资源简介

第3节　三角恒等变换
[课程标准要求]
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的三角函数的其他公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)和角、差角公式.
S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
S(α－β):sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.
C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β.
C(α－β):cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β.
T(α+β):tan(α+β)=.
T(α－β):tan(α－β)=.
公式S(α+β),S(α－β),C(α+β),C(α－β)中的角α,β可以为任意实数,公式T(α+β),T(α－β)中的角α,β应满足α,β,α+β,α－β≠kπ+(k∈Z).
(2)倍角公式.
S2α:sin 2α=2sin αcos α.
C2α:cos 2α=cos2α－sin2α=1－2sin2α=2cos2α－1.
T2α:tan 2α=(α≠+且α≠kπ+,k∈Z).
公式S2α,C2α,T2α分别是公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)当α=β时的特殊情况.
2.简单的三角恒等变换
(1)降幂公式.
sin2α=;cos2α=;sin αcos α=sin 2α.
(2)升幂公式.
1+cos α=2cos2;
1－cos α=2sin2;
1+sin α=(sin +cos )2;
1－sin α=(sin －cos )2.
(3)半角公式.
sin =±;cos =±;tan ==(α≠kπ,k∈Z).
(4)辅助角公式.
asin α+bcos α=sin(α+φ),
其中cos φ=,sin φ=,
tan φ=.
1.常用的拆角、拼角技巧
(1)15°=45°－30°=60°－45°=.
(2)－α=－(+α),－α=－(+α),+α=π－(－α),+α=π－(－α).
(3)α=(α+β)－β=β－(β－α)=+,2α=(α+β)+(α－β),β==(α+2β)－(α+β).
2.正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β,tan α+tan β(或tan α－tan β),
tan(α+β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合
命题.
1.(人教A版必修第一册P220练习T3(5)改编)计算cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°的结果为(　　)
[A] [B] [C] － [D]
2.(人教A版必修第一册P220练习T2(1)改编)若cos α=－,α是第三象限角,则sin(α+)等于(　　)
[A] [B] －
[C] － [D]
3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.已知sin(α－π)=,则cos 2α=　　　　.
5.化简:sincos=　　　　.
考点一　三角函数式的化简
1.sin2(α－)+sin2(α+)－sin2α等于(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
2.+的化简结果为(　　)
[A] －sin 20° [B] －cos 20°
[C] cos 20° [D] sin 20°
3.化简:=　　　　.
4.已知0<α<,则
=　　　　.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则.一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),常用技巧有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例1] (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°=　　　　.
(2)=　　　　.
(3)已知α=20°,则tan α+4sin α的值为　　　　.
(4)－sin 10°(－tan 5°)=　　　　.
解决非特殊角求值问题的基本思路
(1)化非特殊角为特殊角.
(2)化为正负相消的项,消去后求值.
(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值.
(4)当有α,2α,3α,4α同时出现在一个式子中时,一般将α,3α(或4α)向2α转化,再求关于2α式子的值.
(5)切弦共存时,需要将切化弦.
角度2　给值求值
[例2] (1)(2025·山东淄博模拟)已知cos(α－)－cos α=,则sin(2α+)等于(　　)
[A] [B] － [C] [D] －
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
求角的三角函数值的一般思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时就着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,要注意±α型诱导公式的应用.
角度3　给值求角
[例3] (1)(2025·吉林长春模拟)已知cos 2α=－,sin(α+β)=－,α∈[0,],β∈[－,0],则α－β等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] 或
(2)(2025·黑龙江双鸭山模拟)已知α,β∈(0,),cos2α－sin2α=,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
“给值求角”实际上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的取值范围).
在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数,若角的取值范围是(0,),则选正弦、余弦函数皆可;若角的取值范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的取值范围是(－,),则选正弦函数较好.
