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第6节　余弦定理和正弦定理及其应用
[课程标准要求]
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能运用余弦定理、正弦定理解决一些三角形形状的判断和三角形度量等问题.
第一课时　余弦定理和正弦定理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
正弦定理 余弦定理
===2R a2=b2+c2－2bccos A; b2=c2+a2－2cacos B; c2=a2+b2－2abcos C
(1)a=2Rsin A,b= 2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)=2R cos A=; cos B=; cos C=
2.三角形中常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S=2R2sin Asin Bsin C(R为三角形的外接圆半径).
(4)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中,常有以下结论:
(1)大边对大角,大角对大边,如a>b A>B sin A>sin B,cos A(2)sin(A+B)=sin C;
cos(A+B)=－cos C;
tan(A+B)=－tan C;
sin()=cos;
cos()=sin.
(3)三角形中的射影定理.
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
1.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　　)
[A] 30° [B] 45°
[C] 135° [D] 45°或135°
2.(人教A版必修第二册P48练习T2(1)改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则c为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 1或3
3.(2025·重庆沙坪坝模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=6,a2+c2=3ac,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c[A] 钝角三角形 [B] 直角三角形
[C] 锐角三角形 [D] 等边三角形
5.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若A>B,则sin A>sin B
[B] 若A=30°,b=4,a=3,则△ABC有两解
[C] 若△ABC为钝角三角形,则a2+b2[D] 若A=60°,a=2,则△ABC面积的最大值为
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
角度1　正弦定理、余弦定理的基本应用
[例1] (1)(2025·吉林长春模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=1,A=2B,则c等于(　　)
[A] 2 [B]
[C] [D] 1
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin B,且c2=2a2(1+sin C),则C等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
在解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
角度2　三角形解的个数的判断
[例2] (1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)
[A] 有一解
[B] 有两解
[C] 无解
[D] 有解但解的个数不确定
(2)(2025·湖北武汉模拟)在△ABC中,已知 AB=c,BC=2,C=,若存在两个这样的△ABC,则c的取值范围是(　　)
[A] [2,+∞) [B] (0,2)
[C] (2,2) [D] (,2)
三角形解的个数的判断
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.
在△ABC中,已知a,A,b,三角形解的个数如下:
(1)A为锐角.
①a③bsin A(2)A为直角或钝角.
①a≤b,无解;②a>b,一解.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·山东青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,a=4,且该三角形有两解,则b的取值范围是(　　)
[A] (2,+∞)　　 [B] (2,4)　　　　
[C] (0,4) [D] (3,4)
2.(角度1)(2025·广东广州模拟)在△ABC中,3sin A=2sin C,cos B=,则sin A=　 .
考点二　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
[例3] (1)在△ABC中,=,(b+c+a)(b+c－a)=3bc,则△ABC的形状为　　　　　　.
(2)(2025·福建莆田模拟)在△ABC中,cos2=,则△ABC的形状为　　　　　　　　.
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2－c2=2abcos C等),利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B A=B;sin(A－B)=0 A=B;sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
(3)注意无论是角化边还是边化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种情况的可能.
[针对训练] (2025·安徽芜湖模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A+
bcos(A+C)=0,则△ABC为(　　)
[A] 等腰三角形 [B] 直角三角形
[C] 等腰直角三角形 [D] 等腰或直角三角形
考点三　与三角形面积(周长)有关的计算
角度1　周长问题
[例4] (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
角度2　面积问题
[例5] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,
a2+b2－c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·江西上饶模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,
sin B=,b=5,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D] 15
2.(角度1)(2025·天津北辰模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acos C+ccos A=.若△ABC的面积为,b=3,则△ABC的周长为　　　　.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用正弦、余弦定理解三角形 1,2,5,13
判断三角形形状 3,9,15
三角形周长、面积问题 4,6,7,8,12
综合应用 10,11,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江西九江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c－a=2bcos A,则B等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.(2025·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b－c=a,2sin B=3sin C,则cos A等于(　　)
[A] － [B]
[C] － [D]
3.在△ABC中,已知=,则△ABC的形状为(　　)
[A] 直角三角形 [B] 等腰三角形
[C] 等腰或直角三角形 [D] 等边三角形
4.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
[A] 6 [B] 8
[C] 24 [D] 48
5.(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若A=45°,且△ABC有两解,则b的取值范围是(2,2)
[B] 若A=45°,且b=4,则△ABC恰有一解
[C] 若c=3,且△ABC为钝角三角形,则b的取值范围是(,5)
[D] 若c=3,且△ABC为锐角三角形,则b的取值范围是(,)
6.(5分)(2025·陕西西安模拟)在△ABC中,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为　　　　　　　.
