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微课培优2　三次函数的图象与性质
1.三次函数的图象与基本性质
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2－12ac=4(b2－3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:
项目 a>0 a<0
图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
单调性 (－∞,x1),(x2,+∞) 上单调递增; (x1,x2)上单调递减 R上单调递增 (－∞,x1),(x2,+∞) 上单调递减; (x1,x2)上单调递增 R上单调递减
极值点 两个极值点x1,x2 无极值点 两个极值点x1,x2 无极值点
对称性 三次函数的图象是中心对称曲线,对称中心为点(－,f(－))
设f(m－x)+f(m+x)=2n,得[a(m－x)3+b(m－x)2+c(m－x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n.根据多项式恒等则其对应系数相等,可得m=－且n=am3+bm2+mc+d,从而三次函数f(x)的图象是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.
2.三次方程f(x)=0的实根个数
(1)当Δ≤0,即b2－3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.
(2)当Δ>0,即b2－3ac>0时,设f′(x)=0的两根分别为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.
3.三次函数f(x)图象的切线条数
过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)的切线,有且仅有三条;
(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作f(x)的切线,有且仅有一条;
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.
切线条数口诀:内一、上二、外三.
类型一　利用导数研究三次函数的对称性
[典例1] (多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3－3ax2+1,则(　　)
[A] 当a>1时,f(x)有三个零点
[B] 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
[C] 存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
[D] 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
利用导数求三次函数图象对称中心的一般步骤
第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x);
第二步,对f′(x)求导,得f″(x);
第三步,解方程f″(x)=0,得实数根x0;
第四步,求f(x0),得函数f(x)图象的对称中心(x0,f(x0)).
[拓展演练1] 已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g′(x0)=0(其中函数g(x)=f′(x)).若实数m,n满足则m+n等于(　　)
[A] －4 [B] －3 [C] －2 [D] －1
类型二　利用极值研究三次函数的零点
[典例2] (2025·江西九江模拟)已知函数f(x)=x3－4mx2－3m2x+2,其中m≥0.
(1)若f(x)的极小值为－16,求m的值;
(2)讨论f(x)的零点个数.
【解】 (1)由题意得f′(x)=3x2－8mx－3m2=(x－3m)(3x+m),其中m≥0.当m=0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)无极值;当m>0时,令f′(x)>0,解得x<－或x>3m;令f′(x)<0,解得－(2)由(1)知当m>0时,f(x)的极小值为 f(3m)=2－18m3,f(x)的极大值为f(－)=2+m3>0.当2－18m3<0,即m>时,f(x)有三个零点,如图中曲线①;当2－18m3=0,即 m=时,f(x) 有两个零点,如图中曲线②;当 2－18m3>0,即0时,f(x)有三个零点.
利用极值求解三次函数零点问题的基本思路
(1)若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点.
(2)若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时,f(x)有1个零点;当f(x1)·f(x2)=0时,f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时,f(x) 有3个零点.
[拓展演练2] 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点,求实数t的取值范围.
类型三　利用导数研究三次函数的切线问题
[典例3] (2025·广东汕头模拟)若过点(m,n)(m>0)可作曲线y=x3－3x三条切线,则(　　)
[A] n<－3m
[B] n>m3－3m
[C] n=m3－3m或n=－3m
[D] －3m利用导数求解三次函数切线问题的两种方法
(1)通法:求解过点P的三次函数f(x)的切线条数问题,一般是先设出切点Q(t,f(t)),写出曲线f(x)在x=t处的切线方程,把点P的坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
(2)优解:利用导数求出三次函数f(x)的图象的对称中心,再求出曲线f(x)在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中,就可得“外三”所对应的纵坐标的取值范围(此法一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法).
[拓展演练3] 已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f(x)=x3－tx(t为给定的正常数)的图象作两条切线,则z=a2+(b－1)2的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] 1+t2 [D]
(分值:80分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心为(　　)
[A] (0,0) [B] (1,－2)
[C] (,－) [D] (2,－4)
2.(2025·湖南长沙模拟)函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件是(　　)
[A] a≠0,且a>4b
[B] a>0,且a<4b
[C] a<0,且a>4b,b≠0
[D] a<0,且a<4b,b≠0
3.(2025·宁夏银川模拟)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3－3mx的图象上,且过点P仅有一条直线与f(x)的图象相切,则实数m的取值范围为(　　)
[A](0,)∪(,)
[B] (－∞,0)∪(,+∞)
[C] (0,)∪(,+∞)
[D] (－∞,)∪(,+∞)
4.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3－x+1,则(　　)
[A] f(x)有两个极值点
[B] f(x)有三个零点
[C] 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
[D] 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
5.(2025·北京通州模拟)已知函数f(x)=(x－a)·(x－b)(x－c),且a≤b≤c,下面四个判断,正确的个数为(　　)
①f′(b)≤0;
②若b=,则f(x)的图象关于点(b,0)对称;
③若b=,则对于 x∈R,f′(x)≥f′(b);
④若b≤,则f′(c)≥f′(a).