[针对训练]
1.(角度1) (多选题)(2025·广东佛山模拟)下列化简正确的是(　　)
[A] =
[B] cos 82°sin 52°+sin 82°cos 128°=－
[C] sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=
[D] =4
2.(角度2)(2025·福建泉州模拟)已知sin(α－β)=2cos(α+β),tan(α－β)=,则tan α－tan β等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(角度3)已知α,β∈(0,),2tan α=,则2α+β等于(　　)
[A] [B] [C] [D] π
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=4cos xcos(x+)－.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)若α∈[0,],且f(α)=,求cos 2α.
三角恒等变换与三角函数综合问题的解题思路
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式.
(2)构造f(x)=(sin x+cos x).
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角).
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
[针对训练] 已知f(x)=sin(2x－)+2sin(x－)cos(x+).
(1)求f()的值;
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值.
微点培优6　万能公式的应用
　　sin α=,cos α=,tan α=叫万能置换公式,简称万能公式.这组公式在恒等变形中应用广泛.下面通过具体例题介绍万能公式在三角函数求值、化简、证明以及求最值方面的应用.
[典例] (1)(2025·宁夏银川模拟)若3sin(π－α)+4cos α=0,则sin 2α=　　　　.
(2)求证:=.
(3)求函数y=的最值.
在使用万能公式时,必须是在它们都有意义的前提下进行.应用万能公式的好处在于可以把角α的任意三角函数式化为同名同角tan 的有理式,尤其常用于一倍角正切与二倍角正弦、余弦之间的转化.若设 tan =t,则三角函数式可转化为关于t的有理代数式,换元后化为单变量方便求最值或值域.
[拓展演练] (1)已知α,β∈(0,π),tan =,sin(α－β)=,则cos β=　　　　.
(2)(2025·山东济宁模拟)已知6sin2α+sin αcos α－2cos2α=0,α∈(,π).则tan α=　　　　,
sin(2α+)=　　　　.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数式的化简 6
给角求值 2,9
给值求值 1,3,4,5,7
给值求角 10,11,12
三角恒等变换及其综合应用 8,13,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于(　　)
[A] 2+1 [B] 2－1
[C] [D] 1－
2.1+tan 22.5°等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(2025·江苏苏州模拟)已知sin(+α)=2sin(－α),则cos 2α的值为(　　)
[A] － [B] [C] [D]
4.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)设sin 52°=t,则(　　)
[A] cos 76°=1－2t2
[B] sin 104°=2t
[C] tan 38°=
[D] cos 26°=
5.(2024·新课标 Ⅰ 卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α－β)等于(　　)
[A] －3m [B] －
[C] [D] 3m
6.(5分)(2025·湖南长沙模拟)化简:
=　　　　.
7.(5分)(2025·山东菏泽模拟)已知α,β∈(0,),sin(2α+β)=2sin β,tan α=,则tan(α+β)=　　　.
8.(10分)已知α,β∈(0,),且3cos α=2cos β,cos αcos β=.
(1)求α+β的值;
(2)证明:0<α－β<,并求sin(α－β)的值.
9.(多选题)(2025·山西吕梁模拟)计算下列各式的值,其结果为2的有(　　)
[A] tan 15°+tan 60°
[B] ()
[C] (1+tan 18°)(1+tan 27°)
[D] 4sin 18°sin 54°
10.已知tan β=,tan(α+β)=,若β∈(0,),则β等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
11.(多选题)已知α,β,γ∈(0,),sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则下列说法正确的是(　　)
[A] cos(β－α)= [B] cos(β－α)=
[C] β－α= [D] β－α=－
12.(5分)(2025·江苏无锡模拟)已知α为锐角,且sin α+sin(α+)+sin(α+)=,则α=　　　　.
13.(12分)(1)已知0<α<,sin(－α)=,求.
(2)已知函数f(x)=(2cos2x－1)sin 2x+cos 4x,若α∈(0,π),且f()=,求 tan(α+) 的值.
14.已知α,β均为锐角,且满足=2cos α,则α－β的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
15.(15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α(<α<)的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),将角α的终边绕原点逆时针方向旋转,交单位圆O于点B(x2,y2).
(1)若x1=,求x2的值;
(2)分别过点A,B向x轴作垂线,垂足分别为C,D,记△AOC,△BOD的面积分别为S1,S2,若 S1=2S2,求角α的大小.
