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2024-2025学年第二学期浙江省杭州市七年级数学期末复习与检测试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1. 要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3． 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（　 　）
A．3 B． C． D．5
下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，
则∠1与∠2的关系为（　 　）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1+∠2＝180° D．∠2＝2∠1
最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸引了很多游客，当地相关部门随机调查了部分游客的意见
（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况，
绘制了如图所示的统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A．选择“C满意”的人数最多
B．抽样调查的样本容量是240
C．样本中“A不满意”的百分比为
D．若到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．
如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”
设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
8． 若分式方程有增根，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9. 边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，
点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
10．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，
平分，若设，，则和之间的关系是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．当 时，分式的值为
12．若，，则的值是 ．
13．如图，将向右平移2cm得到，的周长是12cm，则四边形ABFD的周长是 ．
如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为_______
某校学生“数学速算”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有 人.
商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，
当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
18．（1）计算：；
（2）化简：；
19．解方程（组）：
（1）
（2）
20．先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：
加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，
某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，
并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
22 .某校暑期组织部分学生进行“明仕遗风”绍兴站研学游活动．为了提高学生参与活动的积极性，
学校决定在某文创店购买名人徽章和地标冰箱贴作为奖励．已知徽章的单价是冰箱贴的2倍，
用120元购买冰箱贴的数量比用160元购买徽章的数量多8件．
（1）求冰箱贴和徽章的单价．
（2）若购买经费为400元且购买徽章和冰箱贴的数量之比为3：2，求购买徽章和冰箱贴的数量．
对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：
如图1可得等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可得等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
现用四个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，
解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 　 　．
（2）【解决问题】
①若x+y＝5，，则x﹣y＝　 　；
②当（x﹣75）（50﹣x）＝100时，求（2x﹣125）2的值．
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，
连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
24．综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
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2024-2025学年第二学期浙江省杭州市七年级数学期末复习与检测试卷解答
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1. 要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故选C．
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
3．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（　 　）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】将代入，
得，
解得．
故选：A．
下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意；
B、，属于因式分解，故B符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；
D、，属于整式乘法，故D不符合题意；
故选：B．
将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，
则∠1与∠2的关系为（　 　）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1+∠2＝180° D．∠2＝2∠1
【考点】平行线的性质．版权所有
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠2，由平角定义得到∠1+∠3＝90°，因此∠1+∠2＝90°．
【解答】解：∵直尺的对边平行，
∴∠3＝∠2，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：B．
最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸引了很多游客，当地相关部门随机调查了部分游客的意见
（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况，
绘制了如图所示的统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A．选择“C满意”的人数最多
B．抽样调查的样本容量是240
C．样本中“A不满意”的百分比为
D．若到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
【答案】B
【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的相关知识，根据样本容量，个体的定义判断A，B即可，根据个体占比定义，以及用样本估计总体的计算公式判断C，D即可．
【详解】解：A．选择“C满意”的人数最多为40人，说法正确，故该选项不符合题意；
B．抽样调查的样本容量是人，说法错误，故该选项符合题意；
C．样本中“A不满意”的百分比为，说法正确，故该选项不符合题意；
D．若到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为人，说法正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．
如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”
设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，即可得出关于x，y的二元一次方程．
【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺，
；
∵将绳对折再量木，木剩余1尺，
，
∴根据题意可列方程组，
故选；D．
8．若分式方程有增根，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的增根问题，先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0可列出关于k的方程，解之即可．
【详解】解：去分母得，
解得：
∵分式方程有增根，
∴
解得
故选：D．
边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，
点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
【详解】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
10．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，
平分，若设，，则和之间的关系是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系．
【详解】解：如图，
过点作，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
即．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．当 时，分式的值为
【答案】3
【分析】本题主要考查的就是分式的值，当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零；当分式的分母为零时，则分式无意义．根据当分式的分子为零，分母不为零时，则分式的值为零求解即可．
【详解】解：依题意得：且，
解得：
故答案为：．
12．若，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】把原式化为，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
13．如图，将向右平移2cm得到，的周长是12cm，则四边形ABFD的周长是 ．
【答案】
【分析】先根据平移的性质得DF=AC，AD=CF=2cm，再由△ABC的周长为12cm得到AB+BC+AC=12cm，然后利用等线段代换可计算出四边形ABFD的周长．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝BE=CF＝2cm，
∵△ABC的周长为12cm，即AB+BC+AC＝12cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝12+8+2＝16（cm），
即四边形ABFD的周长为16cm．
故答案为：16cm．
如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为_______
【答案】160
【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
，
故答案为：160
某校学生“数学速算”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有 人.
