资源简介 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用[课程标准要求]1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.简谐运动的有关概念已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.振幅 周期 频率 相位 初相A T= f== ωx+φ φ2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点ωx+φ 0 π 2πxy= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.1.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)y=2sin(x)的振幅、频率和初相分别为( )[A] 2,4π, [B] 2,,[C] 2,, [D] 2,4π,2.(多选题)(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)下列四种变换,其中能使y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的是( )[A] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)[B] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)[C] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度[D] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )[A] [B][C] [D]4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 . 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[例1] (2025·陕西西安模拟)将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是( )[A] [B] π[C] [D]作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换常用的方法(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.[针对训练] (2025·湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得到的图象与y=sin x图象重合,则( )[A] ω=2,φ= [B] ω=2,φ=[C] ω=,φ= [D] ω=,φ=考点二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式[例2] (1)(2025·四川攀枝花模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x)的函数解析式为( )[A] y=sin(2x+)[B] y=cos 2x[C] y=sin 2x[D] y=sin(2x+)(2)(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= . 由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象确定解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.[针对训练] (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中A(,0),B(,-2),则f(x)≥ 的解集为( )[A] [+,+](k∈Z)[B] [+,+](k∈Z)[C] [+,+](k∈Z)[D] [+,+](k∈Z)(2)(2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的大致图象如图所示,将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x) 的解析式为( )[A] g(x)=2cos(x)-1[B] g(x)=2cos(x+)-1[C] g(x)=2cos(x+)-1[D] g(x)=2cos(x)-1考点三 三角函数图象、性质的综合应用角度1 图象与性质的综合应用[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:①f(x)≤f();②函数f(x+)为偶函数;③f(x)+f(x)=2;④f(x)在[,]上单调递增.所有正确结论的序号是( )[A] ①② [B] ①③④[C] ③④ [D] ①④角度2 函数零点(方程根)问题[例4] 将函数f(x)=sin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解,则实数m的取值范围为 . 角度3 三角函数模型[例5] (多选题)(2025·广东六校联考)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6 s.经过t s后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列结论正确的是( )[A] φ=[B] 当t∈[0,2]时,函数y=f(t)单调递增[C] 当t∈[3,5]时,函数最小值为-2[D] 当t=9时,PA=4(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.[针对训练]1.(角度1)将最小正周期为π的函数f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )[A] 对称轴方程为x=+,k∈Z[B] 在[0,]内单调递增[C] 对称中心为(+,1),k∈Z[D] 在[0,]内最小值为-12.(角度2)(2024·新课标 Ⅰ 卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x)的交点个数为( )[A] 3 [B] 4[C] 6 [D] 83.(角度3)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20 ℃时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28 ℃时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:h)近似满足关系式T=20-10·sin(t),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin ≈0.8)( )[A] 1.4 h [B] 2.4 h[C] 3.2 h [D] 5.6 h微点培优7 三角函数中ω的求解类型一 三角函数的单调性与ω的关系[典例1] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且在[,]上单调递减,则ω的取值范围是( )[A] (0,) [B] [,1][C] (0,] [D] [,1)根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,求ω的取值范围的方法(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围.