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第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数
模型.
1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.
振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx+φ φ
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点
ωx+φ 0 π 2π
x
y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.
3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.
1.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)y=2sin(x)的振幅、频率和初相分别为(　　)
[A] 2,4π, [B] 2,,
[C] 2,, [D] 2,4π,
2.(多选题)(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)下列四种变换,其中能使y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的是(　　)
[A] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
[B] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
[C] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
[D] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)
[A]　
[B]
[C]　
[D]
4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　.
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1] (2025·陕西西安模拟)将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是(　　)
[A] [B] π
[C] [D]
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的
图象变换常用的方法
(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.
[针对训练] (2025·湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得到的图象与y=sin x图象重合,则(　　)
[A] ω=2,φ= [B] ω=2,φ=
[C] ω=,φ= [D] ω=,φ=
考点二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例2] (1)(2025·四川攀枝花模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x)的函数解析式为(　　)
[A] y=sin(2x+)
[B] y=cos 2x
[C] y=sin 2x
[D] y=sin(2x+)
(2)(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的
图象确定解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.
[针对训练] (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中A(,0),B(,－2),则f(x)≥ 的解集为(　　)
[A] [+,+](k∈Z)
[B] [+,+](k∈Z)
[C] [+,+](k∈Z)
[D] [+,+](k∈Z)
(2)(2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的大致图象如图所示,将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x) 的解析式为(　　)
[A] g(x)=2cos(x)－1
[B] g(x)=2cos(x+)－1
[C] g(x)=2cos(x+)－1
[D] g(x)=2cos(x)－1
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
角度1　图象与性质的综合应用
[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
①f(x)≤f();②函数f(x+)为偶函数;③f(x)+f(x)=2;④f(x)在[,]上单调递增.
所有正确结论的序号是(　　)
[A] ①② [B] ①③④
[C] ③④ [D] ①④
角度2　函数零点(方程根)问题
[例4] 将函数f(x)=sin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解,则实数m的取值范围为　　　　　.
角度3　三角函数模型
[例5] (多选题)(2025·广东六校联考)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6 s.经过t s后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列结论正确的是(　　)
[A] φ=
[B] 当t∈[0,2]时,函数y=f(t)单调递增
[C] 当t∈[3,5]时,函数最小值为－2
[D] 当t=9时,PA=4
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行
解题.
(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
1.(角度1)将最小正周期为π的函数f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
[A] 对称轴方程为x=+,k∈Z
[B] 在[0,]内单调递增
[C] 对称中心为(+,1),k∈Z
[D] 在[0,]内最小值为－1
2.(角度2)(2024·新课标 Ⅰ 卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x)的交点个数为(　　)
[A] 3 [B] 4
[C] 6 [D] 8
3.(角度3)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20 ℃时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28 ℃时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内5～17时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:h)近似满足关系式T=20－10·sin(t),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin ≈0.8)(　　)
[A] 1.4 h [B] 2.4 h
[C] 3.2 h [D] 5.6 h
微点培优7　三角函数中ω的求解
类型一　三角函数的单调性与ω的关系
[典例1] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且在[,]上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,) [B] [,1]
[C] (0,] [D] [,1)
根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,
求ω的取值范围的方法
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围.
第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2－x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步,以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的范围;
第三步,结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.
(2)f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调 (a,b)内至少有一条对称轴,aω+φφ(k∈Z).
[拓展演练1] (多选题)已知函数y=sin(ωx+)(ω>0)在(0,π)上有且仅有两个单调递减区间,则ω的值可以是(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
类型二　三角函数的周期、对称性与ω的关系
[典例2] (1)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若对于任意实数x,都有f(x)=－f(x),则ω的最小值为(　　)
[A] 2 [B]
[C] 4 [D] 8
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,] [B] (,]
[C] [,) [D] [,+∞)
根据三角函数的周期与对称性
求ω的取值(范围)的方法
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,因此可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式(组),进而可以研究ω的取值范围.
