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第1节　平面向量的概念及线性运算
[课程标准要求]
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小称为向量的长度(或称模).
大小和方向是平面向量的两个要素,数学中的平面向量仅与它的大小、方向有关,而与表示它的有向线段的起点无关,因此数学中的向量是一个自由向量.
易错提醒:两个向量不能比较大小,但是它们的模可以比较大小.
(2)零向量:长度为0的向量,记作 0.
零向量的方向是任意的,它用0表示,注意:0≠0!
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
单位向量的方向是任意的,两个单位向量不一定是平行(共线)向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量平行.
表示两个平行(或共线)向量的有向线段所在的直线不一定是平行直线,它们可以是重合的一条直线.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作－a.
0的相反向量仍是0.
2.向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 a－b=a+(－b)
数乘 |λa|=|λ||a|, 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
定理中的向量a是一个非零向量,这是定理成立的前提条件,使用时一定要注意这一点.当a=0,b=0时,此时λ∈R;当a=0,b≠0时,此时实数λ不存在.
4.向量三角不等式
对于任意两个向量a,b,都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
对于向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|:当两向量不共线时,可由“三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”知“<”成立;两向量共线时,可得出“=”成立(分同向、反向两种不同情形).
1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则 =(+);若G为△ABC的重心,则 ++=0.
3.若=λ+μ(λ,μ为实数),且,不共线,则点A,B,C共线的充要条件是λ+μ=1.
1.(多选题)给出下列命题,正确的命题是(　　)
[A] 向量的长度与向量的长度相等
[B] 若向量a与向量b平行,则a与b的方向一定相同或相反
[C] 两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同
[D] 若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
2.(多选题)(人教A版必修第二册P22习题6.2 T4改编)下列结论恒为零向量的是(　　)
[A] －(+)
[B] +
[C] +
[D] ++
3.(人教B版必修第二册P149练习B T3改编)在平行四边形ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量和分别是(　　)
[A] a+b和a－b [B] a－b和a+b
[C] 和 [D] 和
4.(人教A版必修第二册P16例8改编)已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与－(b－3a)共线,则λ=　　　　.
5.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是　　　　.
考点一　平面向量的基本概念
1.(2025·广西柳州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 若a∥b,b∥c,则a∥c
[B] 若a=b,则2a<3b
[C] 对任意非零向量a,是和它同向的一个单位向量
[D] 零向量没有方向
2.(多选题)给出下列命题,不正确的有(　　)
[A] 若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
[B] 若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四边形
[C] a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
[D] 已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
3.(2025·广东佛山模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
[A] = [B] =
[C] = [D] =
平行向量有关概念的四个关注点:
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
考点二　平面向量的线性运算
角度1　向量加法、减法的几何意义
[例1] (2025·四川达州模拟)若||=7,||=4,则|| 的取值范围是(　　)
[A] [3,7] [B] (3,7)
[C] [3,11] [D] (3,11)
利用向量加法、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关
问题.
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
角度2　平面向量的线性运算
[例2] (2025·河南三门峡模拟)在△ABC中,=3,=4,则等于(　　)
[A] + [B]
[C] [D]
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.
(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.
2.三种运算法则的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.
(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.
角度3　根据向量的线性运算求参数
[例3] (2025·山西忻州模拟)在正方形ABCD中,点E满足=2,点F满足=+,若=x+y,则x－y等于(　　)
[A] － [B]
[C] [D] －
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·天津模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是CD,BC边的中点,DN与BM相交于点P,则等于(　　)
[A] + [B] +
[C] + [D] +
2.(角度3)(1)(2025·河北衡水模拟)在△ABC中,D是BC的中点,直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N,且=,=2,=λ,则λ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(2)(2025·四川成都模拟)在△ABC中,若=2,=+λ,则λ=　　　　.
3.(角度1)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=－1,且|a－b|=4,则|a+b|=　　　　.
考点三　向量共线定理及其应用
[例4] 设两向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a－b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[典例迁移1] (变条件,变设问)若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线
[典例迁移2] (变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值
提醒:利用平面向量共线定理证明三点共线时,需要说明共线的两个向量有公共点.
