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第3节　随机事件的概率与古典概型
[课程标准要求]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的
区别.
2.理解事件间的关系与运算.
3.理解古典概型及其概率计算公式,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则.
1.有限样本空间与随机事件
(1)样本点和有限样本空间.
①样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.
②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件.
①随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,常用大写字母A,B,C,…表示.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
②随机事件的特殊情形:必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点).
2.事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
相等 B A且A B A=B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= , A∪B=Ω
3.古典概型
(1)两个特征.
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
(2)计算公式.
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
4.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1－P(A),P(A)=1－P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B= ,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
5.频率与概率
(1)频率的稳定性.
一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用.
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.(苏教版必修第二册P292练习T3改编)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲不输的概率为0.7,则甲、乙下成和棋的概率为(　　)
[A] 0.5 [B] 0.7 [C] 0.9 [D] 0.4
2.(人教A版必修第二册P246习题10.1 T3改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
[A] 是互斥事件,不是对立事件
[B] 是对立事件,不是互斥事件
[C] 既是互斥事件,也是对立事件
[D] 既不是互斥事件也不是对立事件
3.已知一个不透明箱子中有大小相同的两个白球和三个红球,随机取出两个球,则两个球均为白球的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则P(A∪B)=　　　　.
5.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数,得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率),则估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为
　　　.
考点一　事件的关系和运算
1.(2025·福建福州模拟)某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”(　　)
[A] 是对立事件
[B] 都是不可能事件
[C] 是互斥事件但不是对立事件
[D] 不是互斥事件
2.(多选题)(2025·河南洛阳模拟)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动,袋中装有8个大小形状相同的小球,并标注1～8这八个数字,抽奖者从中任取一个球,事件A表示“取出球的编号为奇数”,事件B表示“取出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,则(　　)
[A] 事件A与事件C不互斥
[B] 事件A与事件B互为对立事件
[C] 事件B与事件C互斥
[D] 事件C与事件D互为对立事件
3.已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)=　　　　.
(1)事件的关系运算策略.
进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
(2)辨析互斥事件与对立事件的思路.
①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生;
②在一次试验中,两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生.即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例;
③互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.
考点二　古典概型
[例1] (2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
利用公式法求解古典概型问题的步骤
[针对训练] (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
考点三　概率的基本性质的应用
[例2] (多选题)(2025·吉林长春模拟)有两批种子,甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,则下列说法正确的有(　　)
[A] 从甲批种子中任取2粒,至少1粒能发芽的概率是
[B] 从乙批种子中任取2粒,至多1粒能发芽的概率是
[C] 从甲、乙两批种子中各任取1粒,至少1粒能发芽的概率是
[D] 将两批种子混合后,随机抽取1粒,能发芽的概率为
求复杂事件的概率的两种方法
(1)直接求解法.将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用互斥事件的概率加法公式求解概率.
(2)间接求解法.若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立事件的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即“正难则反”.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
[针对训练] (多选题)高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则下列说法正确的是(　　)
[A] 恰有1名参赛学生是男生的概率为
[B] 至少有1名参赛学生是男生的概率为
[C] 至多有1名参赛学生是男生的概率为
[D] 2名参赛学生都是男生的概率为
考点四　随机事件的频率与概率
[例3] (2025·广东梅州模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验是(　　)
[A] 抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
[B] 掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率
[C] 转动如图所示的转盘,转到数字为奇数的概率
[D] 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数.
(2)由频率公式得所求,由频率估计概率.
[针对训练] (2025·湖北荆州模拟)天气预报报道:在今后的三天中,每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟试验的方法求概率,利用计算机产生1～5之间的整数随机数,每3个随机数为一组,产生20组随机数:
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,则这三天中至少有两天下雨的概率近似为(　　)
[A] [B] [C] [D]
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
事件的关系和运算 3,5,11
古典概型 1,2,7,12,15,16
概率的基本性质的应用 4,8,9,10,14
随机事件的频率与概率 6,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·北京模拟)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容,高度凝炼了北京旧城以外的文化遗产.某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究,那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(2025·四川遂宁模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”,下列结论判断错误的是(　　)
[A] C1与C2互斥
[B] D1∪D2=Ω,D1D2=
[C] D3 D2
[D] C2,C3为对立事件
4.(2025·浙江宁波模拟)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
5.(2025·河南焦作模拟)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状大小完全相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”, D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1个白球”,下列判断正确的是(　　)
①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;
③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1;
⑤P(B)=P(C).
