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第7节　解三角形的应用举例
[课程标准要求]
能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
测量中的几个有关术语
术语 名称 术语概念 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α:
坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ
1.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B(　　)
[A] 北偏东10°方向 [B] 北偏西10°方向
[C] 南偏东80°方向 [D] 南偏西80°方向
2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(　　)
[A] 10 km [B] 10 km
[C] 10 km [D] 10 km
3.(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)
[A] (30+30) m [B] (15+30) m
[C] (30+15) m [D] (15+15) m
4.海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5 km,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是　　　　 km.
5.(2025·山东泰安模拟)公路北侧有一幢楼,高为60 m,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60 m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60 m到点C处,测得仰角为θ.则sin θ=　　　　.
考点一　测量距离问题
1.(2025·福建厦门模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40 km的速度沿东偏南50°方向直线航行,30 min后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)
[A] 10 km [B] 10 km
[C] 20 km [D] 20 km
2.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m 且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=
∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　 m.
3.如图,为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离,在岸上选取A和D两点,现测得AB=5 km,
AD=7 km,∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°,据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为　　　　km(精确到0.1 km,参考数据:sin 40°≈0.643,sin 117°≈0.891).
求解距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
考点二　测量高度问题
[例1] 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
[A] 346 [B] 373
[C] 446 [D] 473
解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时,理解仰角、俯角是一个关键,目标视线在水平视线上方、下方的角分别称为仰角、俯角.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合和方程思想的运用.
[针对训练] (2025·江苏扬州模拟)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B,测得AB=20 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,60°,在点B处测得点D的仰角为30°,则塔高CD为　　　m.
考点三　测量角度问题
[例2] 已知在A岛南偏西38°方向,距A岛3 n mile的B处有一艘游艇甲.A岛处的一艘游艇乙正以10 n mile/h的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问游艇甲朝什么方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能追上游艇乙
(参考数据:sin 38°=,sin 22°=)
求解角度问题的注意事项
(1)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点.
(2)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[针对训练] (2025·宁夏石嘴山模拟)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”,在坡脚A处测得∠PAC=15°,沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处,测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m,PB⊥AB,土坡相对于地平面的坡角为θ,则cos θ等于(　　)
[A] －1 [B] －1
[C] [D]
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
距离问题 1,6,7,9
高度问题 4,5,11,12,15
角度问题 2,3,13
综合应用问题 8,10,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江西宜春模拟)如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A处起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到途中C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B处.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)(　　)
[A] 10 km [B] 20 km
[C] 30 km [D] 40 km
2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°方向的B处,甲船沿北偏东θ方向匀速行驶,乙船沿正北方向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则(　　)
[A] 15°<θ<30° [B] θ=30°
[C] 30°<θ<45° [D] θ=45°
3.(2025·重庆沙坪坝模拟)《孔雀东南飞》中曾叙:“十三能织素,十四学裁衣,十五弹箜篌,十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长,音域宽广、音色柔美清澈,表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制,对其进行绘制,发现近似一扇形,在圆弧的两个端点A,B处分别作切线相交于点C,测得切线AC=99.9 cm,BC=100.2 cm,AB=180 cm,根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
[A] 0.62 [B] 0.56
[C] －0.56 [D] －0.62
4.(2025·四川内江模拟)位于某市的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据该市的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为32.5°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为79.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14 m,则表高(即AC的长)约为(其中tan 32.5°≈,tan 79.5°≈)(　　)
[A] 9.27 m [B] 9.33 m
[C] 9.45 m [D] 9.51 m
5.(2025·安徽铜陵模拟)小胡同学想知道某塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A,该塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得该塔顶部M的仰角为30°,则该塔的高度约为(参考数据:≈1.73)(　　)
[A] 31.42 m [B] 33.26 m
[C] 35.48 m [D] 37.52 m
6.(2025·河南郑州模拟)如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得
∠BEC=60°.若测得DC=2,CE=(单位:百米),则A,B两点的距离为(　　)
[A] [B] 2
[C] 3 [D] 2
7.(5分)如图所示,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为　　　　 m.
