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第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用
[课程标准要求]
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件,会表示两个平面向量的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.向量数量积的定义
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
在向量的夹角定义中,要求向量a,b均为非零向量.
(2)向量的平行与垂直:当θ=0 时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(3)向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(1)向量a与b的数量积(或内积)是一个实数,而不是向量.
(2)数量积符号a·b中间的点不能省略,也不能用×代替,即a·b≠ab≠a×b.
2.向量的投影
(1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
(2)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e.
3.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=－|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4.向量数量积运算的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b=b·a.(交换律)
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(数因子结合律)
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律)
(1)向量数量积运算的运算律不满足结合律:a·(b·c)≠(a·b)·c.
(2)向量数量积运算的运算律不满足消去律:若a≠0,a·b=a·c,则b与c不一定相等.
5.平面向量数量积的有关结论
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a·b=x1x2+y1y2;a2=+;
|a|=.
(2)a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3)|x1x2+y1y2|≤.
(4)设θ是a与b的夹角,则cos θ==.
1.数量积的有关结论
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a－b)=a2－b2.
(3)a2+b2=0 a=0且b=0.
2.有关向量夹角的两个结论
已知向量a,b,
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
1.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a－b)等于(　　)
[A] 2 [B] 1
[C] 0 [D] －1
2.(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=(,－)垂直,则x等于(　　)
[A] [B] －
[C] [D] －
3.(人教B版必修第三册P79练习A T5改编)已知向量a,b满足|a|=2,b=(3,0),|a－b|=,则向量a在向量b方向上的投影向量为(　　)
[A] (,0) [B] (,0)
[C] (,0) [D] (1,0)
4.(人教A版必修第二册P21例12改编)已知边长为1的正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,则·等于(　　)
[A] [B]
[C] － [D] －
5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于(　　)
[A] －6 [B] －5
[C] 5 [D] 6
考点一　平面向量数量积的计算
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b－4a),则x等于(　　)
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于(　　)
[A] [B] 3
[C] 2 [D] 5
3.(2025·天津模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AD=AB,点E在边DC上,满足=,则向量在向量上的投影向量为　　　　(请用表示);若AB=3,点M,N分别为线段AB,BC上的动点,满足BM+BN=1,则·的最小值为　　　　.
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底向量法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　求向量的模
[例1] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－b|=,|a+b|=|2a－b|,则|b|=　 .
(2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC(包含端点D,C)上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.
求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|=.
(2)利用|a|=.
(3)对于|ma+nb|可变形为求解.
角度2　向量的夹角问题
[例2] (2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].
(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
cos θ=.
角度3　向量垂直问题
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,－1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)
[A] λ+μ=1 [B] λ+μ=－1
[C] λμ=1 [D] λμ=－1
两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a+b|=|a－b|.
[针对训练]
1.(角度1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b－2a)⊥b,则|b|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] 1
2.(角度2)已知a,b为单位向量,且|3a－5b|=7,则a与a－b的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(角度3)(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a=(2,4),b=(3,－1),则“k=”是“(a+kb)⊥(a－kb)”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
考点三　平面向量的综合应用
[例4] (1)(2025·湖北武汉校联考模拟)如图,已知AOB是半径为2,圆心角为的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧上的动点(不包括端点),则· 的最小值为(　　)
[A] 4－ [B] 4+
[C] [D]
(2)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是(　　)
[A] |G|=|F1|+|F2|
[B] 当θ=时,|F1|=|G|
[C] 当角θ越大时,用力越小
[D] 当|F1|=|G|时,θ=
1.有关平面向量数量积最值、范围问题的解题策略
(1)直接根据数量积定义进行运算a·b=|a||b|·cos θ,进而得出最值或范围;
(2)建立坐标系,引入坐标运算,即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数,进而求得最值;
(3)基底表示,即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示,进而转化为“基底向量”的数量积.
2.用向量方法解决实际问题的步骤
[针对训练] (多选题)如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=3,D,E,F分别在边AB,BC,CA上(与线段端点可重合),且DE⊥EF,BE=2EC.则下列结论正确的是(　　)
[A] EF∶FD的值是定值
[B] CF的范围是[1,2]
[C] △DEF面积的最小值为1
[D] △DEF的周长最大值为3+
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量数量积的计算 1,2,3,4,8
平面向量数量积的应用 6,9,10,13,16
平面向量的综合应用 5,7,11,12,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东菏泽模拟)已知向量a=(－2,1),b=(3,x),且|a+b|=|a－b|,则x的值是(　　)
[A] －6 [B] －
[C] [D] 6
2.(2025·河南新乡模拟)已知向量a=(m,1),b=(m,－1),若3a－b与b垂直,则|a|等于(　　)
[A] [B]
[C] 3 [D] 6
3.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　)
[A] (a+b)⊥(a－b)
[B] a在b上的投影向量为(a·b)b
[C] 若|a+b|=,则θ=
[D] 若(a+b)·a=(a－b)·a,则a∥b
5.(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,设||2－||2=2·(),那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)
[A] 垂心 [B] 内心
[C] 重心 [D] 外心
6.(多选题)(2025·江苏盐城模拟)定义平面斜坐标系xOy,记∠xOy=θ,θ≠,θ∈(0,π),e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点M的坐标满足:=xe1+ye2,则记向量的坐标为(x,y),给出下列四个命题,正确的选项是(　　)
[A] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2)
[B] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2
[C] 若P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=
[D] 若θ=60°,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy－1=0
7.(5分)在边长为4的等边三角形ABC中,已知=,点P在线段CD上,且=m+,则||=　　　　.