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
6.当直线kx－y－k+1=0(k∈R)和曲线E:y=ax3+bx2+(ab≠0)交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
7.(2025·江苏南通模拟)已知曲线y=－x3－3x2+9x+9与曲线y=交于点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),则(xi+yi)等于(　　)
[A] －16 [B] －12 [C] －9 [D] －6
8.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若y=|f(x)－2|的图象关于直线x=1对称,则下列说法正确的是(　　)
[A] y=|f(x)|的图象也关于直线x=1对称
[B] y=f(x)的图象关于(1,2)中心对称
[C] a+b+c+d=2
[D] 3a+b=0
9.(5分)(2025·黑龙江牡丹江模拟)函数f(x)=有且只有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(5分)(2025·广西梧州模拟)已知函数f(x)=a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(a>0),设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处切线的斜率为ki(i=1,2,3),若x1,x2,x3均不相等,且k2=－2,则k1+4k3的最小值为　　　　.
11.(13分)已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=－和x=1处取得极值,且f(x)在(－1,f(－1))处的切线方程为y=kx+4.
(1)若函数g(x)=f(x)－mx的图象上有两条与x轴平行的切线,求实数m的取值范围;
(2)若函数h(x)=2x2+8x+n与f(x)在[－2,1]上有两个交点,求实数n的取值范围.
12.(15分)(2025·贵州贵阳模拟)给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数y=f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“固点”,且该“固点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题:已知函数f(x)=x3+(3a－3)x2+(6a－9a2)x－5a(a∈R).
(1)当a=－1时,试求y=f(x)的对称中心;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a=2时,f(x)=m有三个不相等的实数根x1微课培优2　三次函数的图象与性质
1.三次函数的图象与基本性质
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2－12ac=4(b2－3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:
项目 a>0 a<0
图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
单调性 (－∞,x1),(x2,+∞) 上单调递增; (x1,x2)上单调递减 R上单调递增 (－∞,x1),(x2,+∞) 上单调递减; (x1,x2)上单调递增 R上单调递减
极值点 两个极值点x1,x2 无极值点 两个极值点x1,x2 无极值点
对称性 三次函数的图象是中心对称曲线,对称中心为点(－,f(－))
设f(m－x)+f(m+x)=2n,得[a(m－x)3+b(m－x)2+c(m－x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n.根据多项式恒等则其对应系数相等,可得m=－且n=am3+bm2+mc+d,从而三次函数f(x)的图象是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.
2.三次方程f(x)=0的实根个数
(1)当Δ≤0,即b2－3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.
(2)当Δ>0,即b2－3ac>0时,设f′(x)=0的两根分别为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.
3.三次函数f(x)图象的切线条数
过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)的切线,有且仅有三条;
(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作f(x)的切线,有且仅有一条;
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.
切线条数口诀:内一、上二、外三.
类型一　利用导数研究三次函数的对称性
[典例1] (多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3－3ax2+1,则(　　)
[A] 当a>1时,f(x)有三个零点
[B] 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
[C] 存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
[D] 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第二册P99习题5.3 T13.
【答案】 AD
【解析】 A选项,f′(x)=6x2－6ax=6x(x－a),由于a>1,
故当x∈(－∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
则f(x)在x=0处取得极大值,在x=a处取得极小值,
由f(0)=1>0,f(a)=1－a3<0,
则f(0)f(a)<0,
根据函数零点存在定理知f(x)在(0,a)上有一个零点,
又f(－1)=－1－3a<0,f(2a)=4a3+1>0,
则f(－1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,
则f(x)在(－1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是a>1时,f(x)有三个零点,A选项正确;
B选项,f′(x)=6x(x－a),a<0,
当x∈(a,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
此时f(x)在x=0处取得极小值,B选项错误;
C选项,假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)图象的对称轴,
即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b－x),
即2x3－3ax2+1=2(2b－x)3－3a(2b－x)2+1,
根据二项式定理,等式右边2(2b－x)3的展开式中含有x3的项为2(2b)0(－x)3=－2x3,
等式左右两边x3的系数不相等,原等式不可能恒成立,所以不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)图象的对称轴,C选项错误;
D选项,
法一(利用对称中心的表达式化简)
f(1)=3－3a,若存在这样的a,使得(1,3－3a)为f(x)图象的对称中心,
则f(x)+f(2－x)=6－6a,
又f(x)+f(2－x)=2x3－3ax2+1+2(2－x)3－3a(2－x)2+1=(12－6a)x2+(12a－24)x+18－12a,
于是6－6a=(12－6a)x2+(12a－24)x+18－12a,
即解得a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))是图象f(x)的对称中心,D选项正确.
法二(直接利用拐点结论)
任何三次函数图象都有对称中心,对称中心的横坐标是其二阶导数的零点,
f(x)=2x3－3ax2+1,f′(x)=6x2－6ax,f″(x)=12x－6a,
由f″(x)=0 x=,于是该三次函数图象的对称中心为(,f()),
由题意(1,f(1))为对称中心,故=1 a=2,
即存在a=2,使得点(1,f(1))是f(x)图象的对称中心,D选项正确.故选AD.
利用导数求三次函数图象对称中心的一般步骤
第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x);
第二步,对f′(x)求导,得f″(x);
第三步,解方程f″(x)=0,得实数根x0;
第四步,求f(x0),得函数f(x)图象的对称中心(x0,f(x0)).
[拓展演练1] 已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g′(x0)=0(其中函数g(x)=f′(x)).若实数m,n满足则m+n等于(　　)
[A] －4 [B] －3 [C] －2 [D] －1
【答案】 A
【解析】 令f(x)=x3+6x2+13x,则f′(x)=3x2+12x+13,
令h(x)=3x2+12x+13,
h′(x)=6x+12=0,
解得x=－2,
又f(－2)=(－2)3+6×(－2)2+13×(－2)=－10,
所以函数f(x)的图象关于点(－2,－10)成中心对称.