[拓展演练2] (2025·陕西榆林模拟)将函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x=对称,则实数ω的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
类型三　三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (2025·北京模拟)函数f(x)=3sin(ωx)(ω>0),f(x1)=－3,f(x2)=3,且|x1－x2|的最小值为2π,则ω的值为(　　)
[A] [B] 1
[C] 2 [D] 3
根据三角函数在给定区间上的最值
点,求ω的取值范围的方法
三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.
由于正弦型函数在一个周期上必有一个最大值点与一个最小值点,根据函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的最值点的个数求ω的取值范围问题,首先根据x的范围,求出ωx+φ的范围,结合最大值点与最小值点在一个周期内出现的位置(如y=sin x在[0,2π]内的最大值点出现在处,而最小值点出现在T处)列出不等式求解.
[拓展演练3] (2025·湖南株洲模拟)已知f(x)=sin ωx(ω∈N*),若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则ω的取值可以为　　　　.(填一个值即可)
类型四　三角函数的零点与ω的关系
[典例4] (2025·陕西安康模拟)将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),可以得到函数g(x)的图象,若g(x)在(,)上没有零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,] [B] [,3]
[C] (0,3] [D] (3,+∞)
根据三角函数在给定区间上零点的个数
求ω的取值范围的方法
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内没有零点 b－a≤且kπ≤aω+φ(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内有n个零点
(k∈Z)
[拓展演练4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] [,) [B] [,)
[C] (,] [D] (,]
(分值:90分)
知识点、方法 题号
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4
函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10
三角函数中ω的求解 5,7,12
三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13, 14,15
单选每题5分,填空每题5分.
1.(2025·广西柳州模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式是(　　)
[A] y=sin(x+) [B] y=sin(2x+)
[C] y=sin(x) [D] y=sin(2x)
2.在函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] 6 [D] 9
3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f()等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.(2025·河南新乡模拟)为了得到y=3sin(2x+)的图象,只要把y=3cos(2x)的图象向左平移　　个单位长度(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(2025·湖南娄底模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),若f(x)在区间[0,1]上有三个零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] [,)
[C] (,) [D] [,)
6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写道:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　　　　　　　.
7.(5分)(2025·浙江宁波模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)在(,)上单调递增,则ω的取值范围是　　　　　　.
8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;
(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.
9.(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),f(x)=f(x),则(　　)
[A] f(0)=
[B] f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
[C] f(x)在(,)上单调递减
[D] f(x)+f(+x)=0
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
11.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与y=x的交点个数为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
12.(5分)(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个最大值点,则实数ω的取值范围是　　　　　　.
13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),如图是y=f(x)的部分图象,则f(x)在区间[0,]上的值域是　　　　.
14 (15分)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)=在区间(0,2π)内的所有实数解的和.
15.(2025·江西景德镇模拟)函数f(x)=cos ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,|f(π)|=1,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=,则cos(4α+)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数
模型.
1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.
振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx+φ φ
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点
ωx+φ 0 π 2π
x
y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.
3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.
1.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)y=2sin(x)的振幅、频率和初相分别为(　　)
[A] 2,4π, [B] 2,,
[C] 2,, [D] 2,4π,
【答案】 C
【解析】 由题意知A=2,f===,初相为.故选C.
2.(多选题)(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)下列四种变换,其中能使y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的是(　　)
[A] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
[B] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
[C] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
[D] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
【答案】 AD
【解析】 由y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的变换方式有两种,
第一种:先平移变换,后周期变换,由y=sin x的图象先向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,接着再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y=sin(2x+)的图象,A正确,B错误.
第二种:先周期变换,后平移变换,
先将y=sin x的图象各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y=sin 2x的图象,
再将所得图象向左平移个单位长度得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象,D正确,C错误.故选AD.
3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)
[A]　
[B]
[C]　
[D]
【答案】 B
【解析】 把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y1=cos x+1的图象,然后向右平移1个单位长度得到y2=cos(x－1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得到y3=cos(x－1)的图象.令x=0,得y3>0;令x=+1,得y3=0,观察即知B正确.故选B.
