资源简介 第2节 导数与函数的单调性[课程标准要求]1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y=f(x)在区间(a,b)内可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)内 单调递增f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)内 单调递减f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)内是 常数函数1.在区间(a,b)内,f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.3.若f′(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不恒等于零,则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.1.(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内( )[A] 先增后减 [B] 先减后增[C] 单调递增 [D] 单调递减2. (人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5 T3改编)导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )[A] [B][C] [D]3.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为(,1),则( )[A] a∈(-∞,-3] [B] a=-3[C] a=3 [D] a∈(-∞,3]4.(人教A版选择性必修第二册P97练习 T1改编)已知函数f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( )[A] f(2)>f(3)>f(π)[B] f(3)>f(2)>f(π)[C] f(2)>f(π)>f(3)[D] f(π)>f(3)>f(2)5.(人教A版选择性必修第二册P89例4改编)已知f(x)=log3x,g(x)=ln x.因为f′(x) g′(x),所以f(x)的图象比g(x)的图象更 (第一个空填“>”或“<”,第二个空填“陡峭”或“平缓”). 考点一 不含参函数的单调性1.(2025·广东东莞模拟)函数f(x)=ex-x-2的单调递减区间为( )[A] (-∞,0) [B] (-∞,1)[C] (0,+∞) [D] (1,+∞)2.下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( )[A] y=x3-3x [B] y=ln x-x[C] y=x+ [D] y=x2-3x+13.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-ln x),则当x<0时,f(x)的单调递增区间为 . 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.易错警示: 确定不含参数的函数的单调区间,应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域;二是书写函数的单调区间时不能用并集,要用“,”或“和”隔开.考点二 含参函数的单调性[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.利用导数研究含参函数单调性的策略(1)讨论含参数的函数单调性,要依据参数对导数正负性的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,先确定导数的零点和函数的间断点,然后在函数定义域内讨论.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.[针对训练] 已知函数f(x)=(x2-2ax-2a)ln x-(x2+a2)+(2a+2)x,a∈R,讨论f(x)的单调性.考点三 用导数解决函数单调性的应用问题角度1 比较大小[例2] (2025·安徽安庆模拟)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )[A] a[C] a利用导数比较大小的关键利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.角度2 解不等式[例3] (2025·贵州贵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f′(x)+ex也是偶函数,若f(a)>f(2a-1),则实数a的取值范围是( )[A] (-∞,1)[B] (1,+∞)[C] (,1)[D] (-∞,)∪(1,+∞)利用导数解不等式的关键解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,同时结合新函数的奇偶性变换不等式为f(g(x))>f(h(x)),再利用单调性得到关于g(x),h(x)的不等式,解此不等式得原不等式的解集.角度3 根据函数的单调性求参数[例4] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为( )[A] e2 [B] e [C] e-1 [D] e-2(2)已知函数f(x)=x2ex,若f(x)在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是 . (1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.此时应注意式子f′(x)≥0(或f′(x)≤0)中等号不能省略,否则会漏解.(2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧f′(x)是否异号).[针对训练]1.(角度1)(2025·云南曲靖模拟)已知a=ln(e),b=,c=+1,则a,b,c的大小关系为( )[A] c>a>b [B] b>a>c[C] a>b>c [D] b>c>a2.(角度2)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是( )[A] (0,1) [B] (0,+∞)[C] (-∞,0) [D] (-∞,0)∪(1,+∞)3.