8.(13分)(2025·山东济南模拟)如图所示,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点,
AB=5(3+) km,D点位于A观测点北偏东45°,且B观测点北偏西60°的位置,C点位于B观测点南偏西60°,且BC=20 km.现D点有一艘轮船发出求救信号,C点处的救援船立即前往营救,其航行速度为30 km/h.求:
(1)DB的距离;
(2)该救援船到达D点所需要的时间.
9.如图,某市地面有四个5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在江的南岸,距离为10 km;基站A,B建在江的北岸,测得∠ACB=45°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,∠ADB=75°,则基站A,B之间的距离为(　　)
[A] 10 km [B] 30(－1) km
[C] 30(－1) km [D] 10 km
10.(多选题)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为
12 km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 km.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是(　　)
[A] A处与D处之间的距离是24 km
[B] 灯塔C与D处之间的距离是8 km
[C] 灯塔C在D处的西偏南60°
[D] D在灯塔B的北偏西30°
11.(多选题)(2025·甘肃兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有(　　)
[A] 在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离
[B] 在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
[C] 在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离
[D] 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β
12.(5分) (2025·宁夏吴忠模拟)如图,在某阁楼旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁楼顶端点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则该阁楼高度OP=　　　　m.
13.(5分)(2025·湖南长沙模拟)某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园,并拟计划修建主干路AC与BD.为更好地规划建设,利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探,在勘探简化图中,AD⊥AC,AB⊥BC,AC平分∠BCD,BD=CD=3,则cos∠ACD=　　　　.
14.(15分)如图,为方便市民游览市民中心附近的景观,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两条夹角为120°的公路(长度均超过3 km),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM= km,AN= km.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
15.已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
[A] 49.25 m [B] 50.76 m
[C] 56.74 m [D] 58.60 m
16.(5分)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)小明在春节期间,预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画,其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏,已知该画挂在墙上,其上沿在观赏者眼睛平视的上方3 m处,其下沿在观赏者眼睛平视的上方1 m处.为保证观赏时可以有最大视角,警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙　　　　 m处最合适.(单位:m,精确到小数点后两位)
第7节　解三角形的应用举例
[课程标准要求]
能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
测量中的几个有关术语
术语 名称 术语概念 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α:
坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ
1.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B(　　)
[A] 北偏东10°方向 [B] 北偏西10°方向
[C] 南偏东80°方向 [D] 南偏西80°方向
【答案】 D
【解析】 由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.故选D.
2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(　　)
[A] 10 km [B] 10 km
[C] 10 km [D] 10 km
【答案】 D
【解析】 由余弦定理可得AC2=AB2+CB2－2AB·CB·cos 120°=102+202－2×10×20×(－)=700,所以AC=10 km.故选D.
3.(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)
[A] (30+30) m [B] (15+30) m
[C] (30+15) m [D] (15+15) m
【答案】 A
【解析】 在△ABP中,∠APB=45°－30°,
所以sin∠APB=sin(45°－30°)=××=.
由正弦定理得PB===30(+),
所以该树的高度为30(+)sin 45°=(30+30)(m).
故选A.
4.海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5 km,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是　　　　 km.
【答案】 5
【解析】 由题意可知∠ACB=60°,
由正弦定理=,
即=,
得BC=5.
5.(2025·山东泰安模拟)公路北侧有一幢楼,高为60 m,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60 m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60 m到点C处,测得仰角为θ.则sin θ=　　　　.
【答案】
【解析】 如图所示,由题意有DE=AB=BC=60,
∠DAE=∠DBE=45°,
则有AE=BE=AB=60,故∠EAB=60°,则EC=
=60,
故DC==120,
则sin θ=sin∠DCE==.
考点一　测量距离问题
1.(2025·福建厦门模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40 km的速度沿东偏南50°方向直线航行,30 min后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)
[A] 10 km [B] 10 km
[C] 20 km [D] 20 km
【答案】 A
【解析】依题意,如图,在△ABC中,
∠BAC=50°－20°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,则∠ACB=45°,AB=40×=20(km),
由正弦定理得=,
即=,
因此BC==10(km),
所以B,C两点间的距离是10 km.故选A.
2.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m 且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=
∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　 m.
【答案】 900
【解析】 由已知,
得∠QAB=∠PAB－∠PAQ=30°.
又∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠AQB=30°,
所以AB=BQ.