第3节　三角恒等变换
[课程标准要求]
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的三角函数的其他公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)和角、差角公式.
S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
S(α－β):sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.
C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β.
C(α－β):cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β.
T(α+β):tan(α+β)=.
T(α－β):tan(α－β)=.
公式S(α+β),S(α－β),C(α+β),C(α－β)中的角α,β可以为任意实数,公式T(α+β),T(α－β)中的角α,β应满足α,β,α+β,α－β≠kπ+(k∈Z).
(2)倍角公式.
S2α:sin 2α=2sin αcos α.
C2α:cos 2α=cos2α－sin2α=1－2sin2α=2cos2α－1.
T2α:tan 2α=(α≠+且α≠kπ+,k∈Z).
公式S2α,C2α,T2α分别是公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)当α=β时的特殊情况.
2.简单的三角恒等变换
(1)降幂公式.
sin2α=;cos2α=;sin αcos α=sin 2α.
(2)升幂公式.
1+cos α=2cos2;
1－cos α=2sin2;
1+sin α=(sin +cos )2;
1－sin α=(sin －cos )2.
(3)半角公式.
sin =±;cos =±;tan ==(α≠kπ,k∈Z).
(4)辅助角公式.
asin α+bcos α=sin(α+φ),
其中cos φ=,sin φ=,
tan φ=.
1.常用的拆角、拼角技巧
(1)15°=45°－30°=60°－45°=.
(2)－α=－(+α),－α=－(+α),+α=π－(－α),+α=π－(－α).
(3)α=(α+β)－β=β－(β－α)=+,2α=(α+β)+(α－β),β==(α+2β)－(α+β).
2.正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β,tan α+tan β(或tan α－tan β),
tan(α+β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合
命题.
1.(人教A版必修第一册P220练习T3(5)改编)计算cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°的结果为(　　)
[A] [B] [C] － [D]
【答案】 B
【解析】 cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°=cos(34°+26°)=cos 60°=.故选B.
2.(人教A版必修第一册P220练习T2(1)改编)若cos α=－,α是第三象限角,则sin(α+)等于(　　)
[A] [B] －
[C] － [D]
【答案】 B
【解析】 因为α是第三象限角,所以sin α<0,
所以sin α=－=－=－,
所以sin(α+)=sin αcos +cos αsin =(－)×+(－)×=－.
故选B.
3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为cos α=1－2sin2=,而α为锐角,
所以sin ===.
故选D.
4.已知sin(α－π)=,则cos 2α=　　　　.
【答案】
【解析】 sin(α－π)=－sin α=,故sin α=－,
所以cos 2α=1－2sin2α=1－2×(－)2=.
5.化简:sincos=　　　　.
【答案】 －
【解析】 sincos=2×(sincos)
=2×(sin·sin－cos·cos)
=－2cos(+)
=－2cos
=－.
考点一　三角函数式的化简
1.sin2(α－)+sin2(α+)－sin2α等于(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 原式=+－sin2α
=1－[cos(2α－)+cos(2α+)]－sin2α
=1－(cos 2αcos +sin 2αsin +cos 2αcos －sin 2αsin )－sin2α
=1－cos 2αcos －sin2α
=1－=.故选C.
2.+的化简结果为(　　)
[A] －sin 20° [B] －cos 20°
[C] cos 20° [D] sin 20°
【答案】 C
【解析】 原式=
+
=|sin 20°－cos 20°|+
=cos 20°－sin 20°+sin 20°
=cos 20°.故选C.
3.化简:=　　　　.
【答案】 cos 2x
【解析】 原式=
==
==cos 2x.
4.已知0<α<,则
=　　　　.
【答案】 －cos 2α
【解析】 原式=
=
=cos α·
=
因为0<α<,所以cos α>0,
所以原式=－cos 2α.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则.一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),常用技巧有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例1] (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°=　　　　.
(2)=　　　　.
(3)已知α=20°,则tan α+4sin α的值为　　　　.
(4)－sin 10°(－tan 5°)=　　　　.