因为
所以f(m)+f(n)=－20,
又f′(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0,
所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增,则点(m,f(m))与(n,f(n))关于点(－2,－10)对称,
所以m+n=2×(－2)=－4.故选A.
类型二　利用极值研究三次函数的零点
[典例2] (2025·江西九江模拟)已知函数f(x)=x3－4mx2－3m2x+2,其中m≥0.
(1)若f(x)的极小值为－16,求m的值;
(2)讨论f(x)的零点个数.
【解】 (1)由题意得f′(x)=3x2－8mx－3m2=(x－3m)(3x+m),其中m≥0.当m=0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)无极值;当m>0时,令f′(x)>0,解得x<－或x>3m;令f′(x)<0,解得－(2)由(1)知当m>0时,f(x)的极小值为 f(3m)=2－18m3,f(x)的极大值为f(－)=2+m3>0.当2－18m3<0,即m>时,f(x)有三个零点,如图中曲线①;当2－18m3=0,即 m=时,f(x) 有两个零点,如图中曲线②;当 2－18m3>0,即0时,f(x)有三个零点.
利用极值求解三次函数零点问题的基本思路
(1)若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点.
(2)若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时,f(x)有1个零点;当f(x1)·f(x2)=0时,f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时,f(x) 有3个零点.
[拓展演练2] 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点,求实数t的取值范围.
【解】 (1)f′(x)=3ax2+2bx－3,
因为f(x)在x=1和x=3处取得极值,
所以x=1和x=3是方程f′(x)=0的两个根,
则
解得经检验符合已知条件,
所以f(x)=－x3+2x2－3x.
(2)由题意知g(x)=－x3+2x2－3x+t,g′(x)=－x2+4x－3,
当x>3或x<1时,g′(x)<0,
当10,
所以函数g(x)在(3,+∞),(－∞,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,
所以g(x)极大值=g(3)=t,g(x)极小值=g(1)=t－,
又x取足够大的正数时,g(x)<0,x取足够小的负数时,g(x)>0,
因此,为使曲线y=g(x)与x轴有且仅有一个交点,结合g(x)的单调性,
得g(x)极大值=t<0或g(x)极小值=t－>0,
所以t<0或t>,
g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点时,实数t的取值范围是(－∞,0)∪(,+∞).
类型三　利用导数研究三次函数的切线问题
[典例3] (2025·广东汕头模拟)若过点(m,n)(m>0)可作曲线y=x3－3x三条切线,则(　　)
[A] n<－3m
[B] n>m3－3m
[C] n=m3－3m或n=－3m
[D] －3m【答案】 D
【解析】 令f(x)=y=x3－3x,设切点为M(x0,y0),则y0=f(x0)=－3x0,
f′(x)=3x2－3,故f′(x0)=3－3,则切线方程为y－y0=(3－3)(x－x0),
因为(m,n)(m>0)在切线上,故n－(－3x0)=(3－3)(m－x0),
整理得2－3m+3m+n=0,
因为过点(m,n)(m>0)可作曲线y=x3－3x三条切线,
故2－3m+3m+n=0有三个实数根,
设g(x0)=2－3m+3m+n,则g′(x0)=6－6mx0=6x0(x0－m),
由g′(x0)=0得,x0=0或x0=m,
因为m>0,由g′(x0)=6x0(x0－m)>0得x0>m或x0<0,此时g(x0)单调递增,
由g′(x0)=6x0(x0－m)<0得0所以g(x0)=2－3m+3m+n的极大值点为x0=0,极小值点为x0=m,
故2－3m+3m+n=0要有三个实数根的充要条件为
即解得－3m利用导数求解三次函数切线问题的两种方法
(1)通法:求解过点P的三次函数f(x)的切线条数问题,一般是先设出切点Q(t,f(t)),写出曲线f(x)在x=t处的切线方程,把点P的坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
(2)优解:利用导数求出三次函数f(x)的图象的对称中心,再求出曲线f(x)在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中,就可得“外三”所对应的纵坐标的取值范围(此法一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法).
[拓展演练3] 已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f(x)=x3－tx(t为给定的正常数)的图象作两条切线,则z=a2+(b－1)2的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] 1+t2 [D]
【答案】 A
【解析】 如图,f(x)=x3－tx,f′(x)=3x2－t,f″(x)=6x.令f″(x)=6x=0,得x=0.所以图象的对称中心为O(0,0),又f′(0)=－t,在点O处的切线方程为 y=－tx.
根据“内一上二外三”,点P(a,b)位于第二象限中,而且在三次函数上或者过原点的切线上.
z=a2+(b－1)2表示点(0,1)与(a,b)两点的距离的平方,由点(0,1)到射线at+b=0的距离为,得z=a2+(b－1)2的最小值为.故选A.
(分值:80分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心为(　　)
[A] (0,0) [B] (1,－2)
[C] (,－) [D] (2,－4)
【答案】 B
【解析】 设f(x)的对称中心为(a,b),则f(a－x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,
代入f(x)解析式,有(a－x)3－3(a－x)2+(a+x)3－3(a+x)2=2b,
即(6a－6)x2+2a3－6a2=2b对任意x恒成立,
所以解得故对称中心为(1,－2).故选B.