(角度3)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)在区间(0,π)上,函数y=存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )[A] (-∞,1) [B] (-∞,][C] (-∞,) [D] (-∞,1](分值:100分)选题明细表知识点、方法 题号利用导数判断函数的单调性 2,3,8,9,15利用导数比较大小或解不等式 1,4,5,6利用导数求参数的取值范围 7,10,11,12,13,14,16单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )[A] f(b)>f(c)>f(a) [B] f(b)>f(c)=f(e)[C] f(c)>f(b)>f(a) [D] f(e)>f(d)>f(c)2.若函数f(x)=x3-x2+ax+4 的单调递减区间是[-1,4] ,则a等于( )[A] -4 [B] -1 [C] 1 [D] 43.(2025·广东深圳模拟)f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )[A] [B][C] [D]4. (2025·广西钦州模拟)若偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在(0,+∞)上的图象如图所示,则不等式f(x)f′(x)>0的解集是( )[A] (-∞,-1)∪(0,1)[B] (-1,0)∪(1,+∞)[C] (-∞,-1)∪(1,+∞)[D] (-1,0)∪(0,1)5.(2025·江西九江模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)[A] (,+∞) [B] (0,)[C] (0,) [D] (,)6.设函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f′(x)[A] f(x)[B] f(x)>g(x)[C] f(x)+g(a)[D] f(x)+g(b)7.(5分)(2025·江苏常州模拟)若函数f(x)=x3-ax2+x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 . 8.(12分)(2025·湖南娄底模拟)已知f(x)=-a(ln x+),讨论函数f(x)的单调性.9.(多选题)(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=ln(1+x)-kln(1-x)的大致图象可能为( )[A] [B] [C] [D]10.(多选题)已知函数f(x)=ax++aln 在x∈(,2)上有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )[A] -e [B] -2 [C] - [D] -11.(2025·河南平顶山模拟)已知函数f(x)=aex-ln x 在区间(1,3)上单调递减,则实数a的最大值为( )[A] [B] [C] [D]12.已知函数f(x)=x2+ax-ln x,若m,n∈[1,+∞),且>3恒成立,则a的取值范围是( )[A] [1,+∞) [B] [3-2,+∞)[C] (2,+∞) [D] [2,+∞)13.(5分)已知函数f(x)=x2+2cos x,x∈R,若f(loa)+f(log3a)≤2f(1),则实数a的取值范围为 . 14.(15分)已知函数f(x)=x3+x2-2ax-3,g(x)=x3+5x-7.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,且当x∈[-2,0]时,不等式f(x)15.(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=,则( )[A] 双曲正弦函数是增函数[B] 双曲余弦函数是增函数[C] 双曲正切函数是增函数[D] tanh(x+y)=16.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)函数f(x)的导函数为f′(x),若在f(x)的定义域内存在一个区间D,f(x)在区间D上单调递增,f′(x)在区间D上单调递减,则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)=aex-x2,区间(0,)是其一个“渐缓增区间”,那么实数a的取值范围是 . 第2节 导数与函数的单调性(解析版 )[课程标准要求]1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y=f(x)在区间(a,b)内可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)内 单调递增f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)内 单调递减f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)内是 常数函数1.在区间(a,b)内,f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.3.若f′(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不恒等于零,则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.1.(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内( )[A] 先增后减 [B] 先减后增[C] 单调递增 [D] 单调递减【答案】 D【解析】 因为当x∈(0,π)时,f′(x)=-sin x-1<0,所以f(x)在(0,π)内单调递减.故选D.2. (人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5 T3改编)导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )[A] [B][C] [D]【答案】 D【解析】 由题图可知当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0;所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,D选项符合.故选D.3.