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第1节　导数的概念及其意义、导数的运算
[课程标准要求]
1.通过实例分析,了解平均变化率、瞬时变化率,了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′,即 f′(x0)==.
(2)函数y=f(x)的导(函)数:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 f′(x)=y′=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0==f′(x0),相应的切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).
函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,|f′(x)|的大小反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
3.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=αxα－1
f(x)=sin x f′(x)=cos x
f(x)=cos x f′(x)=－sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a
f(x)=ex f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
4.导数的运算法则
设两个函数f(x),g(x)可导,则
(1)和(差)的导数:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
(2)积的导数:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x).
(3)商的导数:[]′=(g(x)≠0).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x),它的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.(1)()′=;
(2)[]′=(f(x)≠0);
(3)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x)(a,b为常数).
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
1.(人教A版选择性必修第二册P70习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式是h(t)=10－4.9t2+8t,则他在0.5 s时的瞬时速度为(　　)
[A] 9.1 m/s [B] 6.75 m/s
[C] 3.1 m/s [D] 2.75 m/s
2.(多选题)(苏教版选择性必修第一册P203练习T2改编)下列函数求导运算正确的是(　　)
[A] 若y=,则y′=
[B] 若y=4x+1,则y′=4x+1
[C] 若y=,则y′=
[D] 若y=xex,则y′=(x+1)ex
3.(北师大版选择性必修第二册P66习题2-3 A组T1改编)设函数f(x)=,若f′(1)=,则a=　　　　.
4.(人教A版选择性必修第二册P78练习T3改编)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　.
5.(人教A版选择性必修第二册P81练习T2改编)若函数f(x)=e－2x+a在x=处的导数不大于－2,则实数a的取值范围为　　　　　　.
考点一　导数的运算
1.(2025·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)=x2+,则等于(　　)
[A] 1 [B] [C] 2 [D] 4
2.已知函数f(x)满足f(x)=2f′(1)ln x+(f′(x)为f(x)的导函数),则f(e)等于(　　)
[A] e－1 [B] +1
[C] 1 [D] +1
3.(2025·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=(x－a)(x－2 025)(x－2 024)(x－2 023),且f′(2 025)=－4,则实数a等于(　　)
[A] 2 027 [B] 2 026
[C] －2 026 [D] －2 027
4.(多选题)下列求导运算正确的是(　　)
[A] 若f(x)=sin(2x+3),则f′(x)=2cos(2x+3)
[B] 若f(x)=e－2x+1,则f′(x)=e－2x+1
[C] 若f(x)=,则f′(x)=
[D] 若f(x)=xln x,则f′(x)=ln x+1
导数运算的原则和方法
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可尽量避免使用商的求导法则,减少运算量.
(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
考点二　导数的几何意义在函数图象中的应用
[例1] (2025·吉林长春模拟)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f′(x)是f(x)的导函数,则(　　)
[A] f′(－1)=f′(－2)<0[B] f′(2)[C] 0>f′(2)>f′(1)>f′(－1)=f′(－2)
[D] f′(2)导数几何意义在函数图象中的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,已知切点 A(x0,f(x0))求曲线y=f(x)在点A处切线的斜率k,即求该点处的导数值k=f′(x0).曲线在每一点处的切线斜率的变化情况反映了曲线在相应点附近的变化情况.若 f′(x0)=0,则在x=x0附近曲线比较平坦,几乎没有升降;若f′(x0)>0,则在x=x0附近曲线上升;若 f′(x0)<0,则在x=x0附近曲线下降.
[针对训练] 已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,则(　　)
[A] f′(2)<[B] f′(4)[C] f′(2)[D] 考点三　导数几何意义的应用
角度1　求切线方程
[例2] (2025·浙江绍兴模拟)过点(,0)作曲线y=x3的切线,写出一条切线方程:　　　　　　　　　　　　.
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成.
第一步,设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步,写出过点P′(x1,f(x1))的切线方程y－f(x1)=f′(x1)(x－x1);
第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步,将x1的值代入方程y－f(x1)=f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
易错警示:求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标是未知的,要设出切点坐标,根据斜率相等或已知点在切线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
角度2　由切线方程求参数的值(或取值范围)
[例3] 若函数f(x)=ln x+2x2－ax的图象上存在与直线2x－y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　　.
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
角度3　由切线条数求参数
[例4] 已知函数f(x)=2x3－3x,若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则t的取值范围是(　　)
[A] [－3,1)
[B] [－2,1]
[C] (－∞,－3]∪(－1,1)
[D] (－3,－1)
已知过点(a,b)所作曲线y=f(x)的切线条数
求参数b的取值(范围)的一般步骤
(1)设出切点(x0,f(x0)),求出切线的斜率f′(x0).
(2)写出切线方程y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).