第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;第二步,以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的范围;第三步,结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.(2)f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调 (a,b)内至少有一条对称轴,aω+φφ(k∈Z).[拓展演练1] (多选题)已知函数y=sin(ωx+)(ω>0)在(0,π)上有且仅有两个单调递减区间,则ω的值可以是( )[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 4类型二 三角函数的周期、对称性与ω的关系[典例2] (1)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若对于任意实数x,都有f(x)=-f(x),则ω的最小值为( )[A] 2 [B][C] 4 [D] 8(2)已知函数f(x)=2cos(ωx)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是( )[A] (0,] [B] (,][C] [,) [D] [,+∞)根据三角函数的周期与对称性求ω的取值(范围)的方法三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,因此可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式(组),进而可以研究ω的取值范围.[拓展演练2] (2025·陕西榆林模拟)将函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x=对称,则实数ω的最小值为( )[A] [B][C] [D]类型三 三角函数的最值与ω的关系[典例3] (2025·北京模拟)函数f(x)=3sin(ωx)(ω>0),f(x1)=-3,f(x2)=3,且|x1-x2|的最小值为2π,则ω的值为( )[A] [B] 1[C] 2 [D] 3根据三角函数在给定区间上的最值点,求ω的取值范围的方法三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.由于正弦型函数在一个周期上必有一个最大值点与一个最小值点,根据函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的最值点的个数求ω的取值范围问题,首先根据x的范围,求出ωx+φ的范围,结合最大值点与最小值点在一个周期内出现的位置(如y=sin x在[0,2π]内的最大值点出现在处,而最小值点出现在T处)列出不等式求解.[拓展演练3] (2025·湖南株洲模拟)已知f(x)=sin ωx(ω∈N*),若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则ω的取值可以为 .(填一个值即可) 类型四 三角函数的零点与ω的关系[典例4] (2025·陕西安康模拟)将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),可以得到函数g(x)的图象,若g(x)在(,)上没有零点,则ω的取值范围是( )[A] (0,] [B] [,3][C] (0,3] [D] (3,+∞)根据三角函数在给定区间上零点的个数求ω的取值范围的方法(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内没有零点 b-a≤且kπ≤aω+φ(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内有n个零点 (k∈Z)[拓展演练4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )[A] [,) [B] [,)[C] (,] [D] (,](分值:90分)知识点、方法 题号函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10三角函数中ω的求解 5,7,12三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13, 14,15单选每题5分,填空每题5分.1.(2025·广西柳州模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式是( )[A] y=sin(x+) [B] y=sin(2x+)[C] y=sin(x) [D] y=sin(2x)2.在函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是( )[A] 2 [B] 3[C] 6 [D] 93.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f()等于( )[A] [B][C] [D]4.(2025·河南新乡模拟)为了得到y=3sin(2x+)的图象,只要把y=3cos(2x)的图象向左平移 个单位长度( ) [A] [B][C] [D]5.(2025·湖南娄底模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),若f(x)在区间[0,1]上有三个零点,则ω的取值范围是( )[A] (,) [B] [,)[C] (,) [D] [,)6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写道:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象来描述,如图所示,则f(x)= .7.(5分)(2025·浙江宁波模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)在(,)上单调递增,则ω的取值范围是 . 8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.9.(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),f(x)=f(x),则( )[A] f(0)=[B] f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称[C] f(x)在(,)上单调递减[D] f(x)+f(+x)=010.