又PB为公共边,
所以△PAB≌△PQB,
所以PQ=PA.
在Rt△PAB中,AP=AB·tan 60°=900,
故PQ=900,
所以P,Q两点间的距离为900 m.
3.如图,为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离,在岸上选取A和D两点,现测得AB=5 km,
AD=7 km,∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°,据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为　　　　km(精确到0.1 km,参考数据:sin 40°≈0.643,sin 117°≈0.891).
【答案】 5.8
【解析】 在△ABD中,有AB=5,AD=7,
∠ABD=60°,
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2－2AB·BDcos∠ABD,
即49=25+BD2－2×5·BD·,
整理可得BD2－5BD－24=0,
解得BD=8或BD=－3(舍去).
在△BCD中,有BD=8,∠CBD=23°,
∠BCD=117°,
所以∠BDC=180°－∠BCD－∠CBD=40°.
由正弦定理=可得,
BC==≈≈5.8(km).
求解距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
考点二　测量高度问题
[例1] 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
[A] 346 [B] 373
[C] 446 [D] 473
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第二册P53习题6.4 T8.
【答案】 B
【解析】如图所示,根据题意过C作CE∥C′B′,交BB′于E,过B作BD∥A′B′,交AA′于D,则BE=100,
C′B′=CE=.
在△A′C′B′中,∠C′A′B′=75°,则BD=A′B′=.又在B点测得A点的仰角为45°,所以AD=BD=,所以高度差AA′－CC′=AD+BE=+100=+100=
+100=+100=100(+1)+100≈373.故选B.
解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时,理解仰角、俯角是一个关键,目标视线在水平视线上方、下方的角分别称为仰角、俯角.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合和方程思想的运用.
[针对训练] (2025·江苏扬州模拟)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B,测得AB=20 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,60°,在点B处测得点D的仰角为30°,则塔高CD为　　　m.
【答案】 20
【解析】 在△ACD中,延长DC与BA的延长线交于点E,如图所示.
由题意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°,
∠DBA=30°,
A,B,E三点在同一条直线上.
所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,
∠ADC=30°,∠BDA=30°,
所以△ACD,△BAD为等腰三角形,
即CD=CA,AD=AB.
设CD=x,即CA=x,∠DCA=120°,
在△ACD中,由余弦定理得AD2=CD2+CA2－2CD·CAcos∠DCA,
即AD2=x2+x2－2x·x·(－),
AD=x,所以AB=x,
又因为AB=20,所以x=20,即CD=20.
考点三　测量角度问题
[例2] 已知在A岛南偏西38°方向,距A岛3 n mile的B处有一艘游艇甲.A岛处的一艘游艇乙正以10 n mile/h的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问游艇甲朝什么方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能追上游艇乙
(参考数据:sin 38°=,sin 22°=)
【解】 如图,设游艇甲在C处追上游艇乙,D为A岛正南方向上一点,游艇甲的速度为每小时
x n mile,
则BC=0.5x,AC=5,
依题意,AB=3,
∠BAC=180°－38°－22°=120°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos 120°,
所以BC2=49,
所以BC=0.5x=7,
解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC===,
所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,
所以BC∥AD,
故游艇甲以每小时14 n mile的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h能追上游艇乙.
求解角度问题的注意事项
(1)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点.
(2)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[针对训练] (2025·宁夏石嘴山模拟)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”,在坡脚A处测得∠PAC=15°,沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处,测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m,PB⊥AB,土坡相对于地平面的坡角为θ,则cos θ等于(　　)
[A] －1 [B] －1
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 在△ADP中,由正弦定理可得AP==25,
在Rt△ABP中,易知AB=25cos(θ+15°),PB=25sin(θ+15°),
则tan θ==,
整理可得cos θ=sin 15°=×=.故选D.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
距离问题 1,6,7,9
高度问题 4,5,11,12,15
角度问题 2,3,13
综合应用问题 8,10,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江西宜春模拟)如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A处起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到途中C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B处.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)(　　)
[A] 10 km [B] 20 km
[C] 30 km [D] 40 km
【答案】 B
【解析】 在△ABC中,由∠A=12°,∠B=18°,
得∠C=150°,
由正弦定理得==,
所以≈≈,
所以AC≈310 km,BC≈210 km,
所以AC+BC－AB≈20 km.故选B.