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为(,1),则( )[A] a∈(-∞,-3] [B] a=-3[C] a=3 [D] a∈(-∞,3]【答案】 B【解析】 由题意得f′(x)=+2x+a<0的解集为(,1),所以不等式2x2+ax+1<0的解集为(,1),所以+1=-,解得a=-3.故选B.4.(人教A版选择性必修第二册P97练习 T1改编)已知函数f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( )[A] f(2)>f(3)>f(π)[B] f(3)>f(2)>f(π)[C] f(2)>f(π)>f(3)[D] f(π)>f(3)>f(2)【答案】 D【解析】 f′(x)=1-cos x,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上单调递增,所以f(π)>f(3)>f(2).故选D.5.(人教A版选择性必修第二册P89例4改编)已知f(x)=log3x,g(x)=ln x.因为f′(x) g′(x),所以f(x)的图象比g(x)的图象更 (第一个空填“>”或“<”,第二个空填“陡峭”或“平缓”). 【答案】 < 平缓【解析】 由题意知,x>0,因为f′(x)=>0,g′(x)=>0,且=ln 3>ln e=1,所以f′(x)考点一 不含参函数的单调性1.(2025·广东东莞模拟)函数f(x)=ex-x-2的单调递减区间为( )[A] (-∞,0) [B] (-∞,1)[C] (0,+∞) [D] (1,+∞)【答案】 A【解析】 f′(x)=ex-1,令f′(x)<0可得ex<1,即x<0,所以当x∈(-∞,0)时,函数单调递减.故选A.2.下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( )[A] y=x3-3x [B] y=ln x-x[C] y=x+ [D] y=x2-3x+1【答案】 A【解析】 对于A,y=x3-3x,其导数y′=3x2-3,在区间(1,+∞)上,y′>0,函数为增函数,符合题意;对于B,y=ln x-x,其导数y′=-1=,在区间(1,+∞)上,y′<0,函数为减函数,不符合题意;对于C,y=x+,其导数y′=1-,在区间(1,2)上,y′<0,函数单调递减,不符合题意;对于D,y=x2-3x+1是二次函数,在区间(1,)上单调递减,不符合题意.故选A.3.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-ln x),则当x<0时,f(x)的单调递增区间为 . 【答案】 (-1,0)【解析】 当x>0时,f′(x)=-ln x,由f′(x)>0,解得0确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.易错警示: 确定不含参数的函数的单调区间,应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域;二是书写函数的单调区间时不能用并集,要用“,”或“和”隔开.考点二 含参函数的单调性[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.【解】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-(2a+1)==.当a>0时,令f′(x)=0,得x=1或x=.(1)当<1,即a>时,则由f′(x)>0,得01;由f′(x)<0,得所以函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)当=1,即a=时,f′(x)=≥0恒成立,且f′(x)不恒为零,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3)当>1,即0则由f′(x)>0,得x>或0由f′(x)<0,得1所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.综上,当a>时,函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0利用导数研究含参函数单调性的策略(1)讨论含参数的函数单调性,要依据参数对导数正负性的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,先确定导数的零点和函数的间断点,然后在函数定义域内讨论.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.[针对训练] 已知函数f(x)=(x2-2ax-2a)ln x-(x2+a2)+(2a+2)x,a∈R,讨论f(x)的单调性.【解】 由函数f(x)=(x2-2ax-2a)ln x-(x2+a2)+(2a+2)x,可得f′(x)=(2x-2a)ln x+2-=2(x-a)(ln x+)(x>0),设g(x)=ln x+,则g′(x)==,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(1)=1>0,即ln x+>0,若a≤0,则x-a>0,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.考点三 用导数解决函数单调性的应用问题角度1 比较大小[例2] (2025·安徽安庆模拟)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )[A] a[C] a【答案】 C【解析】 设f(x)=,则f′(x)=(x>0).令f′(x)<0,解得x>,因此f(x)在(,+∞)上单调递减,因为a===f(4),b===f(e),c===f(),且4>e>>,所以f(4)利用导数比较大小的关键利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.角度2 解不等式[例3] (2025·贵州贵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f′(x)+ex也是偶函数,若f(a)>f(2a-1),则实数a的取值范围是( )[A] (-∞,1)[B] (1,+∞)[C] (,1)[D] (-∞,)∪(1,+∞)【答案】 D【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(-x)=f(x),所以-f′(-x)=f′(x),则f′(-x)=-f′(x).