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第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[课程标准要求]
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示.
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
还可以用图形表示.
(2)分布列的性质.
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.离散型随机变量的均值
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望.
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b.
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2,(x2－E(X))2,…,(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称
D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+…+(xn－E(X))2pn=pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中,方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2D(X).
1.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
2.方差与均值的关系:D(X)=E(X 2)－(E(X))2.
3.若X1, X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
1.(多选题)(北师大版选择性必修第一册P197练习T3改编)抛掷两颗骰子各一次,记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X,则“X>3”表示的试验的结果有(　　)
[A] 第一颗为5点,第二颗为1点
[B] 第一颗大于4点,第二颗也大于4点
[C] 第一颗为6点,第二颗为1点
[D] 第一颗为6点,第二颗为2点
2.(苏教版选择性必修第二册P146T7改编)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(2≤X<4)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(多选题)(人教A版选择性必修第三册P91复习参考题7 T4改编)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 3m
则下列结论正确的是(　　)
[A] m= [B] E(X)=
[C] E(2X－1)= [D] D(X)=
4.现有7张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,5,6,从这7张卡片中随机抽取3张,记所取卡片上数字的最大值为X,则P(X=5)=　　　　.
5.(人教A版选择性必修第三册习题7.3 P71T3改编)已知随机变量X满足P(X=1)=n,
P(X=2)=m,P(X=3)=,若E(X)=,则m=　　　　.
考点一　离散型随机变量的分布列的性质
1.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为P(k),根据统计得到P(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.(多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列结论正确的是(　　)
[A] P(X=0)=
[B] E(X)=－
[C] D(X)=
[D] P(X>－1)=
3.(2025·广西桂林模拟)已知正数a,b,c成等差数列,且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
则E(X)的取值范围是　　　　;D(X)的最大值为　　　　.
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值或取值范围.
(2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
考点二　求离散型随机变量的分布列
[例1] (2025·山东烟台模拟)为提高学生对航天科技的兴趣,培养学生良好的科学素养,某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛,比赛共设置A,B,C三个问题,规则如下:①每名参加者计分器的初始分均为50分,答对问题A,B,C分别加10分,20分,30分,答错任一题减10分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分,答题结束,挑战失败;当累计分数大于或等于80分时,答题结束,挑战成功;③每名参加者按问题A,B,C顺序作答,直至挑战结束.设甲同学能正确回答出问题A,B,C的概率分别为,,,且回答各题正确与否互不影响.
(1)求甲同学挑战成功的概率;
(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数,求X的分布列.
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
[针对训练] (2025·河南开封模拟)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球,其中一个球的标号为1,另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球,其中两个球的标号为2,3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球,求抽取的四个球中,标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球,记其中浅色球的个数为X,求X的分布列.
考点三　离散型随机变量的数字特征
角度1　求离散型随机变量的均值与方差
[例2] 某校举行知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛.
(1)下表为某10名同学的预赛成绩:
得分 93 94 95 96 97 98
人数 2 2 3 1 1 1
求这10名同学预赛成绩的第75百分位数和平均数;
(2)决赛共有编号为A,B,C,D,E的5道题,学生甲按照A,B,C,D,E的顺序依次作答,答对的概率依次为,,,,,各题作答互不影响,若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束,记X为比赛结束时学生甲已作答的题数,求X的分布列和数学期望.
求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)的应用.
角度2　均值与方差在决策中的应用
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互
独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题进行决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
[针对训练]
1.(角度1)(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)
2.(角度2)(2025·重庆模拟)某健身馆为预估2026年2月份客户投入的健身消费金额,随机抽样统计了2025年1月份100名客户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400,600),…,
[1 000,1 200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士,不少于1 000元的客户称为健身达人,现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人,再从这6人中抽取2人做进一步调查,求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率;
(2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特推出健身配套营养品的销售,现有两种促销
方案.