[A] ①② [B] ①④ [C] ③④ [D] ②③⑤
6.(2025·江苏南通模拟)某学校甲乙两个班级人数之比为2∶3,在一次体育测试中甲班的优秀率为40%,乙班的优秀率为60%,现从这两个班级中随机选取一名学生,则该学生优秀的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
7.(5分)(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
8.(13分)(2025·四川攀枝花模拟)袋中有6个大小和质地相同的小球,分别为黑球、黄球、红球,从中任意取一个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或红球的概率是.
(1)从中任取一个球,得到黑球、黄球、红球的概率各是多少
(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少
9.已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
10.(2025·湖北武汉模拟)随机事件A发生的概率为,随机事件B发生的概率为,则事件A,B同时发生的概率的取值范围是(　　)
[A] [,] [B] [,]
[C] [,] [D] [,]
11.(多选题)(2025·山东临沂模拟)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件A=“取出的两个球是一个黑球、一个白球”,事件B=“两个球中至多一个黑球”,事件C=“两个球均为白球”,则(　　)
[A] P(A)= [B] P(A+C)=
[C] P(AB)= [D] P(B)=P()
12.(5分)圆周上A1,A2,…,A7七个点两两相连,任选两条线段,则这两条线段无公共点的概率是　 .
13.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则他至少参加2个小组的概率为　　　　,他至多参加2个小组的概率为　 .
14.(15分)(2025·江西萍乡模拟)设集合M={0,1,2,3,…,n}(n∈N),A为M的非空子集,记X,Y分别表示取到A中的最小元素和最大元素的数值.
(1)若n=6,求事件“X=2且Y=5”的概率;
(2)若X≥2的概率为,求n.
15.(2025·广东广州模拟)有一个游戏,规则如下:如图,在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H共八个点,一枚棋子起始位置在点A处,抛掷一枚质地均匀的骰子,若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子前进i步,每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点,可以循环进行,抛掷三次骰子后,游戏结束.若此时棋子在点A处,则游戏过关,则游戏结束时过关的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
16.(多选题)(2025·山东济南模拟)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.记第一次取出的球的数字为X1,第二次取出的球的数字为X2.设X=[],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[2.5]=2,则(　　)
[A] P(X1>X2)=
[B] P(X1+X2=5)=
[C] 事件“X1=6”与“X=0”互斥
[D] 事件“X2=1”与“X=0”对立
第3节　随机事件的概率与古典概型
[课程标准要求]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的
区别.
2.理解事件间的关系与运算.
3.理解古典概型及其概率计算公式,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则.
1.有限样本空间与随机事件
(1)样本点和有限样本空间.
①样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.
②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件.
①随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,常用大写字母A,B,C,…表示.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
②随机事件的特殊情形:必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点).
2.事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
相等 B A且A B A=B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= , A∪B=Ω
3.古典概型
(1)两个特征.
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
(2)计算公式.
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
4.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1－P(A),P(A)=1－P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B= ,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
5.频率与概率
(1)频率的稳定性.
一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用.
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.(苏教版必修第二册P292练习T3改编)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲不输的概率为0.7,则甲、乙下成和棋的概率为(　　)
[A] 0.5 [B] 0.7 [C] 0.9 [D] 0.4
【答案】 A
【解析】 甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜,且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件,所以甲、乙下成和棋的概率P=0.7－0.2=0.5.故选A.
2.(人教A版必修第二册P246习题10.1 T3改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
[A] 是互斥事件,不是对立事件
[B] 是对立事件,不是互斥事件
[C] 既是互斥事件,也是对立事件
[D] 既不是互斥事件也不是对立事件
【答案】 C
【解析】 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成必然事件,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.故选C.
3.已知一个不透明箱子中有大小相同的两个白球和三个红球,随机取出两个球,则两个球均为白球的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 随机取出两个球的所有取法有=10种,均为白球的取法有=1种,所以随机取出两个球,则两个球均为白球的概率为.故选A.
4.抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则P(A∪B)=　　　　.