又因为函数f′(x)+ex也是偶函数,所以f′(-x)+e-x=f′(x)+ex,得f′(x)=(e-x-ex),因为y=e-x为减函数,y=ex为增函数,所以f′(x)=(e-x-ex)为减函数,又f′(0)=×(e0-e0)=0,所以当x>0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,根据偶函数的性质可知f(a)>f(2a-1),即f(|a|)>f(|2a-1|),即|a|<|2a-1|,得a>1或a<,所以不等式的解集为(-∞,)∪(1,+∞).故选D.利用导数解不等式的关键解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,同时结合新函数的奇偶性变换不等式为f(g(x))>f(h(x)),再利用单调性得到关于g(x),h(x)的不等式,解此不等式得原不等式的解集.角度3 根据函数的单调性求参数[例4] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为( )[A] e2 [B] e [C] e-1 [D] e-2(2)已知函数f(x)=x2ex,若f(x)在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是 . [溯源探本] 本例题(1)源于人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4.【答案】(1)C (2)(-3,-2)∪(-1,0)【解析】 (1)依题意可知,f′(x)=aex-≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥,设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g′(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥,即a≥=e-1,即a的最小值为e-1.故选C.(2)由题意得,f′(x)=ex(x2+2x),令f′(x)=0,得x=0或x=-2,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,0)时,f′(x)<0,故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,又因为f(x)在[t,t+1]上不单调,所以或得-3即实数t的取值范围是(-3,-2)∪(-1,0).(1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.此时应注意式子f′(x)≥0(或f′(x)≤0)中等号不能省略,否则会漏解.(2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧f′(x)是否异号).[针对训练]1.(角度1)(2025·云南曲靖模拟)已知a=ln(e),b=,c=+1,则a,b,c的大小关系为( )[A] c>a>b [B] b>a>c[C] a>b>c [D] b>c>a【答案】 B【解析】 设f(x)=,则f′(x)=(x>0),当00,f(x)在(0,e)上单调递增;当x>e时,f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)≤f(e)=,则>,>,即b>c,b>a;由==<0,可知ca>c.故选B.2.(角度2)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是( )[A] (0,1) [B] (0,+∞)[C] (-∞,0) [D] (-∞,0)∪(1,+∞)【答案】 A【解析】 因为f′(x)=3xln 3-2单调递增,且f′(0)=ln 3-2<0,f′(1)=3ln 3-2>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得f′(x0)=0,所以当xx0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又f(0)=f(1)=0,且03.(角度3)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)在区间(0,π)上,函数y=存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )[A] (-∞,1) [B] (-∞,][C] (-∞,) [D] (-∞,1]【答案】 C【解析】 函数y=,求导得y′=,依题意,不等式xsin x-a+cos x>0在(0,π)上有解,即a令f(x)=xsin x+cos x,x∈(0,π),求导得f′(x)=xcos x,当x∈(0,)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(,π)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,则当x=时,f(x)max=,因此a<,所以实数a的取值范围是(-∞,).故选C.(分值:100分)选题明细表知识点、方法 题号利用导数判断函数的单调性 2,3,8,9,15利用导数比较大小或解不等式 1,4,5,6利用导数求参数的取值范围 7,10,11,12,13,14,16单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )[A] f(b)>f(c)>f(a) [B] f(b)>f(c)=f(e)[C] f(c)>f(b)>f(a) [D] f(e)>f(d)>f(c)【答案】 D【解析】 由题意可知,当x∈[c,e]时,f′(x)≥0,函数单调递增,所以f(e)>f(d)>f(c).故选D.2.若函数f(x)=x3-x2+ax+4 的单调递减区间是[-1,4] ,则a等于( )[A] -4 [B] -1 [C] 1 [D] 4【答案】 A【解析】 易知f′(x)=x2-3x+a ,由题意知f′(x)≤0 的解集为[-1,4] ,则-1 与4是方程x2-3x+a=0 的两个根,故a=-1×4=-4 .故选A.3.(2025·广东深圳模拟)f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )[A] [B][C] [D]【答案】 C【解析】 由导函数的图象可知,当x<0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当0当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,只有选项C符合.