【答案】 (1)－　(2)　(3)　(4)
【解析】 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°
=－cos 20°·cos 40°·cos 80°
=－
=－
=－=－
=－=－.
(2)
=
==.
(3)因为α=20°,则tan α+4sin α=
====.
(4)－sin 10°(－tan 5°)
=－2sin 5°cos 5°()
=－(2cos25°－2sin25°)
==
===.
解决非特殊角求值问题的基本思路
(1)化非特殊角为特殊角.
(2)化为正负相消的项,消去后求值.
(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值.
(4)当有α,2α,3α,4α同时出现在一个式子中时,一般将α,3α(或4α)向2α转化,再求关于2α式子的值.
(5)切弦共存时,需要将切化弦.
角度2　给值求值
[例2] (1)(2025·山东淄博模拟)已知cos(α－)－cos α=,则sin(2α+)等于(　　)
[A] [B] － [C] [D] －
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
【答案】 (1)B　(2)－
【解析】 (1)由cos(α－)－cos α=得,cos αcos +sin αsin －cos α=,cos αcos －sin αsin =－,
cos(α+)=－,
所以cos(2α+)=2cos2(α+)－1=,
所以sin(2α+)=cos[－(2α+)]=cos(－2α)=－cos(2α+)=－.
故选B.
(2)法一　由题意得tan(α+β)===－2,
因为α∈(2k1π,2k1π+),β∈(2k2π+π,2k2π+),k1,k2∈Z,
则α+β∈((2k1+2k2)π+π,(2k1+2k2)π+2π),k1,k2∈Z,
又因为tan(α+β)=－2<0,
则α+β∈((2k1+2k2)π+,(2k1+2k2)π+2π),k1,k2∈Z,则sin(α+β)<0,
则=－2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=－.
法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,
cos α==,
cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β
=
=
==－.
求角的三角函数值的一般思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时就着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,要注意±α型诱导公式的应用.
角度3　给值求角
[例3] (1)(2025·吉林长春模拟)已知cos 2α=－,sin(α+β)=－,α∈[0,],β∈[－,0],则α－β等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] 或
(2)(2025·黑龙江双鸭山模拟)已知α,β∈(0,),cos2α－sin2α=,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 (1)B　(2)D
【解析】 (1)因为α∈[0,],所以2α∈[0,π],
所以sin 2α===,
因为α∈[0,],β∈[－,0],
所以α+β=[－,],
所以cos(α+β)===,
又由α－β=2α－(α+β)知,
cos(α－β)=cos[2α－(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=(－)×+×(－)=－.
又因为α－β∈[0,π],所以α－β=.故选B.
(2)因为cos2α－sin2α=,cos2α+sin2α=1,
所以cos2α=,sin2α=,
因为α∈(0,),所以cos α=,sin α=,
所以tan α=.
由3sin β=sin(2α+β),得3sin[(α+β)－α]=sin[(α+β)+α],
即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,
所以sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,
所以tan(α+β)=2tan α=,
又0<α+β<,所以α+β=.
故选D.
“给值求角”实际上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的取值范围).
在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数,若角的取值范围是(0,),则选正弦、余弦函数皆可;若角的取值范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的取值范围是(－,),则选正弦函数较好.
[针对训练]
1.(角度1) (多选题)(2025·广东佛山模拟)下列化简正确的是(　　)
[A] =
[B] cos 82°sin 52°+sin 82°cos 128°=－
[C] sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=
[D] =4
【答案】 BCD
【解析】 对于A,=tan(48°+72°)=tan 120°=－,故A错误;
对于B,由cos 82°sin 52°+sin 82°cos 128°=cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°=sin(52°－82°)=
sin(－30°)=－,故B正确;
对于C,设A=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,
则A=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,
而sin2α+cos2α=1,故2A=89,即A=,故C正确;
对于D,==
===4,故D正确.
故选BCD.
2.(角度2)(2025·福建泉州模拟)已知sin(α－β)=2cos(α+β),tan(α－β)=,则tan α－tan β等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为sin(α－β)=2cos(α+β),所以tan(α－β)===,
所以4cos(α+β)=cos(α－β),展开得3cos αcos β=5sin αsin β,即 tan α·tan β=.
tan(α－β)===,所以tan α－tan β=.故选C.
