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第七章《命题与证明》单元达标卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列语句中是命题的是（　 　）
A.作∠AOB的平分线OC B.美丽的大自然
C.同位角相等 D.你吃饭了吗
2.下列四个命题中，属于真命题的是（　 　）
A.同角（或等角）的补角相等
B.三角形的一个外角大于任何一个内角
C.同旁内角相等，两直线平行
D.如果∠1＝∠2，那么∠1和∠2是对顶角
3.如图，下列条件中，能判定EF∥GH的是（　 　）
第3题图
A.∠1＝∠2 B.∠4＝∠6C.∠4＝∠5 D.∠2＋∠3＝180°
4.如图，小颖绘制了一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线a与出射光线b平行.若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数为（　 　）
第4题图
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如果直线a∥b，b∥c，那么（　 　）
A.a∥c B.a⊥c C.a＝c D.以上都不对
6.如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边BC上（AD∥BC），若∠1＝35°，则∠2的度数为（　 　）
第6题图
A.55° B.45° C.40° D.35°
7.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（　 　）
第7题图
A.45° B.54° C.40° D.50°
8.如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝α，用α表示∠P的度数为（　 　）
第8题图
A.α B.α C.180°－α D.360°－2α
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是　 　.
10.如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是　 　.
第10题图
11.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠ADE的度数是　 　.
第11题图
12.如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C'，D'处，D'E与BF交于点G，已知∠BGD'＝26°，则∠α的度数是　 　.
第12题图
13.如图，一副直角三角板（∠ABC＝45°，∠EFD＝30°）的斜边分别与直线a，b重合，且a∥b，将△ABC，△DEF分别绕点C，点F以每秒4°和每秒1°的速度同时逆时针旋转，△ABC转动一周时两块三角板同时停止，设运动时间为t s，当AC，DF所在直线垂直时，t的值为　 　.
第13题图
三、解答题（共7小题，共61分）
14.（6分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，AC与DE相交于点G，∠A＝∠D，AC∥DF，求证：AB∥DE.
15.（8分）如图，E为AB上一点，F为CD上一点，连接AF，DE，AB∥CD，∠A＝∠D.
（1）求证：AF∥ED；
（2）若∠AFD－∠A＝20°，求∠BED的度数.
16.（8分）如图，∠B＝∠C，AB∥EF.试说明∠BGF＝∠C.请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据.
解：∵∠B＝∠C，（已知）
∴AB∥　 　.（　 　）
∵AB∥EF，（已知）
∴　 　∥　 　.（　 　）
∴∠BGF＝∠C.（　 　）
17.（8分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，试说明AB∥DE.
18.（9分）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上.已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°.
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数.
19.（10分）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图，如图2和图3，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠D之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图2所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝　 　；
（2）在图3中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝　 　；
（3）有同学在图2和图3的基础上，画出了如图4所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由.
20.（12分）已知△ABC，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G.
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证： ∠DFE＝∠ABC＋∠G.
第七章《命题与证明》单元达标卷
1.C　2.A　3.D　4.B　5.A　6.A　7.C　
8.D　解析：如图，延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3.
∵∠PBG＝180°－2∠1，
∴∠PBG＝180°－2∠5，
∴∠5＝90°－∠PBG.
∵∠FED＝180°－∠HED，∠5＝180°－∠EHD，
∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°－∠5＋180°－∠FED＋∠3＝180°，
∴∠FED＝180°－∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°－（90°－∠PBG）＋∠6
＝90°＋（∠PBG＋∠6）
＝90°＋（180°－∠P）
＝180°－∠P.
∵∠FED＝α，
∴α＝180°－∠P，
∴∠P＝360°－2α.
9.如果两个角是对顶角，那么它们相等
10.内错角相等，两直线平行
11.60°　12.77°
13.25或85　解析：①当AC的延长线与DF垂直时，如图1，
∵AC的延长线与DF垂直，
∴∠CGF＝90°.
∵△ABC，△DEF分别绕点C，点F以每秒4°和每秒1°的速度同时逆时针旋转，
∴∠1＝（45＋4t）°，∠2＝90°＋（30＋t）°＝（120＋t）°.
∵a∥b，∴∠1＝∠2，∴45＋4t＝120＋t，解得t＝25；
　　
②当CA的延长线与DF的延长线垂直时，如图2，
∵CA的延长线与DF的延长线垂直，
∴∠CGF＝90°.
∵△ABC，△DEF分别绕点C，点F以每秒4°和每秒1°的速度同时逆时针旋转，
∴∠1＝4t°－（360°－45°）＋90°＝（4t－225）°，∠2＝（30＋t）°.
∵a∥b，∴∠1＝∠2，
∴4t－225＝30＋t，解得t＝85.
综上，t的值是25或85.
14.证明：∵AC∥DF，∴∠D＝∠EGC.
又∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠EGC，∴AB∥DE.
15.（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AED＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠D，∴∠AED＋∠A＝180°，∴AF∥ED.
（2）解：∵AB∥CD，∴∠AFD＋∠A＝180°.
∵∠AFD－∠A＝20°，∴∠A＝80°.
由（1）可知，AF∥ED，∴∠BED＝∠A＝80°.
16.解：CD　内错角相等，两直线平行　CD　EF　平行于同一条直线的两直线平行　两直线平行，同位角相等
17.解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B＝60°.
∵∠1＝∠C，∴∠C＝∠B＝60°.
∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADC＝180°.
∴∠ADC＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°.
∴∠1＝∠ADE.∴AB∥DE.
18.（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC＝40°，
∠ACB＝∠AED＝80°.
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝80°－40°＝40°.
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB.
（2）解：∵∠A＝52°，∠ACB＝∠AED＝80°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－80°－52°＝48°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABC＝24°，
∴∠BFC＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－24°－40°＝116°.
19.解：（1）65°
（2）150°
（3）∠α＋∠β－∠γ＝180°.理由：过点P作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，
∴∠α＋∠BPQ＝180°，∠γ＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝180°－∠α.
∵∠β＝∠BPQ＋∠DPQ，
∴∠β＝180°－∠α＋∠γ，
即∠α＋∠β－∠γ＝180°.
20.（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝40°.
∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°.
∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°.
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，
∴∠G＝∠CFD－∠CBG＝45°－20°＝25°.
（2）解：∠A＝2∠G，证明如下：
∵BG平分∠ADE，∴∠ABC＝2∠FBG.
∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝∠FDE.
∵DE∥BC，∴∠CFD＝∠FDE，∴∠CDF＝∠CFD.
设∠ABG＝x，∠CDF＝y，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠A＋∠ABC＝∠CDF＋∠CFD，即∠A＋2x＝2y，
∴y＝∠A＋x，
同理得∠A＋∠ABG＝∠G＋∠CDF，
∴∠A＋x＝∠G＋y，即∠A＋x＝∠G＋∠A＋x，
∴∠A＝2∠G.
（3）证明：∵BG平分∠ABC，∴∠FBG＝∠ABC.
∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF.
由（2）得∠CFD＝∠CDF，∴∠DFE＝∠CFD.
在△FBG中，∵∠G＋∠FBG＋∠BFG＝180°，
∠BFG＋∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠G＋∠FBG，
∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG＋∠G＝∠ABC＋∠G.
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