微点培优8　三点共线定理的妙用
三点共线定理:在平面中,A,B,C三点共线的充要条件是=x+y(O不在直线AB上),其中x+y=1,如图所示.
　　利用上述三点共线定理我们可以快速求解一些与之相关的参数求值与最值等问题.
提醒:三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ或=λ+(1－λ)(λ为常数),再利用对应系数相等列出方程组,进而解出参数.
类型一　利用三点共线定理求参数
[典例1] (2025·北京模拟)在△ABC中,=,P是直线BD上的一点,若=+t,则实数t的值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
A,B,C三点共线 ∥ =λ+(1－λ)(其中点O是直线AB外一点),利用上述等价条件可以快速求解一些参数问题.
[拓展演练1] (2025·浙江湖州模拟)在△ABC中,M是AC边上一点,且=,N是BM上一点,若=+m,则实数m的值为(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
类型二　利用三点共线定理求最值
[典例2] 如图,在正方形ABCD中,CE=2DE,EB和AC相交于点G,且F为AG上一点(不包括端点),若=λ+μ,则+的最小值为(　　)
[A] 5+3 [B] 6+2
[C] 8+ [D] 15
利用三点共线定理可以得到λ+μ=1,借助“1”的代换配凑出常数,利用基本不等式即可求出最值.需要注意的是,利用基本不等式求最值时,“一正、二定、三相等”这三个条件必须同时具备才能取得最值.
[拓展演练2] (2025·宁夏银川模拟)在△ABC中,=2,过点D的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且=m,=n,其中m>0,n>0,则m+2n的最小值为(　　)
[A] 2 [B]
[C] 3 [D]
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量的有关概念 1,8
平面向量的线性运算 2,3,4,5
向量共线定理及其应用 6,7,9,11,15
综合问题 10,12,13,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(多选题)(2025·重庆模拟)下列叙述中,正确的是(　　)
[A] 若|a|=0,则a=0
[B] 若|a|=0,则a∥b
[C] 在△ABC中, ++=0
[D] 若a=b,b=c,则a=c
2.(2025·福建泉州模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,下列计算错误的是(　　)
[A] +=
[B] ++=
[C] ++=
[D] ++=0
4.(2025·山东济南模拟)在△ABC中,E为边AB的中点,=,则等于(　　)
[A] －+ [B] +
[C] + [D]
5.(多选题)(2025·福建泉州模拟)正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,多边形PQRST为正五边形,=,则(　　)
[A] +=
[B] =
[C] +=
[D] =
6.(2025·广东深圳模拟)已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,
=－3e1+2e2,=3e1－6e2,则(　　)
[A] A,B,C三点共线 [B] A,B,D三点共线
[C] A,C,D三点共线 [D] B,C,D三点共线
7.(5分)(2025·江西萍乡模拟)设向量a,b不平行,向量a+λb与－a+b平行,则实数λ=　　　　.
8.(9分)(2025·江苏扬州模拟)如图,已知=a,=b,|a|=|b|=2,∠AOB=60°,求|a－b|与△OBC的面积.
9.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知O为△ABC的外接圆的圆心且AB=3,AC=2,若=x+y,且x+2y=1,则 cos∠BAC等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
10.(多选题)(2025·吉林长春模拟)已知等边三角形ABC的边长为2,=2,=2,AD交BE于点M,则(　　)
[A] =+
[B] =
[C] S△BMD=8S△AME
[D] S四边形CDME=
11.(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知△ABC的重心为点G,点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则(　　)
[A] O,P,G三点共线
[B] =2
[C] 2=++
[D] 点P在△ABC的内部
12.(2025·陕西西安模拟)已知正三角形ABC的边长为6,=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],且 3λ+4μ=2,则点P到直线BC距离的最大值为(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] 3 [D]
13.(5分)(2025·安徽马鞍山模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∠BAC=,b=1,c=,若=+,则||的最小值为　　　　.
14.(5分)(2025·河南安阳模拟)设M为△ABC内一点,且=+,则△MBC与△ABC的面积的比值为　　　　.
