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2025 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相
符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签
字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和
答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1． (1+ 5i)i 的虚部为
A． 1 B．0 C．1 D．6
2．设全集U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合 A = {1,3,5}，则 U A中元素个数为
A．0 B．3 C．5 D．8
3．若双曲线 C的虚轴长为实轴长的 7 倍，则 C的离心率为
A． 2 B．2 C． 7 D． 2 2
4．若点 (a,0) (a > 0)是函数 y = 2 tan(x π) 的图象的一个对称中心，则 a的最小值为
3
A．30° B．60° C．90° D．135°
5 3．设 f (x) 是定义在 R上且周期为 2 的偶函数，当 2≤ x≤3时， f (x) = 5 2x，则 f ( ) =
4
A． 1 B 1． C 1． D 1．
2 4 4 2
6．帆船运动员借助风力驾驶帆船，
7．若圆 x2 + (y + 2)2 = r2 (r > 0) 上到直线 y = 3x + 2 的距离为 1 的点有且仅有 2 哥，则 r的
取值范围是
A． (0,1) B． (1,3) C． (3,+∞) D． (0,+∞)
8．若实数 x，y，z满足 2 + log2 x = 3 + log3 y = 5 + log5 z，则 x，y，z的大小关系不可能是
A． x > y > z B． x > z > y C． y > x > z D． y > z > x
S 数学试题 第 1 页（共 4 页）
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，D为 BC中点，则
A． AD ⊥ A1C B． B1C ⊥ 平面 AA1D
C．CC1∥平面 AA!D D． AD∥A1B1
10．设抛物线C : y2 = 6x的焦点为 F，过 F的直线交 C于 A、B，过 F且垂直于 AB的直线
3
交 l : y = x于 E，则
2
A． | AD |=| AF | B． | AE |=| AB |
C． | AB |≥6 D． | AE | | BE |≥18
11 1．已知△ABC的面积为 ，若 cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 ， cos AcosB sinC = 1 ，则
4 4
A． sinC = sin2 A+ sin2 B B． AB = 2
C sin A + sin B = 6． D． AC2 + BC2 = 3
2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12．若直线 y = 2x + 5是曲线 y = ex + x + a的切线，则 a = ．
13．若一个等比数列的前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为 ．
14．一个箱子里有 5 个球，分别以 1～5 标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个
数 X，则 E(X ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
S 数学试题 第 2 页（共 4 页）
16．（15 分）
设数列{ aa }满足 n+1 a= nn +
1
．
n n +1 n(n +1)
（1）证明：{nan}为等差数列；
（2）设 f (x) = a x + a x2 + + a xm1 2 m ，求 f ′(2)．
17．（15 分）
如图所示的四棱锥 P ABCD中， PA⊥平面 ABCD，
BC∥AD， AB ⊥ AD．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA = AB = 2 ， AD = 3 +1， BC = 2 ，P，B，C，D
在同一个球面上，设该球面的球心为 O．
（ⅰ）证明：O在平面 ABCD上；
（ⅱ）求直线 AC与直线 PO所成角的余弦值．
18．（17 分）
x2 2
设椭圆 C: y
a2
+ 2 = 1 (a > b > 0) ，记 A为椭圆下端点，B为右端点， | AB |= 10 ，且椭b
2 2
圆 C的离心率为 ．
3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点 P(m,n) ．
（ⅰ）若 P不在 y轴上，设 R是射线 AP上一点， | AR | | AP |= 3，用 m，n表示
点 R的坐标；
（ⅱ）设直线 OQ的斜率为 k1，直线 OP的斜率为 k2 ，若 k1 = 3k2 ，M为椭圆上
一点，求 | PM |的最大值．
19．（17 分）
设函数 f (x) = 5cos x cos5x．
（1）求 f (x) 在[0, π]的最大值；
4
（2）给定θ ∈ (0, π) ，a为给定实数，证明：存在 y∈[a θ,a+θ]，使得 cos y≤ cosθ ；
S 数学试题 第 3 页（共 4 页）
（3）若存在 ，使得对任意 x，都有5cos x cos(5x + )≤b，求 b的最小值．
S 数学试题 第 4 页（共 4 页）2025年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1.(1+5i1)i的虚部为
A.-1
B.0
C.1
D.6
【答案】C
解析z=(1+51)i=-5+i,所以z的虚部为1，选C.
2.设全集U={xx为小于9的正整数}，A={L,3,5},则C,A中的元素个数为
A.0
B.3
C.5
D.8
【答案】C
解析U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以CA={2,4,6,7,8},共5个元
素，选C.
3.双曲线虚轴长是实轴长的V7倍，求离心率为
A.√2
B.2
C./7
D.2W2
【答案】D
解析
由题知2b=√万×2a,所以2=V7,
双曲线的离心率e=C
62
a
=22,选D
4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan
的图像的一个对称中心，则α的最小值为
3
4π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
【答案】B
解析
因为时冲为受小eZ.-2如-》
的对称中
心为（经+号，0eZ,m以a=经+写eZ又a>0,所以a的小值为选B
5.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x,则
视风风速
2
B.-
4
c.
1
2
D.
2
【答案】A
船速
解析由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以
到=④)母-5-2x蓝A
42
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视
风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行
风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风
速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时该刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量
如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位/s),则真风为
A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风
等级
风速大小m/s
名称
2
1.13.3
轻风
3
3.45.4
微风
4
5.57.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
【答案】A
解析
真风风速+船行风速=视风风速，∴真风风速=视风风速+船速
视风风速=(-3，-1)，船速=(1,3)，∴.真风风速=(-2,2)
真风风速=2V2∈(1.1,3.3)为轻风，选：A.
7.已知圆x2+(y+2)2=2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则
的取值范围是
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(3,+0)
D.(0,+0)
【答案】B
解析
由题知圆心C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离
d-
0-(-2)+2
=2,所以要使圆C上到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有两个，
V(3)2+(-02
则18.
已知2+log2x=3+l0g3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>Z
D.y>z>x
【答案】B
解析令2+log2x=3+logy=5+log5z=k,则x=2-2,y=3-3,z=5-5
k=5,y>x>z;k=4,x>y>z;k=10,z>y>x;k=8,y>z>x(此时已经
知道答案为B,下面验证)

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