【答案】
【解析】 样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},事件A={(正,正),(正,反)},事件B={(正,反),(反,反)},事件A∪B={(正,正),(正,反),(反,反)},所以P(A∪B)=.
5.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数,得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率),则估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为
　　　.
【答案】 0.465
【解析】 由题图知[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]的频率分别为0.1,0.2,0.235,0.3,0.065,0.1,估计锻炼天数超过15天的概率为0.3+0.065+0.1=0.465.
考点一　事件的关系和运算
1.(2025·福建福州模拟)某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”(　　)
[A] 是对立事件
[B] 都是不可能事件
[C] 是互斥事件但不是对立事件
[D] 不是互斥事件
【答案】 D
【解析】 根据题意,从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛,有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况,易得事件“至少有1名女生”即事件“1名男生和1名女生”包含于事件“至少有1名男生”,故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件.故选D.
2.(多选题)(2025·河南洛阳模拟)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动,袋中装有8个大小形状相同的小球,并标注1～8这八个数字,抽奖者从中任取一个球,事件A表示“取出球的编号为奇数”,事件B表示“取出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,则(　　)
[A] 事件A与事件C不互斥
[B] 事件A与事件B互为对立事件
[C] 事件B与事件C互斥
[D] 事件C与事件D互为对立事件
【答案】 AB
【解析】 由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A表示{1,3,5,7},事件B表示{2,4,6,8},事件C表示{6,7,8},事件D表示{1,2,3,4},所以A∩C=
{7}≠ ,A∪B=Ω且A∩B= ,B∩C={6,8}≠ ,C∩D= 且C∪D={1,2,3,4,6,7,8} Ω,所以事件A与事件C不互斥,事件A与事件B为对立事件,事件B与事件C不互斥,事件C与事件D互斥但不对立,故A,B正确,C,D错误.故选AB.
3.已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)=　　　　.
【答案】 0.5
【解析】 由A和C对立,P(C)=0.8,可得P(A)+P(C)=1,
解得P(A)=0.2,
又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0,
由P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB),
将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(A∪B)=0.5.
(1)事件的关系运算策略.
进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
(2)辨析互斥事件与对立事件的思路.
①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生;
②在一次试验中,两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生.即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例;
③互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.
考点二　古典概型
[例1] (2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 设甲在四轮游戏中的得分为X,且甲的出牌顺序为1,3,5,7,
则乙的出牌顺序有=24种.
由题意知X最大可取3,当X=3时,乙的出牌顺序为8,2,4,6.
故P(X=3)=.
当X=2时,乙的出牌顺序有①2,8,4,6.②4,2,8,6.③4,8,2,6.④6,2,8,4.⑤6,2,4,8.⑥6,8,2,4.⑦6,8,4,2.⑧8,6,4,2.⑨8,6,2,4.⑩8,4,2,6.8,2,6,4.共11种情况.故P(X=2)=.
综上,P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.
利用公式法求解古典概型问题的步骤
[针对训练] (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 当甲排在排尾,乙排第一位,丙有2种排法,丁有1种排法,共2种;
当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁有1种排法,共2种;
于是甲排在排尾共4种方法,同理乙排在排尾共4种方法,于是共8种排法符合题意;
样本点总数显然是=24,
根据古典概型的概率计算公式,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率为=.故选B.
考点三　概率的基本性质的应用
[例2] (多选题)(2025·吉林长春模拟)有两批种子,甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,则下列说法正确的有(　　)
[A] 从甲批种子中任取2粒,至少1粒能发芽的概率是
[B] 从乙批种子中任取2粒,至多1粒能发芽的概率是
[C] 从甲、乙两批种子中各任取1粒,至少1粒能发芽的概率是
[D] 将两批种子混合后,随机抽取1粒,能发芽的概率为
【答案】 ACD
【解析】 甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,
则甲批有15×80%=12(粒)能发芽,乙批有10×70%=7(粒)能发芽.
从甲批种子中任取2粒,至少1粒能发芽的概率为P=1－=,故A正确;
从乙批种子中任取2粒,至多1粒能发芽的概率为P=+=,故B错误;
从甲、乙两批种子中各任取1粒,至少1粒能发芽的概率为P=1－=,故C正确;
将两批种子混合后,随机抽取1粒,能发芽的概率为P=+=,故D正确.故选ACD.