15.(10分)如图,在△ABC中,=a,=b,D是AC的中点,=2,AB与DE交于点M.
(1)用a,b表示﹔
(2)设=λ,求λ的值.
第1节　平面向量的概念及线性运算
[课程标准要求]
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小称为向量的长度(或称模).
大小和方向是平面向量的两个要素,数学中的平面向量仅与它的大小、方向有关,而与表示它的有向线段的起点无关,因此数学中的向量是一个自由向量.
易错提醒:两个向量不能比较大小,但是它们的模可以比较大小.
(2)零向量:长度为0的向量,记作 0.
零向量的方向是任意的,它用0表示,注意:0≠0!
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
单位向量的方向是任意的,两个单位向量不一定是平行(共线)向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量平行.
表示两个平行(或共线)向量的有向线段所在的直线不一定是平行直线,它们可以是重合的一条直线.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作－a.
0的相反向量仍是0.
2.向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 a－b=a+(－b)
数乘 |λa|=|λ||a|, 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
定理中的向量a是一个非零向量,这是定理成立的前提条件,使用时一定要注意这一点.当a=0,b=0时,此时λ∈R;当a=0,b≠0时,此时实数λ不存在.
4.向量三角不等式
对于任意两个向量a,b,都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
对于向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|:当两向量不共线时,可由“三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”知“<”成立;两向量共线时,可得出“=”成立(分同向、反向两种不同情形).
1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则 =(+);若G为△ABC的重心,则 ++=0.
3.若=λ+μ(λ,μ为实数),且,不共线,则点A,B,C共线的充要条件是λ+μ=1.
1.(多选题)给出下列命题,正确的命题是(　　)
[A] 向量的长度与向量的长度相等
[B] 若向量a与向量b平行,则a与b的方向一定相同或相反
[C] 两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同
[D] 若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
【答案】 AC
【解析】 向量与向量为相反向量,相反向量的方向相反大小相等,所以||=||,故A正确;若向量a为零向量,则满足向量a与向量b平行,但其方向并不是相同或相反,故B错误;相等向量的方向相同大小相等,所以两个有共同起点并且相等的向量,其终点一定相同,故C正确;向量的模是标量可以比较大小,向量不可以比较大小,故D错误.故选AC.
2.(多选题)(人教A版必修第二册P22习题6.2 T4改编)下列结论恒为零向量的是(　　)
[A] －(+)
[B] +
[C] +
[D] ++
【答案】 BCD
【解析】 对于A,－(+)==2,A错误;
对于B,+=++=+=0,B正确;
对于C,+=+=0,C正确;对于D,++=+=0,D正确.故选BCD.
3.(人教B版必修第二册P149练习B T3改编)在平行四边形ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量和分别是(　　)
[A] a+b和a－b [B] a－b和a+b
[C] 和 [D] 和
【答案】 C
【解析】 因为=+,=,而=a,=b,所以+=a,=b,则=,=.故选C.
4.(人教A版必修第二册P16例8改编)已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与－(b－3a)共线,则λ=　　　　.
【答案】 －
【解析】 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[－(b－3a)],所以
解得
5.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是　　　　.
【答案】 [3,7]
【解析】 当a与b方向相同时,|a+b|=7;当a与b方向相反时,|a+b|=3;当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].
考点一　平面向量的基本概念
1.(2025·广西柳州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 若a∥b,b∥c,则a∥c
[B] 若a=b,则2a<3b
[C] 对任意非零向量a,是和它同向的一个单位向量
[D] 零向量没有方向
【答案】 C
【解析】 对于A,当b=0时,任意向量都与b共线,则a,c不一定共线,A错误;对于B,向量不能比较大小,B错误;对于C,对任意非零向量a,是和它同向的一个单位向量,C正确;对于D,零向量有方向,其方向是任意的,D错误.故选C.
2.(多选题)给出下列命题,不正确的有(　　)
[A] 若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
[B] 若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四边形
[C] a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
[D] 已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
【答案】 ACD
【解析】 两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等,但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,A错误;因为=,所以||=|| ,且∥,又因为A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形,B正确;当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件,C错误;当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线,D错误.故选ACD.