3.(角度3)已知α,β∈(0,),2tan α=,则2α+β等于(　　)
[A] [B] [C] [D] π
【答案】 B
【解析】 因为2tan α=,所以==,
所以sin α+sin αsin β=cos αcos β,
所以sin α=cos αcos β－sin αsin β=cos(α+β),
所以cos(－α)=cos(α+β),
因为α,β∈(0,),
所以－α∈(0,),α+β∈(0,π),
所以－α=α+β,所以2α+β=.故选B.
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例4] 已知函数f(x)=4cos xcos(x+)－.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)若α∈[0,],且f(α)=,求cos 2α.
【解】(1)f(x)=4cos xcos(x+)－
=4cos x(cos x－sin x)－
=2cos2x－2sin xcos x－
=(1+cos 2x)－sin 2x－
=cos 2x－sin 2x
=2cos(2x+).
(2)由α∈[0,],且f(α)=,
得f(α)=2cos(2α+)=,
所以cos(2α+)=,
因为0≤α≤,所以≤2α+≤,
则≤2α+≤,
所以sin(2α+)=,则cos 2α=cos[(2α+)－]=cos(2α+)cos +sin(2α+)·sin =×+×=.
三角恒等变换与三角函数综合问题的解题思路
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式.
(2)构造f(x)=(sin x+cos x).
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角).
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
[针对训练] 已知f(x)=sin(2x－)+2sin(x－)cos(x+).
(1)求f()的值;
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值.
【解】 (1)由题意得f(x)=sin(2x－)+2sin(x－)cos(x+)
=sin(2x－)－2sin(x－)cos[π－(x+)]
=sin(2x－)－2sin(x－)cos(x－)
=sin(2x－)－sin(2x－)
=sin 2xcos －cos 2xsin +cos 2x
=sin 2x+cos 2x
=sin(2x+),
故f()=sin(2×+)=0.
(2)因为α∈(0,),所以2α+∈(,),
又因为f(α)=,
所以f(α)=sin(2α+)=,
又因为sin(2α+)=<,
所以2α+∈(,π),
所以cos(2α+)=－=－,
所以sin 2α=sin[(2α+)－]
=sin(2α+)cos －cos(2α+)sin
=×+×=.
微点培优6　万能公式的应用
　　sin α=,cos α=,tan α=叫万能置换公式,简称万能公式.这组公式在恒等变形中应用广泛.下面通过具体例题介绍万能公式在三角函数求值、化简、证明以及求最值方面的应用.
[典例] (1)(2025·宁夏银川模拟)若3sin(π－α)+4cos α=0,则sin 2α=　　　　.
(2)求证:=.
(3)求函数y=的最值.
(1)【答案】 －
【解析】 由3sin(π－α)+4cos α=0,得3sin α=－4cos α,可得tan α=－,
所以sin 2α==－.
(2)【证明】 令t=tan ,则由万能公式知左边==,右边==,左边=右边,故结论成立.
(3)【解】 令t=tan ,则由万能公式并整理得y=,
所以(7y－11)t2+2(3y+1)t+3y+1=0.
当y≠时,关于t的一元二次方程有解,由Δ≥0,得－≤y≤3且y≠;
当y=时,t=－.
综上,－≤y≤3,
所以ymax=3,ymin=－.
在使用万能公式时,必须是在它们都有意义的前提下进行.应用万能公式的好处在于可以把角α的任意三角函数式化为同名同角tan 的有理式,尤其常用于一倍角正切与二倍角正弦、余弦之间的转化.若设 tan =t,则三角函数式可转化为关于t的有理代数式,换元后化为单变量方便求最值或值域.
[拓展演练] (1)已知α,β∈(0,π),tan =,sin(α－β)=,则cos β=　　　　.
(2)(2025·山东济宁模拟)已知6sin2α+sin αcos α－2cos2α=0,α∈(,π).则tan α=　　　　,
sin(2α+)=　　　　.
