资源简介 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用[课程标准要求]1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件,会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.向量数量积的定义(1)向量的夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.在向量的夹角定义中,要求向量a,b均为非零向量.(2)向量的平行与垂直:当θ=0 时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.(3)向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.(1)向量a与b的数量积(或内积)是一个实数,而不是向量.(2)数量积符号a·b中间的点不能省略,也不能用×代替,即a·b≠ab≠a×b.2.向量的投影(1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e. 3.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.(4)|a·b|≤|a||b|.4.向量数量积运算的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a.(交换律)(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(数因子结合律)(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律)(1)向量数量积运算的运算律不满足结合律:a·(b·c)≠(a·b)·c.(2)向量数量积运算的运算律不满足消去律:若a≠0,a·b=a·c,则b与c不一定相等.5.平面向量数量积的有关结论设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a·b=x1x2+y1y2;a2=+;|a|=.(2)a⊥b x1x2+y1y2=0.(3)|x1x2+y1y2|≤.(4)设θ是a与b的夹角,则cos θ==.1.数量积的有关结论(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(3)a2+b2=0 a=0且b=0.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a,b,(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.1.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)等于( )[A] 2 [B] 1[C] 0 [D] -12.(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=(,-)垂直,则x等于( )[A] [B] -[C] [D] -3.(人教B版必修第三册P79练习A T5改编)已知向量a,b满足|a|=2,b=(3,0),|a-b|=,则向量a在向量b方向上的投影向量为( )[A] (,0) [B] (,0)[C] (,0) [D] (1,0)4.(人教A版必修第二册P21例12改编)已知边长为1的正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,则·等于( )[A] [B][C] - [D] -5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于( )[A] -6 [B] -5[C] 5 [D] 6考点一 平面向量数量积的计算1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于( )[A] -2 [B] -1[C] 1 [D] 22.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于( )[A] [B] 3[C] 2 [D] 53.(2025·天津模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AD=AB,点E在边DC上,满足=,则向量在向量上的投影向量为 (请用表示);若AB=3,点M,N分别为线段AB,BC上的动点,满足BM+BN=1,则·的最小值为 . 计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底向量法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.考点二 平面向量数量积的应用角度1 求向量的模[例1] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= . (2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC(包含端点D,C)上的动点,则|+3|的最小值为 . 求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|=.(2)利用|a|=.(3)对于|ma+nb|可变形为求解.角度2 向量的夹角问题[例2] (2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于( )[A] - [B] -[C] [D]求平面向量的夹角的方法(1)定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=.角度3 向量垂直问题[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( )[A] λ+μ=1 [B] λ+μ=-1[C] λμ=1 [D] λμ=-1两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a+b|=|a-b|.[针对训练]1.(角度1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|等于( )[A] [B][C] [D] 12.(角度2)已知a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,则a与a-b的夹角为( )[A] [B][C] [D]3.(角度3)(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a=(2,4),b=(3,-1),则“k=”是“(a+kb)⊥(a-kb)”的( )[A] 充分不必要条件[B] 必要不充分条件[C] 充要条件[D] 既不充分也不必要条件考点三 平面向量的综合应用[例4] (1)(2025·湖北武汉校联考模拟)如图,已知AOB是半径为2,圆心角为的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧上的动点(不包括端点),则· 的最小值为( )[A] 4- [B] 4+[C] [D](2)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是( )[A] |G|=|F1|+|F2|[B] 当θ=时,|F1|=|G|[C] 当角θ越大时,用力越小[D] 当|F1|=|G|时,θ=1.