资源简介

第2节　平面向量基本定理及坐标表示
[课程标准要求]
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.
(2)当基底给定时,同一向量的分解式唯一.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐标运算.
①平面向量线性运算的坐标表示.
假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1)
(λ∈R),ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)(u,v∈R).
②向量模的坐标计算公式.
如果向量a=(x,y),则|a|=.
③向量坐标的求法.
a.若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
b.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2－x1,y2－y1),||=.
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b
(3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(1)a∥b的充要条件不能表示为=,因为x2,y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.中线向量定理.
如图所示,在△ABC中,若点D是边BC的中点,则中线向量=(+),反之亦正确.
3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为(,),△ABC的重心坐标为(,).
1.(2025·广西梧州模拟)如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
2.(苏教版必修第二册P28练习T2改编)已知向量e1,e2不共线,则下列向量不可以作为一组基底的是(　　)
[A] e1+e2和e1－e2
[B] 4e1－2e2和6e1－3e2
[C] 2e1－e2和e2
[D] e1－e2和2e2+e1
3.(人教A版必修第二册P32例9改编)已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段BA的延长线上,且2BP=3AP,则点P的坐标是　　　　.
4.(苏教版必修第二册P40习题9.3(4) T1改编)已知向量a=(3,4),b=(2,k),且(a+b)∥a,则实数k=　　　　.
5.已知在平行四边形ABCD中,=,若=λ+μ,则λ－μ=　　　　.
考点一　平面向量基本定理及其应用
[例1] 在△ABC中,点M是AB的中点,点N分AC的比为AN∶NC=1∶2,BN与CM相交于点E,设=a,=b,则向量等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a+b
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
[针对训练] (2025·陕西汉中模拟)如图,在平行四边形ABCD中,=,=,则等于(　　)
[A] [B]
[C] + [D] +
考点二　平面向量的坐标运算
[例2] (2025·江苏南京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为　　　　.
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算.
[针对训练] (2025·北京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　)
[A] c=2a－3b [B] c=－2a－3b
[C] c=－3a+2b [D] c=3a－2b
考点三　向量共线的坐标表示及其应用
[例3] 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
两平面向量共线的充要条件的两种形式
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.
[针对训练] 如图所示,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,则点M的坐标为　　　　.
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量基本定理及其应用 2,6,9,11
平面向量的坐标运算 3,4,7,8
向量共线的坐标表示及其应用 1,5,14
综合问题 10,12,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知向量a=(－3,4),则下列能使a=λe1+μe2(λ,μ∈R)成立的一组向量e1,e2是(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(－1,2)
[B] e1=(－1,3),e2=(2,－6)
[C] e1=(－1,2),e2=(3,－1)
[D] e1=(－,1),e2=(1,－2)
2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若向量λa+b与c共线,则实数λ等于(　　)
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
3.已知向量a,b满足2a－b=(0,3),a－2b=(－3,0),λa+μb=(－1,1),则λ+μ等于(　　)
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
4.(2025·贵州贵阳模拟)在△ABC中,A(3,1),AB的中点为D(2,4),△ABC的重心为G(3,4),则B,C的坐标分别为(　　)
[A] (1,7),(4,5) [B] (1,7),(5,4)
[C] (7,1),(4,5) [D] (7,1),(5,4)
5.已知向量a=(1,－2),b=(x,－1),c=(－4,x),若2a+b,a－c反向共线,则实数x的值为(　　)
[A] －7 [B] 3
[C] 3或－7 [D] －3或7
6.(多选题)如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y,则实数对(x,y)可以是(　　)
[A] (－,) [B] (－,)
[C] (－,) [D] (－,)
7.(5分)已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为原点,=+,则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　.
8.(12分)(2025·浙江嘉兴模拟)已知向量a=(x,1),b=(－2,3),c=(6,－1).
(1)求满足c=2a+yb的实数x,y的值;
(2)若(4a+c)∥b,求实数x的值.