7.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积S满足(b+c)2=(4+8)S+a2,则角A等于　　　　.
8.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
9.(2025·甘肃兰州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin B=
(2c+a)sin C+(2a+c)sin A.若sin A+sin C=1,则△ABC的形状是(　　)
[A] 等腰直角三角形 [B] 等腰锐角三角形
[C] 等腰钝角三角形 [D] 不是等腰三角形
10.(多选题)(2025·四川成都模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是(　　)
[A] 若a>b,则cos 2A[B] 若acos B－bcos A=c,则△ABC一定为直角三角形
[C] 若a=4,b=5,c=6,则△ABC外接圆面积为
[D] 若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1,则△ABC一定是等边三角形
11.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,且△ABC的面积S△ABC=6,则下列命题正确的是(　　)
[A] △ABC的周长为5+
[B] △ABC的三个内角A,B,C满足关系A+B=2C
[C] △ABC的外接圆半径为
[D] △ABC的中线CD的长为
12.(5分)(2025·四川绵阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin Csin(A－B)=
sin Bsin(C－A),a=5,cos A=,则△ABC的周长为　　　　.
13.(5分)在△ABC中,已知2·=||||=3,B14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
15.(2025·河北秦皇岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则(　　)
[A] △ABC为直角三角形
[B] △ABC为锐角三角形
[C] △ABC为钝角三角形
[D] △ABC的形状无法确定
16.(5分)我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积”,即在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积为S=,若sin2A－sin2C+sin2B=sin Asin B,且△ABC的外接圆的半径为,则△ABC面积的最大值为　　　　.
第6节　余弦定理和正弦定理及其应用
[课程标准要求]
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能运用余弦定理、正弦定理解决一些三角形形状的判断和三角形度量等问题.
第一课时　余弦定理和正弦定理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
正弦定理 余弦定理
===2R a2=b2+c2－2bccos A; b2=c2+a2－2cacos B; c2=a2+b2－2abcos C
(1)a=2Rsin A,b= 2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)=2R cos A=; cos B=; cos C=
2.三角形中常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S=2R2sin Asin Bsin C(R为三角形的外接圆半径).
(4)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中,常有以下结论:
(1)大边对大角,大角对大边,如a>b A>B sin A>sin B,cos A(2)sin(A+B)=sin C;
cos(A+B)=－cos C;
tan(A+B)=－tan C;
sin()=cos;
cos()=sin.
(3)三角形中的射影定理.
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
1.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　　)
[A] 30° [B] 45°
[C] 135° [D] 45°或135°
【答案】 D
【解析】 根据正弦定理,得=,即sin B===,由于b=>1=a,所以B=45°或135°.故选D.
2.(人教A版必修第二册P48练习T2(1)改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则c为(　　)
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 1或3
【答案】 C
【解析】 由余弦定理得cos A=,
即=,即c2－2c－3=0,解得c=3或c=－1(舍去).故选C.
3.(2025·重庆沙坪坝模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=6,a2+c2=3ac,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B,即 36=a2+c2+ac=3ac+ac=4ac,解得ac=9,
所以△ABC的面积为acsin B=×9×=.故选A.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c[A] 钝角三角形 [B] 直角三角形
[C] 锐角三角形 [D] 等边三角形
【答案】 A
【解析】 由已知及正弦定理得sin C所以sin Acos B+cos Asin B即sin Acos B<0,又sin A>0,所以cos B<0,
所以B为钝角,
故△ABC为钝角三角形.故选A.