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为( )[A] [B][C] [D]11.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与y=x的交点个数为( )[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 412.(5分)(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个最大值点,则实数ω的取值范围是 . 13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),如图是y=f(x)的部分图象,则f(x)在区间[0,]上的值域是 . 14 (15分)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)=在区间(0,2π)内的所有实数解的和.15.(2025·江西景德镇模拟)函数f(x)=cos ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,|f(π)|=1,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=,则cos(4α+)等于( )[A] [B][C] [D]第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用[课程标准要求]1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.简谐运动的有关概念已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.振幅 周期 频率 相位 初相A T= f== ωx+φ φ2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点ωx+φ 0 π 2πxy= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.1.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)y=2sin(x)的振幅、频率和初相分别为( )[A] 2,4π, [B] 2,,[C] 2,, [D] 2,4π,【答案】 C【解析】 由题意知A=2,f===,初相为.故选C.2.(多选题)(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)下列四种变换,其中能使y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的是( )[A] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)[B] 向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)[C] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度[D] 各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度【答案】 AD【解析】 由y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象的变换方式有两种,第一种:先平移变换,后周期变换,由y=sin x的图象先向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,接着再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y=sin(2x+)的图象,A正确,B错误.第二种:先周期变换,后平移变换,先将y=sin x的图象各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y=sin 2x的图象,再将所得图象向左平移个单位长度得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象,D正确,C错误.故选AD.3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y1=cos x+1的图象,然后向右平移1个单位长度得到y2=cos(x-1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得到y3=cos(x-1)的图象.令x=0,得y3>0;令x=+1,得y3=0,观察即知B正确.故选B.4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 . 【答案】 f(x)=2sin(x)【解析】 由题图可得A=2,又T=2×[6-(-2)]=16,故ω=,故×6+φ=2kπ(k∈Z),得φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<π,得φ=,所以f(x)=2sin(x).考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[例1] (2025·陕西西安模拟)将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是( )[A] [B] π[C] [D]【答案】 D【解析】 将函数f(x)=2sin(2x)的图象向左平移m个单位长度,得到y=2sin[2(x+m)]=2sin(2x+2m)的图象,因为y=2sin(2x+2m)的图象关于原点对称,所以2m=kπ,k∈Z,即m=+,k∈Z,当k=3时,得m=,使m=+=,m=+=π,m=+=的整数k不存在,A,B,C不符合题意,D符合题意.故选D.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换常用的方法(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.[针对训练] (2025·湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得到的图象与y=sin x图象重合,则( )[A] ω=2,φ= [B] ω=2,φ=[C] ω=,φ= [D] ω=,φ=【答案】 A【解析】 法一 可以先将函数y=sin x图象的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,函数解析式变为y=sin 2x,再向左平移个单位长度,得到y=sin(2x+)的图象,又sin(2x+)=sin(+2x+)=cos(2x+),所以ω=2,φ=.故选A.法二 将f(x)=cos(ωx+φ)的图象先向右平移个单位长度可得到y=cos[ω(x)+φ]的图象,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=cos[ω(x)+φ]=cos(ωxω+φ)=sin(ωxω+φ+)的图象,该图象与y=sin x图象重合,故解得故选A.