方案一:每满800元可立减100元;
方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
若某人打算购买1 000元的营养品,请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
离散型随机变量的 分布列及其性质 1,2,6,12
离散型随机变量的 数字特征 3,4,7,8,10,13
离散型随机变量的分布 列与数字特征的综合应用 5,9,11,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P m
则X的数学期望E(X)等于(　　)
[A] [B] 1 [C] [D] 2
2.(2025·江苏镇江模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=,则D(X)等于(　　)
X －2 0 1
P a b
[A] [B]
[C] [D]
3.(2025·四川成都模拟)若随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且P(X=k)=λk(k=1,2,3,4),则D(X)等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
4.(2025·广东清远模拟)已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X－1)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
5.(2025·辽宁鞍山模拟)某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛两局得分的数学期望为2,则ab的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
6.(多选题)(2025·山西临汾模拟)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a,b,c成等差数列,下列结论正确的是(　　)
[A] D(bX+1)=D(X)
[B] P(|X|=1)=0.5
[C] 若E(aX)=0.08,则a=0.1
[D] a－c可能等于0.1
7.(5分)一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球,从中不放回地摸出2个球,记2球中白球的个数为X,则D(X)=　　　　.
8.(9分)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
9.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知随机变量X,Y,且Y=3X+1,X的分布列如下:
X 1 2 3 4 5
P m n
若E(Y)=10,则(　　)
[A] m= [B] n=
[C] E(X)=3 [D] D(Y)=
10.(多选题)甲、乙、丙三人参加A,B,C三个地点的志愿服务活动,若每人只能选择一个地点,且选择其中任何一个地点是等可能的.记X为三人选中的地点个数,Y为三人没有选中的地点个数,则(　　)
[A] E(X)=E(Y) [B] E(X)≠E(Y)
[C] D(X)=D(Y) [D] D(X)≠D(Y)
11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列为
ξ a b
P b a
则(　　)
[A] a,b∈(0,1),E(ξ)≤
[B] a,b∈(0,1),D(ξ)=E(ξ2)－(E(ξ))2
[C] a,b∈(0,1),D(ξ)>
[D] a,b∈(0,1),D(ξ)>E(ξ)
12.(5分)袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则E(ξ)=　　　　.
13.(5分)冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的中心落在圆O中得3分,冰壶的中心落在圆环A中得2分,冰壶的中心落在圆环B中得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为,;甲、乙得2分的概率分别为,;甲、乙得1分的概率分别为,.甲、乙所得分数相同的概率为　　　　;若甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的均值为　 .
14.(12分)某车间购置了三台机器,这种机器每年需要一定次数的维修,现统计了100台这种机器一年内维修的次数,其中每年维修2次的有40台,每年维修3次的有60台,用X代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率,求X的分布列与数学期望;
(2)维修厂家有A,B两家,假设每次维修一台机器,其中A厂家单次维修费用是550元,B厂家对同一车间的维修情况进行记录,前5次维修费用是每次600元,后续维修费用每次递减100元,从每年的维修费用的期望角度来看,选择哪家厂家维修更加节省
15.(5分)(2025·安徽合肥模拟)学校为了舒展学子身心,缓解学子压力,在一周内(周一到周五)举行了别开生面“舞动青春,梦想飞扬”的竞技活动,每天活动共计有两场,第一场获胜得3分,第二场获胜得2分,无论哪一场失败均得1分,某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动,已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[课程标准要求]
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示.
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
还可以用图形表示.
(2)分布列的性质.
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.离散型随机变量的均值
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望.
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b.
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2,(x2－E(X))2,…,(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称
D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+…+(xn－E(X))2pn=pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中,方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2D(X).
1.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
2.方差与均值的关系:D(X)=E(X 2)－(E(X))2.
3.若X1, X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
1.(多选题)(北师大版选择性必修第一册P197练习T3改编)抛掷两颗骰子各一次,记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X,则“X>3”表示的试验的结果有(　　)
[A] 第一颗为5点,第二颗为1点
[B] 第一颗大于4点,第二颗也大于4点
[C] 第一颗为6点,第二颗为1点
[D] 第一颗为6点,第二颗为2点
【答案】 ACD
【解析】 因为5－1=4>3,6－1=5>3,6－2=4>3,所以选项ACD符合题意.对于选项B,第一颗大于4点,可以是5点,6点,第二颗也大于4点,可以是5点,6点,因为5－5=0<3,5－6=
－1<3,6－5=1<3,6－6=0<3,所以本选项不符合题意.故选ACD.