5.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若A>B,则sin A>sin B
[B] 若A=30°,b=4,a=3,则△ABC有两解
[C] 若△ABC为钝角三角形,则a2+b2[D] 若A=60°,a=2,则△ABC面积的最大值为
【答案】 ABD
【解析】 若A>B,则a>b,由正弦定理可得sin A>sin B,故A正确;因为bsin A=4sin 30°=2,则 bsin A考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
角度1　正弦定理、余弦定理的基本应用
[例1] (1)(2025·吉林长春模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=1,A=2B,则c等于(　　)
[A] 2 [B]
[C] [D] 1
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin B,且c2=2a2(1+sin C),则C等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 (1)A　(2)D
【解析】 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B,
故sin A=2sin Bcos B,
由正弦定理可得=,所以a=2bcos B,又a=,b=1,
所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,A=,故C=π－A－B=,
由勾股定理可得c2=a2+b2=4,所以c=2.故选A.
(2)因为sin A=sin B,由正弦定理得a=b,
根据余弦定理有c2=a2+b2－2abcos C=2a2－2a2cos C,
且c2=2a2(1+sin C),故有sin C=－cos C,即tan C=－1,又C∈(0,π),所以C=.故选D.
在解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
角度2　三角形解的个数的判断
[例2] (1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)
[A] 有一解
[B] 有两解
[C] 无解
[D] 有解但解的个数不确定
(2)(2025·湖北武汉模拟)在△ABC中,已知 AB=c,BC=2,C=,若存在两个这样的△ABC,则c的取值范围是(　　)
[A] [2,+∞) [B] (0,2)
[C] (2,2) [D] (,2)
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)由正弦定理得=,
所以sin B===>1.
所以角B不存在,即此三角形无解.故选C.
(2)由正弦定理得=,
所以sin A==,
由题意可知,关于A的方程sin A=在(0,)上有两解,
如图,在同一坐标系内分别作出曲线y=sin A,A∈(0,)和直线y=,
因为它们有两个不同的交点,所以<<1,所以2三角形解的个数的判断
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.
在△ABC中,已知a,A,b,三角形解的个数如下:
(1)A为锐角.
①a③bsin A(2)A为直角或钝角.
①a≤b,无解;②a>b,一解.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·山东青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,a=4,且该三角形有两解,则b的取值范围是(　　)
[A] (2,+∞)　　 [B] (2,4)　　　　
[C] (0,4) [D] (3,4)
【答案】 B
【解析】 由正弦定理得=,所以 sin A===,因为B=,所以A∈(0,).
因为该三角形有两解,故=B2.(角度1)(2025·广东广州模拟)在△ABC中,3sin A=2sin C,cos B=,则sin A=　 .
【答案】
【解析】 由正弦定理及3sin A=2sin C,得3a=2c,又由cos B==可得3a=2b,
所以b=c,所以B=C,所以sin A=sin(π－2B)=sin 2B=2sin Bcos B=2××=.
考点二　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
[例3] (1)在△ABC中,=,(b+c+a)(b+c－a)=3bc,则△ABC的形状为　　　　　　.
(2)(2025·福建莆田模拟)在△ABC中,cos2=,则△ABC的形状为　　　　　　　　.
【答案】 (1)等边三角形　(2)直角三角形
【解析】 (1)因为=,所以=,所以 b=c.
又(b+c+a)(b+c－a)=3bc,所以b2+c2－a2=bc,
所以cos A===.
因为A∈(0,π),所以A=,所以△ABC是等边三角形.
(2)在△ABC中,由cos2=,得1+cos B=1+,即a=ccos B,
由余弦定理得a=c·,整理得a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2－c2=2abcos C等),利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B A=B;sin(A－B)=0 A=B;sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
(3)注意无论是角化边还是边化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种情况的可能.
[针对训练] (2025·安徽芜湖模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A+
bcos(A+C)=0,则△ABC为(　　)
[A] 等腰三角形 [B] 直角三角形
[C] 等腰直角三角形 [D] 等腰或直角三角形
【答案】 D
【解析】 由acos A+bcos(A+C)=0,得acos A－bcos B=0,
由正弦定理得sin Acos A－sin Bcos B=0,所以sin 2A=sin 2B,
因为0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π,所以2A=2B或2A+2B=π,
所以A=B或A+B=,即△ABC是等腰或直角三角形.故选D.