【答案】 (1)　(2)－　
【解析】 (1)因为tan =,
所以sin α===,
cos α===,
因为α,β∈(0,π),cos α>0,
所以α∈(0,),
所以α－β∈(－π,),
因为sin(α－β)=>0,
所以α－β∈(0,),
所以cos(α－β)=,
所以cos β=cos(－β)=cos(α－β－α)
=cos(α－β)cos α+sin(α－β)sin α
=×+×=.
(2)因为6sin2α+sin αcos α－2cos2α
=
==0,
即6tan2α+tan α－2=0,
解得tan α=－或tan α=,
因为α∈(,π),
所以tan α=－.
因为sin 2α==－,
cos 2α==,
所以sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin =(－)×+×=.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数式的化简 6
给角求值 2,9
给值求值 1,3,4,5,7
给值求角 10,11,12
三角恒等变换及其综合应用 8,13,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于(　　)
[A] 2+1 [B] 2－1
[C] [D] 1－
【答案】 B
【解析】 因为=,
所以=,
所以1－tan α=,即tan α=1－,
所以tan(α+)===2－1.故选B.
2.1+tan 22.5°等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由tan 45°==1,
得2tan 22.5°=1－tan222.5°,
所以(tan 22.5°+1)2=2,
又tan 22.5°>0,
所以1+tan 22.5°=.
故选A.
3.(2025·江苏苏州模拟)已知sin(+α)=2sin(－α),则cos 2α的值为(　　)
[A] － [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 由sin(+α)=2sin(－α)得sin α+cos α=2(cos α－sin α),
化简得cos α=3sin α,则==tan α,
故cos 2α===.故选D.
4.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)设sin 52°=t,则(　　)
[A] cos 76°=1－2t2
[B] sin 104°=2t
[C] tan 38°=
[D] cos 26°=
【答案】 BC
【解析】 对于A,cos 76°=cos(180°－104°)=－cos 104°=2sin252°－1=2t2－1,故A错误;
对于B,sin 104°=2sin 52°cos 52°=2t,故B正确;
对于C,tan 38°====,故C正确;
对于D,cos 52°=,
所以cos226°=≠()2,故D错误.故选BC.
5.(2024·新课标 Ⅰ 卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α－β)等于(　　)
[A] －3m [B] －
[C] [D] 3m
【答案】 A
【解析】 因为cos(α+β)=m,
所以cos αcos β－sin αsin β=m,
而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β－2cos αcos β=m,即cos αcos β=－m,从而sin αsin β=－2m,故cos(α－β)=－3m.
故选A.
6.(5分)(2025·湖南长沙模拟)化简:
=　　　　.
【答案】 4sin α
【解析】 ===4sin α.
7.(5分)(2025·山东菏泽模拟)已知α,β∈(0,),sin(2α+β)=2sin β,tan α=,则tan(α+β)=　　　.
【答案】 2
【解析】 由sin(2α+β)=2sin β,
得sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)－α],
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2sin(α+β)cos α－2cos(α+β)sin α,
整理得sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,由α,β∈(0,),得α+β∈(0,π),
则cos α>0,sin(α+β)>0,于是cos(α+β)≠0,则=,又tan α=,
所以tan(α+β)=3tan α=2.
8.(10分)已知α,β∈(0,),且3cos α=2cos β,cos αcos β=.
(1)求α+β的值;
(2)证明:0<α－β<,并求sin(α－β)的值.
(1)【解】 因为α,β∈(0,),
所以cos α>0,cos β>0,
由
解得cos α=,cos β=,
所以sin α==,
sin β==,
则cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β=××=,
因为α+β∈(0,π),
所以α+β=.
(2)【证明】 因为α+β=,sin =>sin α=>sin β=,且函数y=sin x在(0,)上单调递增,
所以0<β<α<,
所以0<α－β<,
所以sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=××=.