考点二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式[例2] (1)(2025·四川攀枝花模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x)的函数解析式为( )[A] y=sin(2x+)[B] y=cos 2x[C] y=sin 2x[D] y=sin(2x+)(2)(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= . 【答案】 (1)A (2)【解析】 (1)由题图可得|A|=1,又A>0,故A=1,T==,故T=π,则|ω|===2,又ω>0,故ω=2,f()=sin(2×+φ)=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,故φ=,则f(x)=sin(2x+).故选A.(2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2-x1=,令ωx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)==,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.因为f()=sin(+φ)=0,所以+φ=2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.所以f(x)=sin(4x+2kπ)=sin(4x),所以f(π)=sin(4π)=sin =.由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象确定解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.[针对训练] (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中A(,0),B(,-2),则f(x)≥ 的解集为( )[A] [+,+](k∈Z)[B] [+,+](k∈Z)[C] [+,+](k∈Z)[D] [+,+](k∈Z)(2)(2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的大致图象如图所示,将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x) 的解析式为( )[A] g(x)=2cos(x)-1[B] g(x)=2cos(x+)-1[C] g(x)=2cos(x+)-1[D] g(x)=2cos(x)-1【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由题意可知T=()=,T==,ω>0,ω=4,f()=2sin(+φ)=-2,sin(+φ)=-1,+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(4x).令f(x)=2sin(4x)≥ ,则sin(4x)≥,所以+2kπ≤4x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).故选B.(2)依题意解得所以f(x)=2cos(ωx+φ)-1,而f ()=1,f ()=-1,所以==,故T=π=,则ω=2,所以f(x)=2cos(2x+φ)-1,而2cos(+φ)-1=1,所以+φ=2kπ(k∈Z),φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<,故φ=,所以f(x)=2cos(2x)-1.将函数f(x)的图象上点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)后,得到y=2cos(x)-1的图象,再向左平移个单位长度,得到g(x)=2cos(x+)-1=2cos(x+)-1.故选B.考点三 三角函数图象、性质的综合应用角度1 图象与性质的综合应用[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:①f(x)≤f();②函数f(x+)为偶函数;③f(x)+f(x)=2;④f(x)在[,]上单调递增.所有正确结论的序号是( )[A] ①② [B] ①③④[C] ③④ [D] ①④【答案】 B【解析】 由题图可得A==1,B==1,且ω>0,则T==2×[()]=π,即ω=2,×2+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,故φ=,即f(x)=sin(2x+)+1,对于①,2×+===4π+,令t=2x+,当t=时,函数y=sin t取最大值,故f()是函数f(x)的最大值,故①正确;对于②,f(x+)=sin(2x++)+1=sin(2x+)+1,故②错误;对于③,f(x)=sin(2x+)+1=sin(-2x+)+1=-sin(2x)+1=-sin(2x+)+1,则f(x)+f(x)=sin(2x+)+1-sin(2x+)+1=2,故③正确;对于④,当x∈[,]时,2x+∈[,]=[4π,4π+],由函数y=sin t在[4π,4π+]上单调递增,故函数f(x)在[,]上单调递增,故④正确.故选B.角度2 函数零点(方程根)问题[例4] 将函数f(x)=sin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解,则实数m的取值范围为 . 【答案】 [1,2)【解析】 依题意,g(x)=2sin(x+)=2sin(x+),则关于x的方程g(x)=m在[0,π]内有两个不同的解可转化为函数y=m的图象与函数g(x)=2sin(x+)的图象在[0,π]上有两个交点.由x∈[0,π]可得≤x+≤,取X=x+,作出函数y=2sin X在[,]上的大致图象.由图知,要使函数y=m的图象与其有两个交点,需使1≤m<2,即实数m的取值范围为[1,2).角度3 三角函数模型[例5] (多选题)(2025·广东六校联考)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6 s.经过t s后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列结论正确的是( )[A] φ=[B] 当t∈[0,2]时,函数y=f(t)单调递增[C] 当t∈[3,5]时,函数最小值为-2[D] 当t=9时,PA=4【答案】 BD【解析】 因为R==2,T==6,得ω=,所以f(t)=2sin(t+φ),f(0)=2sin φ=,sin φ=,由于|φ|<,所以φ=,f(t)=2sin(t),A错误;若0≤t≤2,则≤t≤,又y=sin x在区间[,]上单调递增,所以f(t)在[0,2]上单调递增,B正确;若3≤t≤5,则≤t≤,所以当t=时,f(t)取得最小值为2×()=,C错误;当t=9时,转了一圈半,点P与点A关于原点(圆心)对称,则PA=2R=4,D正确.故选BD.(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.