2.(2025·湖南长沙模拟)函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件是(　　)
[A] a≠0,且a>4b
[B] a>0,且a<4b
[C] a<0,且a>4b,b≠0
[D] a<0,且a<4b,b≠0
【答案】 D
【解析】 f(x)=ax3－ax2+bx=x(ax2－ax+b),有f(0)=0,
若f(x)有三个零点,则有a2－4ab>0且a≠0,b≠0,
故函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充要条件为a2－4ab>0且a≠0,b≠0,
对于A,a≠0,且a>4b,则当a<0时,有a2<4ab,不符合题意,故A错误;
对于B,由a>0,且a<4b,则a2<4ab,不符合题意,故B错误;
对于C,a<0且a>4b,b≠0,则a2<4ab,不符合题意,故C错误;
对于D,a<0,且a<4b,b≠0,则a2>4ab,
即由a<0,且a<4b,b≠0能得到a2－4ab>0且a≠0,b≠0,
但a2－4ab>0且a≠0,b≠0并不意味着a<0,且a<4b,b≠0,
故a<0,且a<4b,b≠0是a2－4ab>0且a≠0,b≠0的充分不必要条件,
即是函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件,故D正确.故选D.
3.(2025·宁夏银川模拟)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3－3mx的图象上,且过点P仅有一条直线与f(x)的图象相切,则实数m的取值范围为(　　)
[A](0,)∪(,)
[B] (－∞,0)∪(,+∞)
[C] (0,)∪(,+∞)
[D] (－∞,)∪(,+∞)
【答案】 B
【解析】 点P(1,m)不在函数f(x)=x3－3mx的图象上,
则f(1)=1－3m≠m,即m≠,
设过点P的直线与f(x)=x3－3mx的图象相切于Q(x0,－3mx0),显然x0≠1,
则切线的斜率k=f′(x0)=3－3m,
则切线方程为m－(－3mx0)=(3－3m)(1－x0),
整理可得2－3+4m=0,
则问题可转化为g(t)=2t3－3t2+4m只有一个零点,且g′(t)=6t2－6t,
令g′(t)=0,可得t=0或t=1,
当t∈(－∞,0)时,g′(t)>0,则g(t)单调递增,
当t∈(0,1)时,g′(t)<0,则g(t)单调递减,
当t∈(1,+∞)时,g′(t)>0,则g(t)单调递增,
即当t=0时,g(t)有极大值,当t=1时,g(t)有极小值,
要使g(t)=2t3－3t2+4m仅有一个零点,
g(0)·g(1)>0 m<0或m>.
故选B.
4.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3－x+1,则(　　)
[A] f(x)有两个极值点
[B] f(x)有三个零点
[C] 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
[D] 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】 AC
【解析】 因为f(x)=x3－x+1,所以f′(x)=3x2－1,由f′(x)=3x2－1>0,得x>或x<－;由f′(x)=3x2－1<0,得－0,f(－2)=(－2)3－(－2)+1=－5<0,所以函数f(x)在R上有且只有一个零点,故B错误.因为函数g(x)=x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)=x3－x+1的图象,函数g(x)=x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,1)是曲线f(x)=x3－x+1的对称中心,故C正确.假设直线y=2x是曲线y=f(x)的切线,切点为(x0,y0),则f′(x0)=3－1=2,解得x0=±1.若x0=1,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上;若x0=－1,则切点坐标为(－1,1),但点(－1,1)不在直线y=2x上,所以假设不成立,故D错误.故选AC.
5.(2025·北京通州模拟)已知函数f(x)=(x－a)·(x－b)(x－c),且a≤b≤c,下面四个判断,正确的个数为(　　)
①f′(b)≤0;
②若b=,则f(x)的图象关于点(b,0)对称;
③若b=,则对于 x∈R,f′(x)≥f′(b);
④若b≤,则f′(c)≥f′(a).
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 D
【解析】 由已知f′(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a),
对于①,f′(b)=(b－a)(b－b)+(b－b)(b－c)+(b－c)(b－a)=(b－c)(b－a),
因为a≤b≤c,所以b－c≤0,b－a≥0,f′(b)≤0,故①正确;
对于②,若b=,则f(x)=(x－a)(x－)·(x－c),因为f(2b－x)=(2b－x－a)(2b－x－)(2b－x－c)=(a+c－x－a)(a+c－x－)(a+c－x－c)=(c－x)(－x)(a－x)=－f(x),
所以f(x)的图象关于点(b,0)对称,故②正确;
对于③,将f′(x)展开可得f′(x)=3x2－2(a+b+c)x+ab+bc+ac,
又抛物线开口向上,故f′(x)min=f′(),当b=时,=b,
所以f′(x)min=f′(b),则对于 x∈R,f′(x)≥f′(b),故③正确;
对于④,f′(a)－f′(c)=(a－b)(a－c)－(c－a)(c－b)=(a－c)(a+c－2b),
由b≤得2b≤a+c,即a+c－2b≥0,由a≤c得a－c≤0,
所以f′(a)－f′(c)≤0,即f′(c)≥f′(a),故④正确.
故选D.