2.(苏教版选择性必修第二册P146T7改编)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(2≤X<4)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 依题意,分布列概率之和为1,则+++=1,解得a=10,即P(X=i)=(i=1,2,3,4),所以P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=.故选A.
3.(多选题)(人教A版选择性必修第三册P91复习参考题7 T4改编)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 3m
则下列结论正确的是(　　)
[A] m= [B] E(X)=
[C] E(2X－1)= [D] D(X)=
【答案】 ABD
【解析】 由分布列的性质得,+4m=1,
解得m=,故A正确;
E(X)=－1×+0×+1×=,故B正确;
E(2X－1)=2E(X)－1=－,故C不正确;
D(X)=×(－1－)2+×(0－)2+×(1－)2=,故D正确.故选ABD.
4.现有7张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,5,6,从这7张卡片中随机抽取3张,记所取卡片上数字的最大值为X,则P(X=5)=　　　　.
【答案】
【解析】 从这7张卡片中随机抽取3张的试验有=35个基本事件,其中X=5的事件所含基本事件数为+=16,所以P(X=5)=.
5.(人教A版选择性必修第三册习题7.3 P71T3改编)已知随机变量X满足P(X=1)=n,
P(X=2)=m,P(X=3)=,若E(X)=,则m=　　　　.
【答案】
【解析】 由分布列的性质可得,n+m+=1,
所以n+m=,
又因为E(X)=,
所以E(X)=n+2m+3×=,
即n+2m=,
联立方程
解得
考点一　离散型随机变量的分布列的性质
1.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为P(k),根据统计得到P(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知,P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1,
则P(0)[1++()2+()3+()4]=P(0)=1,解得P(0)=,
即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B.
2.(多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列结论正确的是(　　)
[A] P(X=0)=
[B] E(X)=－
[C] D(X)=
[D] P(X>－1)=
【答案】 ABD
【解析】 对于A选项,由分布列的性质可得+a+=1,可得a=,则P(X=0)=,A正确;
对于B选项,E(X)=－1×+0×+1×=－,B正确;
对于C选项,D(X)=(－1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,C错误;
对于D选项,P(X>－1)=+=,D正确.故选ABD.
3.(2025·广西桂林模拟)已知正数a,b,c成等差数列,且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
则E(X)的取值范围是　　　　;D(X)的最大值为　　　　.
【答案】 (,)　
【解析】 由已知,即
由a+c=,a>0,c>0,得0所以E(X)=a+2b+3c=2c+∈(,);
D(X)=a[1－(2c+)]2+[2－(2c+)]2+c[3－(2c+)]2
=(－c)(2c+)2+(2c－)2+c(2c－)2=－4c2+c+=－4(c－)2+,
所以当c=时,D(X)取得最大值,且最大值为.
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值或取值范围.
(2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
考点二　求离散型随机变量的分布列
[例1] (2025·山东烟台模拟)为提高学生对航天科技的兴趣,培养学生良好的科学素养,某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛,比赛共设置A,B,C三个问题,规则如下:①每名参加者计分器的初始分均为50分,答对问题A,B,C分别加10分,20分,30分,答错任一题减10分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分,答题结束,挑战失败;当累计分数大于或等于80分时,答题结束,挑战成功;③每名参加者按问题A,B,C顺序作答,直至挑战结束.设甲同学能正确回答出问题A,B,C的概率分别为,,,且回答各题正确与否互不影响.
(1)求甲同学挑战成功的概率;
(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数,求X的分布列.
【解】 (1)用Mi(i=1,2,3)表示“甲第i个问题回答正确”,
Ni(i=1,2,3)表示“甲第i个问题回答错误”,
则P(M1)=,P(M2)=,P(M3)=;
P(N1)=,P(N2)=,P(N3)=.