有关平面向量数量积最值、范围问题的解题策略(1)直接根据数量积定义进行运算a·b=|a||b|·cos θ,进而得出最值或范围;(2)建立坐标系,引入坐标运算,即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数,进而求得最值;(3)基底表示,即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示,进而转化为“基底向量”的数量积.2.用向量方法解决实际问题的步骤[针对训练] (多选题)如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=3,D,E,F分别在边AB,BC,CA上(与线段端点可重合),且DE⊥EF,BE=2EC.则下列结论正确的是( )[A] EF∶FD的值是定值[B] CF的范围是[1,2][C] △DEF面积的最小值为1[D] △DEF的周长最大值为3+(分值:100分)选题明细表知识点、方法 题号平面向量数量积的计算 1,2,3,4,8平面向量数量积的应用 6,9,10,13,16平面向量的综合应用 5,7,11,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·山东菏泽模拟)已知向量a=(-2,1),b=(3,x),且|a+b|=|a-b|,则x的值是( )[A] -6 [B] -[C] [D] 62.(2025·河南新乡模拟)已知向量a=(m,1),b=(m,-1),若3a-b与b垂直,则|a|等于( )[A] [B][C] 3 [D] 63.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于( )[A] [B][C] [D]4.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的是( )[A] (a+b)⊥(a-b)[B] a在b上的投影向量为(a·b)b[C] 若|a+b|=,则θ=[D] 若(a+b)·a=(a-b)·a,则a∥b5.(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,设||2-||2=2·(),那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )[A] 垂心 [B] 内心[C] 重心 [D] 外心6.(多选题)(2025·江苏盐城模拟)定义平面斜坐标系xOy,记∠xOy=θ,θ≠,θ∈(0,π),e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点M的坐标满足:=xe1+ye2,则记向量的坐标为(x,y),给出下列四个命题,正确的选项是( )[A] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2)[B] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2[C] 若P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=[D] 若θ=60°,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=07.(5分)在边长为4的等边三角形ABC中,已知=,点P在线段CD上,且=m+,则||= . 8.(8分)(2025·浙江宁波模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a-b与5a+2b互相垂直.(1)求向量a+b在向量b上的投影向量(用b表示);(2)定义平面上两非零向量之间的一种运算“*”:a*b=acos θ+bsin θ(其中θ是非零向量a和b的夹角),求|(a)*(-b)|.9.(2025·湖北孝感模拟)已知e是单位向量,且|2e-a|=,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为( )[A] [B][C] [D]10.(2025·福建三明模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF等于( )[A] [B][C] [D]11.(2025·江西九江模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,若b,c共线,且|a+b+c|=,则|a+b-c|等于( )[A] [B][C] [D]12.(多选题)(2025·山东潍坊模拟)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=,则( )[A] 1≤|c|≤[B] (c-a)·(c-b)的最大值为[C] -1≤b·c≤1[D] 若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-13.(5分)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ= ;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为 . 14.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:2sin2()+cos 2A=1.(1)求角A的大小;(2)若AB=2,AC=4,M,N分别为BC,AC上的两点,=,=,AM,BN相交于点P.①求||的值;②求证:AM⊥PN.15.(2025·河北邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b,定义:a b=,a☉b=.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0,且a b和a☉b都在集合{|n∈Z,0[A] 1 [B][C] 1或 [D] 1或16.(12分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线,e1,e2分别为Ox,Oy同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标,记为=(x,y).(1)在斜坐标系-xOy中,=(2,3),求||;(2)在斜坐标系α-xOy中,=(2,1),=(1,-1),且与的夹角θ=,求α.第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用[课程标准要求]1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件,会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.