(3)将点(a,b)的坐标代入到切线方程中得b－f(x0)=f′(x0)(a－x0).
(4)将b从方程b－f(x0)=f′(x0)(a－x0)中分离出来,得b=f′(x0)(a－x0)+f(x0).
(5)构造函数y=b,g(x)=f′(x)(a－x)+f(x),问题转化为直线y=b与曲线g(x)=f′(x)(a－x)+f(x) 的交点个数问题.
[针对训练]
1.(角度1)(2023·全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　)
[A] y=x [B] y=x
[C] y=x+ [D] y=x+
2.(角度3)函数f(x)=x2+aln x在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围为(　　)
[A] (－2,1) [B] (－2,－1)
[C] (－2,0) [D] (－3,－2)
3.(角度2)(2025·陕西汉中模拟)已知曲线y=aex+在(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则 a=　　　　,b=　　　　.
考点四　公切线问题
[例5] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
两曲线的公切线问题的求解方法
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练] (2025·福建南平模拟)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线
y=－ln(－x)的切线,则(　　)
[A] k=,b=0 [B] k=1,b=0
[C] k=,b=－1 [D] k=1,b=－1
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
导数的运算、导数的几何意义 1,2,3,7,10,12,15
导数几何意义的应用 4,5,8,9,11,13
利用导数的几何意义 求解公切线问题 6,14
单选每题5分,填空每题5分.
1.已知函数f(x)=2f′(0)x+ex,则f(2)等于(　　)
[A] e2－4 [B] e2－1
[C] －1 [D] e2+4
2.(2025·江西上饶模拟)设f(x)为可导函数,且=－1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)
[A] 2 [B] －1
[C] 1 [D]
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f′(1)－f(1)等于(　　)
[A] 0 [B] 2
[C] －2 [D] －1
4.(2025·湖北荆门模拟)过点P(1,2)作曲线C:y=的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)
[A] 2x+y－8=0 [B] 2x+y－6=0
[C] 2x+y－4=0 [D] x+2y－5=0
5.(2025·湖南长沙模拟)若曲线y=(1－x)ex有两条过点A(a,0)的切线,则a的取值范围是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(3,+∞)
[B] (－3,1)
[C] (－∞,－3)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
6.(2025·广东茂名模拟)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (－∞,] [B] [,+∞)
[C] (－∞,] [D] [,+∞)
7.(5分)已知函数f(x)=,其中f′(x)为函数f(x)的导数,则f(2 025)+f(－2 025)+f′(2 026)－f′(－2 026)=　　　　.
8.(12分)已知函数f(x)=x3+(1－a)x2－a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为－3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
9.已知函数f(x)=x3－x和点P(1,－1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
10.(2025·山东潍坊模拟)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx,x0=2,用牛顿迭代法得到x1=,则实数b等于(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
11.(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是(　　)
[A] x1+x2=2 [B] x1+x2=
[C] x1x2=2 [D] x1x2=
12.(5分)在18世纪,法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中,第一次提到拉格朗日中值定理,其定理陈述如下:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续不断,在区间(a,b)内可导(存在导函数),在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)－f(a)=f′(x0)·(b－a),那么称x=x0为函数y=f(x)在区间[a,b]上的中值点.函数f(x)=ex+mx在[－1,1]上的中值点x0的值为　　　　　　　　.
13.(5分)(2025·山西朔州模拟)已知A,B分别为曲线y=2ex+x和直线y=3x－3上的点,则|AB|的最小值为　　　　.
14.(13分)已知函数f(x)=(x－1)ln x.
(1)已知函数f(x)=(x－1)ln x的图象与函数g(x)的图象关于直线x=－1对称,试求g(x);
(2)设x0是方程f(x)=x+1的根,证明:曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
15.(5分)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f′(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f′(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.
若曲线f(x)=ln x+x与g(x)=在点(1,1)处的曲率分别为K1,K2,则K1　　 　　K2(填“<”或“>”).
第1节　导数的概念及其意义、导数的运算（解析版）
[课程标准要求]
1.通过实例分析,了解平均变化率、瞬时变化率,了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′,即 f′(x0)==.
(2)函数y=f(x)的导(函)数:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 f′(x)=y′=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0==f′(x0),相应的切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).
函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,|f′(x)|的大小反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
3.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=αxα－1
f(x)=sin x f′(x)=cos x
f(x)=cos x f′(x)=－sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a
f(x)=ex f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
4.导数的运算法则
设两个函数f(x),g(x)可导,则
(1)和(差)的导数:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
(2)积的导数:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x).
(3)商的导数:[]′=(g(x)≠0).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x),它的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.(1)()′=;
(2)[]′=(f(x)≠0);
(3)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x)(a,b为常数).