4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　.
【答案】 f(x)=2sin(x)
【解析】 由题图可得A=2,
又T=2×[6－(－2)]=16,故ω=,
故×6+φ=2kπ(k∈Z),
得φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<π,得φ=,所以f(x)=2sin(x).
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1] (2025·陕西西安模拟)将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是(　　)
[A] [B] π
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m个单位长度,得到y=2sin[2(x+m)]=
2sin(2x+2m)的图象,因为y=2sin(2x+2m)的图象关于原点对称,所以2m=kπ,k∈Z,即m=+,k∈Z,当k=3时,得m=,使m=+=,m=+=π,m=+=的整数k不存在,A,B,C
不符合题意,D符合题意.故选D.
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的
图象变换常用的方法
(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.
[针对训练] (2025·湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得到的图象与y=sin x图象重合,则(　　)
[A] ω=2,φ= [B] ω=2,φ=
[C] ω=,φ= [D] ω=,φ=
【答案】 A
【解析】 法一　可以先将函数y=sin x图象的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,函数解析式变为y=sin 2x,
再向左平移个单位长度,得到y=sin(2x+)的图象,又sin(2x+)=sin(+2x+)=cos(2x+),所以ω=2,φ=.故选A.
法二　将f(x)=cos(ωx+φ)的图象先向右平移个单位长度可得到y=cos[ω(x)+φ]的图象,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=cos[ω(x)+φ]=cos(ωxω+φ)=sin(ωxω+φ+)的图象,该图象与y=sin x图象重合,
故
解得故选A.
考点二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例2] (1)(2025·四川攀枝花模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x)的函数解析式为(　　)
[A] y=sin(2x+)
[B] y=cos 2x
[C] y=sin 2x
[D] y=sin(2x+)
(2)(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
【答案】 (1)A　(2)
【解析】 (1)由题图可得|A|=1,又A>0,故A=1,T==,故T=π,则|ω|===2,又ω>0,故ω=2,f()=sin(2×+φ)=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,故φ=,则f(x)=sin(2x+).故选A.
(2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2－x1=,
令ωx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,
ωx2+φ－(ωx1+φ)==,
即ω(x2－x1)=,
所以ω=4.
因为f()=sin(+φ)=0,
所以+φ=2kπ,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(4x+2kπ)=sin(4x),
所以f(π)=sin(4π)=sin =.
由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的
图象确定解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.
[针对训练] (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中A(,0),B(,－2),则f(x)≥ 的解集为(　　)
[A] [+,+](k∈Z)
[B] [+,+](k∈Z)
[C] [+,+](k∈Z)
[D] [+,+](k∈Z)
(2)(2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的大致图象如图所示,将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x) 的解析式为(　　)
[A] g(x)=2cos(x)－1
[B] g(x)=2cos(x+)－1
[C] g(x)=2cos(x+)－1
[D] g(x)=2cos(x)－1
【答案】 (1)B　(2)B
【解析】 (1)由题意可知T=()=,T==,ω>0,ω=4,f()=2sin(+φ)=－2,
sin(+φ)=－1,+φ=+2kπ,k∈Z,
φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(4x).令f(x)=2sin(4x)≥ ,
则sin(4x)≥,所以+2kπ≤4x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).故选B.
(2)依题意解得
所以f(x)=2cos(ωx+φ)－1,
而f ()=1,f ()=－1,所以==,故T=π=,则ω=2,
所以f(x)=2cos(2x+φ)－1,而2cos(+φ)－1=1,所以+φ=2kπ(k∈Z),
φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<,故φ=,
所以f(x)=2cos(2x)－1.
将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,得到y=2cos(x)－1的图象,
再向左平移个单位长度,得到g(x)=2cos(x+)－1=2cos(x+)－1.故选B.