求复杂事件的概率的两种方法
(1)直接求解法.将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用互斥事件的概率加法公式求解概率.
(2)间接求解法.若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立事件的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即“正难则反”.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
[针对训练] (多选题)高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则下列说法正确的是(　　)
[A] 恰有1名参赛学生是男生的概率为
[B] 至少有1名参赛学生是男生的概率为
[C] 至多有1名参赛学生是男生的概率为
[D] 2名参赛学生都是男生的概率为
【答案】 AC
【解析】 从6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛,共有=15种等可能的结果.恰有1名参赛学生是男生有3×3=9(种)结果,所以恰有1名是男生的概率为=,A正确;
“至少有1名参赛学生是男生”的对立事件为“2名参赛学生都是女生”,从3名女生中任选2名有3种结果,至少有1名参赛学生是男生的概率为1－=,B错误;
“2名参赛学生都是男生”的概率为=,D错误;
“至多有1名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”,因此至多有1名参赛学生是男生的概率为1－=,C正确.
故选AC.
考点四　随机事件的频率与概率
[例3] (2025·广东梅州模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验是(　　)
[A] 抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
[B] 掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率
[C] 转动如图所示的转盘,转到数字为奇数的概率
[D] 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
【答案】 D
【解析】 根据统计图可知,试验结果在0.33附近波动,即其概率P=,
选项A,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为,故此选项不符合题意;
选项B,掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率为,故此选项不符合题意;
选项C,转动如题图所示的转盘,转到数字为奇数的概率为,故此选项不符合题意;
选项D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为,
故此选项符合题意.故选D.
计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数.
(2)由频率公式得所求,由频率估计概率.
[针对训练] (2025·湖北荆州模拟)天气预报报道:在今后的三天中,每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟试验的方法求概率,利用计算机产生1～5之间的整数随机数,每3个随机数为一组,产生20组随机数:
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,则这三天中至少有两天下雨的概率近似为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 设事件A=“三天中至少有两天下雨”,20组随机数中,至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A发生了13次,用频率估计事件A的概率近似为.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
事件的关系和运算 3,5,11
古典概型 1,2,7,12,15,16
概率的基本性质的应用 4,8,9,10,14
随机事件的频率与概率 6,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·北京模拟)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容,高度凝炼了北京旧城以外的文化遗产.某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究,那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为a,b,c,则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(b,c)},所选的两个文化带中包含大运河文化带的样本点有(a,b),(a,c),所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率P=.故选C.
2.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 甲有6种选择,乙也有6种选择,故总数共有6×6=36(种),若甲、乙抽到的主题不同,则共有=30种,则其概率为=.故选A.
3.(2025·四川遂宁模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”,下列结论判断错误的是(　　)
[A] C1与C2互斥
[B] D1∪D2=Ω,D1D2=
[C] D3 D2
[D] C2,C3为对立事件
【答案】 D
【解析】 由题意C1与C2不可能同时发生,它们互斥,A正确;D1中点数为1或2,D2中点数为3,4,5或6,因此它们的并事件是必然事件,但它们不可能同时发生,因此D1D2为不可能事件,B正确;D3发生时,D2一定发生,但D2发生时,D3可能不发生,因此D3 D2,C正确;C2与C3不可能同时发生,但也可能都不发生,互斥不对立,D错误.故选D.
4.(2025·浙江宁波模拟)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=1－=.将P(A)=2P(B)代入上式可得P(B)=,所以P(A)=,P()=.故选B.
5.(2025·河南焦作模拟)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状大小完全相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”, D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1个白球”,下列判断正确的是(　　)
①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;
③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1;
⑤P(B)=P(C).
[A] ①② [B] ①④ [C] ③④ [D] ②③⑤
【答案】 B
【解析】 显然A与D是对立事件,①正确;当取出的2个球中一黄一白时,事件B与C都发生,②不正确;当取出的2个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,③不正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,④正确;由于P(B)=1－=,P(C)=1－=,P(B)≠P(C),⑤不正确.
故选B.