故选C.4. (2025·广西钦州模拟)若偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在(0,+∞)上的图象如图所示,则不等式f(x)f′(x)>0的解集是( )[A] (-∞,-1)∪(0,1)[B] (-1,0)∪(1,+∞)[C] (-∞,-1)∪(1,+∞)[D] (-1,0)∪(0,1)【答案】 B【解析】 由题图可知,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则在区间(0,+∞)上f′(x)>0.又由f(x)为偶函数,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,则在区间(-∞,0)上f′(x)<0.由f(-1)=f(1)=0可得,在区间(-∞,-1)上f′(x)<0,f(x)>0.在区间(-1,0)上f′(x)<0,f(x)<0.在区间(0,1)上f′(x)>0,f(x)<0.在区间(1,+∞)上f′(x)>0,f(x)>0.故不等式f(x)f′(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.5.(2025·江西九江模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)[A] (,+∞) [B] (0,)[C] (0,) [D] (,)【答案】 D【解析】 当x≥0时,f′(x)=ex+cos x,因为ex≥1,cos x∈[-1,1],所以f′(x)=ex+cos x>0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(-π)=f(π)=eπ,所以由f(2x-1)可得-π<2x-1<π,解得x∈(,).故选D.6.设函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f′(x)[A] f(x)[B] f(x)>g(x)[C] f(x)+g(a)[D] f(x)+g(b)【答案】 C【解析】 对于A,B,不妨设f(x)=-2x,g(x)=1,则f′(x)=-2,g′(x)=0,满足题意,若x=-1∈(a,b),则f(-1)=2>1=g(x),故A错误;若x=0∈(a,b),则f(0)=0<1=g(x),故B错误;对于C,D,因为f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f′(x)g(x)+f(b),故D错误.故选C.7.(5分)(2025·江苏常州模拟)若函数f(x)=x3-ax2+x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 . 【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】 f′(x)=x2-2ax+1,因为函数f(x)=x3-ax2+x存在单调递减区间,所以存在x,使得f′(x)<0成立,所以导函数的判别式Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1,所以实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).8.(12分)(2025·湖南娄底模拟)已知f(x)=-a(ln x+),讨论函数f(x)的单调性.【解】 由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=-a()=.①当a≤1时,因为x>0,所以ex>1,所以ex-a>0.所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.②当1由f′(x)>0,解得01.所以f(x)在(ln a,1)上单调递减,在(0,ln a),(1,+∞)上单调递增.③当a=e时,f′(x)≥0(当且仅当x=1时,取等号)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.④当a>e时,由f′(x)<0,解得10,解得0ln a.所以f(x)在(1,ln a)上单调递减,在(0,1),(ln a,+∞)上单调递增.综上,当a≤1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当1当a=e时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>e时,f(x)在(1,ln a)上单调递减,在(0,1),(ln a,+∞)上单调递增.9.(多选题)(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=ln(1+x)-kln(1-x)的大致图象可能为( )[A] [B] [C] [D]【答案】 BCD【解析】 因为f(x)=ln(1+x)-kln(1-x),所以解得-1故f(x)的定义域为(-1,1).f′(x)=+=,f(-x)=ln(1-x)-kln(1+x),因为当k>0时,f′(x)=+>0在区间(-1,1)上恒成立,所以f(x)在区间(-1,1)上单调递增,当k=1时,f(-x)=-f(x),此时f(x)为奇函数,故选项B正确;当k=0时,f(x)=ln(1+x),易知其图象为选项D,故选项D正确;当k<0时,由f′(x)=0,得x==1+,又-(-1)=>0,所以-1<<1,即f(x)在区间(-1,)上单调递增,在区间(,1)上单调递减.综上可知,f(x)在区间(-1,1)上不单调,故选项A不正确;当k=-1时,f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-1,0)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减,故选项C正确.故选BCD.10.(多选题)已知函数f(x)=ax++aln 在x∈(,2)上有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )[A] -e [B] -2 [C] - [D] -【答案】 BD【解析】 由题意可知函数在x∈(,2)上有三个单调区间,等价于f′(x)在x∈(,2)上有两个不同的变号零点.f′(x)=,令f′(x)=0,则必有一根x1=1,即ax+ex=0在x∈(,2)上有唯一不为1的根,则有a=-有唯一不为1的根,令g(x)=-,则g′(x)=-,故当0,g(x)单调递增,当1即a∈(-,-2].故选BD.11.