向量数量积的定义(1)向量的夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.在向量的夹角定义中,要求向量a,b均为非零向量.(2)向量的平行与垂直:当θ=0 时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.(3)向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.(1)向量a与b的数量积(或内积)是一个实数,而不是向量.(2)数量积符号a·b中间的点不能省略,也不能用×代替,即a·b≠ab≠a×b.2.向量的投影(1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e. 3.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.(4)|a·b|≤|a||b|.4.向量数量积运算的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a.(交换律)(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(数因子结合律)(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律)(1)向量数量积运算的运算律不满足结合律:a·(b·c)≠(a·b)·c.(2)向量数量积运算的运算律不满足消去律:若a≠0,a·b=a·c,则b与c不一定相等.5.平面向量数量积的有关结论设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a·b=x1x2+y1y2;a2=+;|a|=.(2)a⊥b x1x2+y1y2=0.(3)|x1x2+y1y2|≤.(4)设θ是a与b的夹角,则cos θ==.1.数量积的有关结论(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(3)a2+b2=0 a=0且b=0.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a,b,(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.1.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)等于( )[A] 2 [B] 1[C] 0 [D] -1【答案】 B【解析】 由题知a-b=(-1,1),故a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1.故选B.2.(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=(,-)垂直,则x等于( )[A] [B] -[C] [D] -【答案】 C【解析】 因为m=(2x,1)与n=(,-)垂直,所以m·n=(2x,1)·(,-)=x-=0,即x=.故选C.3.(人教B版必修第三册P79练习A T5改编)已知向量a,b满足|a|=2,b=(3,0),|a-b|=,则向量a在向量b方向上的投影向量为( )[A] (,0) [B] (,0)[C] (,0) [D] (1,0)【答案】 A【解析】 由题意可知|b|=3,因为|a-b|=,则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,即10=4-2a·b+9,可得a·b=,所以向量a在向量b方向上的投影向量为()b=b=(,0).故选A.4.(人教A版必修第二册P21例12改编)已知边长为1的正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,则·等于( )[A] [B][C] - [D] -【答案】 D【解析】 边长为1的正方形ABCD,·=0,||=||=1,=+=+,==(),所以·=(+)·()==-.故选D.5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于( )[A] -6 [B] -5[C] 5 [D] 6【答案】 C【解析】 由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为=,所以cos=cos,即=,即=3+t,解得t=5.故选C.考点一 平面向量数量积的计算1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于( )[A] -2 [B] -1[C] 1 [D] 2【答案】 D【解析】 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2.故选D.2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于( )[A] [B] 3[C] 2 [D] 5【答案】 B【解析】 以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0,则=+=+,=+=-+,所以·=(+)·(-+)=-+=-1+4=3.故选B.3.(2025·天津模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AD=AB,点E在边DC上,满足=,则向量在向量上的投影向量为 (请用表示);若AB=3,点M,N分别为线段AB,BC上的动点,满足BM+BN=1,则·的最小值为 . 【答案】 【解析】 如图,作EF⊥AD于F.因为∠DAB=60°,且四边形ABCD为平行四边形,故AB∥CD,则∠FDE=∠DAB=60°,那么DF=DEcos 60°=DE,又=,所以DE=DC=AB,又AD=AB,故AB=AD,所以DE=×AD=AD,故DF=DE=AD,所以=,即=,则向量在向量上的投影向量为.AB=3,AD=BC=AB=2,如图以A为原点建立平面直角坐标系,作DQ⊥x轴于Q,则AQ=ADcos 60°=1,DQ=ADsin 60°=,则D(1, ).DE=DC=AB=1,则E(2,).设M(x,0),则BM=3-x,又BM+BN=1,所以BN=1-BM=x-2,由BM<1得x>2,由BN<1得x-2<1,即x<3,所以2计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底向量法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.考点二 平面向量数量积的应用角度1 求向量的模[例1] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= . (2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC(包含端点D,C)上的动点,则|+3|的最小值为 . 