2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°方向的B处,甲船沿北偏东θ方向匀速行驶,乙船沿正北方向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则(　　)
[A] 15°<θ<30° [B] θ=30°
[C] 30°<θ<45° [D] θ=45°
【答案】 B
【解析】如图所示,设在点C处相遇,设BC=x,则AC=x,由题知∠ABC=120°,由正弦定理得=,解得sin(60°－θ)=.因为0°<60°－θ<60°,所以 60°－θ=30°,即θ=30°.故选B.
3.(2025·重庆沙坪坝模拟)《孔雀东南飞》中曾叙:“十三能织素,十四学裁衣,十五弹箜篌,十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长,音域宽广、音色柔美清澈,表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制,对其进行绘制,发现近似一扇形,在圆弧的两个端点A,B处分别作切线相交于点C,测得切线AC=99.9 cm,BC=100.2 cm,AB=180 cm,根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
[A] 0.62 [B] 0.56
[C] －0.56 [D] －0.62
【答案】 A
【解析】 由题意,∠OAC=∠OBC=90°,
所以∠AOB+∠ACB=180°,
切线AC=99.9 cm,BC=100.2 cm,由切线长定理,不妨取AC=BC=100 cm,
又AB=180 cm,由余弦定理,有cos∠ACB===－0.62,
cos∠AOB=cos(180°－∠ACB)=－cos∠ACB=0.62.
故选A.
4.(2025·四川内江模拟)位于某市的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据该市的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为32.5°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为79.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14 m,则表高(即AC的长)约为(其中tan 32.5°≈,tan 79.5°≈)(　　)
[A] 9.27 m [B] 9.33 m
[C] 9.45 m [D] 9.51 m
【答案】 C
【解析】 由题意得,∠ABC=32.5°,
∠ADC=79.5°,
DB=14,
设表高AC=h,则由题知,tan∠ABC=,
tan∠ADC=,
所以BC=,CD=.
因为tan 32.5°≈,tan 79.5°≈,DB=14,
所以h－h=14,
解得h=×14==9.45,
故表高(即AC的长)约为9.45 m.故选C.
5.(2025·安徽铜陵模拟)小胡同学想知道某塔的高度MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A,该塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得该塔顶部M的仰角为30°,则该塔的高度约为(参考数据:≈1.73)(　　)
[A] 31.42 m [B] 33.26 m
[C] 35.48 m [D] 37.52 m
【答案】 C
【解析】 在△ACM中,∠ACM=105°,∠CAM=45°,则∠AMC=30°,
所以=.
而MN=MC,AC=,
所以MN=×.
又sin 15°===,
则MN=×=≈35.48 m.故选C.
6.(2025·河南郑州模拟)如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得
∠BEC=60°.若测得DC=2,CE=(单位:百米),则A,B两点的距离为(　　)
[A] [B] 2
[C] 3 [D] 2
【答案】 C
【解析】 根据题意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=2,
则∠DAC=180°－45°－67.5°=67.5°,
则AC=DC=2.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=,
则∠EBC=180°－75°－60°=45°,
则有=,
整理可得BC===,
在△ABC中,AC=2,BC=,
∠ACB=180°－∠ACD－∠BCE=60°,
则AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cos∠ACB=9,
则AB=3.故选C.
7.(5分)如图所示,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为　　　　 m.
【答案】 20
【解析】 因为在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,
所以在Rt△PAO中,∠PAO=45°,
可得OA=OP=20 m,
在Rt△PBO中,∠PBO=30°,
可得OB==20 m,
在△AOB中,
由题意知∠AOB=150°,
由余弦定理得AB2=OA2+OB2－2OA·OB·cos∠AOB=400+1 200－2×20×20×(－)=2 800,得到AB=20 m.
8.(13分)(2025·山东济南模拟)如图所示,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点,
AB=5(3+) km,D点位于A观测点北偏东45°,且B观测点北偏西60°的位置,C点位于B观测点南偏西60°,且BC=20 km.现D点有一艘轮船发出求救信号,C点处的救援船立即前往营救,其航行速度为30 km/h.求:
(1)DB的距离;
(2)该救援船到达D点所需要的时间.