(2025·河南平顶山模拟)已知函数f(x)=aex-ln x 在区间(1,3)上单调递减,则实数a的最大值为( )[A] [B] [C] [D]【答案】 C【解析】 由题意得f′(x)=aex-,x∈(1,3),函数f(x)=aex-ln x在区间(1,3)上单调递减,即f′(x)≤0在(1,3)上恒成立.所以aex-≤0在(1,3)上恒成立,即a≤在(1,3)上恒成立,令g(x)=,x∈(1,3),则g′(x)=-<0在(1,3)上恒成立.所以g(x)在(1,3)上单调递减,所以g(3)所以a≤,即实数a的最大值为.故选C.12.已知函数f(x)=x2+ax-ln x,若m,n∈[1,+∞),且>3恒成立,则a的取值范围是( )[A] [1,+∞) [B] [3-2,+∞)[C] (2,+∞) [D] [2,+∞)【答案】 D【解析】 假设m>n,由>3,得f(m)-3m>f(n)-3n,令g(x)=f(x)-3x=x2+(a-3)x-ln x,因此函数g(x)在区间[1,+∞)上单调递增.g′(x)=2x+a-3-=(x>0),因为g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以1>-且g′(1)≥0,解得a≥2.故选D.13.(5分)已知函数f(x)=x2+2cos x,x∈R,若f(loa)+f(log3a)≤2f(1),则实数a的取值范围为 . 【答案】 [,3]【解析】 由f(-x)=(-x)2+2cos(-x)=x2+2cos x=f(x),知函数f(x)是定义在R上的偶函数,又f′(x)=2(x-sin x),令y=x-sin x,当x∈(0,+∞)时,有y′=1-cos x≥0,故y=x-sin x在(0,+∞)上单调递增,所以y>0,即x-sin x>0在(0,+∞)上恒成立,所以f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(loa)+f(log3a)≤2f(1),则f(-log3a)+f(log3a)≤2f(1),所以2f(log3a)≤2f(1),即f(log3a)≤f(1),即f(|log3a|)≤f(1),所以|log3a|≤1,即-1≤log3a≤1,解得≤a≤3.14.(15分)已知函数f(x)=x3+x2-2ax-3,g(x)=x3+5x-7.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,且当x∈[-2,0]时,不等式f(x)【解】 (1)当a=1时,f(x)=x3-x2-2x-3,定义域为R,所以f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),令f′(x)>0,得x<-1或x>2,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞).(2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2),令f′(x)=0,得x=2或x=-a,因为函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,所以-a∈(-2,0),即0又因为在(-2,-a)上,f′(x)>0,在(-a,0)上,f′(x)<0,f(x)在[-2,0]上的最大值为f(-a),所以当x∈[-2,0]时,不等式f(x)所以-a3+·a2+2a2-3所以a2-5a+4<0,解得1综上所述,a的取值范围是(1,2).15.(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=,则( )[A] 双曲正弦函数是增函数[B] 双曲余弦函数是增函数[C] 双曲正切函数是增函数[D] tanh(x+y)=【答案】 ACD【解析】 (sinh x)′=(ex+e-x)>0,所以双曲正弦函数是增函数,A正确;(cosh x)′=(ex-e-x),所以y=cosh x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,B错误;tanh x==,(tanh x)′==>0,所以双曲正切函数是增函数,C正确;tanh(x+y)=,=====tanh(x+y),D正确.故选ACD.16.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)函数f(x)的导函数为f′(x),若在f(x)的定义域内存在一个区间D,f(x)在区间D上单调递增,f′(x)在区间D上单调递减,则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)=aex-x2,区间(0,)是其一个“渐缓增区间”,那么实数a的取值范围是 . 【答案】 [,]【解析】 对于函数f(x)=aex-x2,f′(x)=aex-2x,令g(x)=aex-2x,则g′(x)=aex-2,因为f′(x)在区间(0,)上单调递减,所以aex-2≤0恒成立,即a≤恒成立,又>=,所以a≤,又f(x)在区间(0,)上单调递增,所以f′(x)=aex-2x≥0恒成立,即a≥恒成立,令h(x)=,x∈[0,],因为h′(x)=>0恒成立,所以h(x)max==,所以a≥,综上,得≤a≤.(第15页)(共86张PPT)第2节 导数与函数的单调性1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).[课程标准要求]必备知识课前回顾知识梳理函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y=f(x)在区间(a,b)内可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)内f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)内f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)内是单调递增单调递减常数函数重要结论1.在区间(a,b)内,f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.3.若f′(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不恒等于零,则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.对点自测1.(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内( )[A] 先增后减 [B] 先减后增[C] 单调递增 [D] 单调递减D【解析】 因为当x∈(0,π)时,f′(x)=-sin x-1<0,所以f(x)在(0,π)内单调递减.