【答案】 (1) (2)5【解析】 (1)因为|a+b|=|2a-b|,即(a+b)2=(2a-b)2,则a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0.又因为|a-b|=,即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设C(0,b),P(0,y)(0≤y≤b),则B(1,b),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).所以|+3|=(0≤y≤b).当y=b时,|+3|min=5.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|=.(2)利用|a|=.(3)对于|ma+nb|可变形为求解.角度2 向量的夹角问题[例2] (2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于( )[A] - [B] -[C] [D]【答案】 D【解析】 因为a+b+c=0,所以a+b=-c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0.如图,设=a,=b,=c,由题意知,OA=OB=1,OC=,连接AB,△OAB是等腰直角三角形,过O作AB边上的高OD,则OD=,AD=,所以CD=CO+OD=+=,tan∠ACD==,cos∠ACD=,cos=cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×()2-1=.故选D.求平面向量的夹角的方法(1)定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=.角度3 向量垂直问题[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( )[A] λ+μ=1 [B] λ+μ=-1[C] λμ=1 [D] λμ=-1【答案】 D【解析】 因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a+b|=|a-b|.[针对训练]1.(角度1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|等于( )[A] [B][C] [D] 1【答案】 B【解析】 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=.故选B.2.(角度2)已知a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,则a与a-b的夹角为( )[A] [B][C] [D]【答案】 C【解析】 因为a,b为单位向量,且|3a-5b|=7,所以(3a-5b)2=49,9a2-30a·b+25b2=49,即9-30a·b+25=49,可得a·b=-,设a与a-b的夹角为θ,则cos θ====,又θ∈[0,π],所以θ=.故选C.3.(角度3)(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a=(2,4),b=(3,-1),则“k=”是“(a+kb)⊥(a-kb)”的( )[A] 充分不必要条件[B] 必要不充分条件[C] 充要条件[D] 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 因为a=(2,4),b=(3,-1),所以a+kb=(2+3k,4-k),a-kb=(2-3k,4+k),当(a+kb)⊥(a-kb)时,(a+kb)·(a-kb)=0,即(2+3k)(2-3k)+(4-k)(4+k)=0,解得k=±,所以“k=”是“(a+kb)⊥(a-kb)”的充分不必要条件.故选A.考点三 平面向量的综合应用[例4] (1)(2025·湖北武汉校联考模拟)如图,已知AOB是半径为2,圆心角为的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧上的动点(不包括端点),则· 的最小值为( )[A] 4- [B] 4+[C] [D](2)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是( )[A] |G|=|F1|+|F2|[B] 当θ=时,|F1|=|G|[C] 当角θ越大时,用力越小[D] 当|F1|=|G|时,θ=【答案】 (1)A (2)B【解析】 (1)如图,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),E(,0),F(0,),设P(x,y),x>0,y>0,且x2+y2=4,所以·=(-x,-y)·(-x,-y)=x2-x+y2-y=4-(x+y),因为≥()2,则(x+y)2的最大值为8,所以x+y的最大值为2,当且仅当x=y=时,等号成立,即·的最小值为4-.故选A.(2)根据题意可得G+F1+F2=0,则|G|=|F1+F2|===,当θ=0时,|G|=2|F1|=|F1|+|F2|,当θ=时,|G|==|F1|,即|F1|=|G|,故A错误,B正确;|G|=,因为y=cos θ在(0,π)上单调递减,且行李包所受的重力G的大小不变,所以当角θ越大时,用力越大,故C错误;当|F1|=|G|时,即|G|==|F1|,解得cos θ=-,又因为θ∈(0,π),所以θ=,故D错误.故选B.1.有关平面向量数量积最值、范围问题的解题策略(1)直接根据数量积定义进行运算a·b=|a||b|·cos θ,进而得出最值或范围;(2)建立坐标系,引入坐标运算,即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数,进而求得最值;(3)基底表示,即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示,进而转化为“基底向量”的数量积.2.用向量方法解决实际问题的步骤[针对训练] (多选题)如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=3,D,E,F分别在边AB,BC,CA上(与线段端点可重合),且DE⊥EF,BE=2EC.则下列结论正确的是( )[A] EF∶FD的值是定值[B] CF的范围是[1,2][C] △DEF面积的最小值为1[D] △DEF的周长最大值为3+【答案】 ACD【解析】 因为AB⊥AC,AB=AC=3,所以以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,3),E(1,2),设F(0,a),D(b,0),=(1-b,2),=(-1,a-2),DE⊥EF则·=0,·=(1-b)·(-1)+2·(a-2)=0,2a+b-5=0,所以b=5-2a,0≤b≤3,0≤5-2a≤3,则1≤a≤.