3.(2025·广东佛山模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
[A] = [B] =
[C] = [D] =
【答案】 D
【解析】 法一(排除法) 　 ,不共线, ,不共线,故A,B错误; ,方向相反,故C错误.故选D.
法二(直接法)　在等腰梯形ABCD中, ,不平行, ,不平行,故A,B错误;
因为AB∥CD,所以==,所以=,则=,即=,即=.因为EF∥AB,所以===,所以EP=PF,即P为EF的中点,所以 =,故C错误,D正确.
故选D.
平行向量有关概念的四个关注点:
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
考点二　平面向量的线性运算
角度1　向量加法、减法的几何意义
[例1] (2025·四川达州模拟)若||=7,||=4,则|| 的取值范围是(　　)
[A] [3,7] [B] (3,7)
[C] [3,11] [D] (3,11)
【答案】 C
【解析】 由题意知||=7,||=4,且||=||.
当,同向时,||取得最小值,||=||=|||－|||=|4－7|=3;
当,反向时,||取得最大值,||=||=|||+|||=|4+7|=11;
当,不共线时,3=|||－|||<||<|||+|||=11,故|| 的取值范围是[3,11].故选C.
利用向量加法、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关
问题.
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
角度2　平面向量的线性运算
[例2] (2025·河南三门峡模拟)在△ABC中,=3,=4,则等于(　　)
[A] + [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 如图所示,因为=4,所以=+=+=+()=+,
又=3,所以=,
所以=+=.故选D.
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.
(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.
2.三种运算法则的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.
(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.
角度3　根据向量的线性运算求参数
[例3] (2025·山西忻州模拟)在正方形ABCD中,点E满足=2,点F满足=+,若=x+y,则x－y等于(　　)
[A] － [B]
[C] [D] －
【答案】 D
【解析】 在正方形ABCD中,=,==,由=2,得==,
又=+,因此=+++=－+++=
+=－()－=－,
而=x+y,且,不共线,于是x=－,y=－,x－y=－.故选D.
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
[针对训练]
1.(角度2)(2025·天津模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是CD,BC边的中点,DN与BM相交于点P,则等于(　　)
[A] + [B] +
[C] + [D] +
【答案】 A
【解析】 连接AC,BD,设AC∩BD=O,则O为AC,BD的中点,由题意可知,P为△BCD的重心,且A,O,P,C四点共线,因为OP=OC=×AC=AC,即AP=OA+AC=AC+AC=AC,所以==(+)=+.故选A.
2.(角度3)(1)(2025·河北衡水模拟)在△ABC中,D是BC的中点,直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N,且=,=2,=λ,则λ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(2)(2025·四川成都模拟)在△ABC中,若=2,=+λ,则λ=　　　　.
【答案】 (1)B　(2)
【解析】 (1)由=2,得==(+)=(+λ)=+.因为M,E,N共线,所以+=1,解得λ=.故选B.
(2)法一　在△ABC中,由=2,知A,B,D三点共线,所以+λ=1,从而λ=.
法二　由题意知=+,①
=+,②
且+2=0,①+②×2,得3=+2,所以=+,所以λ=.
3.(角度1)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=－1,且|a－b|=4,则|a+b|=　　　　.
【答案】 4
【解析】 如图所示,设=a,=b,则||=|a－b|.
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,由于(+1)2+(－1)2=42,故||2+||2=||2,所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得||=||=4,即|a+b|=4.
考点三　向量共线定理及其应用
[例4] 设两向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a－b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
(1)【证明】因为=a+b,=2a+8b,=3(a－b),
所以=+=2a+8b+3(a－b)=5(a+b)=5,所以,共线.
又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)【解】因为ka+b与a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,
所以(k－λ)a=(λk－1)b.
因为a,b是两个不共线的向量,
所以k－λ=λk－1=0,
所以k2－1=0,所以k=±1.
