 　.
三、解答题（共7小题，共61分）
14.（6分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝9 m，DA＝12 m，BC＝8 m，CD＝17 m.请求出空地ABCD的面积；若每种植1平方米草皮需要350元，总共需投入多少元？
15.（7分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米.
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度.
（1）依题知BC＝　 　米，用含有x的式子表示AC为　 　米；
（2）请你求出旗杆的高度.
16.（8分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，AD＝4 cm.把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，求重叠部分△ACF的面积.
17.（8分）小聪发现某超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点A处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度AB，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（BC＝2.4米），感应门自动打开，即AB＝AD，求感应器的离地高度AB为多少米？
18.（8分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米.
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明.
（2）求原来路线AC的长.
19.（12分）如图1所示，大正方形ABCD是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成的，设直角三角形较长的直角边（AF）的长为a，较短直角边（BF）的长为b.
（1）用含a，b的代数式表示大正方形ABCD的面积S；
（2）图2是由图1变化得到的，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形MNKT拼接而成的.记图2中正方形ABCD，正方形MNKT的面积分别为S1，S2.若S1＋S2＝10，S1－S2＝8，求直角三角形与正方形EFGH的面积.
20.（12分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，BC＝20 cm.点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→B→C移动，终点为点C；点Q从点C出发，以1 cm/s的速度沿C→A→B移动，终点为点B.如果点P，Q同时出发，用t表示移动时间（单位为s）.
（1）分别求出点P，Q到达终点时所需时间.
（2）若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，试求出当t为何值时，AQ＝AP？
（3）当t为何值时，S△QBC＝S△ABC？
第一章《勾股定理》单元达标卷
1.B　2.D　3.A　4.D　5.C　6.D　7.C　8.B
9.24　10.　11.45
12.2.6米　解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB－AE＝1米，
∴BD2＝BE2＋DE2＝12＋2.42＝6.76，∴BD＝2.6米.
13.14或4　解析：（1）如图1，锐角三角形ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2－AD2＝132－122＝25，∴CD＝5.
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，∴BD＝9，
∴BC＝BD＋DC＝9＋5＝14；
　　　　　
（2）如图2，钝角三角形ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2－AD2＝132－122＝25，∴CD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，
∴BD＝9，∴BC＝DB－CD＝9－5＝4.
14.解：如图，连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝92＋122＝152，
在△CBD中，CD2＝172，BC2＝82，而82＋152＝172，
即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△BAD＋S△DBC
＝·AD·AB＋DB·BC
＝×12×9＋×15×8
＝114（平方米），
需花费114×350＝39 900（元）.
答：空地ABCD的面积为114 m2，总共需投入39 900元.
15.解：（1）5；（x＋1）
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC2＋AB2＝AC2，即52＋x2＝（x＋1）2.解得x＝12.
答：旗杆的高度为12米.
16.解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD＝4 cm，CD＝AB＝8 cm.
由翻折，得AE＝AB＝CD＝8 cm，∠E＝∠B＝90°，CE＝BC＝AD＝4 cm，
∴∠D＝∠E＝90°.
又∵∠CFE＝∠AFD，
∴△CFE≌△AFD，
∴EF＝DF，CF＝AF.
设CF＝AF＝x cm，则DF＝CD－CF＝（8－x）cm，
在Rt△AFD中，AF2＝DF2＋AD2，AD＝4 cm，
∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，
∴CF＝5 cm，
∴重叠部分△ACF的面积为AD·CF＝×4×5＝10（cm2）.
17.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由题意，得BC＝DE＝2.4米，
CD＝BE＝1.8米，
设AB＝AD＝x米，则AE＝（x－1.8）米，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AD2＝DE2＋AE2，
即x2＝（x－1.8）2＋2.42，
解得x＝2.5，
所以AB＝2.5米.
答：感应器的离地高度AB为2.5米.
18.解：（1）是.理由：∵在△CHB中，
CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，∴CH2＋BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AH＝（x－1.8）千米，CH＝2.4千米，
由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，即x2＝（x－1.8）2＋2.42，
解得x＝2.5.
答：原来路线AC的长为2.5千米.
19.解：（1）由勾股定理知AB2＝AF2＋BF2＝a2＋b2，则正方形ABCD的面积S＝AB2＝a2＋b2.
（2）设八个全等的直角三角形的面积均为m，则
S正方形EFGH＝S1－4m，S正方形EFGH＝S2＋4m，两式相加可得2S正方形EFGH＝S1＋S2＝10，
∴S正方形EFGH＝5，两式相减得，S1－S2－8m＝0，
∵S1－S2＝8，∴m＝1，
故直角三角形与正方形EFGH的面积分别为1，5.
20.解：（1）点P到达终点时所需时间为（16＋20）÷2＝18（s）.
点Q到达终点时所需时间为（12＋16）÷1＝28（s）.
（2）当点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动时，
CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12－t.
∵AQ＝AP，∴12－t＝2t，∴t＝4.∴当t＝4时，AQ＝AP.
（3）当点Q在CA上运动时，CQ＝t，
∵S△QBC＝S△ABC，∴×t×16＝×16×12×，解得t＝6；
当点Q在AB上运动时，BQ＝12＋16－t＝28－t.
∵S△QBC＝S△ABC，∴×（28－t）×12＝×12×16×，解得t＝20.
综上，当t＝6或20时，三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的.
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