记事件Q表示“甲同学能挑战成功”,则
P(Q)=P(M1M2)+P(N1M2M3)+P(M1N2M3)=×+××+××=,
即甲同学能挑战成功的概率为.
(2)由题意知X的可能取值有0,1,2,
所以P(X=0)=P(N1N2)=×=,
P(X=1)=P(M1N2N3)+P(N1M2N3)=××+××=,
P(X=2)=P(M1M2)+P(N1M2M3)+P(M1N2M3)=×+××+××=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
[针对训练] (2025·河南开封模拟)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球,其中一个球的标号为1,另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球,其中两个球的标号为2,3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球,求抽取的四个球中,标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球,记其中浅色球的个数为X,求X的分布列.
【解】 (1)由题意可得共有=100种不同的抽法,抽取的四个球中,标号为1,2或1,3的种数有,标号为2,3的种数有,抽到1,2,3的种数有,合计++=34种不同的抽法,所以抽取的四个球中,标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率为=.
(2)由题意知, X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)==, P(X=1)==,
P(X=2)==, P(X=3)==,
P(X=4)==,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
考点三　离散型随机变量的数字特征
角度1　求离散型随机变量的均值与方差
[例2] 某校举行知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛.
(1)下表为某10名同学的预赛成绩:
得分 93 94 95 96 97 98
人数 2 2 3 1 1 1
求这10名同学预赛成绩的第75百分位数和平均数;
(2)决赛共有编号为A,B,C,D,E的5道题,学生甲按照A,B,C,D,E的顺序依次作答,答对的概率依次为,,,,,各题作答互不影响,若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束,记X为比赛结束时学生甲已作答的题数,求X的分布列和数学期望.
【解】 (1)因为10×0.75=7.5,所以第75百分位数为从小到大排列后第八个成绩为96;
平均数为=95.
(2)由题意可知X的取值为2,3,4,5,
所以P(X=2)=×=,
P(X=3)=××+××==,
P(X=4)=×××+×××+×××==,
P(X=5)=×××+×××+×××+×××+×××=,
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
E(X)=2×+3×+4×+5×==.
求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)的应用.
角度2　均值与方差在决策中的应用
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互
独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P65例3.
【解】 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中 1次,
所以比赛成绩不少于5分的概率为P=(1－0.63)×(1－0.53)=0.686.
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为
P甲=[1－(1－p)3]q3,
若乙先参加第一阶段比赛,
则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1－(1－q)3]p3,
因为0所以P甲－P乙=q3－(q－pq)3－p3+(p－pq)3
=(q－p)(q2+pq+p2)+(p－q)[(p－pq)2+(q－pq)2+(p－pq)(q－pq)]
=(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
=3pq(p－q)(pq－p－q)=3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0,
所以P甲>P乙,应该由甲参加第一阶段比赛.
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,
P(X=0)=(1－p)3+[1－(1－p)3]·(1－q)3,
P(X=5)=[1－(1－p)3]q(1－q)2,
P(X=10)=[1－(1－p)3]q2(1－q),
P(X=15)=[1－(1－p)3]q3,所以E(X)=15[1－(1－p)3]q=15(p3－3p2+3p)q.
若乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,
同理E(Y)=15(q3－3q2+3q)p,
所以E(X)－E(Y)=15[pq(p+q)(p－q)－3pq(p－q)]=15pq(p－q)(p+q－3),
因为00,p－q<0,p+q－3<1+1－3<0,
则pq(p－q)(p+q－3)>0,
所以E(X)>E(Y),应该由甲参加第一阶段比赛.
利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题进行决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
[针对训练]
1.(角度1)(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)
【解】 (1)设A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,
由题中的统计数据可得P(A)==.
(2)(ⅰ)设ξ为赔偿金额,则ξ可能取值为0,0.8,1.6,2.4,3,
由题中的统计数据可得P(ξ=0)==,
P(ξ=0.8)==,P(ξ=1.6)==,
P(ξ=2.4)==,P(ξ=3)==,
故E(ξ)=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278,
故E(X)=0.4－0.278=0.122(万元).