9.已知向量a,b不共线,且=a+4b,=－a+9b,=3a－b,则一定共线的是(　　)
[A] A,B,D [B] A,B,C
[C] B,C,D [D] A,C,D
10.平面直角坐标系中,点O为原点,=(1,2),=(2,－1),若=a+b,且0[A]
[B]
[C]
[D]
11.如图,已知在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ(+),||=2,||=1,若=b,=a,则用a,b表示 等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a－b
12.(5分)(2025·湖南常德模拟)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得DE=2CD.动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,=λ+μ,则λ+μ的取值范围为　　　　.
13.(17分)(2025·云南曲靖模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=
2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)以O为原点,和方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,当P为BC中点时,写出点M,P,D的坐标;
(3)设=λ+μ,求λ·μ的取值范围.
14.(2025·四川成都模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=1,以AC为直径的半圆上有一点M,=λ+λ(λ≠0),则λ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
第2节　平面向量基本定理及坐标表示
[课程标准要求]
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.
(2)当基底给定时,同一向量的分解式唯一.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐标运算.
①平面向量线性运算的坐标表示.
假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1)
(λ∈R),ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)(u,v∈R).
②向量模的坐标计算公式.
如果向量a=(x,y),则|a|=.
③向量坐标的求法.
a.若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
b.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2－x1,y2－y1),||=.
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b
(3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(1)a∥b的充要条件不能表示为=,因为x2,y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.中线向量定理.
如图所示,在△ABC中,若点D是边BC的中点,则中线向量=(+),反之亦正确.
3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为(,),△ABC的重心坐标为(,).
1.(2025·广西梧州模拟)如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为(　　)
[A] (,) [B] (,)
[C] (,) [D] (,)
【答案】 A
【解析】 由题意得a=( cos )i+(sin )j=(,).故选A.
2.(苏教版必修第二册P28练习T2改编)已知向量e1,e2不共线,则下列向量不可以作为一组基底的是(　　)
[A] e1+e2和e1－e2
[B] 4e1－2e2和6e1－3e2
[C] 2e1－e2和e2
[D] e1－e2和2e2+e1
【答案】 B
【解析】 设e1+e2=a(e1－e2),则无解,故e1+e2和e1－e2是不共线的向量,可作为一组基底,A错误;因为4e1－2e2=(6e1－3e2),所以4e1－2e2和6e1－3e2共线,不能作为一组基底,B正确;设2e1－e2=be2,则无解,故 2e1－e2和e2不共线,可作为一组基底,C错误;设e1－e2=c(2e2+e1),则无解,故e1－e2和2e2+e1不共线,可作为一组基底,D错误.故选B.
3.(人教A版必修第二册P32例9改编)已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段BA的延长线上,且2BP=3AP,则点P的坐标是　　　　.
【答案】 (－2,15)
【解析】 设点O为坐标原点,因为点P在线段BA的延长线上,且2BP=3AP,所以2=3,
即2()=3(),所以=3－2=3(2,3)－2(4,－3)=(－2,15).所以点P的坐标为(－2,15).
4.(苏教版必修第二册P40习题9.3(4) T1改编)已知向量a=(3,4),b=(2,k),且(a+b)∥a,则实数k=　　　　.
【答案】
【解析】 a+b=(5,4+k),由(a+b)∥a得3(4+k)=5×4,解得k=.
5.已知在平行四边形ABCD中,=,若=λ+μ,则λ－μ=　　　　.
【答案】
【解析】 由图可得=+,又=,=,
则=+,
又由于=+,=,
代入=λ+μ,可得=λ(+)+μ(),
化简即得=(λ－μ)+(λ+μ),由平面向量基本定理可得λ－μ=.