[典例迁移1] (变条件,变设问)若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线
【解】 =+=(a+mb)+3(a－b)=4a+(m－3)b,a,b不共线,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,
即4a+(m－3)b=λ(a+b),
所以解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
[典例迁移2] (变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值
【解】因为ka+b与a+kb反向共线,a,b不共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
所以
所以k=±1.
又因为λ<0,k=λ,所以k=－1.
故当k=－1时,两向量反向共线.
提醒:利用平面向量共线定理证明三点共线时,需要说明共线的两个向量有公共点.
微点培优8　三点共线定理的妙用
三点共线定理:在平面中,A,B,C三点共线的充要条件是=x+y(O不在直线AB上),其中x+y=1,如图所示.
　　利用上述三点共线定理我们可以快速求解一些与之相关的参数求值与最值等问题.
提醒:三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ或=λ+(1－λ)(λ为常数),再利用对应系数相等列出方程组,进而解出参数.
类型一　利用三点共线定理求参数
[典例1] (2025·北京模拟)在△ABC中,=,P是直线BD上的一点,若=+t,则实数t的值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为=,所以=,则有=+t=+,又P是直线BD上的一点,所以+=1,解得t=.故选B.
A,B,C三点共线 ∥ =λ+(1－λ)(其中点O是直线AB外一点),利用上述等价条件可以快速求解一些参数问题.
[拓展演练1] (2025·浙江湖州模拟)在△ABC中,M是AC边上一点,且=,N是BM上一点,若=+m,则实数m的值为(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由=,得=3,由=+m,
得=+m()=(+m)－m=(+3m)－m,因为B,N,M三点共线,
所以(+3m)+(－m)=1,解得m=.故选D.
类型二　利用三点共线定理求最值
[典例2] 如图,在正方形ABCD中,CE=2DE,EB和AC相交于点G,且F为AG上一点(不包括端点),若=λ+μ,则+的最小值为(　　)
[A] 5+3 [B] 6+2
[C] 8+ [D] 15
【答案】 B
【解析】 由题可设BG=xBE,x∈(0,1),则由题意得=x=x(+)=x+x=x+x,因为A,G,C三点共线,
所以x+x=1,即x=,所以=,
所以=λ+μ=λ+μ(λ>0,μ>0),又A,G,F三点共线,所以λ+μ=1,
所以+=(+)(λ+μ)=6++≥6+2=6+2,当且仅当=,即μ=λ=时,等号成立,故+的最小值为6+2.故选B.
利用三点共线定理可以得到λ+μ=1,借助“1”的代换配凑出常数,利用基本不等式即可求出最值.需要注意的是,利用基本不等式求最值时,“一正、二定、三相等”这三个条件必须同时具备才能取得最值.
[拓展演练2] (2025·宁夏银川模拟)在△ABC中,=2,过点D的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且=m,=n,其中m>0,n>0,则m+2n的最小值为(　　)
[A] 2 [B]
[C] 3 [D]
【答案】 C
【解析】 如图所示,
因为=2,易知=+=+=+()=+,
又=m,=n,所以=+=+,易知E,F,D三点共线,
利用三点共线定理可得+=1,又m>0,n>0,
所以m+2n=(m+2n)(+)=+++≥2+=2×+=3,
当且仅当=,即m=n=1时,等号成立,所以m+2n的最小值为3.故选C.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量的有关概念 1,8
平面向量的线性运算 2,3,4,5
向量共线定理及其应用 6,7,9,11,15
综合问题 10,12,13,14,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(多选题)(2025·重庆模拟)下列叙述中,正确的是(　　)
[A] 若|a|=0,则a=0
[B] 若|a|=0,则a∥b
[C] 在△ABC中, ++=0
[D] 若a=b,b=c,则a=c
【答案】 ABCD
【解析】 对于A,B,因为|a|=0,则a=0且与任意向量平行,所以a∥b,故A,B正确;对于C,首尾顺次相接,故C正确;对于D,因为a=b,b=c,所以a=c,故D正确.故选ABCD.
2.(2025·福建泉州模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形(图略),则OP与OQ之间的对角线对应的向量即为向量a,由a和长度相等,方向相同,得a=,即+=.故选C.