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
角度1　图象与性质的综合应用
[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
①f(x)≤f();②函数f(x+)为偶函数;③f(x)+f(x)=2;④f(x)在[,]上单调递增.
所有正确结论的序号是(　　)
[A] ①② [B] ①③④
[C] ③④ [D] ①④
【答案】 B
【解析】 由题图可得A==1,B==1,且ω>0,则T==2×[()]=π,
即ω=2,×2+φ=+2kπ,
k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,故φ=,即f(x)=sin(2x+)+1,
对于①,2×+===4π+,令t=2x+,当t=时,函数y=sin t取最大值,故f()是函数f(x)的最大值,故①正确;对于②,f(x+)=sin(2x++)+1=sin(2x+)+1,故②错误;
对于③,f(x)=sin(2x+)+1=sin(－2x+)+1=－sin(2x)+1=－sin(2x+)+1,
则f(x)+f(x)=sin(2x+)+1－sin(2x+)+1=2,故③正确;
对于④,当x∈[,]时,2x+∈[,]=[4π,4π+],由函数y=sin t在[4π,4π+]上单调递增,故函数f(x)在[,]上单调递增,故④正确.故选B.
角度2　函数零点(方程根)问题
[例4] 将函数f(x)=sin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解,则实数m的取值范围为　　　　　.
【答案】 [1,2)
【解析】 依题意,g(x)=2sin(x+)=2sin(x+),则关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解可转化为
函数y=m的图象与函数g(x)=2sin(x+)的图象在[0,π]上有两个交点.
由x∈[0,π]可得≤x+≤,取X=x+,作出函数y=2sin X在[,]上的大致图象.
由图知,要使函数y=m的图象与其有两个交点,需使1≤m<2,
即实数m的取值范围为[1,2).
角度3　三角函数模型
[例5] (多选题)(2025·广东六校联考)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6 s.经过t s后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列结论正确的是(　　)
[A] φ=
[B] 当t∈[0,2]时,函数y=f(t)单调递增
[C] 当t∈[3,5]时,函数最小值为－2
[D] 当t=9时,PA=4
【答案】 BD
【解析】 因为R==2,T==6,得ω=,所以f(t)=2sin(t+φ),f(0)=2sin φ=,
sin φ=,由于|φ|<,所以φ=,f(t)=2sin(t),A错误;若0≤t≤2,则≤t≤,又y=
sin x在区间[,]上单调递增,所以f(t)在[0,2]上单调递增,B正确;若3≤t≤5,则≤t≤,所以当t=时,f(t)取得最小值为2×()=,C错误;当t=9时,转了一圈半,点P与点A关于原点(圆心)对称,则PA=2R=4,D正确.
故选BD.
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行
解题.
(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
1.(角度1)将最小正周期为π的函数f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
[A] 对称轴方程为x=+,k∈Z
[B] 在[0,]内单调递增
[C] 对称中心为(+,1),k∈Z
[D] 在[0,]内最小值为－1
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,解得ω=1,则由平移变换可得g(x)=2sin[2(x+)]+1=2sin(2x+)+1.对于A,令2x+=+kπ,k∈Z,得对称轴方程为x=+,k∈Z,A错误;
对于B,由≤2x+≤得≤x≤,所以g(x)在[0,]上单调递增,由≤2x+≤得≤x≤,所以g(x)在[,]上单调递减,B错误;
对于C,令2x+=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以g(x)的对称中心为(+,1),k∈Z,C正确;
对于D,因为g(0)=2sin +1=+1,g()=－2sin +1=1,g(0)>g(),所以结合B中的分析可得g(x)在[0,]内的最小值为g()=1,D错误.故选C.
2.(角度2)(2024·新课标 Ⅰ 卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x)的交点个数为(　　)
[A] 3 [B] 4
[C] 6 [D] 8
【答案】 C
【解析】 因为函数y=sin x的最小正周期为2π,
函数y=2sin(3x)的最小正周期为,
所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin(3x)有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数的大致图象,如图所示.