考点一　平面向量基本定理及其应用
[例1] 在△ABC中,点M是AB的中点,点N分AC的比为AN∶NC=1∶2,BN与CM相交于点E,设=a,=b,则向量等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a+b
【答案】 C　
【解析】 由题意B,E,N三点共线,所以存在λ∈R,使得=λ+(1－λ)=λ+,
同理C,E,M三点共线,所以存在μ∈R,使得=μ+(1－μ)=μ+,
由平面向量基本定理可得解得所以=a+b.故选C.
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
[针对训练] (2025·陕西汉中模拟)如图,在平行四边形ABCD中,=,=,则等于(　　)
[A] [B]
[C] + [D] +
【答案】 C
【解析】 设=a,=b,因为=,所以=+=－a－b,因为=,所以=+=a+b,设=m+n,则－a=m(a+b)+n(－a－b),解得即=+.
故选C.
考点二　平面向量的坐标运算
[例2] (2025·江苏南京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为　　　　.
【答案】 －4
【解析】 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,设小正方形网格的边长为1,
则a=(0,4)－(1,6)=(－1,－2),b=(7,2)－(1,6)=(6,－4),c=(2,0)－(7,2)=(－5,－2),
所以λa+μb=λ(－1,－2)+μ(6,－4)=(－λ+6μ,－2λ－4μ),因为c=λa+μb(λ,μ∈R),
所以(－5,－2)=(－λ+6μ,－2λ－4μ),所以解得所以=－4.
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算.
[针对训练] (2025·北京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　)
[A] c=2a－3b [B] c=－2a－3b
[C] c=－3a+2b [D] c=3a－2b
【答案】 D
【解析】 如图建立平面直角坐标系,设小正方形网格的边长为1,
则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),
所以a=(1,1),b=(－2,3),c=(7,－3),
设向量c=ma+nb(m,n∈R),
则c=ma+nb=(m－2n,m+3n)=(7,－3),
则解得
所以c=3a－2b.故选D.
考点三　向量共线的坐标表示及其应用
[例3] 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
【答案】 (3,3)
【解析】 法一　由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则==(4λ－4,4λ).
又因为==(－2,6),
由与共线,
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0,
解得λ=,所以==(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
法二　设点P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,
所以4x－4y=0,即x=y.
又因为=(x－4,y),=(－2,6),且与共线,
所以(x－4)×6－y×(－2)=0,
解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
两平面向量共线的充要条件的两种形式
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.
[针对训练] 如图所示,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,则点M的坐标为　　　　.
【答案】 (,2)
【解析】 因为==(0,5)=(0,),
所以C(0,).
因为==(4,3)=(2,),
所以D(2,).
设M(x,y),则=(x,y－5),
=(2－0,－5)=(2,－).
因为∥,
所以－x－2(y－5)=0,
即7x+4y=20,①
又=(x,y－),=(4,),
因为∥,
所以x－4(y－)=0,即7x－16y=－20,②
联立①②解得x=,y=2,
故点M的坐标为(,2).
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量基本定理及其应用 2,6,9,11
平面向量的坐标运算 3,4,7,8
向量共线的坐标表示及其应用 1,5,14
综合问题 10,12,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知向量a=(－3,4),则下列能使a=λe1+μe2(λ,μ∈R)成立的一组向量e1,e2是(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(－1,2)
[B] e1=(－1,3),e2=(2,－6)
[C] e1=(－1,2),e2=(3,－1)
[D] e1=(－,1),e2=(1,－2)
【答案】 C
【解析】 e1=(0,0),e2=(－1,2)共线,不可作为基底,a与e2不共线;e1=(－1,3),e2=(2,－6),则e2=－2e1,故两向量共线,不可以作为基底,a与e1不共线;e1=(－1,2),e2=(3,－1)不共线,可以作为基底,a可由e1,e2表示;e1=(－,1),e2=(1,－2),e2=－2e1,故两向量共线,不可以作为基底,a与e1不共线.故选C.