(ⅱ)由题设保费的变化为0.4××96%+0.4××1.2=0.403 2,故E(Y)=0.122+0.403 2－0.4=
0.125 2(万元).从而E(X)2.(角度2)(2025·重庆模拟)某健身馆为预估2026年2月份客户投入的健身消费金额,随机抽样统计了2025年1月份100名客户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400,600),…,
[1 000,1 200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士,不少于1 000元的客户称为健身达人,现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人,再从这6人中抽取2人做进一步调查,求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率;
(2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特推出健身配套营养品的销售,现有两种促销
方案.
方案一:每满800元可立减100元;
方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
若某人打算购买1 000元的营养品,请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
【解】 (1)消费金额在[800,1 000)的频率为0.001×200=0.2,
在[1 000,1 200]的频率为0.000 5×200=0.1,频率之比为2∶1,所以按照分层随机抽样,抽取的6人中消费金额在[800,1 000)的有
4人,消费金额在[1 000,1 200]的有2人,所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率P=
1－=.
(2)若选择方案一,则实际消费1 000－100=900(元),
若选择方案二,若不中奖,则消费1 000元,概率为()3=,
若中奖1次,则消费900元,概率为×()3=,
若中奖2次,则消费800元,概率为×()3=,
若中奖3次,则消费700元,概率为()3=,设消费金额X的可能取值1 000,900,800,700,分布列如下,
X 1 000 900 800 700
P
期望E(X)=1 000×+900×+800×+700×=850,因为850<900,说明第二种方案平均消费少,所以选择第二种方案.
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
离散型随机变量的 分布列及其性质 1,2,6,12
离散型随机变量的 数字特征 3,4,7,8,10,13
离散型随机变量的分布 列与数字特征的综合应用 5,9,11,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P m
则X的数学期望E(X)等于(　　)
[A] [B] 1 [C] [D] 2
【答案】 B
【解析】 由++m+=1,得m=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1.故选B.
2.(2025·江苏镇江模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=,则D(X)等于(　　)
X －2 0 1
P a b
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为E(X)=,且各概率之和为1,所以解得
所以D(X)=×(－2－)2+×(0－)2+×(1－)2=.故选B.
3.(2025·四川成都模拟)若随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且P(X=k)=λk(k=1,2,3,4),则D(X)等于(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 A
【解析】 由题意得λ+2λ+3λ+4λ=1,解得λ=,
故E(X)=1×+2×+3×+4×=3,
D(X)=(1－3)2×+(2－3)2×+(3－3)2×+(4－3)2×=1.故选A.
4.(2025·广东清远模拟)已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X－1)等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以由已知得1×+a×=,解得a=2,所以D(X)=(1－)2×+(2－)2×=,所以D(2X－1)=22D(X)=4×=.故选B.
5.(2025·辽宁鞍山模拟)某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛两局得分的数学期望为2,则ab的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 比赛两局的得分X可能的取值为0,1,2,3,4,6,
P(X=0)=c2, P(X=1)=2bc,
P(X=2)=b2, P(X=3)=2ac,
P(X=4)=2ab, P(X=6)=a2,
则E(X)=2bc+2b2+6ac+8ab+6a2=2b(1－a－b)+2b2+6a(1－a－b)+8ab+6a2=6a+2b=2,
则有3a+b=1≥2,得ab≤,
当且仅当3a=b,即a=,b=时等号成立,
所以ab的最大值为.故选B.
6.(多选题)(2025·山西临汾模拟)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a,b,c成等差数列,下列结论正确的是(　　)
[A] D(bX+1)=D(X)
[B] P(|X|=1)=0.5
[C] 若E(aX)=0.08,则a=0.1
[D] a－c可能等于0.1
【答案】 ABD
【解析】 依题意,a+b+c=3b=0.75,
解得b=0.25,a+c=0.5,
对于A,D(X+1)=D(X),A正确;
对于B,P(|X|=1)=P(X=－1)+P(X=1)=a+c=0.5,B正确;
对于C,E(X)=－a+c+0.5=1－2a,则E(aX)=aE(X)=a(1－2a)=0.08,解得a=0.1或a=0.4,C错误;
对于D,当a=0.3,c=0.2时,a－c=0.1,D正确.故选ABD.