【解】 (1)由题意可知,∠DAB=90°－45°=45°,∠DBA=90°－60°=30°,
则∠ADB=180°－(∠DAB+∠DBA)=180°－(45°+30°)=105°,
而sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=.
在△ADB中,AB=5(3+),由正弦定理可得=,
即=,
即=,
解得DB=10 km.
(2)在△DBC中,∠DBC=60°,
由余弦定理可得DC2=DB2+BC2－2DB·BC·cos 60°=(10)2+(20)2－2×10×20·cos 60°=
900,
所以DC=30,
则时间为=1 h,
所以该救援船到达D点所需要的时间为1 h.
9.如图,某市地面有四个5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在江的南岸,距离为10 km;基站A,B建在江的北岸,测得∠ACB=45°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,∠ADB=75°,则基站A,B之间的距离为(　　)
[A] 10 km [B] 30(－1) km
[C] 30(－1) km [D] 10 km
【答案】 D
【解析】 在△ACD中,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又∠ADB=75°,
所以∠BDC=45°,∠CAD=30°,
∠ACD=∠CAD=30°,所以AD=CD=10.
在△BCD中,∠CBD=180°－(30°+45°+45°)=60°,
由正弦定理得
BD===5+5,
在△ABD中,由余弦定理得
AB2=AD2+BD2－2AD·BD·cos∠ADB=+(5+5)2－2×10×(5+5)cos 75°=500,所以AB=10,即基站A,B之间的距离为10 km.故选D.
10.(多选题)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为
12 km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 km.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是(　　)
[A] A处与D处之间的距离是24 km
[B] 灯塔C与D处之间的距离是8 km
[C] 灯塔C在D处的西偏南60°
[D] D在灯塔B的北偏西30°
【答案】 AC
【解析】 在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,
则∠B=45°,AB=12,由正弦定理得AD===24,
所以A处与D处之间的距离为24 km,故A正确;
在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2－2AD·ACcos 30°,
又AC=8,解得CD=8.所以灯塔C与D处之间的距离为8 km,故B错误;
因为AC=CD=8,所以∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;
灯塔B在D的南偏东60°,D在灯塔B的北偏西60°,故D错误.
故选AC.
11.(多选题)(2025·甘肃兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有(　　)
[A] 在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离
[B] 在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
[C] 在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离
[D] 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β
【答案】 BCD
【解析】 对于A,如果A,B两点与旗杆底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确;
对于B,如图(1),△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsin β,故B正确;
对于C,如图(2),在直角三角形ADC中直接利用正切求出旗杆的高DC=ACtan α,故C正确;
对于D,如图(3),△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsin α,故D正确.
故选BCD.
12.(5分) (2025·宁夏吴忠模拟)如图,在某阁楼旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁楼顶端点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则该阁楼高度OP=　　　　m.
【答案】 15
【解析】 设OP=h,因为∠PAO=30°,
∠PBO=60°,∠PCO=45°,
所以OA===3h,
OB===h,OC==h.
在△OBC中,OC2=OB2+BC2－2OB·BC·cos∠OBC,
即3h2=h2+752－2×75hcos∠OBC,①
在△OAB中,OA2=OB2+AB2－2OB·AB·cos∠OBA,
即9h2=h2+752－2×75hcos∠OBA,②
因为cos∠OBC+cos∠OBA=0,
所以①②两式相加可得12h2=2h2+2×752,
解得h=15,
则OP=h=15.
13.(5分)(2025·湖南长沙模拟)某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园,并拟计划修建主干路AC与BD.为更好地规划建设,利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探,在勘探简化图中,AD⊥AC,AB⊥BC,AC平分∠BCD,BD=CD=3,则cos∠ACD=　　　　.
【答案】
【解析】 设∠ACD=θ,则∠BCD=2θ,
由CD=BD=3,则AC=3cos θ,BC=3cos2θ.
故在△BCD中,由余弦定理可得cos 2θ==cos2θ,
而cos 2θ=2cos2θ－1,故2cos2θ－1=cos2θ,
解得cos2θ=,cos 2θ=.
在直角三角形ACD中,θ为锐角,故cos θ>0,
故cos θ=.