6.当直线kx－y－k+1=0(k∈R)和曲线E:y=ax3+bx2+(ab≠0)交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
【答案】 C
【解析】 直线kx－y－k+1=0(k∈R)过定点(1,1),
由题意可知,定点(1,1)是曲线E:y=ax3+bx2+(ab≠0)的对称中心,
解得
所以曲线E:y=f(x)=x3－x2+,
点(b,a)为(－1,),
f′(x)=x2－2x,
设切点M(x0,y0),
则M点纵坐标为y0=+,
又f′(x0)=－2x0,
所以切线方程为y－(+)=(－2x0)(x－x0),
又切线过定点(－1,),所以－(+)=(－2x0)(－1－x0),
得－3x0－2=0,(－x0)－2(x0+1)=0,
即(x0+1)(－x0－2)=0,
解得x0=2或x0=－1,
故可作两条切线.
故选C.
7.(2025·江苏南通模拟)已知曲线y=－x3－3x2+9x+9与曲线y=交于点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),则(xi+yi)等于(　　)
[A] －16 [B] －12 [C] －9 [D] －6
【答案】 B
【解析】 令f(x)=－x3－3x2+9x+9,
则f(x－1)=－(x－1)3－3(x－1)2+9(x－1)+9=－x3+12x－2,
f(－x－1)=－(－x－1)3－3(－x－1)2+9(－x－1)+9=x3－12x－2,
所以f(x－1)+f(－x－1)=－4,所以f(x)的图象关于(－1,－2)中心对称;
因为y===－2+,
所以y=的图象也关于(－1,－2)中心对称;
因为f′(x)=－3x2－6x+9=－3(x+3)(x－1),
所以当x∈(－∞,－3)∪(1,+∞)时,f′(x)<0;当x∈(－3,1)时,f′(x)>0;
所以f(x)在(－∞,－3),(1,+∞)上单调递减,在(－3,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(－3)=27－27－27+9=－18,极大值为f(1)=－1－3+9+9=14;
当x∈(－1,+∞)时,y=－2+单调递减,且y=－2+>－2,
当x=1时,y=－2+=－<14;
作出f(x)与y=在x>－1时的图象如图所示,
由图象可知,f(x)与y=在(－1,+∞)上有且仅有两个不同的交点,
由对称性可知,f(x)与y=在(－∞,－1)上有且仅有两个不同的交点,且与在(－1,+∞)上的两个交点关于点(－1,－2)对称,
所以(xi+yi)=(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=(－1)×2×2+(－2)×2×2=－12.
故选B.
8.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若y=|f(x)－2|的图象关于直线x=1对称,则下列说法正确的是(　　)
[A] y=|f(x)|的图象也关于直线x=1对称
[B] y=f(x)的图象关于(1,2)中心对称
[C] a+b+c+d=2
[D] 3a+b=0
【答案】 BCD
【解析】 y=|f(x)－2|的图象关于直线x=1对称,
所以|f(1－x)－2|=|f(1+x)－2|,
所以f(1－x)－2=f(1+x)－2或f(1－x)－2=－f(1+x)+2,
当f(1－x)－2=f(1+x)－2时,f(1－x)=f(1+x),y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
此时,a(1+x)3+b(1+x)2+c(1+x)+d=a(1－x)3+b(1－x)2+c(1－x)+d,
所以a[(1+x)3－(1－x)3]+b[(1+x)2－(1－x)2]+c[(1+x)－(1－x)]=0,
当x≠0时,a[(1+x)2+(1+x)(1－x)+(1－x)2]+b[(1+x)+(1－x)]+c=0,
所以a(x2+3)+2b+c=0,所以x2+3=－,
又因为－是一个定值,而x2+3随x的不同而不同,
所以此等式不成立,即f(1－x)－2=f(1+x)－2不成立,
所以f(1－x)－2=－f(1+x)+2,即f(1－x)+f(1+x)=4,所以y=f(x)的图象关于(1,2)中心对称,B正确;
所以f(1)+f(1)=2f(1)=4,f(1)=2,即a+b+c+d=2,C正确;
(0,f(0))与(2,f(2))关于(1,2)对称,
所以f(0)+f(2)=4,即d+8a+4b+2c+d=4,即4a+2b+c+d=2,
所以3a+b=0,D正确;
又a+b+c+d=2,则－2a+c+d=2,即－2a+c=2－d,
|f(0)|=|d|,而|f(2)|=|8a+4b+2c+d|=|－4a+2c+d|=|4－d|,
若A选项成立,则|f(0)|=|f(2)|时,d=2,所以－2a+c=0,
但此时,|f(－1)|=|－a+b－c+d|=|－4a－c+2|=|－6a+2|,|f(3)|=|6a+2|,
所以由|f(－1)|=|f(3)|可得a=0,但这与已知矛盾,
所以y=|f(x)|的图象不可能关于直线x=1对称,A错误.
故选BCD.
9.(5分)(2025·黑龙江牡丹江模拟)函数f(x)=有且只有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (1,2]
【解析】 当a>0时,x>0时,f(x)=x3－3ax+2,f′(x)=3x2－3a,
当0时,f′(x)>0;
所以f(x)=x3－3ax+2在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以当x=时,f(x)=x3－3ax+2取最小值,且x→0+时,f(x)→2,
f(x)在(0,+∞)上最多有两个零点,在(－∞,0]上单调递增,最多有一个零点,
要使f(x)有且只有三个零点,其图象如图,
所以f()=－2a+2<0,解得a>1,且f(0)=2－a≥0,所以a≤2,所以1当a≤0时,x>0时,f(x)=x3－3ax+2,f′(x)=3x2－3a>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,x>0时,f(x)>2,即f(x)在(0,+∞)上无零点,
又f(x)=2x+1－a>0在(－∞,0]上恒成立,也没有零点,所以此时不符合题意.