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,下列计算错误的是(　　)
[A] +=
[B] ++=
[C] ++=
[D] ++=0
【答案】 B
【解析】 对于A,由平面向量加法的平行四边形法则得+=,A正确;对于B,++=+=,B错误;对于C,++=+=,C正确;对于D,++=++===0,D正确.故选B.
4.(2025·山东济南模拟)在△ABC中,E为边AB的中点,=,则等于(　　)
[A] －+ [B] +
[C] + [D]
【答案】 D
【解析】 因为E为边AB的中点,=,
所以=+==()－=.故选D.
5.(多选题)(2025·福建泉州模拟)正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,多边形PQRST为正五边形,=,则(　　)
[A] +=
[B] =
[C] +=
[D] =
【答案】 AD
【解析】 对于A,+=+==,A正确;
对于B,===－,B错误;
对于C,+=+==·=,C错误;
对于D,====,D正确.
故选AD.
6.(2025·广东深圳模拟)已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,
=－3e1+2e2,=3e1－6e2,则(　　)
[A] A,B,C三点共线 [B] A,B,D三点共线
[C] A,C,D三点共线 [D] B,C,D三点共线
【答案】 C
【解析】 因为=e1+2e2,=－3e1+2e2,不存在实数λ使得=λ,故A,B,C三点不共线,故A错误;因为=e1+2e2,=3e1－6e2,不存在实数λ使得=λ,故A,B,D三点不共线,故B错误;因为=+=－2e1+4e2,=3e1－6e2,则=－,故A,C,D三点共线,故C正确;因为=－3e1+2e2,=－=－3e1+6e2－e1－2e2=－4e1+4e2,不存在实数λ使得=λ,故B,C,D三点不共线,故D错误.故选C.
7.(5分)(2025·江西萍乡模拟)设向量a,b不平行,向量a+λb与－a+b平行,则实数λ=　　　　.
【答案】 －4
【解析】 因为a,b不平行,所以a+λb≠0,－a+b≠0.又a+λb与－a+b平行,所以存在实数μ,使a+λb=μ(－a+b),根据向量共线定理得所以λ=－4.
8.(9分)(2025·江苏扬州模拟)如图,已知=a,=b,|a|=|b|=2,∠AOB=60°,求|a－b|与△OBC的面积.
【解】 因为|a|=|b|=2,∠AOB=60°,所以△ABO是边长为2的正三角形,|a－b|=||=2,根据题意可知四边形OACB为菱形,所以OC⊥AB. 设AB与OC的交点为M,则∠BOM=30°,
故AM=BM=1,OM===,
所以||=2.△OBC的面积S=OC·BM=×2×1=.
9.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知O为△ABC的外接圆的圆心且AB=3,AC=2,若=x+y,且x+2y=1,则 cos∠BAC等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 取AC的中点D,连接OD,OB,如图,则=2,由=x+y,得=x+2y,又x+2y=1,因此B,O,D三点共线,由O为△ABC的外接圆的圆心,得OD⊥AC,即BD⊥AC,所以cos∠BAC==.故选B.
10.(多选题)(2025·吉林长春模拟)已知等边三角形ABC的边长为2,=2,=2,AD交BE于点M,则(　　)
[A] =+
[B] =
[C] S△BMD=8S△AME
[D] S四边形CDME=
【答案】 AC
【解析】 对于A,因为=2,所以=,
所以=+=+=+()=+,故A正确;
对于B,设=k,所以=+=+k=+k()=(1－k)+k,
又A,M,D三点在一条直线上,故∥,故=,解得k=,即=,故B错误;
对于C,设S△AME=S,由于=,则S△ABE=7S△AME=7S,S△ABM=6S△AME=6S,
又=+=,所以S△ABM=S△ABD,故S△ABD=14S,S△BMD=8S,故C正确;
对于D,因为=2,所以S△BEC=2S△ABE=14S,
所以S四边形CDME=6S,S△ABC=S△ABE+S△BEC=21S=×22,故S=,
所以S四边形CDME=6S=,故D错误.故选AC.