由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
3.(角度3)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20 ℃时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28 ℃时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内5～17时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:h)近似满足关系式T=20－10·sin(t),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin ≈0.8)(　　)
[A] 1.4 h [B] 2.4 h
[C] 3.2 h [D] 5.6 h
【答案】 B
【解析】 设t1时开始开放,t2时开始闭合,则20－10sin(t1)=20,又t1∈[5,17],函数T=
20－10sin(t)的单调递增区间为[16k+5,16k+13](k∈Z),即在[5,13]时,温度升高,
则t1∈[5,13],解得t1=9,20－10sin(t2)=28,所以sin(t2)=,由sin ≈0.8得
sin ≈,所以t2≈,所以t2≈,所以t2－t1≈=2.4.故选B.
微点培优7　三角函数中ω的求解
类型一　三角函数的单调性与ω的关系
[典例1] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且在[,]上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,) [B] [,1]
[C] (0,] [D] [,1)
【答案】 C
【解析】 因为f(x)为奇函数,0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos(ωx+)=－sin ωx.令t=ωx,
x∈[,],ω>0,则t∈[,],因为f(x)在[,]上单调递减,所以解得0<ω≤.故选C.
根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,
求ω的取值范围的方法
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围.
第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2－x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步,以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的范围;
第三步,结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.
(2)f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调 (a,b)内至少有一条对称轴,aω+φφ(k∈Z).
[拓展演练1] (多选题)已知函数y=sin(ωx+)(ω>0)在(0,π)上有且仅有两个单调递减区间,则ω的值可以是(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 CD
【解析】 令θ=ωx+,因为x∈(0,π),所以θ∈(,ωπ+),由题知y=sin θ在(,ωπ+)上有且仅有两个单调递减区间,则有<ωπ+≤,即<ω≤,C,D符合题意,A,B不符合题意.故选CD.
类型二　三角函数的周期、对称性与ω的关系
[典例2] (1)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若对于任意实数x,都有f(x)=－f(x),则ω的最小值为(　　)
[A] 2 [B]
[C] 4 [D] 8
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,] [B] (,]
[C] [,) [D] [,+∞)
【答案】 (1)C　(2)A
【解析】 (1)因为对于任意实数x,都有f(x)=－f(x),则有函数f(x)图象关于点(,0)对称,因此ω+=kπ,k∈Z,解得ω=6k－2,k∈Z,而ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值4.故选C.
(2)因为x∈(0,2π),ω>0,
所以ωx∈(,2ωπ).
令z=ωx,
画出y=2cos z+1的部分图象,
要想图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ∈(,3π],解得ω∈(0,].
故选A.
根据三角函数的周期与对称性
求ω的取值(范围)的方法
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,因此可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式(组),进而可以研究ω的取值范围.
[拓展演练2] (2025·陕西榆林模拟)将函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x=对称,则实数ω的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)=cos[ω(x+)+]=cos(ωx++),又由函数g(x)图象关于x=对称,所以ω·++=kπ,
k∈Z,解得ω=,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,最小值为.故选C.
类型三　三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (2025·北京模拟)函数f(x)=3sin(ωx)(ω>0),f(x1)=－3,f(x2)=3,且|x1－x2|的最小值为2π,则ω的值为(　　)
[A] [B] 1
[C] 2 [D] 3
【答案】 A
【解析】 依题意,f(x1)=－3,f(x2)=3,即x1是最小值点,x2是最大值点,且|x1－x2|的最小值为2π,所以T==2π×2=4π,ω=.故选A.
根据三角函数在给定区间上的最值
点,求ω的取值范围的方法
三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.
由于正弦型函数在一个周期上必有一个最大值点与一个最小值点,根据函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的最值点的个数求ω的取值范围问题,首先根据x的范围,求出ωx+φ的范围,结合最大值点与最小值点在一个周期内出现的位置(如y=sin x在[0,2π]内的最大值点出现在处,而最小值点出现在T处)列出不等式求解.