综上,110.(5分)(2025·广西梧州模拟)已知函数f(x)=a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(a>0),设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处切线的斜率为ki(i=1,2,3),若x1,x2,x3均不相等,且k2=－2,则k1+4k3的最小值为　　　　.
【答案】 18
【解析】 由于f(x)=a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(a>0),
故f′(x)=a[(x－x1)(x－x2)+(x－x2)(x－x3)+(x－x3)(x－x1)],
故k1=a(x1－x2)(x1－x3),k2=a(x2－x3)(x2－x1),k3=a(x3－x1)(x3－x2),
则++=++
==0,
由k2=－2,得+=,
由k2=－2,即k2=a(x2－x3)(x2－x1)<0,知x2位于x1,x3之间,
不妨设x10,k3>0,
故k1+4k3=2(k1+4k3)(+)=2(5++)≥2(5+2)=18,
当且仅当即k1=6,k3=3时,等号成立,
故k1+4k3的最小值为18.
11.(13分)已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=－和x=1处取得极值,且f(x)在(－1,f(－1))处的切线方程为y=kx+4.
(1)若函数g(x)=f(x)－mx的图象上有两条与x轴平行的切线,求实数m的取值范围;
(2)若函数h(x)=2x2+8x+n与f(x)在[－2,1]上有两个交点,求实数n的取值范围.
【解】 (1)因为f′(x)=3x2+2ax+b,
由题得f′(－)=0,f′(1)=0,
即解得a=－1,b=－1.
于是f′(－1)=4,即k=4,
故切线方程为y=4x+4.
因为切点在切线上,所以f(－1)=4×(－1)+4=0,
将(－1,0)代入f(x),解得c=1,
所以f(x)=x3－x2－x+1,
所以g(x)=x3－x2－x+1－mx.
由题得g′(x)=3x2－2x－1－m=0有两个不相等的实根,
所以Δ=(－2)2－4×3×(－1－m)>0,
解得m>－,
所以m的取值范围为(－,+∞).
(2)由题得h(x)=f(x)在[－2,1]上有两个不同的解,
即n=x3－3x2－9x+1在[－2,1]上有两个不同的解.
令F(x)=x3－3x2－9x+1,x∈[－2,1],
则F′(x)=3x2－6x－9,
由F′(x)>0得x<－1或x>3,
由F′(x)<0得－1因为x∈[－2,1],所以F(x)在(－2,－1)上单调递增,在(－1,1)上单调递减,
所以F(x)max=F(－1)=6.
因为F(－2)=－1,F(1)=－10,
所以F(x)min=－10,
所以实数n的取值范围为[－1,6).
12.(15分)(2025·贵州贵阳模拟)给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数y=f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“固点”,且该“固点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题:已知函数f(x)=x3+(3a－3)x2+(6a－9a2)x－5a(a∈R).
(1)当a=－1时,试求y=f(x)的对称中心;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a=2时,f(x)=m有三个不相等的实数根x1【解】 (1)a=－1时,f(x)=x3－6x2－15x+5,f′(x)=3x2－12x－15,f″(x)=6x－12,
令f″(x)=6x－12=0,得x=2,f(2)=23－6×22－15×2+5=－41,
故y=f(x)的对称中心为(2,－41).
(2)f′(x)=3x2+6(a－1)x+3a(2－3a)=3(x－a)(x－2+3a),
令f′(x)=0,得x1=a,x2=2－3a,
当a=时,x1=x2,f′(x)≥0恒成立,所以函数y=f(x)在R上单调递增;
当a>时,x1>x2,在(－∞,2－3a),(a,+∞)上,f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增;
在(2－3a,a)上,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;
当a<时,x10,函数y=f(x)单调递增;
在(a,2－3a)上,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减.
综上所述,
当a=时,f(x)在R上单调递增;
当a>时,f(x)在(－∞,2－3a),(a,+∞)上单调递增,在(2－3a,a)上单调递减;
当a<时,f(x)在(－∞,a),(2－3a,+∞)上单调递增,在(a,2－3a)上单调递减.
(3)a=2时,f(x)=x3+3x2－24x－10,f′(x)=3x2+6x－24=3(x+4)(x－2),
令f″(x)=6x+6=0,得x=－1,f(－1)=16,所以对称中心为(－1,16),
当x∈(－∞,－4)和x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(－4,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
f(－4)=(－4)3+3×(－4)2－24×(－4)－10=70;
f(2)=23+3×22－24×2－10=－38,
要使得f(x)=m有三个解,故m∈(－38,70),x1<－4x3+3x2－24x－10－m=(x－x1)(x－x2)(x－x3)=0,
根据常数项知,x1x2x3=10+m,根据对称性知,x1+x2+x3=－3,
x2∈(－4,－1],且+3－24x2－10－m=+3－24x2－x1x2x3=0,
故+3x2－24－x1x3=0,即x1x3=+3x2－24,
|x1－x3|==
=
.
当x2=－1时,|x1－x3|取得最大值6,此时m=16.
(
第
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微课培优2　三次函数的
图象与性质
知识链接
1.三次函数的图象与基本性质
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2－12ac=4(b2－3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:
释疑
设f(m－x)+f(m+x)=2n,
得[a(m－x)3+b(m－x)2+c(m－x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,
整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n.根据多项式恒等则其对应系数相等,可得m=－且n=am3+bm2+mc+d,从而三次函数f(x)的图象是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.