11.(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知△ABC的重心为点G,点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则(　　)
[A] O,P,G三点共线
[B] =2
[C] 2=++
[D] 点P在△ABC的内部
【答案】 AC
【解析】 =++=+++++=3+++,
因为点G为△ABC的重心,所以++=0,所以=3,
所以O,P,G三点共线,故A正确,B错误;
++=+++++=(++)+3.
因为=++,所以(++)+3=－+3=2,即2=++,故C正确;
因为=3,所以点P的位置随着点O位置的变化而变化,故点P不一定在△ABC的内部,故D错误.故选AC.
12.(2025·陕西西安模拟)已知正三角形ABC的边长为6,=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],且 3λ+4μ=2,则点P到直线BC距离的最大值为(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] 3 [D]
【答案】 D
【解析】 因为3λ+4μ=2,
所以λ+2μ=1,
所以=λ+μ=λ·+2μ·.
如图,设=,=,则=λ+2μ.因为λ∈[0,1],μ∈[0,1],
所以点P在线段DE上运动,显然,当点P与点E重合时,点P到直线BC的距离取得最大值.故选D.
13.(5分)(2025·安徽马鞍山模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∠BAC=,b=1,c=,若=+,则||的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】 在△ABC中,因为∠BAC=,b=1,c=,如图所示,取AB的中点N,可得=2,再延长AC到点M,使得=2,连接MN,因为=+=+,因为+=1,所以M,N,D三点共线,所以||的最小值,即为△AMN的边MN上的高d,在△AMN中,由余弦定理得=+－2||||·cos∠BAC=4+－2×2××=,所以||=,又由S△AMN=||||sin∠BAC=×2××=,可得||·d=,即×·d=,解得d=,所以||的最小值为.
14.(5分)(2025·河南安阳模拟)设M为△ABC内一点,且=+,则△MBC与△ABC的面积的比值为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,取AC的中点N,则=+=+,可知点M为BN的中点,可得S△MBC=S△NBC=×S△ABC=S△ABC,即=,所以△MBC与△ABC的面积的比值为.
15.(10分)如图,在△ABC中,=a,=b,D是AC的中点,=2,AB与DE交于点M.
(1)用a,b表示﹔
(2)设=λ,求λ的值.
【解】 (1)依题意,
===b－a.
(2)依题意,=+=+λ=+λ()=λ+(1－λ)=2λ+,而E,M,D三点共线,则2λ+=1,所以λ=.
16.(12分)已知经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,
设=m,=n(m>0,n>0).
(1)证明:+为定值;
(2)求m+n的最小值.
(1)【证明】 设=a,=b.
由题意知=×(+)=(a+b),
==nb－ma,==(－m)a+b,由P,G,Q三点共线,知存在实数λ,使得=λ,
即nb－ma=λ(－m)a+λb,
从而得+=3.故+为定值.
(2)【解】由(1)知,+=3,且m>0,n>0,
于是m+n=(+)(m+n)=(2++)≥×(2+2)=.
当且仅当m=n=时,等号成立,即m+n取得最小值,最小值为.
(
第
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第1节　平面向量的
概念及线性运算
第五章　平面向量、复数
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.向量的有关概念
方向
长度(或称模)
释疑
大小和方向是平面向量的两个要素,数学中的平面向量仅与它的大小、方向有关,而与表示它的有向线段的起点无关,因此数学中的向量是一个自由向量.
易错提醒:两个向量不能比较大小,但是它们的模可以比较大小.
知识梳理
(2)零向量:长度为 的向量,记作 .
0
0
释疑
零向量的方向是任意的,它用0表示,注意:0≠0!
知识梳理
(3)单位向量:长度等于 的向量.
1个单位长度
释疑
单位向量的方向是任意的,两个单位向量不一定是平行(共线)向量.
知识梳理
(4)平行向量:方向相同或 的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量 .
相反
平行
释疑
表示两个平行(或共线)向量的有向线段所在的直线不一定是平行直线,它们可以是重合的一条直线.
知识梳理
(5)相等向量:长度相等且方向 的向量.