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
1.(人教A版选择性必修第二册P70习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式是h(t)=10－4.9t2+8t,则他在0.5 s时的瞬时速度为(　　)
[A] 9.1 m/s [B] 6.75 m/s
[C] 3.1 m/s [D] 2.75 m/s
【答案】 C
【解析】 因为h′(t)=－9.8t+8,所以h′(0.5)=－9.8×0.5+8=3.1,所以此运动员在0.5 s时的瞬时速度为3.1 m/s.故选C.
2.(多选题)(苏教版选择性必修第一册P203练习T2改编)下列函数求导运算正确的是(　　)
[A] 若y=,则y′=
[B] 若y=4x+1,则y′=4x+1
[C] 若y=,则y′=
[D] 若y=xex,则y′=(x+1)ex
【答案】 AD
【解析】 对于A,y==2x－3,
则y′=－3×2x－3－1=,故A正确;
对于B,y=4x+1,则y′=4x+1ln 4,故B错误;
对于C,y==,则y′===,故C错误;
对于D,y=xex,则y′=ex+xex=(x+1)ex,故D正确.
故选AD.
3.(北师大版选择性必修第二册P66习题2-3 A组T1改编)设函数f(x)=,若f′(1)=,则a=　　　　.
【答案】 1
【解析】 因为f(x)=,所以f′(x)=,f′(1)==,所以=,则a=1.
4.(人教A版选择性必修第二册P78练习T3改编)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　.
【答案】 3x－2y－3=0
【解析】 由题意得f(1)=0,切点为(1,0),f′(x)=+,k=f′(1)=,所以切线方程为y=(x－1),即3x－2y－3=0.
5.(人教A版选择性必修第二册P81练习T2改编)若函数f(x)=e－2x+a在x=处的导数不大于－2,则实数a的取值范围为　　　　　　.
【答案】 [1,+∞)
【解析】 因为f(x)=e－2x+a,所以f′(x)=－2e－2x+a,所以f′()=－2e－1+a,由－2e－1+a≤－2得a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).
考点一　导数的运算
1.(2025·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)=x2+,则等于(　　)
[A] 1 [B] [C] 2 [D] 4
【答案】 B
【解析】 由题意知,f′(x)=2x,则f′(1)=1.
所以=
=f′(1)=.故选B.
2.已知函数f(x)满足f(x)=2f′(1)ln x+(f′(x)为f(x)的导函数),则f(e)等于(　　)
[A] e－1 [B] +1
[C] 1 [D] +1
【答案】 D
【解析】 f′(x)=+,
当x=1时,f′(1)=2f′(1)+,
解得f′(1)=,故f(x)=+,
所以f(e)=+=+1.故选D.
3.(2025·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=(x－a)(x－2 025)(x－2 024)(x－2 023),且f′(2 025)=－4,则实数a等于(　　)
[A] 2 027 [B] 2 026
[C] －2 026 [D] －2 027
【答案】 A
【解析】 令g(x)=(x－a)(x－2 024)(x－2 023),所以f(x)=g(x)(x－2 025),
所以f′(x)=g′(x)(x－2 025)+g(x),
所以f′(2 025)=g′(2 025)(2 025－2 025)+g(2 025)=(2 025－a)×1×2=－4,
解得a=2 027.故选A.
4.(多选题)下列求导运算正确的是(　　)
[A] 若f(x)=sin(2x+3),则f′(x)=2cos(2x+3)
[B] 若f(x)=e－2x+1,则f′(x)=e－2x+1
[C] 若f(x)=,则f′(x)=
[D] 若f(x)=xln x,则f′(x)=ln x+1
【答案】 ACD
【解析】 因为f(x)=sin(2x+3),所以f′(x)=2cos(2x+3),故A正确;
因为f(x)=e－2x+1,所以f′(x)=－2e－2x+1,故B错误;
因为f(x)=,所以f′(x)=,故C正确;
因为f(x)=xln x,所以f′(x)=ln x+1,故D正确.故选ACD.
导数运算的原则和方法
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可尽量避免使用商的求导法则,减少运算量.
(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
考点二　导数的几何意义在函数图象中的应用
[例1] (2025·吉林长春模拟)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f′(x)是f(x)的导函数,则(　　)
[A] f′(－1)=f′(－2)<0[B] f′(2)[C] 0>f′(2)>f′(1)>f′(－1)=f′(－2)
[D] f′(2)【答案】 B
【解析】 f′(－2),f′(－1),f′(1),f′(2)分别表示曲线y=f(x)在x=－2,x=－1,x=1,x=2处切线的斜率,结合图象可知,当x<0时,f′(x)是一个大于0的常数,当x>0时,f′(x)小于0且随着x的增大而减小,所以f′(2)导数几何意义在函数图象中的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,已知切点 A(x0,f(x0))求曲线y=f(x)在点A处切线的斜率k,即求该点处的导数值k=f′(x0).曲线在每一点处的切线斜率的变化情况反映了曲线在相应点附近的变化情况.若 f′(x0)=0,则在x=x0附近曲线比较平坦,几乎没有升降;若f′(x0)>0,则在x=x0附近曲线上升;若 f′(x0)<0,则在x=x0附近曲线下降.