7.(5分)一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球,从中不放回地摸出2个球,记2球中白球的个数为X,则D(X)=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意可知,随机变量X的可能取值有0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以E(X)=0×+1×+2×=,
D(X)=(0－)2×+(1－)2×+(2－)2×=.
8.(9分)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
【解】 (1)P==.
(2)依题意X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=3)=+=,
P(X=2)=+=,
P(X=1)=1－P(X=3)－P(X=2)
=1－=.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望
E(X)=1×+2×+3×==.
9.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知随机变量X,Y,且Y=3X+1,X的分布列如下:
X 1 2 3 4 5
P m n
若E(Y)=10,则(　　)
[A] m= [B] n=
[C] E(X)=3 [D] D(Y)=
【答案】 AC
【解析】 由m+++n+=1可得,m+n=,①
又因为E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=10,解得,E(X)=3,故C正确.
所以E(X)=m+2×+3×+4n+5×=3,
则m+4n=,②
所以由①②可得,n=,m=,故A正确,B错误;
D(X)=(1－3)2×+(2－3)2×+(3－3)2×+(4－3)2×+(5－3)2×=4×+1×+1×+4×=,
D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=9×=,故D错误.故选AC.
10.(多选题)甲、乙、丙三人参加A,B,C三个地点的志愿服务活动,若每人只能选择一个地点,且选择其中任何一个地点是等可能的.记X为三人选中的地点个数,Y为三人没有选中的地点个数,则(　　)
[A] E(X)=E(Y) [B] E(X)≠E(Y)
[C] D(X)=D(Y) [D] D(X)≠D(Y)
【答案】 BC
【解析】 由题意得,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以E(X)=1×+2×+3×=,
D(X)=(1－)2×+(2－)2×+(3－)2×=.
随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,
所以E(Y)=0×+1×+2×=,
D(Y)=(0－)2×+(1－)2×+(2－)2×=.
故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选BC.
11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列为
ξ a b
P b a
则(　　)
[A] a,b∈(0,1),E(ξ)≤
[B] a,b∈(0,1),D(ξ)=E(ξ2)－(E(ξ))2
[C] a,b∈(0,1),D(ξ)>
[D] a,b∈(0,1),D(ξ)>E(ξ)
【答案】 ABD
【解析】 由题意a+b=1,a,b∈(0,1).
对于A,E(ξ)=ab+ba=2ab≤2()2=,当且仅当a=b=时取等号,所以A正确;
对于B,一方面D(ξ)=(a－2ab)2·b+(b－2ab)2·a=ab－4(ab)2,另一方面E(ξ2)=a2b+b2a=ab(a+b)=ab,所以E(ξ2)－(E(ξ))2=ab－(2ab)2=D(ξ),所以B正确;
对于C,D(ξ)=ab－4(ab)2=－4(ab－)2+≤,所以C错误;
对于D,由D(ξ)－E(ξ)=ab－4(ab)2－ab=ab－4(ab)2>0得012.(5分)袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则E(ξ)=　　　　.
【答案】
【解析】 由题得P(ξ=2)===,即=36,所以m+n+4=9,P(一红一黄)=
===,得m=3,所以n=2,由于P(ξ=2)=,P(ξ=1)===,P(ξ=0)===,所以E(ξ)=×2+×1+×0=+=.
13.(5分)冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的中心落在圆O中得3分,冰壶的中心落在圆环A中得2分,冰壶的中心落在圆环B中得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为,;甲、乙得2分的概率分别为,;甲、乙得1分的概率分别为,.甲、乙所得分数相同的概率为　　　　;若甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的均值为　 .
【答案】 　
【解析】 由题意知,甲得0分的概率为1－=,
乙得0分的概率为1－=,
则甲、乙所得分数相同的概率为×+×+×+×=.