||=,||====,则==,所以A正确;=(0,a-3),||=|a-3|,因为1≤a≤,-2≤a-3≤-,||∈[,2],所以B错误;△DEF面积为 ||·||=·=·=(a-2)2+1,1≤a≤,当a=2时,△DEF面积的最小值为1,所以C正确;△DEF的周长为 ||+||+||=++=(3+)·,1≤a≤,当a=1时,△DEF的周长最大值为(3+)=3+,所以D正确.故选ACD.(分值:100分)选题明细表知识点、方法 题号平面向量数量积的计算 1,2,3,4,8平面向量数量积的应用 6,9,10,13,16平面向量的综合应用 5,7,11,12,14,15单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.1.(2025·山东菏泽模拟)已知向量a=(-2,1),b=(3,x),且|a+b|=|a-b|,则x的值是( )[A] -6 [B] -[C] [D] 6【答案】 D【解析】 因为|a+b|=|a-b|,即|a+b|2=|a-b|2,化简整理得a·b=0,则a·b=-6+x=0,解得x=6.故选D.2.(2025·河南新乡模拟)已知向量a=(m,1),b=(m,-1),若3a-b与b垂直,则|a|等于( )[A] [B][C] 3 [D] 6【答案】 B【解析】 3a-b=(2m,4),因为3a-b与b垂直,所以(3a-b)·b=2m2-4=0,解得m2=2,所以|a|==.故选B.3.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),则|a+b|==,|a-b|==,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,所以cos===.故选B.4.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的是( )[A] (a+b)⊥(a-b)[B] a在b上的投影向量为(a·b)b[C] 若|a+b|=,则θ=[D] 若(a+b)·a=(a-b)·a,则a∥b【答案】 AB【解析】 因为a,b是单位向量,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),故A正确;因为a,b是单位向量,所以a在b上的投影向量为|a|cos θ=(a·b)b,故B正确;因为(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2cos θ+1=3,所以cos θ=,又因为0≤θ≤π,所以θ=,故C错误;因为(a+b)·a=(a-b)·a,所以a2+b·a=a2-b·a,所以b·a=0,所以a⊥b,故D错误.故选AB.5.(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,设||2-||2=2·(),那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )[A] 垂心 [B] 内心[C] 重心 [D] 外心【答案】 D【解析】 设线段BC的中点为D,则+=2,因为||2-||2=2·(),所以(+)·()=2·,即2·=2·,即·()=·=0,即DM⊥BC,所以DM垂直且平分线段BC,因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线,必通过△ABC的外心.故选D.6.(多选题)(2025·江苏盐城模拟)定义平面斜坐标系xOy,记∠xOy=θ,θ≠,θ∈(0,π),e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点M的坐标满足:=xe1+ye2,则记向量的坐标为(x,y),给出下列四个命题,正确的选项是( )[A] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2)[B] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2[C] 若P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=[D] 若θ=60°,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=0【答案】 AD【解析】 对于A,=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2=(x1+x2,y1+y2),A正确;对于B,=(x1,y1),=(x2,y2),则·=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)e1·e2,显然e1·e2≠0,则·≠x1x2+y1y2,B错误;对于C,=(x1,y1),=(x2,y2),由选项A同理得=(x2-x1,y2-y1),即=(x2-x1,y2-y1),=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2,|PQ|=,C错误;对于D,设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为G(x,y),由|OG|=1,得(xe1+ye2)2=1,于是x2+y2+2xye1·e2-1=0,由θ=60°,得e1·e2=,即x2+y2+xy-1=0,D正确.故选AD.7.(5分)在边长为4的等边三角形ABC中,已知=,点P在线段CD上,且=m+,则||= . 【答案】【解析】 因为=,所以=m+=m+,因为D,P,C三点共线,所以m+=1,所以m=,因为△ABC是边长为4的等边三角形,所以=(+)2=++·=1+4+×4×4×=7,所以||=.8.(8分)(2025·浙江宁波模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a-b与5a+2b互相垂直.(1)求向量a+b在向量b上的投影向量(用b表示);(2)定义平面上两非零向量之间的一种运算“*”:a*b=acos θ+bsin θ(其中θ是非零向量a和b的夹角),求|(a)*(-b)|.【解】 (1)因为a-b与5a+2b互相垂直,所以(a-b)·(5a+2b)=5|a|2-3a·b-2|b|2=0,可得5|a|2-2|b|2=20-32=-12=3a·b,所以a·b=-4,向量a+b在向量b上的投影向量为·b=·b=·b=b.(2)因为cos θ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,sin θ=,|(a)*(-b)|====3.9.(2025·湖北孝感模拟)已知e是单位向量,且|2e-a|=,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 因为e是单位向量,且|2e-a|=,两边平方得4e2-4a·e+a2=10,即a2-4a·e=6(*),由a+2e在e上的投影向量为5e,可得·e=5e,所以(a+2e)·e=5,即a·e=3,代入(*)可得,a2=18,即|a|=3,所以cos===,因为∈[0,π],所以=.故选B.10.