[针对训练] 已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,则(　　)
[A] f′(2)<[B] f′(4)[C] f′(2)[D] 【答案】 A
【解析】如图所示,根据导数的几何意义,可得f′(2)表示曲线y=f(x)在点A处的切线的斜率,即直线l1的斜率,f′(4)表示曲线y=f(x)在点B处的切线的斜率,即直线l2的斜率,由平均变化率的定义,可得表示过A,B两点的割线的斜率kl,结合图象,可得故选A.
考点三　导数几何意义的应用
角度1　求切线方程
[例2] (2025·浙江绍兴模拟)过点(,0)作曲线y=x3的切线,写出一条切线方程:　　　　　　　　　　　　.
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第二册P81习题5.2 T5.
【答案】 y=0(或y=3x+2)
【解析】 由y=x3可得y′=3x2,设过点(,0)的曲线y=x3的切线的切点为(x0,y0),则y0=,则该切线方程为y－y0=3(x－x0),将(,0)代入得=3(x0),解得x0=0或x0=－1,故切点坐标为(0,0)或(－1,－1),故切线方程为y=0或y=3x+2.
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成.
第一步,设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步,写出过点P′(x1,f(x1))的切线方程y－f(x1)=f′(x1)(x－x1);
第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步,将x1的值代入方程y－f(x1)=f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
易错警示:求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标是未知的,要设出切点坐标,根据斜率相等或已知点在切线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
角度2　由切线方程求参数的值(或取值范围)
[例3] 若函数f(x)=ln x+2x2－ax的图象上存在与直线2x－y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【答案】 [2,+∞)
【解析】 直线2x－y=0的斜率k=2,又函数f(x)图象上存在与直线2x－y=0平行的切线,所以 f′(x)=+4x－a=2在(0,+∞)内有解,则a=4x+2在x>0时有解,又4x+≥2=4,当且仅当x=时,等号成立,所以a≥4－2=2.所以a的取值范围是[2,+∞).
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
角度3　由切线条数求参数
[例4] 已知函数f(x)=2x3－3x,若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则t的取值范围是(　　)
[A] [－3,1)
[B] [－2,1]
[C] (－∞,－3]∪(－1,1)
[D] (－3,－1)
【答案】 D
【解析】 设切点(x0,23x0),
因为f(x)=2x3－3x,
则f′(x)=6x2－3,f′(x0)=63,
所以切线方程为y－2+3x0=(63)(x－x0),
因为切线过点P(1,t),
所以t－2+3x0=(63)(1－x0),
即t=－4+63,令h(x)=－4x3+6x2－3,
则h′(x)=－12x2+12x,
令h′(x)=0,得x=0或x=1,当x<0或x>1时,h′(x)<0,当00,
所以当x=0时,函数h(x)取得极小值－3,当x=1时,函数h(x)取得极大值－1,
因为存在3条直线与曲线y=f(x)相切,
所以方程t=h(x)有三个不同根,则－3已知过点(a,b)所作曲线y=f(x)的切线条数
求参数b的取值(范围)的一般步骤
(1)设出切点(x0,f(x0)),求出切线的斜率f′(x0).
(2)写出切线方程y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).
(3)将点(a,b)的坐标代入到切线方程中得b－f(x0)=f′(x0)(a－x0).
(4)将b从方程b－f(x0)=f′(x0)(a－x0)中分离出来,得b=f′(x0)(a－x0)+f(x0).
(5)构造函数y=b,g(x)=f′(x)(a－x)+f(x),问题转化为直线y=b与曲线g(x)=f′(x)(a－x)+f(x) 的交点个数问题.
[针对训练]
1.(角度1)(2023·全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　)
[A] y=x [B] y=x
[C] y=x+ [D] y=x+
【答案】 C
【解析】 设曲线y=在点(1,)处的切线方程为y=k(x－1),
因为y=,所以y′==,
所以k=y′|x=1=,
所以曲线y=在点(1,)处的切线方程为y=(x－1),即y=x+.故选C.
2.(角度3)函数f(x)=x2+aln x在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围为(　　)
[A] (－2,1) [B] (－2,－1)
[C] (－2,0) [D] (－3,－2)
【答案】 D
【解析】 由f(x)=x2+aln x得f′(x)=x+(x>0),
不妨设这两条相互垂直的切线的切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),且f′(x1)·f′(x2)=－1,x1,x2∈(1,2),
若a≥0,则f′(x)>0恒成立,不符合题意,可排除A项;
所以a<0,此时易知y=f′(x)单调递增,
要满足题意则需 a∈(－3,－2).
