资源简介

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试卷类型：A
2025年陕西省初中学业水平考试信息卷（C）
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
2．如图是某一个几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．计算：（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，点为上一点，且．若，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．90° D．110°
5．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度，所得函数图象经过原点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
7．如图，内接于，为的直径．若，则的长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
8．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 24 8 0 3 15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限
C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线
第二部分 （非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式：______．
10．如图，在正五边形中，延长交于点，则的度数为______．
11．如图，将一根绳子折成3段，然后按如图所示的方式（沿虚线）剪开．剪1刀绳子的段数为4，剪2刀绳子的段数为7，剪3刀绳子的段数为10 ，按照此方式剪下去，剪刀绳子的段数为______．
12．若点都在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”）
13．如图，在中，平分于点，连接，则的面积是______．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（本题满分5分）计算：．
15．（本题满分5分）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来．
16．（本题满分5分）先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
17．（本题满分5分）如图，已知．请用尺规作图法，在内求作一点，使点到的距离相等，且点到点的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（本题满分5分）如图，是等边三角形，点是边上一点，，．求证：．
19．（本题满分5分）一家服装店将某种服装按进货价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进货价是多少元？
20.（本题满分5分）在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“水”“青”“山”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“绿”的概率是______；
（2）辰辰从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求辰辰取出的两个球上的汉字恰能组成“青山”的概率．
21．（本题满分6分）如图，为测算河对面高楼的高度，小明站在岸边一商场楼顶，从楼顶点处看水面，正好通过小船处看见对面楼顶在水里的倒影；他下到二楼从点处看水面，正好通过河埠头（河边渡口伸出的小台子）端点看见倒影．已知二楼观测点处高出水面米，商场楼顶点处高出水面米，点与点的距离米，点与点距离米．求高楼的高度．
22．（本题满分7分）如图①，区间测速是检测机动车通过两个相邻测速监控点之间路段的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为．汽车在此区间测速路段行驶的路程与在此路段行驶的时间之间的函数图象如图②所示．
（1）当时，求汽车在此区间测速路段行驶的路程与在此路段行驶的时间之间的函数表达式；
（2）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过）
23.（本题满分7分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并将调查结果整理绘制成如图所示的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生有______人，图①中m的值是______；
（2）本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
（3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
24．（本题满分8分）如图，以为直径的与的边分别交于点，，，垂足为，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
25．（本题满分8分）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为20m，观景台拱顶最高处点距离地面为8m．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求该观景台所在抛物线的函数表达式；
（2）为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由．
26．（本题满分10分）
【问题提出】
（1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程；
【问题解决】
（2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由．
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2025年陕西省初中学业水平考试信息卷（C）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B C A
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9． 10． 11． 12．＞ 13．2.4
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：
．
15．解：去分母、去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
化系数为1，得．
解集在数轴上表示为
16．解：原式．
，当时，原式．
17．解：如图，点即为所求．
18．证明：是等边三角形，．
，．
．又，
．．
19．解：设这种服装每件的进货价是元．
根据题意，得．
解得．
答：这种服装每件的进货价是125元．
20．解：（1）．
（2）解法一；根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“青山”的结果有2种，
（取出的两个球上的汉字恰能组成“青山”）．
解法二：根据题意，列表如下：
第二次 第一次 绿 水 青 山
绿 - （绿，水） （绿，青） （绿，山）
水 （水，绿） - （水，青） （水，山）
青 （青，绿） （青，水） - （青，山）
山 （山，绿） （山，水） （山，青） -
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“青山”的结果有2种，
（取出的两个球上的汉字恰能组成“青山”）．
21．解：设米．
，是等腰直角三角形．
，，．
，即．
解得．
答：高楼的高度为130米．
22．解：（1）根据题意，得．解得．
当时，设汽车在此区间测速路段行驶的路程与在此路段行驶的时间之间的函数表达式为．
将的坐标代入，得解得
当时，汽车在此区间测速路段行驶的路程与在此路段行驶的时间之间的函数表达式为．
（2）当时，．
先匀速行驶的速度为．
，
这辆汽车减速前没有超速．
23．解：（1）50，32． （2）10，15．
（3）（人）．
答：该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人．
24．（1）证明：如图，连接．
为的直径，．．
，．
，为的中位线．
．又，．
为的半径，是的切线．
（2）解：，．
．，．
，即．解得．
．
．
25．解：（1）根据题意，得点在抛物线上．
设该观景台所在抛物线的函数表达式为．
把的坐标代入，得解得
该观景台所在抛物线的函数表达式为．
（2）令，即．
解得．
两个支撑柱之间的距离．
矩形宣传牌的面积为，宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称，的长可以为1或2．
有下列2种初步的设计方案：
①；②：
．
方案①不合题意．
，此时点到步道的距离为6．
当时，．
此时宣传牌左上方顶点的坐标是．符合题意．
综上所述，矩形宣传牌的长为10m，宽为2m．
26．解：（1）如图①，连接．
点是的中点，点是的中点，是的中位线．
．
点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆．
（2）存在符合设计要求且长度最短的长廊．
如图②，连接，取的中点，连接．
是的直径，四边形为正方形，
，的半径为200，即．
点是的中点，点是的中点，是的中位线，
．
点的运动轨迹是以点为圆心，100为半径的圆．
点为定点，当点在上时，线段的长最小．
如图②，连接，过点作于点，交于点．
．
．四边形是矩形．
．
点为的中点，为.中位线．
．
．
．
．
的最小值是．
即存在符合设计要求且长度最短的长廊，最短长廊的值为．

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