(2025·福建三明模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF等于( )[A] [B][C] [D]【答案】 C【解析】 法一 设=λ,因为AD⊥CF,所以·=0,又D是CB边的中点,所以=(+),所以(+)·()=0,所以(+)·(λ)=0,所以(λ-1)·+λ=0,因为AC=BC=1,∠ACB=90°,所以AB==,且∠BAC=45°,所以=1,=2,·=1××=1,代入得(λ-1)+2λ-1=0,解得λ=,所以=,所以BF=AB=.故选C.法二 因为∠ACB=90°,AC=BC=1,所以△ABC为等腰直角三角形,又因为AC=1,AD为中线,所以CD=BD=,所以AD===.因为CE⊥AD,所以∠CED=90°,由等面积可知AD·CE=AC·CD,即CE===,所以DE===.过点F作FH⊥CB交CB于点H,所以∠FHB=90°,因为tan∠FCB==,设FH=HB=x(0所以=,解得x=,所以BF=.故选C.11.(2025·江西九江模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,若b,c共线,且|a+b+c|=,则|a+b-c|等于( )[A] [B][C] [D]【答案】 B【解析】 因为b与c共线,|a|=|b|=1,|c|=2,所以当b与c同向共线时,则c=2b,所以a+b+c=a+3b,所以|a+b+c|=|a+3b|≥||a|-|3b||=2,这与|a+b+c|=矛盾,所以b与c反向共线,则c=-2b,所以|a+b+c|=|a-b|=.所以|a-b|2=3,即|a|2+|b|2-2a·b=3,解得a·b=-,所以|a+b-c|=|a+3b|===.故选B.12.(多选题)(2025·山东潍坊模拟)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=,则( )[A] 1≤|c|≤[B] (c-a)·(c-b)的最大值为[C] -1≤b·c≤1[D] 若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-【答案】 BCD【解析】 设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y),根据|c-a|=有=,即(x-1)2+y2=,是圆心为(1,0),半径为的圆,又|c|=的几何意义为原点到圆(x-1)2+y2=上(x,y)的距离,则≤|c|≤,故A错误;(c-a)·(c-b)=(x-1)x+y(y-2)=x2-x+y2-2y=(x-)2+(y-1)2-,则(c-a)·(c-b)≤(+)2-=(+)2-=,故B正确;由于b·c=2y,因为-≤y≤,故-1≤b·c≤1,故C正确;因为(x-1)2+y2=,故x=+1,y=,又因为c=λa+μb,故λ=x,μ=,λ+μ=+1+=(cos θ+sin θ)+1=sin(θ+φ)+1,tan φ=2.故当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ取最小值1-,故D正确.故选BCD.13.(5分)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ= ;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为 . 【答案】 -【解析】 因为CE=DE,即=,则=+=+,可得λ=,μ=1,所以λ+μ=;由题意可知||=||=1,·=0,因为F为线段BE上的动点,设=k=k+k,k∈[0,1],则=+=+k=(k-1)+k,又因为G为AF中点,则=+=-+=(k-1)+(k-1),可得·=[(k-1)+k]·[(k-1)+(k-1)]=(k-1)2+k(k-1)=(k-)2-,又因为k∈[0,1],可知当k=1时,·取得最小值-.14.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:2sin2()+cos 2A=1.(1)求角A的大小;(2)若AB=2,AC=4,M,N分别为BC,AC上的两点,=,=,AM,BN相交于点P.①求||的值;②求证:AM⊥PN.(1)【解】 因为2sin2()+cos 2A=1,所以1-cos(B+C)+cos 2A=1,所以cos A+cos 2A=0,所以2cos2A+cos A-1=0,解得cos A=或cos A=-1,因为A∈(0,π),所以cos A=,所以A=.(2)①【解】 因为AB=2,AC=4,A=,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,即BC2=4+16-2×2×4×,解得BC=2.则AB2+BC2=AC2,故AB⊥BC,且=,即N是AC中点,由题设得||====2.②【证明】 因为=,所以=+=-+,=,则=+=+=+()=+,所以·=(+)·(-+)=-+=-×4+×16=0,所以⊥,即AM⊥BN,所以AM⊥PN.15.(2025·河北邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b,定义:a b=,a☉b=.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0,且a b和a☉b都在集合{|n∈Z,0[A] 1 [B][C] 1或 [D] 1或【答案】 D【解析】 因为{|n∈Z,0|b|>0,所以|a|2+|b|2>2|a||b|,得到a b==<=,又θ∈[0,π],所以≤,又a b在集合{|n∈Z,0所以>,即cos θ>,得到a b=,又因为a☉b===cos θ>cos θ>,所以a☉b=或1,所以a b+a☉b=1或.故选D.16.(12分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线,e1,e2分别为Ox,Oy同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标,记为=(x,y).(1)在斜坐标系-xOy中,=(2,3),求||;(2)在斜坐标系α-xOy中,=(2,1),=(1,-1),且与的夹角θ=,求α.【解】 (1)因为=(2,3),则=2e1+3e2,=(2e1+3e2)2=4+12e1·e2+9=13+6=19,所以||=.(2)因为=(2,1)=2e1+e2,=(1,-1)=e1-e2,||=,||=,·=(2e1+e2)·(e1-e2)=2-1-2e1·e2+e1·e2=1-e1·e2,则cos θ===,化简并整理得2(e1·e2)2-e1·e2-1=0,解得e1·e2=cos α=-或e1·e2=cos α=1(舍去,因为0<α<π),则α=.(第16页) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第五章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用.docx 第五章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用.pptx