故选D.
3.(角度2)(2025·陕西汉中模拟)已知曲线y=aex+在(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则 a=　　　　,b=　　　　.
【答案】 1　－1
【解析】 y′=aex+,由题意可得,当x=1时,解得
考点四　公切线问题
[例5] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5 T13.
【答案】 ln 2
【解析】 由y=ex+x得y′=ex+1,
当x=0时,y′|x=0=2,
故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1;
由y=ln(x+1)+a得y′=,
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),
由两曲线有公切线得y′==2,
解得x0=,则切点为(,a+ln),
切线方程为y=2(x+)+a+ln=2x+1+a－ln 2,
根据两切线重合,
所以a－ln 2=0,解得a=ln 2.
两曲线的公切线问题的求解方法
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练] (2025·福建南平模拟)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线
y=－ln(－x)的切线,则(　　)
[A] k=,b=0 [B] k=1,b=0
[C] k=,b=－1 [D] k=1,b=－1
【答案】 A
【解析】 设直线y=kx+b与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1),且x1>0,
直线y=kx+b与曲线y=－ln(－x)的切点为(x2,－ln(－x2)),且x2<0,
又(ln x)′=,[－ln(－x)]′=,
则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y－ln x1=(x－x1),即y=x+ln x1－1,
曲线y=－ln(－x)在点(x2,－ln(－x2))处的切线方程为y+ln(－x2)=(x－x2),
即y=x+1－ln(－x2),又这两条切线重合,
则解得
故k==,b=ln x1－1=0.
故选A.
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
导数的运算、导数的几何意义 1,2,3,7,10,12,15
导数几何意义的应用 4,5,8,9,11,13
利用导数的几何意义 求解公切线问题 6,14
单选每题5分,填空每题5分.
1.已知函数f(x)=2f′(0)x+ex,则f(2)等于(　　)
[A] e2－4 [B] e2－1
[C] －1 [D] e2+4
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2f′(0)x+ex,所以f′(x)=2f′(0)+ex,所以f′(0)=2f′(0)+e0,解得f′(0)=－1.所以f(x)=－2x+ex,得f(2)=e2－4.故选A.
2.(2025·江西上饶模拟)设f(x)为可导函数,且=－1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)
[A] 2 [B] －1
[C] 1 [D]
【答案】 D
【解析】 由导数的几何意义,点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1),
因为=－1,
所以f′(1)==
=,
所以在点(1,f(1))处的切线斜率为.故选D.
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f′(1)－f(1)等于(　　)
[A] 0 [B] 2
[C] －2 [D] －1
【答案】 C
【解析】 设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则解得所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,所以f′(1)=1,f(1)=1+2=3,因此f′(1)－f(1)=1－3=－2.故选C.
4.(2025·湖北荆门模拟)过点P(1,2)作曲线C:y=的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)
[A] 2x+y－8=0 [B] 2x+y－6=0
[C] 2x+y－4=0 [D] x+2y－5=0
【答案】 A
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=,得y′=,所以曲线C在点A处的切线方程为y－y1=(x－x1),把P(1,2)代入切线方程,得2－y1=(1－x1),化简得2x1+y1－8=0,同理可得曲线C在点B处的切线方程为2x2+y2－8=0,因为A,B都满足直线2x+y－8=0,所以直线AB的方程为2x+y－8=0.故选A.
5.(2025·湖南长沙模拟)若曲线y=(1－x)ex有两条过点A(a,0)的切线,则a的取值范围是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(3,+∞)
[B] (－3,1)
[C] (－∞,－3)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 设切点为(x0,(1－x0)),由已知得y′=－xex,则切线斜率k=－x0,
切线方程为y－(1－x0)=－x0(x－x0).
因为切线过点A(a,0),
所以－(1－x0)=－x0(a－x0),
化简得(a+1)x0+1=0.因为切线有2条,
所以Δ=(a+1)2－4>0,则a的取值范围是(－∞,－3)∪(1,+∞).故选D.
6.(2025·广东茂名模拟)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (－∞,] [B] [,+∞)
[C] (－∞,] [D] [,+∞)
【答案】 B
【解析】 两个函数求导分别为y′=,y′=2x+2a,
设y=ln x,y=x2+2ax图象上的切点分别为(x1,ln x1),(x2,+2ax2),
则过这两点的切线方程分别为y=+ln x1－1,y=(2x2+2a)x,
则=2x2+2a,ln x1－1=,
所以2a=2x2,
设f(x)=2x,
f′(x)=2(x1),f′(1)=0,
令g(x)=f′(x)=2(x1),
所以g′(x)=2(2x2+1)>0,
所以g(x)在R上单调递增,且g(1)=f′(1)=0,
则在(－∞,1)上f′(x)<0,在(1,+∞)上f′(x)>0,
则f(x)在(－∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以2a≥f(x)min=f(1)=－1,即a≥.