8.(8分)(2025·浙江宁波模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a－b与5a+2b互相垂直.
(1)求向量a+b在向量b上的投影向量(用b表示);
(2)定义平面上两非零向量之间的一种运算“*”:a*b=acos θ+bsin θ(其中θ是非零向量a和b的夹角),求|(a)*(－b)|.
9.(2025·湖北孝感模拟)已知e是单位向量,且|2e－a|=,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
10.(2025·福建三明模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
11.(2025·江西九江模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,若b,c共线,且|a+b+c|=,则|a+b－c|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
12.(多选题)(2025·山东潍坊模拟)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c－a|=,则(　　)
[A] 1≤|c|≤
[B] (c－a)·(c－b)的最大值为
[C] －1≤b·c≤1
[D] 若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1－
13.(5分)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,
=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为　　　　.
14.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:2sin2()+cos 2A=1.
(1)求角A的大小;
(2)若AB=2,AC=4,M,N分别为BC,AC上的两点,=,=,AM,BN相交于点P.
①求||的值;
②求证:AM⊥PN.
15.(2025·河北邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b,定义:a b=,a☉b=.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0,且a b和a☉b都在集合{|n∈Z,0[A] 1 [B]
[C] 1或 [D] 1或
16.(12分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线,e1,e2分别为Ox,Oy同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α－xOy中的坐标,记为=(x,y).
(1)在斜坐标系－xOy中,=(2,3),求||;
(2)在斜坐标系α－xOy中,=(2,1),=(1,－1),且与的夹角θ=,求α.
第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用
[课程标准要求]
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件,会表示两个平面向量的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.向量数量积的定义
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
在向量的夹角定义中,要求向量a,b均为非零向量.
(2)向量的平行与垂直:当θ=0 时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(3)向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(1)向量a与b的数量积(或内积)是一个实数,而不是向量.
(2)数量积符号a·b中间的点不能省略,也不能用×代替,即a·b≠ab≠a×b.
2.向量的投影
(1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
(2)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e.
3.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=－|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4.向量数量积运算的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b=b·a.(交换律)
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(数因子结合律)
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律)
(1)向量数量积运算的运算律不满足结合律:a·(b·c)≠(a·b)·c.
(2)向量数量积运算的运算律不满足消去律:若a≠0,a·b=a·c,则b与c不一定相等.
5.平面向量数量积的有关结论
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a·b=x1x2+y1y2;a2=+;
|a|=.
(2)a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3)|x1x2+y1y2|≤.
(4)设θ是a与b的夹角,则cos θ==.
1.数量积的有关结论
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a－b)=a2－b2.
(3)a2+b2=0 a=0且b=0.
2.有关向量夹角的两个结论
已知向量a,b,
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
1.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a－b)等于(　　)
[A] 2 [B] 1
[C] 0 [D] －1
【答案】 B
【解析】 由题知a－b=(－1,1),故a·(a－b)=(0,1)·(－1,1)=1.故选B.
2.(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=(,－)垂直,则x等于(　　)
[A] [B] －
[C] [D] －
【答案】 C
【解析】 因为m=(2x,1)与n=(,－)垂直,所以m·n=(2x,1)·(,－)=x－=0,即x=.故选C.
3.(人教B版必修第三册P79练习A T5改编)已知向量a,b满足|a|=2,b=(3,0),|a－b|=,则向量a在向量b方向上的投影向量为(　　)
[A] (,0) [B] (,0)
[C] (,0) [D] (1,0)
【答案】 A
【解析】 由题意可知|b|=3,因为|a－b|=,则|a－b|2=(a－b)2=a2－2a·b+b2,
即10=4－2a·b+9,
可得a·b=,
所以向量a在向量b方向上的投影向量为
()b=b=(,0).
故选A.
4.(人教A版必修第二册P21例12改编)已知边长为1的正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,则·等于(　　)
[A] [B]
[C] － [D] －
【答案】 D
【解析】 边长为1的正方形ABCD,
·=0,
||=||=1,=+=+,==(),所以·=(+)·()==－.故选D.