故选D.对点自测2. (人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5 T3改编)导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )D[A] [B] [C] [D]对点自测【解析】 由题图可知当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0;所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,D选项符合.故选D.对点自测[A] a∈(-∞,-3] [B] a=-3[C] a=3 [D] a∈(-∞,3]B对点自测4.(人教A版选择性必修第二册P97练习 T1改编)已知函数f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( )[A] f(2)>f(3)>f(π)[B] f(3)>f(2)>f(π)[C] f(2)>f(π)>f(3)[D] f(π)>f(3)>f(2)D对点自测【解析】 f′(x)=1-cos x,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上单调递增,所以f(π)>f(3)>f(2).故选D.对点自测5.(人教A版选择性必修第二册P89例4改编)已知f(x)=log3x,g(x)=ln x.因为f′(x) g′(x),所以f(x)的图象比g(x)的图象更 (第一个空填“>”或“<”,第二个空填“陡峭”或“平缓”). <平缓关键能力课堂突破考点一 不含参函数的单调性1.(2025·广东东莞模拟)函数f(x)=ex-x-2的单调递减区间为( )[A] (-∞,0) [B] (-∞,1)[C] (0,+∞) [D] (1,+∞)A【解析】 f′(x)=ex-1,令f′(x)<0可得ex<1,即x<0,所以当x∈(-∞,0)时,函数单调递减.故选A.A2.下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( )3.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-ln x),则当x<0时,f(x)的单调递增区间为 . (-1,0)【解析】 当x>0时,f′(x)=-ln x,由f′(x)>0,解得0确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.题后悟通易错警示: 确定不含参数的函数的单调区间,应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域;二是书写函数的单调区间时不能用并集,要用“,”或“和”隔开.解题策略考点二 含参函数的单调性[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.利用导数研究含参函数单调性的策略(1)讨论含参数的函数单调性,要依据参数对导数正负性的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,先确定导数的零点和函数的间断点,然后在函数定义域内讨论.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.解题策略若a≤0,则x-a>0,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.考点三 用导数解决函数单调性的应用问题角度1 比较大小C[A] a[C] a解题策略利用导数比较大小的关键利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.角度2 解不等式[例3] (2025·贵州贵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f′(x)+ex也是偶函数,若f(a)>f(2a-1),则实数a的取值范围是( )D解题策略利用导数解不等式的关键解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,同时结合新函数的奇偶性变换不等式为f(g(x))>f(h(x)),再利用单调性得到关于g(x),h(x)的不等式,解此不等式得原不等式的解集.角度3 根据函数的单调性求参数[例4] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为( )[A] e2 [B] e [C] e-1 [D] e-2C(2)已知函数f(x)=x2ex,若f(x)在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是 . (-3,-2)∪(-1,0)[溯源探本] 本例题(1)源于人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4.解题策略(1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.此时应注意式子f′(x)≥0(或f′(x)≤0)中等号不能省略,否则会漏解.解题策略(2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧f′(x)是否异号).[针对训练]B[A] c>a>b [B] b>a>c[C] a>b>c [D] b>c>a2.(角度2)(2025·北京模拟)已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是( )[A] (0,1) [B] (0,+∞)[C] (-∞,0) [D] (-∞,0)∪(1,+∞)A【解析】 因为f′(x)=3xln 3-2单调递增,且f′(0)=ln 3-2<0,f′(1)=3ln 3-2>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得f′(x0)=0,所以当x当x>x0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又f(0)=f(1)=0,且0C课时作业(分值:100分)选题明细表单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.