故选B.
7.(5分)已知函数f(x)=,其中f′(x)为函数f(x)的导数,则f(2 025)+f(－2 025)+f′(2 026)－f′(－2 026)=　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为f(x)==+1,
设g(x)=,则g(x)是奇函数,g(x)+g(－x)=0,
所以f(x)+f(－x)=g(x)+g(－x)+2=2,f(2 025)+f(－2 025)=2.
因为f′(x)==是偶函数,
所以f′(2 026)－f′(－2 026)=0.
所以f(2 025)+f(－2 025)+f′(2 026)－f′(－2 026)=2.
8.(12分)已知函数f(x)=x3+(1－a)x2－a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为－3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
【解】 f′(x)=3x2+2(1－a)x－a(a+2).
(1)由题意得
解得b=0,a=－3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1－a)x－a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1－a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,所以a≠.
所以a的取值范围为(－∞,)∪(,+∞).
9.已知函数f(x)=x3－x和点P(1,－1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 因为f(1)=13－1=0,所以点P(1,－1)不在函数f(x)的图象上.设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0,f′(x0)=31.由导数的几何意义可知,切线的斜率为k=31,又k=(x0≠1),所以化简可得(2x0－3)=0,解得x0=0或x0=,所以切点有两个,因而有两条切线.
故选B.
10.(2025·山东潍坊模拟)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx,x0=2,用牛顿迭代法得到x1=,则实数b等于(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 f′(x)=2x+b,f′(2)=4+b,f(2)=4+2b,
则函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线方程为y－(4+2b)=(4+b)(x－2),
由题意得,切线过点(,0),代入得,－(4+2b)=(4+b)(2),解得b=.
故选D.
11.(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是(　　)
[A] x1+x2=2 [B] x1+x2=
[C] x1x2=2 [D] x1x2=
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=x2+2ln x,x>0,
所以f′(x)=2x+,x>0.
因为f(x)在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,
所以f′(x1)=f′(x2) 2x1+=2x2+,
又x1≠x2,所以x1x2=1,故C,D错误;
因为x1>0,x2>0,且x1≠x2,所以x1+x2>2=2,故A不成立;
当x1=,x2=3时,x1+x2=,故B可能成立.故选B.
12.(5分)在18世纪,法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中,第一次提到拉格朗日中值定理,其定理陈述如下:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续不断,在区间(a,b)内可导(存在导函数),在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)－f(a)=f′(x0)·(b－a),那么称x=x0为函数y=f(x)在区间[a,b]上的中值点.函数f(x)=ex+mx在[－1,1]上的中值点x0的值为　　　　　　　　.
【答案】 ln
【解析】 当x∈[－1,1]时,由拉格朗日中值定理可得
f′(x0)===(e－e－1)+m,
因为f′(x)=ex+m,
所以+m=(e－e－1)+m,
即=(e－e－1),
所以x0=ln .
13.(5分)(2025·山西朔州模拟)已知A,B分别为曲线y=2ex+x和直线y=3x－3上的点,则|AB|的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】由题意|AB|的最小值为曲线上点A到直线y=3x－3距离的最小值,若点A是曲线与直线y=3x+m相切的切点,则曲线上其他点到直线y=3x－3的距离都大于|AB|.对于曲线y=2ex+x,设切点为A(x0,y0),求导有y′=2ex+1,所以2+1=3,解得x0=0,即A(0,2),故|AB|min==.
14.(13分)已知函数f(x)=(x－1)ln x.
(1)已知函数f(x)=(x－1)ln x的图象与函数g(x)的图象关于直线x=－1对称,试求g(x);
(2)设x0是方程f(x)=x+1的根,证明:曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
(1)【解】 因为f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=－1对称,
所以f(－1－x)=g(－1+x).
又因为f(－1－x)=[(－1－x)－1]ln(－1－x)=(－2－x)ln(－1－x),
所以g(－1+x)=(－2－x)ln(－1－x),
令t=－1+x,则x=t+1,
所以g(t)=[－2－(t+1)]ln [－1－(t+1)]=(－3－t)ln(－2－t),
因此g(x)=(－3－x)ln(－2－x)(x<－2).
(2)【证明】 不妨取曲线y=ex上的一点B(x1,),
设m(x)=ln x在A处的切线即是h(x)=ex在B处的切线,
则m′(x0)=h′(x1),即=,
得x1=ln ,
则B的坐标为(ln ,),
由于(x0－1)ln x0=x0+1,
所以ln x0=(x0≠1),
因此ln ≠x0,直线AB的斜率存在,
则有kAB======m′(x0).