6.(2025·江苏南通模拟)某学校甲乙两个班级人数之比为2∶3,在一次体育测试中甲班的优秀率为40%,乙班的优秀率为60%,现从这两个班级中随机选取一名学生,则该学生优秀的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 设甲班级的人数为2k,乙班级的人数为3k,因为甲班的优秀率为40%,乙班的优秀率为60%,所以甲班优秀的人数为2k×40%=k,乙班优秀人数为3k×60%=k,所以优秀的总人数为k+k=k,所以学生优秀的概率为=.故选A.
7.(5分)(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 从8张卡片中随机抽出3张,则样本空间中总的样本点数为,因为1+2+3+4+5+
6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等,则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数字组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种,所以所求概率为P==.
8.(13分)(2025·四川攀枝花模拟)袋中有6个大小和质地相同的小球,分别为黑球、黄球、红球,从中任意取一个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或红球的概率是.
(1)从中任取一个球,得到黑球、黄球、红球的概率各是多少
(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少
【解】 (1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、红球为事件A,B,C,
由于A,B,C为互斥事件,
根据已知得
解得所以从中任取一球,得到黑球、黄球、红球的概率分别是,,.
(2)由(1)知黑球、黄球、红球个数分别为2,1,3,得到的两个球同色的可能有:两个黑球只有=1种情况,两个红球共=3种情况,而从6个球中取出2个球的情况共有=15种,所以所求概率为=,则得到的两个球颜色不相同的概率是1－=.
9.已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为A,B,C两两互斥,
所以P(AB)=P(BC)=0,
因为P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=+P(B)=,
所以P(B)=,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)－P(BC)=+=.故选B.
10.(2025·湖北武汉模拟)随机事件A发生的概率为,随机事件B发生的概率为,则事件A,B同时发生的概率的取值范围是(　　)
[A] [,] [B] [,]
[C] [,] [D] [,]
【答案】 C
【解析】 依题意,P(A)=,P(B)=,
由P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)≤1,
得P(AB)≥P(A)+P(B)－1=+－1=,又P(A)>P(B),
则当B A时,P(AB)=P(B)=,所以事件A,B同时发生的概率的取值范围是[,].故选C.
11.(多选题)(2025·山东临沂模拟)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件A=“取出的两个球是一个黑球、一个白球”,事件B=“两个球中至多一个黑球”,事件C=“两个球均为白球”,则(　　)
[A] P(A)= [B] P(A+C)=
[C] P(AB)= [D] P(B)=P()
【答案】 AB
【解析】 记3个白球为E,F,G,2个黑球为a,b,随机取出2个小球的样本点如下,
(E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(a,b),事件A对应的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(A)==,故A正确;事件B对应的样本点有(E,F),(E,G),(E,a),(E,b),(F,G),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(B)=,事件C对应的样本点有(E,F),(E,G),(F,G),所以P(C)=,又P()=1－P(C)=1－=≠P(B),故D错误;其中A+C对应的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),(E,F),(E,G),(F,G),所以P(A+C)=,故B正确;AB对应的样本点有(E,a),(E,b),(F,a),(F,b),(G,a),(G,b),所以P(AB)==,故C错误.故选AB.
12.(5分)圆周上A1,A2,…,A7七个点两两相连,任选两条线段,则这两条线段无公共点的概率是　 .
【答案】
【解析】 共=21条线段,选出两条有=210种方法,任意四个点两两相连会有6条线段,但不相交的线段只有2组,故无公共点的两条线段有2×=70组,因此,任选两条线段,它们无公共点的概率为=.
13.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则他至少参加2个小组的概率为　　　　,他至多参加2个小组的概率为　 .
【答案】 　
【解析】 记“恰好参加2个小组”为事件A,“恰好参加3个小组”为事件B,随机选取一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=++=,恰好参加3个小组的概率P(B)==,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1－P(B)=1－=.
14.(15分)(2025·江西萍乡模拟)设集合M={0,1,2,3,…,n}(n∈N),A为M的非空子集,记X,Y分别表示取到A中的最小元素和最大元素的数值.
(1)若n=6,求事件“X=2且Y=5”的概率;
(2)若X≥2的概率为,求n.
【解】 (1)M={0,1,2,3,4,5,6},其非空子集的个数为27－1=127,依题意得,集合A中的元素个数最少时,A={2,5},元素个数最多时,A={2,3,4,5},所以集合A的可能情况有22=4(种),故P(X=2且Y=5)=.