[拓展演练3] (2025·湖南株洲模拟)已知f(x)=sin ωx(ω∈N*),若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则ω的取值可以为　　　　.(填一个值即可)
【答案】 5(答案不唯一)
【解析】 f(x)=sin ωx≤1,ω∈N*,若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则在区间[0,]上f(x)至少存在两个最大值点,所以≥,所以ω≥5,又ω∈N*,所以ω可以
为5.
类型四　三角函数的零点与ω的关系
[典例4] (2025·陕西安康模拟)将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),可以得到函数g(x)的图象,若g(x)在(,)上没有零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] (0,] [B] [,3]
[C] (0,3] [D] (3,+∞)
【答案】 A
【解析】 将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+),再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,即g(x)=sin(ωx+),因为x∈(,),所以ω+<ωx+<ω+,因为g(x)在(,)上无零点,
所以(ω+,ω+) [kπ,kπ+π](k∈Z),即(k∈Z)解得6k－1≤ω≤2k+(k∈Z),因为
所以k=0,0<ω≤.故选A.
根据三角函数在给定区间上零点的个数
求ω的取值范围的方法
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内没有零点 b－a≤且kπ≤aω+φ(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内有n个零点
(k∈Z)
[拓展演练4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] [,) [B] [,)
[C] (,] [D] (,]
【答案】 C
【解析】 由x∈(0,π),得ωx+∈(,πω+).根据函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点,知<πω+≤,得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0,π)恰有两个零点,知2π<πω+≤3π,得<ω≤.综上,ω的取值范围为<ω≤.故选C.
(分值:90分)
知识点、方法 题号
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4
函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10
三角函数中ω的求解 5,7,12
三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13, 14,15
单选每题5分,填空每题5分.
1.(2025·广西柳州模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式是(　　)
[A] y=sin(x+) [B] y=sin(2x+)
[C] y=sin(x) [D] y=sin(2x)
【答案】 A
【解析】 将函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象,
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x+)的图象.故选A.
2.在函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] 6 [D] 9
【答案】 A
【解析】 因为函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后得y=sin[ω(x)+],
所以当ω=2时,
y=sin[2(x)+]≠sin(2x+),
当ω=3时,y=sin[3(x)+]=sin(3x+),
当ω=6时,y=sin[6(x)+]=sin(6x+),
当ω=9时,y=sin[9(x)+]=sin(9x+).故选A.
3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f()等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)上单调递增,且直线x=和直线x=为函数图象的两条相邻对称轴,
所以==,
且ω>0,则T=π,ω==2,
当x=时,f(x)取得最小值,则2×+φ=2kπ,k∈Z,
则φ=2kπ,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=sin(2x),
则f()=sin()=.
故选D.
4.(2025·河南新乡模拟)为了得到y=3sin(2x+)的图象,只要把y=3cos(2x)的图象向左平移　　个单位长度(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 假设y=3cos(2x)向左平移φ个单位长度,得到y=3sin(2x+π)的图象,
y=3cos[2(x+φ)]
=3cos(2x－2φ)
=3cos[(2x+2φ+)]
=3sin(2x+2φ+),
即2φ+=π+2kπ,k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z,
选项中,只有符合.故选B.
5.(2025·湖南娄底模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),若f(x)在区间[0,1]上有三个零点,则ω的取值范围是(　　)
[A] (,) [B] [,)
[C] (,) [D] [,)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=cos(ωx+),且x∈[0,1],令t=ωx+,则y=cos t,t∈[,ω+],即y=cos t 在[,ω+]上有三个零点,由余弦函数图象(图略)知≤ω+<,解得≤ω<.故选D.
6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写道:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　　　　　　　.
【答案】 sin(x+)
【解析】 由题知,A=1,T==4×()=,所以ω=,即f(x)=sin(x+φ),
又因为f()=1,|φ|<,所以×+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),故φ=,即f(x)=sin(x+).
7.(5分)(2025·浙江宁波模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)在(,)上单调递增,则ω的取值范围是　　　　　　.