14.(15分)如图,为方便市民游览市民中心附近的景观,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两条夹角为120°的公路(长度均超过3 km),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM= km,AN= km.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
【解】 (1)在△AMN中,由余弦定理得,
MN2=AM2+AN2－2AM·ANcos 120°=3+3－2×××(－)=9,MN=3,
所以线段MN的长度为3 km.
(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,
所以∠PNM=120°－α.
在△PMN中,由正弦定理得,
====2.
所以PM=2sin(120°－α),PN=2sin α,
因此PM+PN=2sin(120°－α)+2sin α=2(cos α+sin α)+2sin α=3sin α+3cos α=
6sin(α+30°),
因为0°<α<120°,
所以30°<α+30°<150°.
所以当α+30°=90°,即α=60°时,
PM+PN取到最大值6.
所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6 km.
15.已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
[A] 49.25 m [B] 50.76 m
[C] 56.74 m [D] 58.60 m
【答案】 B　
【解析】 如图,
设球的半径为R,AB==R,
AC=,
因为BC=R=100,
所以R===
===
≈.
所以2R≈≈50.76,即该球体建筑物的高度约为50.76 m.故选B.
16.(5分)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)小明在春节期间,预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画,其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏,已知该画挂在墙上,其上沿在观赏者眼睛平视的上方3 m处,其下沿在观赏者眼睛平视的上方1 m处.为保证观赏时可以有最大视角,警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙　　　　 m处最合适.(单位:m,精确到小数点后两位)
【答案】 1.73　
【解析】 如图,设观赏者的眼睛在点D处,油画的上沿在点A处,下沿在点B处,
点C在线段AB延长线上,且保持与点D在同一水平线上,
则∠ADB=θ即观赏时的视角.
依题意AB=2,BC=1,AC⊥DC,
不妨设DC=x,
则BD=,AD=,
在△ABD中,由余弦定理,
cos θ===
=,
由于x>0,则x2+≥2=6,
当且仅当x2=,
即x=时,等号成立,
由x2+≥6可得x2++10≥16,
则0<≤,
则cos θ=≥,
因为函数y=cos x在(0,)上单调递减,
故得0≤θ≤,
即最大视角为,此时观赏者距离油画的直线距离为 ≈1.73 m.
(
第
21
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)(共78张PPT)
第7节　解三角形的应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语 名称 术语概念 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角
知识梳理
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α:
(2)南偏西α:
知识梳理
坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),
对点自测
1.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B(　　)
[A] 北偏东10°方向 [B] 北偏西10°方向
[C] 南偏东80°方向 [D] 南偏西80°方向
D
【解析】 由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.故选D.
对点自测
2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=
120°,则A,C两地间的距离为(　　)
D
对点自测
3.(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)
A
对点自测
对点自测
对点自测
5.(2025·山东泰安模拟)公路北侧有一幢楼,高为60 m,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60 m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60 m到点C处,测得仰角为θ.则sin θ=　　　　.
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　测量距离问题
1.(2025·福建厦门模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40 km的速度沿东偏南50°方向直线航行,30 min后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)
A
900
【解析】 由已知,
得∠QAB=∠PAB－∠PAQ=30°.
又∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠AQB=30°,
所以AB=BQ.
又PB为公共边,所以△PAB≌△PQB,所以PQ=PA.
在Rt△PAB中,AP=AB·tan 60°=900,
故PQ=900,
所以P,Q两点间的距离为900 m.
5.8
【解析】 在△ABD中,有AB=5,AD=7,
∠ABD=60°,
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2－2AB·BDcos∠ABD,
整理可得BD2－5BD－24=0,
解得BD=8或BD=－3(舍去).
求解距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
题后悟通
考点二　测量高度问题
[A] 346 [B] 373
[C] 446 [D] 473
B
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第二册P53习题6.4 T8.
解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时,理解仰角、俯角是一个关键,目标视线在水平视线上方、下方的角分别称为仰角、俯角.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合和方程思想的运用.
解题策略
20
【解析】 在△ACD中,延长DC与BA的延长线交于点E,如图所示.
由题意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°,
∠DBA=30°,
A,B,E三点在同一条直线上.