因为甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(X=0)=×=;
P(X=1)=×+×=;
P(X=2)=×+×+×=;
P(X=3)=×+×+×+×=;
P(X=4)=×+×+×=;
P(X=5)=×+×=;
P(X=6)=×=,
则E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
14.(12分)某车间购置了三台机器,这种机器每年需要一定次数的维修,现统计了100台这种机器一年内维修的次数,其中每年维修2次的有40台,每年维修3次的有60台,用X代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率,求X的分布列与数学期望;
(2)维修厂家有A,B两家,假设每次维修一台机器,其中A厂家单次维修费用是550元,B厂家对同一车间的维修情况进行记录,前5次维修费用是每次600元,后续维修费用每次递减100元,从每年的维修费用的期望角度来看,选择哪家厂家维修更加节省
【解】 (1)以频率估计概率,
一台机器每年需要维修2次的概率为,需要维修3次的概率为,
设Y为这三台机器每年单个需要维修三次的台数,则X=Y+6,
所以P(X=6)=P(Y=0)=()3=,
P(X=7)=P(Y=1)=()2×=,
P(X=8)=P(Y=2)=××()2=,
P(X=9)=P(Y=3)=()3=.
所以X的分布列为
X 6 7 8 9
P
则E(X)=6×+7×+8×+9×=.
(2)选择A厂家每年维修费用的期望为×550=4 290(元),选择B厂家每年维修费用的期望为3 500×+3 900×+4 200×+4 400×=4 112(元),因为4 112<4 290,所以选择B厂家维修更加节省.
15.(5分)(2025·安徽合肥模拟)学校为了舒展学子身心,缓解学子压力,在一周内(周一到周五)举行了别开生面“舞动青春,梦想飞扬”的竞技活动,每天活动共计有两场,第一场获胜得3分,第二场获胜得2分,无论哪一场失败均得1分,某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动,已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0【答案】 　
【解析】 (1)由题可知,ξ的可能取值为2,3,4,5.
因为p=,所以P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,
P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)=×=,
故ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E(ξ)=2×+3×+4×+5×=.
(2)设“一天得分不低于4分”为事件A,
则P(A)=p×+p×=p,
则f(p)=p3(1－p)2=10p3(1－p)2,
0则f′(p)=30p2(1－p)2－20p3(1－p)=10p2(1－p)(3－5p),
当00;
当所以f(p)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,故当p=时,f(p)取得最大值.
(
第
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第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为 或可以 的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
知识梳理
1.离散型随机变量
有限个
一一列举
知识梳理
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示.
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率 ,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
还可以用 表示.
P(X=xi)=pi
图形
(2)分布列的性质.
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn= .
知识梳理
1
3.离散型随机变量的均值
知识梳理
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
x1p1+x2p2+…+xnpn
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的 .
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)= .
知识梳理
平均水平
aE(X)+b
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示.
知识梳理
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
知识梳理
知识梳理
标准差
知识梳理
知识梳理
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越 ,方差或标准差越大,随机变量的取值越 .
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2D(X).
集中
分散
重要结论
1.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
2.方差与均值的关系:D(X)=E(X 2)－(E(X))2.
3.若X1, X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
对点自测
1.(多选题)(北师大版选择性必修第一册P197练习T3改编)抛掷两颗骰子各一次,记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X,则“X>3”表示的试验的结果有(　 　)
[A] 第一颗为5点,第二颗为1点
[B] 第一颗大于4点,第二颗也大于4点
[C] 第一颗为6点,第二颗为1点
[D] 第一颗为6点,第二颗为2点
ACD
对点自测
【解析】 因为5－1=4>3,6－1=5>3,6－2=4>3,所以选项ACD符合题意.对于选项B,第一颗大于4点,可以是5点,6点,第二颗也大于4点,可以是5点,6点,因为5－5=0<3,5－6=－1<3,6－5=1<3,6－6=0<3,所以本选项不符合题意.故选ACD.
对点自测
A
对点自测
3.(多选题)(人教A版选择性必修第三册P91复习参考题7 T4改编)已知随机变量X的分布列为
对点自测
ABD
对点自测
4.现有7张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,5,6,从这7张卡片中随机抽取3张,记所取卡片上数字的最大值为X,则P(X=5)=　　　　.