(2)由题意得,P(X≥2)=1－P(X=1)－P(X=0),当M={0,1,2,3,…,n}(n∈N)时,其非空子集的个数为2n+1－1,则P(X=0)=,P(X=1)=,故P(X≥2)=1－==,解得n=7.
15.(2025·广东广州模拟)有一个游戏,规则如下:如图,在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H共八个点,一枚棋子起始位置在点A处,抛掷一枚质地均匀的骰子,若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子前进i步,每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点,可以循环进行,抛掷三次骰子后,游戏结束.若此时棋子在点A处,则游戏过关,则游戏结束时过关的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 列举出在点数中能够使得三次数字和为8或16的有(1,2,5),(1,3,4),(1,1,6),(2,2,4),
(2,3,3),(4,6,6),(5,5,6),共有7种组合,前2种组合(1,2,5),(1,3,4)每种情况可以排列出=6种结果,共有2=2×6=12种结果;后5种组合各有3结果,共有5×3=15(种)结果,由分类加法计数原理知,共有12+15=27(种)结果;拋三次骰子共有6×6×6=216(种)结果,故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的概率P==.故选D.
16.(多选题)(2025·山东济南模拟)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.记第一次取出的球的数字为X1,第二次取出的球的数字为X2.设X=[],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[2.5]=2,则(　　)
[A] P(X1>X2)=
[B] P(X1+X2=5)=
[C] 事件“X1=6”与“X=0”互斥
[D] 事件“X2=1”与“X=0”对立
【答案】 AC
【解析】 因为从中有放回地随机取两次,所以有6×6=36(种)可能,有6种情况X1=X2,所以X1>X2的情况共有=15(种),所以P(X1>X2)==,选项A正确;两次取球数字和为5有以下4种情况:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(X1+X2=5)==,选项B错误;当X1=6时,X=[]=
[]≠0,所以事件“X1=6”与“X=0”互斥,选项C正确;当X2=1时,X=[]=[X1]≠0,但是当X2=2,X1=2时,X=[]=1≠0,所以事件“X2=1”与“X=0”不是对立事件,选项D错误.故选AC.
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第3节　随机事件的概率与
古典概型
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.理解事件间的关系与运算.
3.理解古典概型及其概率计算公式,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
(1)样本点和有限样本空间.
①样本点:随机试验E的每个可能的 称为样本点,常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的 ,常用Ω表示.
②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
知识梳理
1.有限样本空间与随机事件
基本结果
样本空间
(2)随机事件.
①随机事件:样本空间Ω的 称为随机事件,简称事件,常用大写字母A,B,C,…表示.当且仅当 时,称为事件A发生.
②随机事件的特殊情形:必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点).
知识梳理
子集
A中某个样本点出现
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生
相等 B A且A B
并事件(和事件) A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生
互斥(互不相容) A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生
2.事件的关系和运算
知识梳理
A B
A=B
A与B至少一个发生
A∩B或AB
A∩B=
A∩B= ,A∪B=Ω
知识梳理
3.古典概型
(1)两个特征.
①有限性:样本空间的样本点只有 ;
②等可能性:每个样本点发生的可能性 .
有限个
相等
知识梳理
4.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有 .
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为 ,即P(Ω)= ,P( )= .
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= .
性质5:如果A B,那么 ,由该性质可得,对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=
.
P(A)≥0
0
1
0
P(A)+P(B)
1－P(A)
1－P(B)
P(A)≤P(B)
P(A)+P(B)－
P(A∩B)
释疑
概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B= ,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
知识梳理
5.频率与概率
(1)频率的稳定性.
一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用.
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
稳定于
重要结论
若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+
P(An).
对点自测
1.(苏教版必修第二册P292练习T3改编)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.2,甲不输的概率为0.7,则甲、乙下成和棋的概率为(　　)
[A] 0.5 [B] 0.7 [C] 0.9 [D] 0.4
A
【解析】 甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜,且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件,所以甲、乙下成和棋的概率P=0.7－0.2=0.5.故选A.
2.(人教A版必修第二册P246习题10.1 T3改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
[A] 是互斥事件,不是对立事件
[B] 是对立事件,不是互斥事件
[C] 既是互斥事件,也是对立事件
[D] 既不是互斥事件也不是对立事件
对点自测
C
对点自测
【解析】 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成必然事件,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.故选C.