综上可知,直线AB的斜率等于m(x)=ln x在A处的切线斜率和h(x)=ex在B处的切线斜率,
所以直线AB既是曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
15.(5分)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f′(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f′(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.
若曲线f(x)=ln x+x与g(x)=在点(1,1)处的曲率分别为K1,K2,则K1　　 　　K2(填“<”或“>”).
【答案】 <
【解析】 因为f′(x)=+1,
f″(x)=,
所以K1===,
因为g′(x)=,g″(x)=,
所以K2===,
所以K1(
第
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第1节　导数的概念
及其意义、导数的运算
第三章　一元函数的导数及其应用
1.通过实例分析,了解平均变化率、瞬时变化率,了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的
导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.导数的概念
确定
确定
知识梳理
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切
线的斜率k0,即k0= =f′(x0),相应的切线方程为 .
知识梳理
y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)
释疑
函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,|f′(x)|的大小反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线
越“陡”.
3.基本初等函数的导数公式
知识梳理
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=
f(x)=sin x f′(x)=
f(x)=cos x f′(x)=
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ex f′(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
4.导数的运算法则
设两个函数f(x),g(x)可导,则
(1)和(差)的导数:[f(x)±g(x)]′= .
(2)积的导数:[f(x)g(x)]′= .
特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x).
知识梳理
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y= .
(2)一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x),它的导数间的关系为y′x= ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
知识梳理
f(g(x))
y′u·u′x
重要结论
(3)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x)(a,b为常数).
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
对点自测
1.(人教A版选择性必修第二册P70习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式是h(t)=10－4.9t2+8t,则他在0.5 s时的瞬时速度为(　　)
[A] 9.1 m/s [B] 6.75 m/s
[C] 3.1 m/s [D] 2.75 m/s
C
对点自测
【解析】 因为h′(t)=－9.8t+8,所以h′(0.5)=－9.8×0.5+8=3.1,
所以此运动员在0.5 s时的瞬时速度为3.1 m/s.故选C.
对点自测
2.(多选题)(苏教版选择性必修第一册P203练习T2改编)下列函数求导运算正确的是(　 　)
AD
对点自测
对点自测
1
对点自测
3x－2y－3=0
对点自测
[1,+∞)
关键能力
课堂突破
考点一　导数的运算
B
D
3.(2025·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=(x－a)(x－2 025)(x－2 024)(x－2 023),且f′(2 025)=－4,则实数a等于(　　)
[A] 2 027 [B] 2 026
[C] －2 026 [D] －2 027
A
【解析】 令g(x)=(x－a)(x－2 024)(x－2 023),所以f(x)=g(x)(x－2 025),
所以f′(x)=g′(x)(x－2 025)+g(x),
所以f′(2 025)=g′(2 025)(2 025－2 025)+g(2 025)=(2 025－a)×1×2=－4,
解得a=2 027.故选A.
4.(多选题)下列求导运算正确的是(　 　)
[A] 若f(x)=sin(2x+3),则f′(x)=2cos(2x+3)
[B] 若f(x)=e－2x+1,则f′(x)=e－2x+1
[D] 若f(x)=xln x,则f′(x)=ln x+1
ACD
导数运算的原则和方法
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可尽量避免使用商的求导法则,减少运算量.
(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
题后悟通
考点二　导数的几何意义在函数图象中的应用
[例1] (2025·吉林长春模拟)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f′(x)是f(x)的导函数,则(　　)
[A] f′(－1)=f′(－2)<0[B] f′(2)[C] 0>f′(2)>f′(1)>f′(－1)=f′(－2)
[D] f′(2)B
【解析】 f′(－2),f′(－1),f′(1),f′(2)分别表示曲线y=f(x)在x=－2,x=－1,
x=1,x=2处切线的斜率,结合图象可知,
当x<0时,f′(x)是一个大于0的常数,
当x>0时,f′(x)小于0且随着x的增大而减小,
所以f′(2)导数几何意义在函数图象中的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,已知切点 A(x0,f(x0))求曲线y=f(x)在点A处切线的斜率k,即求该点处的导数值k=f′(x0).曲线在每一点处的切线斜率的变化情况反映了曲线在相应点附近的变化情况.若 f′(x0)=0,则在x=x0附近曲线比较平坦,几乎没有升降;若f′(x0)>0,则在x=x0附近曲线上升;若 f′(x0)<0,则在x=x0附近曲线下降.
解题策略
[针对训练] 已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,则(　　)
A
考点三　导数几何意义的应用
角度1　求切线方程
y=0(或y=3x+2)
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第二册P81习题5.2 T5.
解题策略
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成.
