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2024～2025学年第二学期第三次模拟检测
九年级数学试题
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟；
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；
3.数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下面四个数中比-3小的数是（ ）
A.1 B.0 C. D.
2.下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据
0.000000014可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（ ）
A. B. C. D.
6.若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A. B. C.3 D.9
7.十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票表达对中国新年的祝福.甲同学把“龙”、“蛇”、“虎”3张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.《算法统宗》里有这样一道题:我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房 来了多少房客 请同学们列方程（组），求解得客房和房客分别为（ ）
A.8间，63人 B.9间，72人 C.10间，81人 D.10间，72人
9.如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（ ）
A.10 B.12 C.18 D.30
10.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中大球代表碳原子，小球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，...，按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是26，则n的值是（ ）
A.11 B.12 C.13 D.54
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
11.因式分解:_____.
12.如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为_____.
13.如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，顶点.将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为_____.
14.如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，且，连接，.若，则的长为_____.（结果保留）
15.对于两个不相等的有理数、，我们规定符号表示，中的较大值，例如，.请解答下列问题:如果，则_____
三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。）
16.（共10分）（1）先化简，再求值:，其中.
（2）解不等式组:.
17.（共10分）如图，四边形是平行四边形，进行如下操作:
第一步，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；第二步，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点.
（1）请确定线段与的数量关系，并证明你的结论；
（2）若，求的值.
18.（共11分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出的自变量的取值范围；
（3）如图2，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若点的纵坐标为，求的值.
19.（共10分）综合与实践
【项目背景】加强青少年航天航空教育是关乎未来航天航空人才的培养，提升青少年的科学素养和安全意识都有重要的意义.为此中央电视台多次开设了天空课堂对青少年进行航天航空教育.今年以“海上生明月，九天揽星河”为主题的中国航天日顺利举行，某中学以此为契机开展航天航空知识竞赛（满分100分）.
【数据的收集与整理】从七、八年级随机各抽取50名学生的竞赛成绩（分数用表示），将这些学生的竞赛成绩分成5个等级:
等级 A B C D E
分数
对这100名学生的成绩进行收集、整理得到如下信息.
信息1摘录七年级学生的成绩（从小到大顺序排列）:
……，76，77，77，78，78，79，80，80，81，82，84，84，84，85，87，88，88，
90，91，……
摘录完后，发现抽取七年级同学竞赛成绩的众数在等级中；
信息2绘制了抽取七、八年级同学竞赛成绩的条形统计图:
信息3绘制了抽取的八年级同学竞赛成绩的扇形统计图:
信息4两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的24%.
【数据的分析和应用】
（1）抽取的七年级同学竞赛成绩的中位数是_____，众数是_____；
（2）抽取的八年级同学成绩的等级D部分的圆心角是_____°，并补全条形统计图；
（3）七、八年级的人数之比为，求七、八年级达到80分及80分以上的人数比.
20.（共11分）太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分.它通过将太阳能转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义.1图是太阳能热水器安装示意图，2图是安装热水器的侧面示意图.已知屋面的倾斜角为，长为的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为.
（1）求真空管上端到水平线的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度.（参考数据:，，，，，，结果精确到0.1m
21.（共12分）如图，是的直径，，是位于两侧圆上的点，连接，，作，交延长线于点.
（1）求证:是的切线:
（2）若，，求的直径.
22.（共12分）
（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，.求证:.
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，.连接，.请直接写出的值.
（3）【拓展提升】若将（2）中条件改为:和都是直角三角形，，且.连接，.求的值.
23.（共14分）已知二次函数（a为常数，）.
（1）若，求证:该函数的图象与轴有两个公共点.
（2）若，求证:当时，.
（3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是.
2024～2025学年第二学期第三次模拟检测
九年级数学参考答案
一、选择（共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C D B A D B
二、填空（满分20分.）
11. 12.2 13. 14. 15.或7
三、解答题
16.（共10分）解：（1）
，
当时，原式； 5分
（2）
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
故原不等式组的解集为. 5分
17.（共10分）（1）解：，证明如下：
由题意知：平分，垂直平分线段，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
. 4分
（2）解：设，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，，
，
. 6分
18.（共11分）（1）解：将点代入，得，
解得，
一次函数的表达式为.
将点代入，得，
反比例函数的表达式为. 4分
（2）由图象可知，当时，直接写出的自变量的取值范围为：
. 3分
（3）将代入，得，
点的坐标为.
，
设直线的表达式为.
将代入，得，解得，
点的坐标为.
又，
，
. 4分
19.（共10分）（1）解：两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的24%，
七年级等级人数为：，
七年级的将数据排序后，排在第25个和第26个的数据均为77，
中位数为77，
由题意，七年级等级中出现次数最多的数据为84，
众数为84； 4分
（2）；
故答案为：115.2；
七年级等级的人数为：11，由（1）知，等级人数为10，
等级的人数为；
补全条形图如图：
3分
（3）由题意，设七、八年级的人数分别为，，
则：七、八年级达到80分及80分以上的人数比. 3分
20.（共11分）（1）解：过作于，
根据题意，得：，，
在中，，
（米）.
答：真空管上端到水平线的距离约为1.8米； 5分
（2）解：在中，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
（米）.
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为0.9米. 6分
21.（共12分）
（1）证明：如图，连接，，
，
，
.
是的直径，
.即.
.
，
.即.
.
是的半径，
是的切线. 5分
（2）解：，，
.
.即.
.
.即的直径为9. 7分
22.（共12分）（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
； 3分
（2）解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
； 4分
（3）解：，，
，
，，
，
，
. 5分
23.（共14分）（1）证明：因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点. 4分
（2）证明：将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下.
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以. 4分
（3），对称轴为直线，顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在轴下方，时，，时，，
即，解得：；
②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在轴上方，时，，时
即，解得，
综上，当或时，二次函数与轴两个交点在与之间（不包含这两点），
故答案为：或. 6分

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