所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,
∠ADC=30°,∠BDA=30°,
所以△ACD,△BAD为等腰三角形,
即CD=CA,AD=AB.
考点三　测量角度问题
[例2] 已知在A岛南偏西38°方向,距A岛3 n mile的B处有一艘游艇甲.A岛处的一艘游艇乙正以10 n mile/h的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问游艇甲朝什么方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能追上游艇乙
【解】 如图,设游艇甲在C处追上游艇乙,D为A岛正南方向上一点,游艇甲的速度为每小时 x n mile,
则BC=0.5x,AC=5,
依题意,AB=3,
∠BAC=180°－38°－22°=120°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos 120°,
所以BC2=49,
所以BC=0.5x=7,
解得x=14.
求解角度问题的注意事项
(1)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点.
(2)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
解题策略
[针对训练] (2025·宁夏石嘴山模拟)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”,在坡脚A处测得∠PAC=15°,沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处,测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m,PB⊥AB,土坡相对于地平面的坡角为θ,则cos θ等于(　　)
D
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
距离问题 1,6,7,9
高度问题 4,5,11,12,15
角度问题 2,3,13
综合应用问题 8,10,14,16
1.(2025·江西宜春模拟)如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A处起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到途中C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B处.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)(　　)
[A] 10 km [B] 20 km
[C] 30 km [D] 40 km
B
基础巩固练
2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°方向的B处,甲船沿北偏东θ方向匀速行驶,乙船沿正北方向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则(　　)
[A] 15°<θ<30° [B] θ=30°
[C] 30°<θ<45° [D] θ=45°
B
3.(2025·重庆沙坪坝模拟)《孔雀东南飞》中曾叙:“十三能织素,十四学裁衣,十五弹箜篌,十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长,音域宽广、音色柔美清澈,表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制,对其进行绘制,发现近似一扇形,在圆弧的两个端点A,B处分别作切线相交于点C,测得切线AC=99.9 cm,
BC=100.2 cm,AB=180 cm,根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
[A] 0.62 [B] 0.56
[C] －0.56 [D] －0.62
A
[A] 9.27 m [B] 9.33 m
[C] 9.45 m [D] 9.51 m
C
[A] 31.42 m [B] 33.26 m
[C] 35.48 m [D] 37.52 m
C
C
7.(5分)如图所示,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为
　　　　 m.
(1)DB的距离;
(2)该救援船到达D点所需要的时间.
综合运用练
D
AC
[A] A处与D处之间的距离是24 km
[B] 灯塔C与D处之间的距离是8 km
[C] 灯塔C在D处的西偏南60°
[D] D在灯塔B的北偏西30°
11.(多选题)(2025·甘肃兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有( 　　)
[A] 在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离
[B] 在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
[C] 在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离
[D] 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β
BCD
【解析】 对于A,如果A,B两点与旗杆底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确;
对于B,如图(1),△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsin β,
故B正确;
对于C,如图(2),在直角三角形ADC中直接利用正切求出旗杆的高DC=ACtan α,故C正确;
对于D,如图(3),△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsin α,故D正确.
故选BCD.
12.(5分) (2025·宁夏吴忠模拟)如图,在某阁楼旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁楼顶端点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则该阁楼高度OP=　　　　m.
13.(5分)(2025·湖南长沙模拟)某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园,并拟计划修建主干路AC与BD.为更好地规划建设,利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探,在勘探简化图中,AD⊥AC,AB⊥BC,AC平
分∠BCD,BD=CD=3,则cos∠ACD=　　　　.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
因为0°<α<120°,
所以30°<α+30°<150°.
所以当α+30°=90°,即α=60°时,
PM+PN取到最大值6.
所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6 km.
应用创新练
15.已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈
0.985)(　　)
[A] 49.25 m [B] 50.76 m
[C] 56.74 m [D] 58.60 m
B
16.(5分)(2025·内蒙古呼和浩特模拟)小明在春节期间,预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画,其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏,已知该画挂在墙上,其上沿在观赏者眼睛平视的上方3 m处,其下沿在观赏者眼睛平视的上方1 m处.为保证观赏时可以有最大视角,警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙　　　　 m处最合适.(单位:m,精确到小数点后两位)
1.73

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