【答案】135
【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得成绩在80分及以上的学生人数，本题得以解决．
【详解】解：由直方图可得，
成绩为在80分及以上的学生有：（人），
故答案为：135．
商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，
当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm．
【答案】50
【分析】根据题意，由桌腿的高h和凳子面的高度x列出方程组，即可求解．
【详解】设凳子退的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，由题意得
根据题意得，
解得，
则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50cm．
故答案为50．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键．
（1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）计算：；
（2）化简：；
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数幂进行运算即可；
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式进行运算即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
19．解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）是二元一次方程组，可使用相加消元法，消去一个未知数，进而解出x、y之值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】（1）
①+②得
解得
把代入①得
∴ 原方程解是
（2）
原方程可化为
两边同时乘以得：
解得
经检验：是原方程的解，原方程解是.
20．先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，原式为．
【分析】本题主要考查分式的运算，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键，
根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴当时，原式．
根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：
加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，
某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，
并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
【答案】（1），，图见解析；（2）；（3）①支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；②该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求扇形圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据的人数和所占的比例即可得出调查的民众人数，从而得出支持发展经济和就业的民众数，再补全统计图即可；
（2）利用乘以类所占的比例即可得出答案；
（3）①根据统计图的相关数据即可解答；②用万人乘以支持改进教育体制与发展经济和就业的人数所占的比例即可得出答案．
【详解】解：（1）调查的民众人数为（人），
支持发展经济和就业的民众数为（人），
补全图1如图所示：
，
故答案为：，；
（2）由题意得：类在扇形统计图中对应的圆心角度数为：；
（3）①由题意得：支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；
②支持改进教育体制的人数为：（万人），
支持发展经济和就业的人数为（万人）
该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人．
22 .某校暑期组织部分学生进行“明仕遗风”绍兴站研学游活动．为了提高学生参与活动的积极性，
学校决定在某文创店购买名人徽章和地标冰箱贴作为奖励．已知徽章的单价是冰箱贴的2倍，
用120元购买冰箱贴的数量比用160元购买徽章的数量多8件．
（1）求冰箱贴和徽章的单价．
（2）若购买经费为400元且购买徽章和冰箱贴的数量之比为3：2，求购买徽章和冰箱贴的数量．
【考点】分式方程的应用；二元一次方程组的应用．版权所有
【答案】（1）冰箱贴的单价为5元，则徽章的单价为10元；
（2）购买徽章的数量为30个，购买冰箱贴的数量为20个．
【分析】（1）设冰箱贴的单价为x元，则徽章的单价为2x元，根据用120元购买冰箱贴的数量比用160元购买徽章的数量多8件．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买徽章的数量为a个，购买冰箱贴的数量为b个，根据购买经费为400元且购买徽章和冰箱贴的数量之比为3：2，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设冰箱贴的单价为x元，则徽章的单价为2x元，
由题意得：8，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝10，
答：冰箱贴的单价为5元，徽章的单价为10元；
（2）设购买徽章的数量为a个，购买冰箱贴的数量为b个，
由题意得：，
解得：，
答：购买徽章的数量为30个，购买冰箱贴的数量为20个．
对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：
如图1可得等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可得等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
现用四个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，
解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 　 　．
（2）【解决问题】
①若x+y＝5，，则x﹣y＝　 　；
②当（x﹣75）（50﹣x）＝100时，求（2x﹣125）2的值．
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，
连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．版权所有
【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①±4；
②225；
③20．
【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）①利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy代入计算即可；
②设a＝x﹣75，b＝50﹣x，由题意得a+b＝﹣25，a﹣b＝2x﹣125，ab＝（x﹣75）（50﹣x）＝100，根据（2x﹣125）2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab代入计算即可；
③由S阴影部分＝a2+b2b（a+b）a2[（a+b）2﹣3ab]代入计算即可．
【解答】解：（1）图3中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间阴影小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个空白长方形的面积和为4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①∵x+y＝5，，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝25﹣9
＝16，
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
②设a＝x﹣75，b＝50﹣x，则a+b＝﹣25，a﹣b＝2x﹣125，ab＝（x﹣75）（50﹣x）＝100，
∴（2x﹣125）2
＝（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝625﹣400
＝225；
③∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影部分＝a2+b2b（a+b）a2
a2b2ab
[（a+b）2﹣3ab]
（100﹣60）
＝20
24．综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
探索发现：小刚的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；
小红的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论；
深入思考：先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论．
拓展延伸：设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数．
【详解】（1）探索发现：
解：小刚的证明如下：
过点作，
，
，
，
，
即；
小红的证明如下：
延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
即；
（2）【深入思考】证明：是的一个外角，
，
，
，
；
（3）【拓展延伸】解：平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
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