[针对训练]1.(角度1)将最小正周期为π的函数f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )[A] 对称轴方程为x=+,k∈Z[B] 在[0,]内单调递增[C] 对称中心为(+,1),k∈Z[D] 在[0,]内最小值为-1【答案】 C【解析】 因为f(x)=2sin(2ωx)+1(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,解得ω=1,则由平移变换可得g(x)=2sin[2(x+)]+1=2sin(2x+)+1.对于A,令2x+=+kπ,k∈Z,得对称轴方程为x=+,k∈Z,A错误;对于B,由≤2x+≤得≤x≤,所以g(x)在[0,]上单调递增,由≤2x+≤得≤x≤,所以g(x)在[,]上单调递减,B错误;对于C,令2x+=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以g(x)的对称中心为(+,1),k∈Z,C正确;对于D,因为g(0)=2sin +1=+1,g()=-2sin +1=1,g(0)>g(),所以结合B中的分析可得g(x)在[0,]内的最小值为g()=1,D错误.故选C.2.(角度2)(2024·新课标 Ⅰ 卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x)的交点个数为( )[A] 3 [B] 4[C] 6 [D] 8【答案】 C【解析】 因为函数y=sin x的最小正周期为2π,函数y=2sin(3x)的最小正周期为,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin(3x)有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数的大致图象,如图所示.由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.3.(角度3)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20 ℃时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28 ℃时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:h)近似满足关系式T=20-10·sin(t),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin ≈0.8)( )[A] 1.4 h [B] 2.4 h[C] 3.2 h [D] 5.6 h【答案】 B【解析】 设t1时开始开放,t2时开始闭合,则20-10sin(t1)=20,又t1∈[5,17],函数T=20-10sin(t)的单调递增区间为[16k+5,16k+13](k∈Z),即在[5,13]时,温度升高,则t1∈[5,13],解得t1=9,20-10sin(t2)=28,所以sin(t2)=,由sin ≈0.8得sin ≈,所以t2≈,所以t2≈,所以t2-t1≈=2.4.故选B.微点培优7 三角函数中ω的求解类型一 三角函数的单调性与ω的关系[典例1] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且在[,]上单调递减,则ω的取值范围是( )[A] (0,) [B] [,1][C] (0,] [D] [,1)【答案】 C【解析】 因为f(x)为奇函数,0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos(ωx+)=-sin ωx.令t=ωx,x∈[,],ω>0,则t∈[,],因为f(x)在[,]上单调递减,所以解得0<ω≤.故选C.根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,求ω的取值范围的方法(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围.第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;第二步,以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的范围;第三步,结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.(2)f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调 (a,b)内至少有一条对称轴,aω+φφ(k∈Z).[拓展演练1] (多选题)已知函数y=sin(ωx+)(ω>0)在(0,π)上有且仅有两个单调递减区间,则ω的值可以是( )[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 4【答案】 CD【解析】 令θ=ωx+,因为x∈(0,π),所以θ∈(,ωπ+),由题知y=sin θ在(,ωπ+)上有且仅有两个单调递减区间,则有<ωπ+≤,即<ω≤,C,D符合题意,A,B不符合题意.故选CD.类型二 三角函数的周期、对称性与ω的关系[典例2] (1)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若对于任意实数x,都有f(x)=-f(x),则ω的最小值为( )[A] 2 [B][C] 4 [D] 8(2)已知函数f(x)=2cos(ωx)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是( )[A] (0,] [B] (,][C] [,) [D] [,+∞)【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)因为对于任意实数x,都有f(x)=-f(x),则有函数f(x)图象关于点(,0)对称,因此ω+=kπ,k∈Z,解得ω=6k-2,k∈Z,而ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值4.故选C.(2)因为x∈(0,2π),ω>0,所以ωx∈(,2ωπ).令z=ωx,画出y=2cos z+1的部分图象,要想图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ∈(,3π],解得ω∈(0,].故选A.根据三角函数的周期与对称性求ω的取值(范围)的方法三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,因此可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式(组),进而可以研究ω的取值范围.[拓展演练2] (2025·陕西榆林模拟)将函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于x=对称,则实数ω的最小值为( )[A] [B][C] [D]【答案】 C【解析】 函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)=cos[ω(x+)+]=cos(ωx++),又由函数g(x)图象关于x=对称,所以ω·++=kπ,k∈Z,解得ω=,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,最小值为.