知识点、方法 题号利用导数判断函数的单调性 2,3,8,9,15利用导数比较大小或解不等式 1,4,5,6利用导数求参数的取值范围 7,10,11,12,13,14,16基础巩固练1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )[A] f(b)>f(c)>f(a) [B] f(b)>f(c)=f(e)[C] f(c)>f(b)>f(a) [D] f(e)>f(d)>f(c)D基础巩固练【解析】 由题意可知,当x∈[c,e]时,f′(x)≥0,函数单调递增,所以f(e)>f(d)>f(c).故选D.[A] -4 [B] -1 [C] 1 [D] 4A【解析】 易知f′(x)=x2-3x+a ,由题意知f′(x)≤0 的解集为[-1,4] ,则-1 与4是方程x2-3x+a=0 的两个根,故a=-1×4=-4 .故选A.3.(2025·广东深圳模拟)f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )C[A] [B] [C] [D]【解析】 由导函数的图象可知,当x<0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当0当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,只有选项C符合.故选C.4. (2025·广西钦州模拟)若偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在(0,+∞)上的图象如图所示,则不等式f(x)f′(x)>0的解集是( )[A] (-∞,-1)∪(0,1)[B] (-1,0)∪(1,+∞)[C] (-∞,-1)∪(1,+∞)[D] (-1,0)∪(0,1)B【解析】 由题图可知,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则在区间(0,+∞)上f′(x)>0.又由f(x)为偶函数,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,则在区间(-∞,0)上f′(x)<0.由f(-1)=f(1)=0可得,在区间(-∞,-1)上f′(x)<0,f(x)>0.在区间(-1,0)上f′(x)<0,f(x)<0.在区间(0,1)上f′(x)>0,f(x)<0.在区间(1,+∞)上f′(x)>0,f(x)>0.故不等式f(x)f′(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.5.(2025·江西九江模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)D【解析】 当x≥0时,f′(x)=ex+cos x,因为ex≥1,cos x∈[-1,1],所以f′(x)=ex+cos x>0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(-π)=f(π)=eπ,所以由f(2x-1)可得-π<2x-1<π,6.设函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f′(x)[A] f(x)[B] f(x)>g(x)[C] f(x)+g(a)[D] f(x)+g(b)C【解析】 对于A,B,不妨设f(x)=-2x,g(x)=1,则f′(x)=-2,g′(x)=0,满足题意,若x=-1∈(a,b),则f(-1)=2>1=g(x),故A错误;若x=0∈(a,b),则f(0)=0<1=g(x),故B错误;对于C,D,因为f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f′(x)令h(x)=f(x)-g(x),则h′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以h(x)在R上单调递减,因为x∈(a,b),即a则f(x)+g(a)则f(x)+g(b)>g(x)+f(b),故D错误.故选C.(-∞,-1)∪(1,+∞)②当1由f′(x)>0,解得01.所以f(x)在(ln a,1)上单调递减,在(0,ln a),(1,+∞)上单调递增.③当a=e时,f′(x)≥0(当且仅当x=1时,取等号)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.④当a>e时,由f′(x)<0,解得10,解得0ln a.所以f(x)在(1,ln a)上单调递减,在(0,1),(ln a,+∞)上单调递增.综上,当a≤1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当1当a=e时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>e时,f(x)在(1,ln a)上单调递减,在(0,1),(ln a,+∞)上单调递增.综合运用练9.(多选题)(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=ln(1+x)-kln(1-x)的大致图象可能为( )BCD[A] [B] [C] [D]当k=-1时,f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-1,0)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减,故选项C正确.故选BCD.BD11.(2025·河南平顶山模拟)已知函数f(x)=aex-ln x 在区间(1,3)上单调递减,则实数a的最大值为( )CD【解析】 由f(-x)=(-x)2+2cos(-x)=x2+2cos x=f(x),知函数f(x)是定义在R上的偶函数,又f′(x)=2(x-sin x),令y=x-sin x,当x∈(0,+∞)时,有y′=1-cos x≥0,故y=x-sin x在(0,+∞)上单调递增,所以y>0,即x-sin x>0在(0,+∞)上恒成立,所以f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,且当x∈[-2,0]时,不等式f(x)【解】 (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2),令f′(x)=0,得x=2或x=-a,因为函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,所以-a∈(-2,0),即0应用创新练ACD 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第三章 第2节 导数与函数的单调性.docx 第三章 第2节 导数与函数的单调性.pptx