9.(多选题)(2025·山西吕梁模拟)计算下列各式的值,其结果为2的有(　　)
[A] tan 15°+tan 60°
[B] ()
[C] (1+tan 18°)(1+tan 27°)
[D] 4sin 18°sin 54°
【答案】 ABC
【解析】 对于A,tan 15°+tan 60°=tan(45°－30°)+=+=2－+=2,故A正确;
对于B,()=·===2,故B正确;
对于C,(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=1+tan 18°tan 27°+tan(18°+27°)(1－tan 18°tan 27°)=2,故C正确;
对于D,4sin 18°sin 54°=4sin(90°－72°)sin(90°－36°)=4cos 72°cos 36°=
=====1,故D错误.
故选ABC.
10.已知tan β=,tan(α+β)=,若β∈(0,),则β等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为tan α=tan(α+β－β)=,
又因为tan β=,tan(α+β)=,
所以tan α=
=
=
=,
因为sin 2α+cos 2α=1,所以tan α=0,
所以α=kπ,k∈Z,
所以当k为奇数时,cos α=－1,sin α=0,
当k为偶数时,cos α=1,sin α=0,
因为tan β=,所以tan β=±1,
因为β∈(0,),所以β=.故选C.
11.(多选题)已知α,β,γ∈(0,),sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则下列说法正确的是(　　)
[A] cos(β－α)= [B] cos(β－α)=
[C] β－α= [D] β－α=－
【答案】 BD
【解析】 由已知可得
所以1=sin2γ+cos2γ
=(sin α－sin β)2+(cos β－cos α)2
=2－2(cos βcos α+sin βsin α)
=2－2cos(β－α),
所以cos(β－α)=,
因为α,β,γ∈(0,),则－<β－α<,
又因为sin γ=sin α－sin β>0,故α>β,
则－<β－α<0,故β－α=－.故选BD.
12.(5分)(2025·江苏无锡模拟)已知α为锐角,且sin α+sin(α+)+sin(α+)=,则α=　　　　.
【答案】
【解析】 因为sin(α+)=sin αcos +cos α·sin =sin α+cos α,
sin(α+)=sin αcos +cos αsin =－sin α+cos α,
又sin α+sin(α+)+sin(α+)=,
所以sin α+cos α=,所以sin α+cos α=,即sin(α+)=,
因为0<α<,所以<α+<,
所以α+=,所以α=.
13.(12分)(1)已知0<α<,sin(－α)=,求.
(2)已知函数f(x)=(2cos2x－1)sin 2x+cos 4x,若α∈(0,π),且f()=,求 tan(α+) 的值.
【解】 (1)已知0<α<,且sin(－α)>0,
所以0<α<.
===,
sin(α+)=sin[－(－α)]=cos(－α)==,
sin 2α=sin[2(α－)+]=cos[2(α－)]=1－2sin2(α－)=1－2×(－)2=,
所以原式==.
(2)f(x)=cos 2xsin 2x+cos 4x
=sin 4x+cos 4x
=(sin 4x+cos 4x)
=sin(4x+).
因为f()=sin(α－+)=sin(α－)=,
所以sin(α－)=1,所以α－=+2kπ(k∈Z),
即α=+2kπ(k∈Z),
又α∈(0,π),故α=,
所以tan(α+)=tan(+)
====2－.
14.已知α,β均为锐角,且满足=2cos α,则α－β的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由=2cos α,
得sin(α－β)=2cos αsin β,
即sin αcos β－cos αsin β=2cos αsin β,化简得 sin αcos β=3cos αsin β,
则tan α=3tan β,
所以tan(α－β)===,
由β为锐角,tan β>0,
则有+3tan β≥2=2,
当且仅当=3tan β,即tan β=时,等号成立,
tan(α－β)=≤=,
由α－β∈(－,),函数y=tan x在(－,)上单调递增,
得α－β的最大值为.故选B.
15.(15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α(<α<)的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),将角α的终边绕原点逆时针方向旋转,交单位圆O于点B(x2,y2).
(1)若x1=,求x2的值;
(2)分别过点A,B向x轴作垂线,垂足分别为C,D,记△AOC,△BOD的面积分别为S1,S2,若 S1=2S2,求角α的大小.
【解】 (1)由已知得cos α=x1=,
sin α===,
所以x2=cos(α+)=cos αcos －sin αsin =××=.