考点三　与三角形面积(周长)有关的计算
角度1　周长问题
[例4] (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
【解】 (1)法一(辅助角公式)　由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1,
由于A∈(0,π) A+∈(,),故A+=,解得A=.
法二(同角三角函数的基本关系)　由sin A+cos A=2,
又sin2A+cos2A=1,
联立消去sin A可得
4cos2A－4cos A+3=0 (2cos A－)2=0,解得cos A=,
又A∈(0,π),故A=.
法三(利用万能公式求解)　设t=tan ,
根据万能公式,
sin A+cos A=2=+,
整理可得,t2－2(2－)t+(2－)2=0=[t－(2－)]2,
解得t=2－,
根据二倍角公式,tan A==,
又A∈(0,π),故A=.
(2)由题设条件和正弦定理,
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin Csin B·cos B,
又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,
进而cos B=,得B=,
于是C=π－A－B=,
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=,
由正弦定理可得,==,
即==,
解得b=2,c=+,
故△ABC的周长为2+3+.
角度2　面积问题
[例5] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,
a2+b2－c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第二册P54习题6.4 T22.
【解】 (1)由余弦定理有a2+b2－c2=2abcos C,对比已知a2+b2－c2=ab,
可得cos C===,
因为C∈(0,π),所以sin C>0,
从而sin C===,
又因为sin C=cos B,即cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得B=,cos C=,C∈(0,π),从而C=,A=π－=,
而sin A=sin=sin(+)=×+×=,
由正弦定理有==,从而a=·c=c,b=·c=c,
由三角形面积公式可知,△ABC的面积可表示为
S△ABC=absin C=×c·c·=c2,
由已知△ABC的面积为3+,
可得c2=3+,
所以c=2(负值舍去).
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·江西上饶模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,
sin B=,b=5,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D] 15
【答案】 A
【解析】 在△ABC中,因为A=,sin B=,b=5,
所以sin A=,cos A=－,且cos B=,
由正弦定理得a===7,
又因为A+B+C=π,可得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=××=,
所以△ABC的面积为S=absin C=×7×5×=.
故选A.
2.(角度1)(2025·天津北辰模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acos C+ccos A=.若△ABC的面积为,b=3,则△ABC的周长为　　　　.
【答案】 8
【解析】 因为acos C+ccos A=,
所以sin Acos C+sin Ccos A=,
所以sin(A+C)=,所以sin B=,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,
所以cos B=,B=.
因为S=acsin B=ac·=,
所以ac=,
由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B=(a+c)2－2ac－2accos B,
所以9=(a+c)2－3×,所以a+c=5,
所以△ABC的周长为a+b+c=8.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用正弦、余弦定理解三角形 1,2,5,13
判断三角形形状 3,9,15
三角形周长、面积问题 4,6,7,8,12
综合应用 10,11,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江西九江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c－a=2bcos A,则B等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为2c－a=2bcos A,所以由正弦定理得2sin C－sin A=2sin Bcos A,
因为A+B+C=π,所以2sin(A+B)－2sin Bcos A=sin A,
展开化简得2sin Acos B=sin A.
因为sin A>0,所以cos B=,
又B∈(0,π),所以B=.故选B.
2.(2025·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b－c=a,2sin B=3sin C,则cos A等于(　　)
[A] － [B]
[C] － [D]
【答案】 A
【解析】 由2sin B=3sin C,得2b=3c,则b－c=b－b=a,即b=a,则c=b=×a=a,
故cos A====－.故选A.
3.在△ABC中,已知=,则△ABC的形状为(　　)
[A] 直角三角形 [B] 等腰三角形
[C] 等腰或直角三角形 [D] 等边三角形
【答案】 C
【解析】 在△ABC中,由=及余弦定理,得=,
整理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,
而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π,因此2A=2B或2A+2B=π,
所以A=B或A+B=,即△ABC为等腰或直角三角形. 故选C.
4.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
[A] 6 [B] 8
[C] 24 [D] 48
【答案】 C
【解析】 由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos∠BAC,即64=AB2+100－2AB·10× ,解得AB=6.所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.S△ABC=AB·BC=×6×8=24.故选C.