对点自测
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　离散型随机变量的分布列的性质
B
2.(多选题)(2025·浙江嘉兴模拟)已知X的分布列为
ABD
3.(2025·广西桂林模拟)已知正数a,b,c成等差数列,且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
则E(X)的取值范围是　　 　　;D(X)的最大值为　　 　　.
题后悟通
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值或取值范围.
(2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
考点二　求离散型随机变量的分布列
(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数,求X的分布列.
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
解题策略
[针对训练] (2025·河南开封模拟)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球,其中一个球的标号为1,另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球,其中两个球的标号为2,3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球,求抽取的四个球中,标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率;
[针对训练] (2025·河南开封模拟)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球,其中一个球的标号为1,另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球,其中两个球的标号为2,3.
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球,记其中浅色球的个数为X,求X的分布列.
角度1　求离散型随机变量的均值与方差
考点三　离散型随机变量的数字特征
[例2] 某校举行知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛.
(1)下表为某10名同学的预赛成绩:
得分 93 94 95 96 97 98
人数 2 2 3 1 1 1
求这10名同学预赛成绩的第75百分位数和平均数;
求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)的应用.
解题策略
角度2　均值与方差在决策中的应用
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
【解】 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中 1次,
所以比赛成绩不少于5分的概率为P=(1－0.63)×(1－0.53)=0.686.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
【解】 (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1－(1－p)3]q3,
若乙先参加第一阶段比赛,
则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1－(1－q)3]p3,
因为0所以P甲－P乙=q3－(q－pq)3－p3+(p－pq)3
=(q－p)(q2+pq+p2)+(p－q)[(p－pq)2+(q－pq)2+(p－pq)(q－pq)]
=(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
=3pq(p－q)(pq－p－q)=3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0,
所以P甲>P乙,应该由甲参加第一阶段比赛.
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P65例3.
利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题进行决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
解题策略
[针对训练]
1.(角度1)(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小.
(结论不要求证明)
2.(角度2)(2025·重庆模拟)某健身馆为预估2026年2月份客户投入的健身消费金额,随机抽样统计了2025年1月份100名客户的消费金额,分组如下:
[0,200),[200,400),[400,600),…,[1 000,1 200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士,不少于1 000元的客户称为健身达人,现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人,再从这6人中抽取2人做进一步调查,求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率;
课时作业
(分值:90分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
离散型随机变量的 分布列及其性质 1,2,6,12
离散型随机变量的数字特征 3,4,7,8,10,13
离散型随机变量的分布 列与数字特征的综合应用 5,9,11,14,15
1.已知离散型随机变量X的分布列为
基础巩固练
B
基础巩固练
B
3.(2025·四川成都模拟)若随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且P(X=k)=λk
(k=1,2,3,4),则D(X)等于(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
A
B
B
ABD
6.(多选题)(2025·山西临汾模拟)已知随机变量X的分布列为
7.(5分)一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球,从中不放回地摸出2个球,记2球中白球的个数为X,则D(X)=　　　　.
8.(9分)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
8.(9分)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
综合运用练
AC
10.(多选题)甲、乙、丙三人参加A,B,C三个地点的志愿服务活动,若每人只能选择一个地点,且选择其中任何一个地点是等可能的.记X为三人选中的地点个数,Y为三人没有选中的地点个数,则(　 　)
[A] E(X)=E(Y) [B] E(X)≠E(Y)
[C] D(X)=D(Y) [D] D(X)≠D(Y)
BC
ξ a b
P b a
11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列为
ABD
14.(12分)某车间购置了三台机器,这种机器每年需要一定次数的维修,现统计了100台这种机器一年内维修的次数,其中每年维修2次的有40台,每年维修
3次的有60台,用X代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率,求X的分布列与数学期望;
(2)维修厂家有A,B两家,假设每次维修一台机器,其中A厂家单次维修费用是550元,B厂家对同一车间的维修情况进行记录,前5次维修费用是每次600元,后续维修费用每次递减100元,从每年的维修费用的期望角度来看,选择哪家厂家维修更加节省
应用创新练

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