(2)根据条件知S1=sin αcos α=sin 2α,S2=－sin(α+)cos(α+)=－sin(2α+).
因为S1=2S2,
所以sin 2α=－2sin(2α+)=－2(sin 2αcos +cos 2αsin )=sin 2α－cos 2α,
于是cos 2α=0,
因为<α<,所以<2α<π,
所以2α=,解得α=.
(
第
9
页
)(共106张PPT)
第3节　三角恒等变换
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的三角函数的其他公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)和角、差角公式.
S(α+β):sin(α+β)= .
S(α－β):sin(α－β)= .
C(α+β):cos(α+β)= .
C(α－β):cos(α－β)= .
T(α+β):tan(α+β)= .
T(α－β):tan(α－β)= .
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β+sin αsin β
释疑
知识梳理
(2)倍角公式.
S2α:sin 2α= .
C2α:cos 2α= = = .
2sin αcos α
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2cos2α－1
释疑
知识梳理
2.简单的三角恒等变换
(1)降幂公式.
知识梳理
(2)升幂公式.
知识梳理
(3)半角公式.
重要结论
1.常用的拆角、拼角技巧
重要结论
2.正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β,tan α+tan β(或tan α－tan β),
tan(α+β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.
对点自测
1.(人教A版必修第一册P220练习T3(5)改编)计算cos 34°cos 26°－
sin 34°sin 26°的结果为(　　)
B
B
对点自测
对点自测
对点自测
D
对点自测
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　三角函数式的化简
C
[A] －sin 20° [B] －cos 20°
[C] cos 20° [D] sin 20°
C
－cos 2α
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则.一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),常用技巧有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
题后悟通
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例1] (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°=　　　　.
(3)已知α=20°,则tan α+4sin α的值为　　　　.
解题策略
解决非特殊角求值问题的基本思路
(1)化非特殊角为特殊角.
(2)化为正负相消的项,消去后求值.
(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值.
(4)当有α,2α,3α,4α同时出现在一个式子中时,一般将α,3α(或4α)向2α转化,再求关于2α式子的值.
(5)切弦共存时,需要将切化弦.
角度2　给值求值
B
解题策略
求角的三角函数值的一般思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
角度3　给值求角
B
D
解题策略
“给值求角”实际上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的取值范围).
在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
BCD
1.(角度1) (多选题)(2025·广东佛山模拟)下列化简正确的是(　 　)
[针对训练]
C
B
考点三　三角恒等变换的综合应用
(1)化简函数f(x)的解析式;
解题策略
三角恒等变换与三角函数综合问题的解题思路
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式.
(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
微点培优6　万能公式的应用
知识链接
题型演绎
[典例] (1)(2025·宁夏银川模拟)若3sin(π－α)+4cos α=0,则sin 2α=　　　　.
反思归纳
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
三角函数式的化简 6
给角求值 2,9
给值求值 1,3,4,5,7
给值求角 10,11,12
三角恒等变换及其综合应用 8,13,14,15
基础巩固练
B
2.1+tan 22.5°等于(　　)
A
D
4.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)设sin 52°=t,则(　 　)
[A] cos 76°=1－2t2
BC
5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α－β)等于(　　)
A
【解析】 因为cos(α+β)=m,
所以cos αcos β－sin αsin β=m,
而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β－2cos αcos β=m,即cos αcos β=－m,从而sin αsin β=－2m,
故cos(α－β)=－3m.
故选A.
6.(5分)(2025·湖南长沙模拟)化简:
4sin α
2
(1)求α+β的值;
综合运用练
9.(多选题)(2025·山西吕梁模拟)计算下列各式的值,其结果为2的有( 　　)
[A] tan 15°+tan 60°
[C] (1+tan 18°)(1+tan 27°)
[D] 4sin 18°sin 54°
ABC
C
BD
B
应用创新练
(2)分别过点A,B向x轴作垂线,垂足分别为C,D,记△AOC,△BOD的面积分别为S1,S2,若 S1=2S2,求角α的大小.

展开更多......

收起↑