5.(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若A=45°,且△ABC有两解,则b的取值范围是(2,2)
[B] 若A=45°,且b=4,则△ABC恰有一解
[C] 若c=3,且△ABC为钝角三角形,则b的取值范围是(,5)
[D] 若c=3,且△ABC为锐角三角形,则b的取值范围是(,)
【答案】 AD
【解析】 对于A,由正弦定理得=,sin B=,因为A=45°,所以B∈(0°,135°),又因为△ABC有两解,所以45°对于B,bsin A=4×=2>2=a,所以△ABC无解,故B错误;
对于C,①当c为最大边时,32>22+b2,且3<2+b,此时1②当b为最大边时,b2>22+32,且b<2+3,此时对于D,b2<22+32,且32<22+b2,所以6.(5分)(2025·陕西西安模拟)在△ABC中,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为　　　　　　　.
【答案】 4+4
【解析】 由cos B=,得sin B=,
由三角形面积公式可得S△ABC=acsin B=ac·=4,则ac=12,①
由b2=a2+c2－2accos B,
可得16=a2+c2－2×12×,则a2+c2=24,②
联立①②可得a+c=4,所以△ABC的周长为4+4.
7.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积S满足(b+c)2=(4+8)S+a2,则角A等于　　　　.
【答案】
【解析】 由已知得b2+c2－a2+2bc=(4+8)S,根据余弦定理和三角形面积公式,
得2bccos A+2bc=(+2)·2bcsin A,化简得cos A+1=(+2)sin A,因为A∈(0,π),
所以cos A+1=(+2)·,化简得(4+2)cos2A+cos A－(3+2)=0,
即[(4+2)cos A－(3+2)](cos A+1)=0,解得cos A=或cos A=－1(舍去),
因为A∈(0,π),所以A=.
8.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
【解】 (1)由正弦定理=,得sin A=.
因为cos C=,C∈(0,π),所以sin C=,
又=,所以sin A==.
(2)由(1)知sin A=,因为a=所以0因为=,即=,所以c=4,
所以S△ABC=bcsin A=×11×4×=22.
9.(2025·甘肃兰州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin B=
(2c+a)sin C+(2a+c)sin A.若sin A+sin C=1,则△ABC的形状是(　　)
[A] 等腰直角三角形 [B] 等腰锐角三角形
[C] 等腰钝角三角形 [D] 不是等腰三角形
【答案】 C
【解析】 由已知,根据正弦定理得,2b2=(2c+a)c+(2a+c)a,则a2+c2－b2=－ac,
所以cos B===－,又0因为sin A+sin C=sin A+sin(－A)
=sin A+cos A－sin A=sin A+cos A=sin(A+)=1,
又0故选C.
10.(多选题)(2025·四川成都模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是(　　)
[A] 若a>b,则cos 2A[B] 若acos B－bcos A=c,则△ABC一定为直角三角形
[C] 若a=4,b=5,c=6,则△ABC外接圆面积为
[D] 若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1,则△ABC一定是等边三角形
【答案】 ABD
【解析】 对于A,若a>b,则sin A>sin B>0,则sin2A>sin2B,
则1－2sin2A<1－2sin2B,即cos 2A对于B,若acos B－bcos A=c,由正弦定理得 sin Acos B－sin Bcos A=sin C,
又因为C=π－(A+B),所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B－sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B,整理可得cos Asin B=0,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,
所以cos A=0,
因为A∈(0,π),故A=,
所以△ABC一定为直角三角形,故B正确;
对于C,若a=4,b=5,c=6,由余弦定理得cos A===,A∈(0,π),
则sin A==,
由正弦定理得2R===,故外接圆半径R=,故外接圆面积为,故C错误;
对于D,若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1,则cos(A－B)=cos(B－C)=cos(C－A)=1,
则A－B=B－C=C－A=0,从而A=B=C,则△ABC一定是等边三角形,故D正确.
故选ABD.
11.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,且△ABC的面积S△ABC=6,则下列命题正确的是(　　)
[A] △ABC的周长为5+
[B] △ABC的三个内角A,B,C满足关系A+B=2C
[C] △ABC的外接圆半径为
[D] △ABC的中线CD的长为
【答案】 BC
【解析】 因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,
所以a∶b∶c=2∶3∶,
设a=2t,b=3t,c=t,t>0,利用余弦定理得,
cos C===,由于C∈(0,π),所以C=.