故选C.类型三 三角函数的最值与ω的关系[典例3] (2025·北京模拟)函数f(x)=3sin(ωx)(ω>0),f(x1)=-3,f(x2)=3,且|x1-x2|的最小值为2π,则ω的值为( )[A] [B] 1[C] 2 [D] 3【答案】 A【解析】 依题意,f(x1)=-3,f(x2)=3,即x1是最小值点,x2是最大值点,且|x1-x2|的最小值为2π,所以T==2π×2=4π,ω=.故选A.根据三角函数在给定区间上的最值点,求ω的取值范围的方法三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.由于正弦型函数在一个周期上必有一个最大值点与一个最小值点,根据函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的最值点的个数求ω的取值范围问题,首先根据x的范围,求出ωx+φ的范围,结合最大值点与最小值点在一个周期内出现的位置(如y=sin x在[0,2π]内的最大值点出现在处,而最小值点出现在T处)列出不等式求解.[拓展演练3] (2025·湖南株洲模拟)已知f(x)=sin ωx(ω∈N*),若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则ω的取值可以为 .(填一个值即可) 【答案】 5(答案不唯一)【解析】 f(x)=sin ωx≤1,ω∈N*,若在区间[0,]上存在两个不相等的实数a,b,满足f(a)+f(b)=2,则在区间[0,]上f(x)至少存在两个最大值点,所以≥,所以ω≥5,又ω∈N*,所以ω可以为5.类型四 三角函数的零点与ω的关系[典例4] (2025·陕西安康模拟)将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),可以得到函数g(x)的图象,若g(x)在(,)上没有零点,则ω的取值范围是( )[A] (0,] [B] [,3][C] (0,3] [D] (3,+∞)【答案】 A【解析】 将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+),再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,即g(x)=sin(ωx+),因为x∈(,),所以ω+<ωx+<ω+,因为g(x)在(,)上无零点,所以(ω+,ω+) [kπ,kπ+π](k∈Z),即(k∈Z)解得6k-1≤ω≤2k+(k∈Z),因为 所以k=0,0<ω≤.故选A.根据三角函数在给定区间上零点的个数求ω的取值范围的方法(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内没有零点 b-a≤且kπ≤aω+φ(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)在区间(a,b)内有n个零点 (k∈Z)[拓展演练4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )[A] [,) [B] [,)[C] (,] [D] (,]【答案】 C【解析】 由x∈(0,π),得ωx+∈(,πω+).根据函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点,知<πω+≤,得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0,π)恰有两个零点,知2π<πω+≤3π,得<ω≤.综上,ω的取值范围为<ω≤.故选C.(分值:90分)知识点、方法 题号函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10三角函数中ω的求解 5,7,12三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13, 14,15单选每题5分,填空每题5分.1.(2025·广西柳州模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式是( )[A] y=sin(x+) [B] y=sin(2x+)[C] y=sin(x) [D] y=sin(2x)【答案】 A【解析】 将函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x+)的图象.故选A.2.在函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是( )[A] 2 [B] 3[C] 6 [D] 9【答案】 A【解析】 因为函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后得y=sin[ω(x)+],所以当ω=2时,y=sin[2(x)+]≠sin(2x+),当ω=3时,y=sin[3(x)+]=sin(3x+),当ω=6时,y=sin[6(x)+]=sin(6x+),当ω=9时,y=sin[9(x)+]=sin(9x+).故选A.3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f()等于( )[A] [B][C] [D]【答案】 D【解析】 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)上单调递增,且直线x=和直线x=为函数图象的两条相邻对称轴,所以==,且ω>0,则T=π,ω==2,当x=时,f(x)取得最小值,则2×+φ=2kπ,k∈Z,则φ=2kπ,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=sin(2x),则f()=sin()=.故选D.4.(2025·河南新乡模拟)为了得到y=3sin(2x+)的图象,只要把y=3cos(2x)的图象向左平移 个单位长度( ) [A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 假设y=3cos(2x)向左平移φ个单位长度,得到y=3sin(2x+π)的图象,y=3cos[2(x+φ)]=3cos(2x-2φ)=3cos[(2x+2φ+)]=3sin(2x+2φ+),即2φ+=π+2kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,选项中,只有符合.故选B.5.(2025·湖南娄底模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),若f(x)在区间[0,1]上有三个零点,则ω的取值范围是( )[A] (,) [B] [,)[C] (,) [D] [,)【答案】 D【解析】 因为f(x)=cos(ωx+),且x∈[0,1],令t=ωx+,则y=cos t,t∈[,ω+],即y=cos t 在[,ω+]上有三个零点,由余弦函数图象(图略)知≤ω+<,解得≤ω<.