第一步,设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步,写出过点P′(x1,f(x1))的切线方程y－f(x1)=f′(x1)(x－x1);
第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步,将x1的值代入方程y－f(x1)=f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
解题策略
易错警示:求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标是未知的,要设出切点坐标,根据斜率相等或已知点在切线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
角度2　由切线方程求参数的值(或取值范围)
[例3] 若函数f(x)=ln x+2x2－ax的图象上存在与直线2x－y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　 　　.
[2,+∞)
解题策略
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
角度3　由切线条数求参数
[例4] 已知函数f(x)=2x3－3x,若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则t的取值范围是(　　)
[A] [－3,1)
[B] [－2,1]
[C] (－∞,－3]∪(－1,1)
[D] (－3,－1)
D
解题策略
已知过点(a,b)所作曲线y=f(x)的切线条数
求参数b的取值(范围)的一般步骤
(1)设出切点(x0,f(x0)),求出切线的斜率f′(x0).
(2)写出切线方程y－f(x0)=f′(x0)(x－x0).
(3)将点(a,b)的坐标代入到切线方程中得b－f(x0)=f′(x0)(a－x0).
解题策略
(4)将b从方程b－f(x0)=f′(x0)(a－x0)中分离出来,得b=f′(x0)(a－x0)+f(x0).
(5)构造函数y=b,g(x)=f′(x)(a－x)+f(x),问题转化为直线y=b与曲线g(x)=f′(x)(a－x)+f(x) 的交点个数问题.
[针对训练]
C
[A] (－2,1) [B] (－2,－1)
[C] (－2,0) [D] (－3,－2)
D
1
－1
考点四　公切线问题
[例5] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
ln 2
【解析】 由y=ex+x得y′=ex+1,
当x=0时,y′|x=0=2,
故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1;
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5 T13.
解题策略
两曲线的公切线问题的求解方法
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练] (2025·福建南平模拟)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=－ln(－x)的切线,则(　　)
A
课时作业
(分值:90分)
选题明细表
单选每题5分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
导数的运算、导数的几何意义 1,2,3,7,10,12,15
导数几何意义的应用 4,5,8,9,11,13
利用导数的几何意义求解公切线问题 6,14
基础巩固练
A
1.已知函数f(x)=2f′(0)x+ex,则f(2)等于(　　)
[A] e2－4 [B] e2－1
[C] －1 [D] e2+4
【解析】 因为f(x)=2f′(0)x+ex,所以f′(x)=2f′(0)+ex,所以f′(0)=2f′(0)+e0,
解得f′(0)=－1.所以f(x)=－2x+ex,得f(2)=e2－4.故选A.
D
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f′(1)－f(1)等于(　　)
[A] 0 [B] 2
[C] －2 [D] －1
C
[A] 2x+y－8=0 [B] 2x+y－6=0
[C] 2x+y－4=0 [D] x+2y－5=0
A
5.(2025·湖南长沙模拟)若曲线y=(1－x)ex有两条过点A(a,0)的切线,则a的取值范围是(　　)
[A] (－∞,－1)∪(3,+∞)
[B] (－3,1)
[C] (－∞,－3)
[D] (－∞,－3)∪(1,+∞)
D
6.(2025·广东茂名模拟)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是(　　)
B
2
8.(12分)已知函数f(x)=x3+(1－a)x2－a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为－3,求a,b的值;
8.(12分)已知函数f(x)=x3+(1－a)x2－a(a+2)x+b(a,b∈R).
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
综合运用练
9.已知函数f(x)=x3－x和点P(1,－1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
B
D
11.(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是(　　)
B
12.(5分)在18世纪,法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中,第一次提到拉格朗日中值定理,其定理陈述如下:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续不断,在区间(a,b)内可导(存在导函数),在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)－f(a)=f′(x0)·(b－a),那么称x=x0为函数y=f(x)在区间[a,b]上
的中值点.函数f(x)=ex+mx在[－1,1]上的中值点x0的值为　　　　　　　　.
13.(5分)(2025·山西朔州模拟)已知A,B分别为曲线y=2ex+x和直线y=3x－3
上的点,则|AB|的最小值为　　　 　.
14.(13分)已知函数f(x)=(x－1)ln x.
(1)已知函数f(x)=(x－1)ln x的图象与函数g(x)的图象关于直线x=－1对称,试求g(x);
(1)【解】 因为f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=－1对称,
所以f(－1－x)=g(－1+x).
又因为f(－1－x)=[(－1－x)－1]ln(－1－x)=(－2－x)ln(－1－x),
所以g(－1+x)=(－2－x)ln(－1－x),
令t=－1+x,则x=t+1,
所以g(t)=[－2－(t+1)]ln [－1－(t+1)]=(－3－t)ln(－2－t),
因此g(x)=(－3－x)ln(－2－x)(x<－2).
14.(13分)已知函数f(x)=(x－1)ln x.
(2)设x0是方程f(x)=x+1的根,证明:曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
应用创新练
<

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