2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若向量λa+b与c共线,则实数λ等于(　　)
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
【答案】 D
【解析】 根据网格图中的a,b,c的大小与方向,易得c=2a+b,
由向量λa+b与c共线,可得λa+b=tc=t(2a+b),解得t=1,λ=2t=2.故选D.
3.已知向量a,b满足2a－b=(0,3),a－2b=(－3,0),λa+μb=(－1,1),则λ+μ等于(　　)
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
【答案】 B
【解析】 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
所以且
解得
即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(－1,1),
则
解得
故λ+μ=0.故选B.
4.(2025·贵州贵阳模拟)在△ABC中,A(3,1),AB的中点为D(2,4),△ABC的重心为G(3,4),则B,C的坐标分别为(　　)
[A] (1,7),(4,5) [B] (1,7),(5,4)
[C] (7,1),(4,5) [D] (7,1),(5,4)
【答案】 B
【解析】 设B(x1,y1),C(x2,y2),
所以解得
又解得所以B,C的坐标分别为(1,7),(5,4).故选B.
5.已知向量a=(1,－2),b=(x,－1),c=(－4,x),若2a+b,a－c反向共线,则实数x的值为(　　)
[A] －7 [B] 3
[C] 3或－7 [D] －3或7
【答案】 A
【解析】 因为a=(1,－2),b=(x,－1),c=(－4,x),所以2a+b=(2+x,－5),a－c=(5,－2－x).
因为2a+b,a－c共线,所以(2+x)×(－2－x)－(－5)×5=0,解得x=3或x=－7.
又2a+b,a－c反向共线,代入验证可知x=3时为同向,舍去.
而x=－7满足条件,所以x=－7.故选A.
6.(多选题)如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y,则实数对(x,y)可以是(　　)
[A] (－,) [B] (－,)
[C] (－,) [D] (－,)
【答案】 AC
【解析】 根据条件=x+y,
即可得到=(x+y)+(－x).
要使点P是在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界),
则有即
结合所给选项可知只有A,C满足题意.故选AC.
7.(5分)已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为原点,=+,则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　.
【答案】 x2+=1
【解析】 由题意,设P(x,y),A(a,0),B(0,b),则=(－a,b),
因为||=3,所以a2+b2=9,①
又因为=+,
所以(x,y)=(a,0)+(0,b)=(a,b),
所以②
将②代入①得,9x2+y2=9,故x2+=1,即点P的轨迹方程是x2+=1.
8.(12分)(2025·浙江嘉兴模拟)已知向量a=(x,1),b=(－2,3),c=(6,－1).
(1)求满足c=2a+yb的实数x,y的值;
(2)若(4a+c)∥b,求实数x的值.
【解】 (1)因为a=(x,1),b=(－2,3),则2a+yb=(2x－2y,2+3y),又c=(6,－1),c=2a+yb,所以
解得
(2)因为a=(x,1),c=(6,－1),b=(－2,3),
则4a+c=(4x+6,3),又(4a+c)∥b,
所以3(4x+6)=(－2)×3,解得x=－2.
9.已知向量a,b不共线,且=a+4b,=－a+9b,=3a－b,则一定共线的是(　　)
[A] A,B,D [B] A,B,C
[C] B,C,D [D] A,C,D
【答案】 A
【解析】 因为向量a,b不共线,由题知=+=2a+8b=2(a+4b)=2,则有∥,而,有公共点B,所以A,B,D共线,A符合题意;≠0,不存在实数λ,使得=λ,因此,不共线,所以A,B,C不共线,B不符合题意;≠0,不存在实数μ,使得=μ,因此,不共线,所以B,C,D不共线,C不符合题意;=+=13b≠0,不存在实数t,使得=t,因此,不共线,所以A,C,D不共线,D不符合题意.故选A.
10.平面直角坐标系中,点O为原点,=(1,2),=(2,－1),若=a+b,且0[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 B
【解析】 因为=a+b,且0||=||==,所以点P(x,y)表示以OA,OB为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方,又0故选B.