因为S△ABC=6,所以absin C=×2t×3t×=6,解得t=2(负值舍去).所以a=4,b=6,c=2,
对于A, △ABC的周长为a+b+c=10+2,故A不正确;
对于B,因为C=,所以A+B=,故A+B=2C,故B正确;
对于C,由正弦定理得外接圆半径为R===,故C正确;
对于D,在△ABC中,利用正弦定理=,解得sin A=,
又a在△ACD中,利用余弦定理CD2=AC2+AD2－2AC·AD·cos A=19,解得CD=,故D不正确.故选BC.
12.(5分)(2025·四川绵阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin Csin(A－B)=
sin Bsin(C－A),a=5,cos A=,则△ABC的周长为　　　　.
【答案】 14
【解析】 因为sin Csin(A－B)=sin Bsin(C－A),
所以sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B=sin B·sin Ccos A－sin Bcos Csin A,
即sin Csin Acos B+sin Bcos Csin A=2sin B·sin Ccos A.
即sin A(sin Ccos B+sin Bcos C)=sin Asin(B+C)=sin2A=2sin Bsin Ccos A,
由正弦定理得a2=2bccos A,
又由余弦定理a2=b2+c2－2bccos A可得2a2=b2+c2.
因为a=5,cos A=,
所以
整理得
则b+c===9,所以a+b+c=14.
13.(5分)在△ABC中,已知2·=||||=3,B【答案】
【解析】 设BC=a,AC=b,AB=c,
由2·=||||得2cbcos A=cb,所以cos A=.
又A∈(0,π),所以A=,B=－C.
由||||=3,得cb=a2,于是 sin Csin B=sin2A=,所以sin Csin(－C)=,
所以2sin Ccos C+2sin2C=,
即sin(2C－)=0.
因为A=,所以0所以－<2C－<,
所以2C－=0或2C－=π,
所以C=或C=.
又因为B14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解】 (1)因为2sin C=3sin A,
所以2c=2(a+2)=3a,
则a=4,故b=5,c=6,
cos C==,
所以C为锐角,则sin C==,
因此S△ABC=absin C=×4×5×=.
(2)显然c>b>a>0,若△ABC为钝角三角形,则C为钝角,
由余弦定理可得
cos C===<0,则a2－2a－3<0,
解得－1由三角形三边关系可得a+a+1>a+2,可得a>1,因为a∈Z,故a=2.
15.(2025·河北秦皇岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则(　　)
[A] △ABC为直角三角形
[B] △ABC为锐角三角形
[C] △ABC为钝角三角形
[D] △ABC的形状无法确定
【答案】 A
【解析】 由b=a,可得sin B=sin A,又由B=2C,则sin 2C=sin(π－3C)=sin 3C,
sin 2C=sin 2Ccos C+cos 2Csin C,2cos C=2cos2C+(2cos2C－1),
即4cos2C－2cos C－=0,由B=2C>C,故C只能为锐角,可得cos C=(负值舍去),
因为016.(5分)我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积”,即在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积为S=,若sin2A－sin2C+sin2B=sin Asin B,且△ABC的外接圆的半径为,则△ABC面积的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为sin2A－sin2C+sin2B=sin Asin B,由正弦定理可得a2+b2－c2=ab,
由余弦定理可得cos C==,因为 0又因为△ABC的外接圆的半径为,则
c=2sin C=2×=3,
由上可得9=c2=a2+b2－ab≥2ab－ab=ab,当且仅当a=b=3时,等号成立,
所以S===ab≤,
当且仅当a=b=3时,等号成立,
因此△ABC面积的最大值为.
(
第
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第6节　余弦定理和正弦定理
及其应用
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能运用余弦定理、正弦定理解决一些三角形形状的判断和三角形度量等问题.
[课程标准要求]
第一课时　余弦定理和正弦定理
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
b2+c2－2bccos A
c2+a2－2cacos B
a2+b2－2abcos C
知识梳理
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
知识梳理
2.三角形中常用的面积公式
重要结论
在△ABC中,常有以下结论:
(1)大边对大角,大角对大边,如a>b A>B sin A>sin B,cos A(2)sin(A+B)=sin C;
cos(A+B)=－cos C;
tan(A+B)=－tan C;
重要结论
(3)三角形中的射影定理.