2.三次方程f(x)=0的实根个数
(1)当Δ≤0,即b2－3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.
(2)当Δ>0,即b2－3ac>0时,设f′(x)=0的两根分别为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.
3.三次函数f(x)图象的切线条数
过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)的切线,有且仅有三条;
(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作f(x)的切线,有且仅有一条;
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.
切线条数口诀:内一、上二、外三.
题型演绎
类型一　利用导数研究三次函数的对称性
[典例1] (多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3－3ax2+1,则(　 　)
[A] 当a>1时,f(x)有三个零点
[B] 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
[C] 存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
[D] 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
AD
【解析】 A选项,f′(x)=6x2－6ax=6x(x－a),由于a>1,
故当x∈(－∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
则f(x)在x=0处取得极大值,在x=a处取得极小值,
由f(0)=1>0,f(a)=1－a3<0,
则f(0)f(a)<0,
根据函数零点存在定理知f(x)在(0,a)上有一个零点,
又f(－1)=－1－3a<0,f(2a)=4a3+1>0,
则f(－1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,
则f(x)在(－1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是a>1时,f(x)有三个零点,A选项正确;
B选项,f′(x)=6x(x－a),a<0,
当x∈(a,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
此时f(x)在x=0处取得极小值,B选项错误;
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第二册P99习题5.3 T13.
利用导数求三次函数图象对称中心的一般步骤
第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x);
第二步,对f′(x)求导,得f″(x);
第三步,解方程f″(x)=0,得实数根x0;
第四步,求f(x0),得函数f(x)图象的对称中心(x0,f(x0)).
反思归纳
A
[A] －4 [B] －3 [C] －2 [D] －1
【解析】 令f(x)=x3+6x2+13x,则f′(x)=3x2+12x+13,
令h(x)=3x2+12x+13,
h′(x)=6x+12=0,
解得x=－2,
又f(－2)=(－2)3+6×(－2)2+13×(－2)=－10,
所以函数f(x)的图象关于点(－2,－10)成中心对称.
类型二　利用极值研究三次函数的零点
[典例2] (2025·江西九江模拟)已知函数f(x)=x3－4mx2－3m2x+2,其中m≥0.
(1)若f(x)的极小值为－16,求m的值;
[典例2] (2025·江西九江模拟)已知函数f(x)=x3－4mx2－3m2x+2,其中m≥0.
(2)讨论f(x)的零点个数.
利用极值求解三次函数零点问题的基本思路
(1)若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点.
(2)若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时,f(x)有1个零点;当f(x1)·f(x2)=0时,f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时,f(x) 有3个零点.
反思归纳
[拓展演练2] 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
[拓展演练2] 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(2)设函数g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点,求实数t的取值
范围.
类型三　利用导数研究三次函数的切线问题
[典例3] (2025·广东汕头模拟)若过点(m,n)(m>0)可作曲线y=x3－3x三条切线,则(　　)
[A] n<－3m
[B] n>m3－3m
[C] n=m3－3m或n=－3m
[D] －3mD
利用导数求解三次函数切线问题的两种方法
(1)通法:求解过点P的三次函数f(x)的切线条数问题,一般是先设出切点Q(t,f(t)),写出曲线f(x)在x=t处的切线方程,把点P的坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
反思归纳
(2)优解:利用导数求出三次函数f(x)的图象的对称中心,再求出曲线f(x)在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中,就可得“外三”所对应的纵坐标的取值范围(此法一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法).
反思归纳
[拓展演练3] 已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f(x)=x3－tx(t为给定的正常数)的图象作两条切线,则z=a2+(b－1)2的最小值为(　　)
A
【解析】 如图,f(x)=x3－tx,f′(x)=3x2－t,f″(x)=6x.令f″(x)=6x=0,得x=0.
所以图象的对称中心为O(0,0),又f′(0)=－t,在点O处的切线方程为 y=－tx.
根据“内一上二外三”,点P(a,b)位于第二象限中,
而且在三次函数上或者过原点的切线上.
z=a2+(b－1)2表示点(0,1)与(a,b)两点的距离的平方,
课时作业
(分值:80分)
1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心为(　　)
B
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
2.(2025·湖南长沙模拟)函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件是(　　)
[A] a≠0,且a>4b
[B] a>0,且a<4b
[C] a<0,且a>4b,b≠0
[D] a<0,且a<4b,b≠0
D
【解析】 f(x)=ax3－ax2+bx=x(ax2－ax+b),有f(0)=0,
若f(x)有三个零点,则有a2－4ab>0且a≠0,b≠0,
故函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充要条件为a2－4ab>0
且a≠0,b≠0,
对于A,a≠0,且a>4b,则当a<0时,有a2<4ab,不符合题意,故A错误;
对于B,由a>0,且a<4b,则a2<4ab,不符合题意,故B错误;
对于C,a<0且a>4b,b≠0,则a2<4ab,不符合题意,故C错误;
对于D,a<0,且a<4b,b≠0,则a2>4ab,
即由a<0,且a<4b,b≠0能得到a2－4ab>0且a≠0,b≠0,
但a2－4ab>0且a≠0,b≠0并不意味着a<0,且a<4b,b≠0,
故a<0,且a<4b,b≠0是a2－4ab>0且a≠0,b≠0的充分不必要条件,
即是函数f(x)=ax3－ax2+bx(a,b∈R)有3个零点的充分不必要条件,
故D正确.故选D.