(6)相反向量:与向量a 相等,方向 的向量,叫做a的相反向量,记作－a.
相同
长度
相反
释疑
0的相反向量仍是0.
知识梳理
2.向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律:a+b= ;
结合律:(a+b)+c=
b+a
a+(b+c)
知识梳理
减法 a－b=a+(－b)
数乘 |λa|= , 当λ>0时,λa的方向与a的方向 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向 ; 当λ=0时,λa= λ(μa)= ;
(λ+μ)a= ;
λ(a+b)=
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
知识梳理
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 .
b=λa
释疑
定理中的向量a是一个非零向量,这是定理成立的前提条件,使用时一定要注意这一点.当a=0,b=0时,此时λ∈R;当a=0,b≠0时,此时实数λ不存在.
知识梳理
4.向量三角不等式
对于任意两个向量a,b,都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
释疑
对于向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|:当两向量不共线时,可由“三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”知“<”成立;两向量共线时,可得出“=”成立(分同向、反向两种不同情形).
重要结论
重要结论
对点自测
1.(多选题)给出下列命题,正确的命题是(　 　)
[B] 若向量a与向量b平行,则a与b的方向一定相同或相反
[C] 两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同
[D] 若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
AC
对点自测
对点自测
2.(多选题)(人教A版必修第二册P22习题6.2 T4改编)下列结论恒为零向量的是(　 　)
BCD
对点自测
对点自测
C
对点自测
对点自测
4.(人教A版必修第二册P16例8改编)已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与－(b－3a)共线,则λ=　　　　.
对点自测
5.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是　　　　.
[3,7]
【解析】 当a与b方向相同时,|a+b|=7;当a与b方向相反时,|a+b|=3;当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].
关键能力
课堂突破
考点一　平面向量的基本概念
1.(2025·广西柳州模拟)下列说法正确的是(　　)
[A] 若a∥b,b∥c,则a∥c
[B] 若a=b,则2a<3b
[D] 零向量没有方向
C
2.(多选题)给出下列命题,不正确的有(　 )
[A] 若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
[C] a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
[D] 已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
ACD
3.(2025·广东佛山模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
D
平行向量有关概念的四个关注点:
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
题后悟通
考点二　平面向量的线性运算
[A] [3,7] [B] (3,7)
[C] [3,11] [D] (3,11)
C
角度1　向量加法、减法的几何意义
利用向量加法、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题.
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
解题策略
D
角度2　平面向量的线性运算
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.
(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.
2.三种运算法则的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.
(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.
解题策略
D
角度3　根据向量的线性运算求参数
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
解题策略
[针对训练]
A
B
4
考点三　向量共线定理及其应用
[例4] 设两向量a与b不共线.
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[典例迁移2] (变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值
提醒:利用平面向量共线定理证明三点共线时,需要说明共线的两个向量有公共点.
解题策略
微点培优8　三点共线定理的妙用
知识链接
利用上述三点共线定理我们可以快速求解一些与之相关的参数求值与最值等问题.
题型演绎
类型一　利用三点共线定理求参数
B
反思归纳
D
类型二　利用三点共线定理求最值
B
反思归纳
C
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
平面向量的有关概念 1,8
平面向量的线性运算 2,3,4,5
向量共线定理及其应用 6,7,9,11,15
综合问题 10,12,13,14,16
1.(多选题)(2025·重庆模拟)下列叙述中,正确的是(　 　)
[A] 若|a|=0,则a=0
[B] 若|a|=0,则a∥b
[D] 若a=b,b=c,则a=c
ABCD
基础巩固练
【解析】 对于A,B,因为|a|=0,则a=0且与任意向量平行,所以a∥b,故A,B正确;对于C,首尾顺次相接,故C正确;对于D,因为a=b,b=c,所以a=c,故D正确.故选ABCD.
C
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,下列计算错误的是
(　　)
B
D
AD
[A] A,B,C三点共线 [B] A,B,D三点共线
[C] A,C,D三点共线 [D] B,C,D三点共线
C
－4
综合运用练
B
AC
AC
D
应用创新练
(2)求m+n的最小值.

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