对点自测
A
对点自测
4.抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则P(A∪B)=　　　　.
对点自测
对点自测
5.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数,得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率),则估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为　　　.
0.465
【解析】 由题图知[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]的频率分别为0.1,0.2,0.235,0.3,0.065,0.1,估计锻炼天数超过15天的概率为0.3+0.065+
0.1=0.465.
对点自测
关键能力
课堂突破
1.(2025·福建福州模拟)某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”(　　)
[A] 是对立事件
[B] 都是不可能事件
[C] 是互斥事件但不是对立事件
[D] 不是互斥事件
考点一　事件的关系和运算
D
【解析】 根据题意,从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛,有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况,易得事件“至少有1名女生”即事件“1名男生和1名女生”包含于事件“至少有1名男生”,故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件.故选D.
2.(多选题)(2025·河南洛阳模拟)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动,袋中装有8个大小形状相同的小球,并标注1～8这八个数字,抽奖者从中任取一个
球,事件A表示“取出球的编号为奇数”,事件B表示“取出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,则(　 　)
[A] 事件A与事件C不互斥
[B] 事件A与事件B互为对立事件
[C] 事件B与事件C互斥
[D] 事件C与事件D互为对立事件
AB
3.已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)=
　　　　.
0.5
【解析】 由A和C对立,P(C)=0.8,可得P(A)+P(C)=1,
解得P(A)=0.2,
又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0,
由P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB),
将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(A∪B)=0.5.
题后悟通
(1)事件的关系运算策略.
进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
题后悟通
(2)辨析互斥事件与对立事件的思路.
①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生;
②在一次试验中,两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生.即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例;
③互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.
考点二　古典概型
[例1] (2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛
后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
利用公式法求解古典概型问题的步骤
解题策略
B
考点三　概率的基本性质的应用
ACD
求复杂事件的概率的两种方法
(1)直接求解法.将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用互斥事件的概率加法公式求解概率.
(2)间接求解法.若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立事件的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即
“正难则反”.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
解题策略
AC
[例3] (2025·广东梅州模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验是(　　)
[A] 抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
[B] 掷一枚质地均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率
[C] 转动如图所示的转盘,转到数字为奇数的概率
[D] 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
考点四　随机事件的频率与概率
D
计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数.
(2)由频率公式得所求,由频率估计概率.
解题策略
D
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
事件的关系和运算 3,5,11
古典概型 1,2,7,12,15,16
概率的基本性质的应用 4,8,9,10,14
随机事件的频率与概率 6,13
基础巩固练
C
基础巩固练
A
3.(2025·四川遂宁模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”,下列结论判断错误的是(　 　)
[A] C1与C2互斥
[B] D1∪D2=Ω,D1D2=
[C] D3 D2
[D] C2,C3为对立事件
D
【解析】 由题意C1与C2不可能同时发生,它们互斥,A正确;D1中点数为1或2,D2中点数为3,4,5或6,因此它们的并事件是必然事件,但它们不可能同时发生,因此D1D2为不可能事件,B正确;D3发生时,D2一定发生,但D2发生时,D3可能不发生,因此D3 D2,C正确;C2与C3不可能同时发生,但也可能都不发生,互斥不对立,D错误.故选D.
B
5.(2025·河南焦作模拟)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状大小完全相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”, D=“取出的2球不同色”,E=“取出的
2球中至多有1个白球”,下列判断正确的是(　　)
①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1;
⑤P(B)=P(C).
[A] ①② [B] ①④
[C] ③④ [D] ②③⑤
B
A
7.(5分)(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
综合运用练
B
C
AB
12.(5分)圆周上A1,A2,…,A7七个点两两相连,任选两条线段,则这两条线段无公共点的概率是　 .
13.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则他至少参加2个小组的概率为　　　　,他至多参加2个小组的概率为　 .
14.(15分)(2025·江西萍乡模拟)设集合M={0,1,2,3,…,n}(n∈N),A为M的非空子集,记X,Y分别表示取到A中的最小元素和最大元素的数值.
(1)若n=6,求事件“X=2且Y=5”的概率;
应用创新练
D
AC

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