【答案】 (0,]
【解析】 由题设g(x)=sin(ωx++),
又x∈(,),
则t=ωx++∈(+,ωπ+),即y=sin t 在(+,ωπ+)上单调递增,
又ω>0,所以或且k∈N,故0<ω≤或
且k∈N(显然无解),则ω∈(0,].
8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;
(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.
【解】(1)由表中数据可知T=12,f(t)的最大值为1.5,最小值为0.5,所以ω===,
A==,b==1,
所以f(t)=cos t+1.
(2)由(1)可知f(t)=cos t+1,由cos t+1≥1,得cos t≥0,所以2kπ≤t≤2kπ+,k∈Z,
所以12k－3≤t≤12k+3,k∈Z,
因为8≤t≤20,所以k=1,9≤t≤15,
所以一天内从上午9点到下午3点共有6个小时可供冲浪爱好者进行运动.
9.(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),f(x)=f(x),则(　　)
[A] f(0)=
[B] f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
[C] f(x)在(,)上单调递减
[D] f(x)+f(+x)=0
【答案】 D
【解析】 根据题意,f(x)=f(x),即函数f(x)关于直线x=对称,即2×+φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,f(x)=sin(2x+),则f(0)=sin =,A错误;f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=f(x+)=sin[2(x+)+]=sin(2x+),而g(0)=sin =≠±1,B错误;x∈(,),则2x+
∈(,),则函数f(x)先减后增,C错误;f(x)+f(+x)=sin[2(x)+]+sin[2(+x)+]=
sin(π－2x)+sin(π+2x)=sin 2x－sin 2x=0,D正确.故选D.
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由f()=1,得sin(ω+φ)=,又点(,1)及附近点从左到右是上升的,则ω+φ=+2kπ,k∈Z,由f()=0,点(,0)及附近点从左到右是下降的,且上升、下降的两段图象相邻,得ω+φ=π+2kπ,k∈Z,联立解得ω=2,φ=+2kπ,k∈Z,而|φ|<,于是φ=,f(x)=sin(2x),若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,得到y=sin(2x－2θ),所得曲线关于y轴对称,则－2θ=k′π,k′∈Z,而θ>0,因此θ=+,k′∈N*,所以当k′=1时,θ取得最小值.故选A.
11.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与y=x的交点个数为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
【答案】 C
【解析】 因为y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=－sin 2x,所以f(x)=－sin 2x.而直线y=x显然过(0,)与(1,0)两点,作出f(x)与y=x的部分图象大致如图,
考虑x=,x=,x=处f(x)与y=x的大小关系,
当x=时,f()=－sin()=－1,y=×()=<－1;
当x=时,f()=－sin =1,y=×=<1;
当x=时,f()=－sin =1,y=×=>1.
所以由图可知,y=f(x)的图象与y=x的交点个数为3.故选C.
12.(5分)(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个最大值点,则实数ω的取值范围是　　　　　　.
【答案】 (,]
【解析】 因为x∈(0,π),则ωx+∈(,ωπ+),所以由题意得,<ωπ+≤,解得<ω≤,
故ω的取值范围是(,].
13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),如图是y=f(x)的部分图象,则f(x)在区间[0,]上的值域是　　　　.
【答案】 [－2,]
【解析】 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+),
由题图可知f(0)=,即2sin(φ+)=,
得sin(φ+)=,
由于在O附近从左到右是下降的.
所以φ+=2kπ+(k∈Z),
解得φ=2kπ+(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin(ωx+),
根据题图可得<<,则因为f(x)=2sin(ωx+),且图象过点(,0),且在附近从左到右是上升的,
所以2sin[()ω+]=0,
所以()ω+=2k′π(k′∈Z),
解得ω=－12k′+4(k′∈Z),
结合3<ω<6,得ω=4,
所以f(x)=2sin(4x+).