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
对点自测
[A] 30° [B] 45°
[C] 135° [D] 45°或135°
D
C
对点自测
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 1或3
对点自测
A
对点自测
对点自测
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c[A] 钝角三角形 [B] 直角三角形
[C] 锐角三角形 [D] 等边三角形
A
【解析】 由已知及正弦定理得sin C所以sin Acos B+cos Asin B即sin Acos B<0,又sin A>0,所以cos B<0,
所以B为钝角,
故△ABC为钝角三角形.故选A.
对点自测
5.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 若A>B,则sin A>sin B
[B] 若A=30°,b=4,a=3,则△ABC有两解
[C] 若△ABC为钝角三角形,则a2+b2ABD
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
A
角度1　正弦定理、余弦定理的基本应用
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin B,且c2=2a2(1+sin C),
则C等于(　　)
D
在解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
解题策略
角度2　三角形解的个数的判断
[例2] (1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)
[A] 有一解
[B] 有两解
[C] 无解
[D] 有解但解的个数不确定
C
C
三角形解的个数的判断
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.
解题策略
在△ABC中,已知a,A,b,三角形解的个数如下:
(1)A为锐角.
①a③bsin A(2)A为直角或钝角.
①a≤b,无解;②a>b,一解.
解题策略
[针对训练]
B
考点二　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
等边三角形
直角三角形
三角形形状的判定方法
解题策略
(3)注意无论是角化边还是边化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种情况的可能.
解题策略
[针对训练] (2025·安徽芜湖模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A+bcos(A+C)=0,则△ABC为(　　)
[A] 等腰三角形 [B] 直角三角形
[C] 等腰直角三角形 [D] 等腰或直角三角形
D
考点三　与三角形面积(周长)有关的计算
角度1　周长问题
(1)求A;
角度2　面积问题
(1)求B;
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第二册P54习题6.4 T22.
三角形面积公式的应用原则
解题策略
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[针对训练]
A
8
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用正弦、余弦定理解三角形 1,2,5,13
判断三角形形状 3,9,15
三角形周长、面积问题 4,6,7,8,12
综合应用 10,11,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江西九江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
2c－a=2bcos A,则B等于(　　)
B
基础巩固练
A
[A] 直角三角形 [B] 等腰三角形
[C] 等腰或直角三角形 [D] 等边三角形
C
[A] 6 [B] 8
[C] 24 [D] 48
C
5.(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,则下列说法正确的是(　 　)
AD
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
综合运用练
9.(2025·甘肃兰州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
2bsin B=(2c+a)sin C+(2a+c)sin A.若sin A+sin C=1,则△ABC的形状是(　　)
[A] 等腰直角三角形 [B] 等腰锐角三角形
[C] 等腰钝角三角形 [D] 不是等腰三角形
C
10.(多选题)(2025·四川成都模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是(　 　)
[A] 若a>b,则cos 2A[B] 若acos B－bcos A=c,则△ABC一定为直角三角形
[C] 若a=4,b=5,c=6,则△ABC外接圆面积为
[D] 若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1,则△ABC一定是等边三角形
ABD
【解析】 对于A,若a>b,则sin A>sin B>0,则sin2A>sin2B,
则1－2sin2A<1－2sin2B,即cos 2A对于B,若acos B－bcos A=c,由正弦定理得 sin Acos B－sin Bcos A=sin C,
又因为C=π－(A+B),所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B－sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B,整理可得cos Asin B=0,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,
所以cos A=0,
BC
14
【解析】 因为sin Csin(A－B)=sin Bsin(C－A),
所以sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B=sin B·sin Ccos A－sin Bcos Csin A,
即sin Csin Acos B+sin Bcos Csin A=2sin B·sin Ccos A.
即sin A(sin Ccos B+sin Bcos C)=sin Asin(B+C)=sin2A=2sin Bsin Ccos A,
14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
应用创新练
A
[A] △ABC为直角三角形
[B] △ABC为锐角三角形
[C] △ABC为钝角三角形
[D] △ABC的形状无法确定

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