3.(2025·宁夏银川模拟)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3－3mx的图象上,且过点P仅有一条直线与f(x)的图象相切,则实数m的取值范围为(　　)
B
4.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3－x+1,则(　 　)
[A] f(x)有两个极值点
[B] f(x)有三个零点
[C] 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
[D] 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
AC
故B错误.
5.(2025·北京通州模拟)已知函数f(x)=(x－a)·(x－b)(x－c),且a≤b≤c,下面四个判断,正确的个数为(　　)
D
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【解析】 由已知f′(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a),
对于①,f′(b)=(b－a)(b－b)+(b－b)(b－c)+(b－c)(b－a)=(b－c)(b－a),
因为a≤b≤c,所以b－c≤0,b－a≥0,f′(b)≤0,故①正确;
[A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3
C
[A] －16 [B] －12 [C] －9 [D] －6
B
8.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
若y=|f(x)－2|的图象关于直线x=1对称,则下列说法正确的是
( 　 　)
[A] y=|f(x)|的图象也关于直线x=1对称
[B] y=f(x)的图象关于(1,2)中心对称
[C] a+b+c+d=2
[D] 3a+b=0
BCD
【解析】 y=|f(x)－2|的图象关于直线x=1对称,
所以|f(1－x)－2|=|f(1+x)－2|,
所以f(1－x)－2=f(1+x)－2或f(1－x)－2=－f(1+x)+2,
当f(1－x)－2=f(1+x)－2时,f(1－x)=f(1+x),y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
此时,a(1+x)3+b(1+x)2+c(1+x)+d=a(1－x)3+b(1－x)2+c(1－x)+d,
所以a[(1+x)3－(1－x)3]+b[(1+x)2－(1－x)2]+c[(1+x)－(1－x)]=0,
所以f(1)+f(1)=2f(1)=4,f(1)=2,即a+b+c+d=2,C正确;
(0,f(0))与(2,f(2))关于(1,2)对称,
所以f(0)+f(2)=4,即d+8a+4b+2c+d=4,即4a+2b+c+d=2,所以3a+b=0,D正确;
又a+b+c+d=2,则－2a+c+d=2,即－2a+c=2－d,
|f(0)|=|d|,而|f(2)|=|8a+4b+2c+d|=|－4a+2c+d|=|4－d|,
若A选项成立,则|f(0)|=|f(2)|时,d=2,所以－2a+c=0,
但此时,|f(－1)|=|－a+b－c+d|=|－4a－c+2|=|－6a+2|,|f(3)|=|6a+2|,
所以由|f(－1)|=|f(3)|可得a=0,但这与已知矛盾,
所以y=|f(x)|的图象不可能关于直线x=1对称,A错误.故选BCD.
(1,2]
10.(5分)(2025·广西梧州模拟)已知函数f(x)=a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(a>0),设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处切线的斜率为ki(i=1,2,3),若x1,x2,x3均不相等,且k2=－2,则k1+4k3的最小值为　　　　.
18
(1)若函数g(x)=f(x)－mx的图象上有两条与x轴平行的切线,求实数m的取值范围;
(2)若函数h(x)=2x2+8x+n与f(x)在[－2,1]上有两个交点,求实数n的取值范围.
【解】 (2)由题得h(x)=f(x)在[－2,1]上有两个不同的解,
即n=x3－3x2－9x+1在[－2,1]上有两个不同的解.
令F(x)=x3－3x2－9x+1,x∈[－2,1],
则F′(x)=3x2－6x－9,
由F′(x)>0得x<－1或x>3,
由F′(x)<0得－1因为x∈[－2,1],所以F(x)在(－2,－1)上单调递增,在(－1,1)上单调递减,
所以F(x)max=F(－1)=6.
因为F(－2)=－1,F(1)=－10,
所以F(x)min=－10,所以实数n的取值范围为[－1,6).
12.(15分)(2025·贵州贵阳模拟)给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数y=f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“固点”,且该“固点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题:已知函数f(x)=x3+(3a－3)x2+(6a－9a2)x－5a(a∈R).
(1)当a=－1时,试求y=f(x)的对称中心;
【解】 (1)a=－1时,f(x)=x3－6x2－15x+5,f′(x)=3x2－12x－15,f″(x)=6x－12,
令f″(x)=6x－12=0,得x=2,f(2)=23－6×22－15×2+5=－41,
故y=f(x)的对称中心为(2,－41).
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a=2时,f(x)=m有三个不相等的实数根x1【解】 (3)a=2时,f(x)=x3+3x2－24x－10,f′(x)=3x2+6x－24=3(x+4)(x－2),
令f″(x)=6x+6=0,得x=－1,f(－1)=16,所以对称中心为(－1,16),
当x∈(－∞,－4)和x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(－4,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
f(－4)=(－4)3+3×(－4)2－24×(－4)－10=70;
f(2)=23+3×22－24×2－10=－38,
要使得f(x)=m有三个解,故m∈(－38,70),x1<－4且x1,x2,x3是方程x3+3x2－24x－10－m=0的根,由于对称性,
为了简化研究,只研究m∈[16,70)的情况,
x3+3x2－24x－10－m=(x－x1)(x－x2)(x－x3)=0,
根据常数项知,x1x2x3=10+m,根据对称性知,x1+x2+x3=－3,

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