当x∈[0,]时,4x∈[0,],4x+∈[,],则sin(4x+)∈[－1,],2sin(4x+)∈[－2,],即f(x)在区间[0,]上的值域是[－2,].
14 (15分)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)=在区间(0,2π)内的所有实数解的和.
【解】(1)设函数f(x)的最小正周期为T,
因为A>0,
由题图可得A=2,T=4×()=π,
因为ω>0,所以T==π,解得ω=2,
将(,－2)代入解析式,得2sin(2×+φ)=－2,故sin(+φ)=－1,
因为|φ|<,所以<φ<,<+φ<,故+φ=,解得φ=,
故f(x)=2sin(2x+).
将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到g(x)=2sin[2(x)+]=2sin 2x.
(2)F(x)=f(x)+g(x)=2sin(2x+)+2sin 2x=2sin 2xcos +2cos 2xsin +2sin 2x=
sin 2x+cos 2x+2sin 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),
令F(x)=得2sin(2x+)=,
即sin(2x+)=,
当x∈(0,2π)时,2x+∈(,),
令u=2x+,
画出y=sin u在u∈(,)的函数的大致图象,
共有4个解,其中u1+u2=3π,u3+u4=7π,
即2x1++2x2+=3π,2x3++2x4+=7π,解得x1+x2=,x3+x4=,
x1+x2+x3+x4=+=.
15.(2025·江西景德镇模拟)函数f(x)=cos ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,|f(π)|=1,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=,则cos(4α+)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由x∈[0,π]得ωx∈[0,ωπ],因为函数f(x)在[0,π]内恰有两个对称中心,所以解得≤ω<,又|f(π)|=|cos ωπ|=1,所以ωπ=kπ,k∈Z,即ω=k,k∈Z,所以ω=2,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos[2(x)]=cos(2x)的图象,即g(x)=cos(2x),因为f(α)+g(α)=cos 2α+cos(2α)=sin 2α+cos 2α=sin(2α+)=,所以cos(4α+)=1－2sin2(2α+)=1－2×=.
故选A.
(
第
10
页
)(共113张PPT)
第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.
知识梳理
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点
知识梳理
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
|φ|
重要结论
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
对点自测
C
AD
对点自测
对点自测
对点自测
对点自测
B
3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)
[A] [B] [C] [D]
对点自测
对点自测
4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为　　 　　　　　　.
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
D
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的
图象变换常用的方法
(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.
解题策略
A
考点二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
A
解题策略
由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的
图象确定解析式的步骤
(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.
B
B
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
角度1　图象与性质的综合应用
[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
B
[A] ①② [B] ①③④
[C] ③④ [D] ①④
角度2　函数零点(方程根)问题
[1,2)
角度3　三角函数模型
BD
解题策略
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
C
[针对训练]
C
[A] 3 [B] 4
[C] 6 [D] 8
[A] 1.4 h [B] 2.4 h [C] 3.2 h [D] 5.6 h
B
微点培优7　三角函数中ω的求解
题型演绎
类型一　三角函数的单调性与ω的关系
C
反思归纳
根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,
求ω的取值范围的方法
反思归纳
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
CD
类型二　三角函数的周期、对称性与ω的关系
[A] 2 [B]
[C] 4 [D] 8
C
A
反思归纳
根据三角函数的周期与对称性
求ω的取值(范围)的方法
C
类型三　三角函数的最值与ω的关系
A
反思归纳
根据三角函数在给定区间上的最值
点,求ω的取值范围的方法
三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.
反思归纳
5(答案不唯一)
类型四　三角函数的零点与ω的关系
A
反思归纳
根据三角函数在给定区间上零点的个数
求ω的取值范围的方法
C
课时作业
(分值:90分)
选题明细表
单选每题5分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4
函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10
三角函数中ω的求解 5,7,12
三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13,14,15
基础巩固练
A
A
[A] 2 [B] 3
[C] 6 [D] 9
D
B
D
8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;
8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.
综合运用练
D
A
C
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
应用创新练
A

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