故选D.6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写道:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象来描述,如图所示,则f(x)= . 【答案】 sin(x+)【解析】 由题知,A=1,T==4×()=,所以ω=,即f(x)=sin(x+φ),又因为f()=1,|φ|<,所以×+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),故φ=,即f(x)=sin(x+).7.(5分)(2025·浙江宁波模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)在(,)上单调递增,则ω的取值范围是 . 【答案】 (0,]【解析】 由题设g(x)=sin(ωx++),又x∈(,),则t=ωx++∈(+,ωπ+),即y=sin t 在(+,ωπ+)上单调递增,又ω>0,所以或且k∈N,故0<ω≤或且k∈N(显然无解),则ω∈(0,].8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.【解】(1)由表中数据可知T=12,f(t)的最大值为1.5,最小值为0.5,所以ω===,A==,b==1,所以f(t)=cos t+1.(2)由(1)可知f(t)=cos t+1,由cos t+1≥1,得cos t≥0,所以2kπ≤t≤2kπ+,k∈Z,所以12k-3≤t≤12k+3,k∈Z,因为8≤t≤20,所以k=1,9≤t≤15,所以一天内从上午9点到下午3点共有6个小时可供冲浪爱好者进行运动.9.(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),f(x)=f(x),则( )[A] f(0)=[B] f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称[C] f(x)在(,)上单调递减[D] f(x)+f(+x)=0【答案】 D【解析】 根据题意,f(x)=f(x),即函数f(x)关于直线x=对称,即2×+φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,f(x)=sin(2x+),则f(0)=sin =,A错误;f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=f(x+)=sin[2(x+)+]=sin(2x+),而g(0)=sin =≠±1,B错误;x∈(,),则2x+∈(,),则函数f(x)先减后增,C错误;f(x)+f(+x)=sin[2(x)+]+sin[2(+x)+]=sin(π-2x)+sin(π+2x)=sin 2x-sin 2x=0,D正确.故选D.10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为( )[A] [B][C] [D]【答案】 A【解析】 由f()=1,得sin(ω+φ)=,又点(,1)及附近点从左到右是上升的,则ω+φ=+2kπ,k∈Z,由f()=0,点(,0)及附近点从左到右是下降的,且上升、下降的两段图象相邻,得ω+φ=π+2kπ,k∈Z,联立解得ω=2,φ=+2kπ,k∈Z,而|φ|<,于是φ=,f(x)=sin(2x),若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,得到y=sin(2x-2θ),所得曲线关于y轴对称,则-2θ=k′π,k′∈Z,而θ>0,因此θ=+,k′∈N*,所以当k′=1时,θ取得最小值.故选A.11.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与y=x的交点个数为( )[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 4【答案】 C【解析】 因为y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin 2x,所以f(x)=-sin 2x.而直线y=x显然过(0,)与(1,0)两点,作出f(x)与y=x的部分图象大致如图,考虑x=,x=,x=处f(x)与y=x的大小关系,当x=时,f()=-sin()=-1,y=×()=<-1;当x=时,f()=-sin =1,y=×=<1;当x=时,f()=-sin =1,y=×=>1.所以由图可知,y=f(x)的图象与y=x的交点个数为3.故选C.12.(5分)(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个最大值点,则实数ω的取值范围是 . 【答案】 (,]【解析】 因为x∈(0,π),则ωx+∈(,ωπ+),所以由题意得,<ωπ+≤,解得<ω≤,故ω的取值范围是(,].13.(5分)(2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),如图是y=f(x)的部分图象,则f(x)在区间[0,]上的值域是 . 【答案】 [-2,]【解析】 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+),由题图可知f(0)=,即2sin(φ+)=,得sin(φ+)=,由于在O附近从左到右是下降的.所以φ+=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(ωx+),根据题图可得<<,则因为f(x)=2sin(ωx+),且图象过点(,0),且在附近从左到右是上升的,所以2sin[()ω+]=0,所以()ω+=2k′π(k′∈Z),解得ω=-12k′+4(k′∈Z),结合3<ω<6,得ω=4,所以f(x)=2sin(4x+).当x∈[0,]时,4x∈[0,],4x+∈[,],则sin(4x+)∈[-1,],2sin(4x+)∈[-2,],即f(x)在区间[0,]上的值域是[-2,].14 (15分)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)=在区间(0,2π)内的所有实数解的和.【解】(1)设函数f(x)的最小正周期为T,因为A>0,由题图可得A=2,T=4×()=π,因为ω>0,所以T==π,解得ω=2,将(,-2)代入解析式,得2sin(2×+φ)=-2,故sin(+φ)=-1,因为|φ|<,所以<φ<,<+φ<,故+φ=,解得φ=,故f(x)=2sin(2x+).将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到g(x)=2sin[2(x)+]=2sin 2x.