11.如图,已知在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ(+),||=2,||=1,若=b,=a,则用a,b表示 等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a－b
【答案】 A
【解析】 因为=λ(+),
所以在∠ACB的平分线方向上.根据角平分线定理可知==,
所以==(),
所以=+=+()=+=b+a.
故选A.
12.(5分)(2025·湖南常德模拟)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得DE=2CD.动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,=λ+μ,则λ+μ的取值范围为　　　　.
【答案】 [0,4]
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),E(－2,1),所以=λ+μ=(λ－2μ,μ),
当P∈AB时,有
即0≤λ≤1,μ=0,此时λ+μ的取值范围为[0,1].
当P∈BC时,有
即1≤λ+μ=(λ－2μ)+3μ=1+3μ≤4,此时λ+μ的取值范围为[1,4].
当P∈CD时,有
即3≤λ+μ=(λ－2μ)+3μ=(λ－2μ)+3≤4,此时λ+μ的取值范围为[3,4].
当P∈DA时,有
即0≤λ+μ=(λ－2μ)+3μ=3μ≤3,
此时λ+μ的取值范围为[0,3],
综上所述,λ+μ的取值范围为[0,4].
13.(17分)(2025·云南曲靖模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=
2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)以O为原点,和方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,当P为BC中点时,写出点M,P,D的坐标;
(3)设=λ+μ,求λ·μ的取值范围.
【解】 (1)依题意=,=,
所以=()=(+)－=+=,
所以=+=+()=+.
(2)以O为原点,以OA,OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则O(0,0),A(2,0),B(1,1),C(0,1),
由=+=(2,0)+(0,1)=(,),可得M(,),
又P是BC中点,可得P(,1),
又=t=t+t,
因为A,C,D三点共线,
所以t+t=1,解得t=,
所以==(,)=(1,),
则D(1,).
(3)由已知=+=+,
因为P是线段BC上的一个动点,则令=x(0≤x≤),=λ+μ=λ()+μ(+)=(λ+μx)+(μ－λ),
又,不共线,
则有所以
由0≤x≤得1≤x+1≤,所以1≤μ≤,λ·μ=μ(μ－1)=,
在μ∈上单调递增,
所以当μ=1时,(λ·μ)min=0,
当μ=时,(λ·μ)max=,故λ·μ的取值范围是.
14.(2025·四川成都模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=1,以AC为直径的半圆上有一点M,=λ+λ(λ≠0),则λ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则B(0,0),A(0,1),C(1,0),AC=,设D为AC的中点,则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D(,).则以AC为直径的圆的方程为(x－)2+(y－)2=,设M(x0,y0)(x0,y0>0),
则=(x0,y0),=(1,0),=(0,1),=λ+λ=(λ,λ),
所以
由点M在圆(x－)2+(y－)2=上,
可得(λ－)2+(λ－)2=,
即4λ2－(1+)λ=0,
解得λ=或λ=0(舍去).
故选A.
(
第
16
页
)(共69张PPT)
第2节　平面向量基本定理
及坐标表示
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.平面向量基本定理
基底
释疑
(1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.
(2)当基底给定时,同一向量的分解式唯一.
知识梳理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作 .
(2)平面向量的坐标运算.
①平面向量线性运算的坐标表示.
假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b= ,
λa= (λ∈R),ua±vb= (u,v∈R).
互相垂直
正交分解
(x1±x2,y1±y2)
(λx1,λy1)
(ux1±vx2,uy1±vy2)
知识梳理
②向量模的坐标计算公式.
(x2－x1,y2－y1)
③向量坐标的求法.
a.若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
释疑
知识梳理
(3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是 .
x1y2－x2y1=0
释疑
重要结论
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.中线向量定理.