(2)F(x)=f(x)+g(x)=2sin(2x+)+2sin 2x=2sin 2xcos +2cos 2xsin +2sin 2x=sin 2x+cos 2x+2sin 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),令F(x)=得2sin(2x+)=,即sin(2x+)=,当x∈(0,2π)时,2x+∈(,),令u=2x+,画出y=sin u在u∈(,)的函数的大致图象,共有4个解,其中u1+u2=3π,u3+u4=7π,即2x1++2x2+=3π,2x3++2x4+=7π,解得x1+x2=,x3+x4=,x1+x2+x3+x4=+=.15.(2025·江西景德镇模拟)函数f(x)=cos ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,|f(π)|=1,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=,则cos(4α+)等于( )[A] [B][C] [D]【答案】 A【解析】 由x∈[0,π]得ωx∈[0,ωπ],因为函数f(x)在[0,π]内恰有两个对称中心,所以解得≤ω<,又|f(π)|=|cos ωπ|=1,所以ωπ=kπ,k∈Z,即ω=k,k∈Z,所以ω=2,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos[2(x)]=cos(2x)的图象,即g(x)=cos(2x),因为f(α)+g(α)=cos 2α+cos(2α)=sin 2α+cos 2α=sin(2α+)=,所以cos(4α+)=1-2sin2(2α+)=1-2×=.故选A.(第10页)(共113张PPT)第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.[课程标准要求]必备知识课前回顾知识梳理1.简谐运动的有关概念已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0.知识梳理2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特殊点知识梳理3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径|φ|重要结论1.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.对点自测CAD对点自测对点自测对点自测对点自测B3.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )[A] [B] [C] [D]对点自测对点自测4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 .对点自测关键能力课堂突破考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换D作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换常用的方法(1)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换,应利用诱导公式化为同名三角函数后求解.解题策略A考点二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式A解题策略由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象确定解析式的步骤(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.BB考点三 三角函数图象、性质的综合应用角度1 图象与性质的综合应用[例3] (2025·天津模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:B[A] ①② [B] ①③④[C] ③④ [D] ①④角度2 函数零点(方程根)问题[1,2)角度3 三角函数模型BD解题策略(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根(函数零点)的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.C[针对训练]C[A] 3 [B] 4[C] 6 [D] 8[A] 1.4 h [B] 2.4 h [C] 3.2 h [D] 5.6 hB微点培优7 三角函数中ω的求解题型演绎类型一 三角函数的单调性与ω的关系C反思归纳根据函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,求ω的取值范围的方法反思归纳[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 4CD类型二 三角函数的周期、对称性与ω的关系[A] 2 [B][C] 4 [D] 8CA反思归纳根据三角函数的周期与对称性求ω的取值(范围)的方法C类型三 三角函数的最值与ω的关系A反思归纳根据三角函数在给定区间上的最值点,求ω的取值范围的方法三角函数的最值与“ω”结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的取值或范围,另外求解时要注意最值的性质.反思归纳5(答案不唯一)类型四 三角函数的零点与ω的关系A反思归纳根据三角函数在给定区间上零点的个数求ω的取值范围的方法C课时作业(分值:90分)选题明细表单选每题5分,填空每题5分.知识点、方法 题号函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1,2,4函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及其应用 3,6,10三角函数中ω的求解 5,7,12三角函数图象与性质的综合应用 8,9,11,13,14,15基础巩固练AA[A] 2 [B] 3[C] 6 [D] 9DBD8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(1)根据以上数据,求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式;8.(10分)已知某海滨浴场的浪高y(单位:m)是时间t(单位:h)(0≤t≤24)的函数,记作y=f(t).如表所示是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(2)依据规定,当浪高不低于1 m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8点至20点之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.综合运用练DAC[A] 1 [B] 2[C] 3 [D] 4(1)求f(x)与g(x)的解析式;应用创新练A 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四章 第5节 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质及三角函数模型的应用.docx 第四章 第5节 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质及三角函数模型的应用.pptx