对点自测
A
对点自测
2.(苏教版必修第二册P28练习T2改编)已知向量e1,e2不共线,则下列向量不可以作为一组基底的是(　　)
[A] e1+e2和e1－e2
[B] 4e1－2e2和6e1－3e2
[C] 2e1－e2和e2
[D] e1－e2和2e2+e1
B
对点自测
对点自测
(－2,15)
3.(人教A版必修第二册P32例9改编)已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段BA的延长线上,且2BP=3AP,则点P的坐标是　　 　　.
对点自测
4.(苏教版必修第二册P40习题9.3(4) T1改编)已知向量a=(3,4),b=(2,k),且(a+b)∥a,则实数k=　　　　.
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　平面向量基本定理及其应用
C
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
解题策略
C
考点二　平面向量的坐标运算
－4
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算.
解题策略
D
[针对训练] (2025·北京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　)
[A] c=2a－3b [B] c=－2a－3b
[C] c=－3a+2b [D] c=3a－2b
考点三　向量共线的坐标表示及其应用
[例3] 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
(3,3)
两平面向量共线的充要条件的两种形式
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.
解题策略
课时作业
(分值:90分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
平面向量基本定理及其应用 2,6,9,11
平面向量的坐标运算 3,4,7,8
向量共线的坐标表示及其应用 1,5,14
综合问题 10,12,13
1.已知向量a=(－3,4),则下列能使a=λe1+μe2(λ,μ∈R)成立的一组向量e1,e2是
(　　)
[A] e1=(0,0),e2=(－1,2)
[B] e1=(－1,3),e2=(2,－6)
[C] e1=(－1,2),e2=(3,－1)
C
基础巩固练
2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若向量λa+b与c共线,则实数λ等于(　　)
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
D
【解析】 根据网格图中的a,b,c的大小与方向,易得c=2a+b,
由向量λa+b与c共线,可得λa+b=tc=t(2a+b),解得t=1,λ=2t=2.故选D.
3.已知向量a,b满足2a－b=(0,3),a－2b=(－3,0),λa+μb=(－1,1),则λ+μ等于
(　　)
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
B
4.(2025·贵州贵阳模拟)在△ABC中,A(3,1),AB的中点为D(2,4),△ABC的重心为G(3,4),则B,C的坐标分别为(　　)
[A] (1,7),(4,5) [B] (1,7),(5,4)
[C] (7,1),(4,5) [D] (7,1),(5,4)
B
5.已知向量a=(1,－2),b=(x,－1),c=(－4,x),若2a+b,a－c反向共线,则实数x的值为(　　)
[A] －7 [B] 3
[C] 3或－7 [D] －3或7
A
【解析】 因为a=(1,－2),b=(x,－1),c=(－4,x),
所以2a+b=(2+x,－5),a－c=(5,－2－x).
因为2a+b,a－c共线,所以(2+x)×(－2－x)－(－5)×5=0,解得x=3或x=－7.
又2a+b,a－c反向共线,代入验证可知x=3时为同向,舍去.
而x=－7满足条件,所以x=－7.故选A.
AC
8.(12分)(2025·浙江嘉兴模拟)已知向量a=(x,1),b=(－2,3),c=(6,－1).
(1)求满足c=2a+yb的实数x,y的值;
8.(12分)(2025·浙江嘉兴模拟)已知向量a=(x,1),b=(－2,3),c=(6,－1).
(2)若(4a+c)∥b,求实数x的值.
【解】 (2)因为a=(x,1),c=(6,－1),b=(－2,3),
则4a+c=(4x+6,3),又(4a+c)∥b,
所以3(4x+6)=(－2)×3,解得x=－2.
综合运用练
A
[A] A,B,D [B] A,B,C
[C] B,C,D [D] A,C,D
B
[A] [B] [C] [D]
A
[0,4]
13.(17分)(2025·云南曲靖模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,
OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
13.(17分)(2025·云南曲靖模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,
OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
13.(17分)(2025·云南曲靖模拟)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,
OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.
应用创新练
A

展开更多......

收起↑