5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于(　　)
[A] －6 [B] －5
[C] 5 [D] 6
【答案】 C
【解析】 由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为=,所以cos=cos,即=,即=3+t,解得t=5.故选C.
考点一　平面向量数量积的计算
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b－4a),则x等于(　　)
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
【答案】 D
【解析】 因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)=0,
所以b2－4a·b=0,即4+x2－4x=0,故x=2.故选D.
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·等于(　　)
[A] [B] 3
[C] 2 [D] 5
【答案】 B
【解析】 以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0,
则=+=+,=+=－+,
所以·=(+)·(－+)=－+=－1+4=3.故选B.
3.(2025·天津模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AD=AB,点E在边DC上,满足=,则向量在向量上的投影向量为　　　　(请用表示);若AB=3,点M,N分别为线段AB,BC上的动点,满足BM+BN=1,则·的最小值为　　　　.
【答案】 　
【解析】 如图,作EF⊥AD于F.因为∠DAB=60°,且四边形ABCD为平行四边形,故AB∥CD,
则∠FDE=∠DAB=60°,
那么DF=DEcos 60°=DE,
又=,
所以DE=DC=AB,
又AD=AB,故AB=AD,
所以DE=×AD=AD,
故DF=DE=AD,
所以=,即=,
则向量在向量上的投影向量为.
AB=3,AD=BC=AB=2,如图以A为原点建立平面直角坐标系,作DQ⊥x轴于Q,则AQ=ADcos 60°=1,DQ=ADsin 60°=,则D(1, ).DE=DC=AB=1,则E(2,).设M(x,0),则BM=3－x,又BM+BN=1,所以BN=1－BM=x－2,由BM<1得x>2,由BN<1得x－2<1,即x<3,所以2计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底向量法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　求向量的模
[例1] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－b|=,|a+b|=|2a－b|,则|b|=　 .
(2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC(包含端点D,C)上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.
【答案】 (1)　(2)5
【解析】 (1)因为|a+b|=|2a－b|,即(a+b)2=(2a－b)2,则a2+2a·b+b2=4a2－4a·b+b2,整理得a2－2a·b=0.又因为|a－b|=,即(a－b)2=3,则a2－2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设C(0,b),P(0,y)(0≤y≤b),则B(1,b),
则+3=(2,－y)+3(1,b－y)=(5,3b－4y).
所以|+3|=(0≤y≤b).
当y=b时,|+3|min=5.
求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|=.
(2)利用|a|=.
(3)对于|ma+nb|可变形为求解.
角度2　向量的夹角问题
[例2] (2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos等于(　　)
[A] － [B] －
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为a+b+c=0,所以a+b=－c,
即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,
所以a·b=0.
如图,设=a,=b,=c,由题意知,OA=OB=1,OC=,连接AB,△OAB是等腰直角三角形,
过O作AB边上的高OD,
则OD=,AD=,
所以CD=CO+OD=+=,
tan∠ACD==,cos∠ACD=,
cos=cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD－1=2×()2－1=.
故选D.
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].
(2)坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
cos θ=.
角度3　向量垂直问题
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,－1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)
[A] λ+μ=1 [B] λ+μ=－1
[C] λμ=1 [D] λμ=－1
【答案】 D
【解析】 因为a=(1,1),b=(1,－1),所以a+λb=(1+λ,1－λ),a+μb=(1+μ,1－μ),由(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1－λ)(1－μ)=0,整理得λμ=－1.故选D.
两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a+b|=|a－b|.
[针对训练]
1.(角度1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b－2a)⊥b,则|b|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D] 1
【答案】 B
【解析】 因为(b－2a)⊥b,
所以(b－2a)·b=0,
即b2=2a·b,
又因为|a|=1,|a+2b|=2,
所以(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+6b2=4,
从而|b|=.故选B.
2.(角度2)已知a,b为单位向量,且|3a－5b|=7,则a与a－b的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为a,b为单位向量,且|3a－5b|=7,
所以(3a－5b)2=49,9a2－30a·b+25b2=49,
即9－30a·b+25=49,可得a·b=－,
设a与a－b的夹角为θ,
则cos θ====,又θ∈[0,π],
所以θ=.故选C.
3.(角度3)(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a=(2,4),b=(3,－1),则“k=”是“(a+kb)⊥(a－kb)”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 因为a=(2,4),b=(3,－1),
所以a+kb=(2+3k,4－k),a－kb=(2－3k,4+k),
当(a+kb)⊥(a－kb)时,(a+kb)·(a－kb)=0,
即(2+3k)(2－3k)+(4－k)(4+k)=0,解得k=±,所以“k=”是“(a+kb)⊥(a－kb)”的充分不必要条件.故选A.
考点三　平面向量的综合应用
[例4] (1)(2025·湖北武汉校联考模拟)如图,已知AOB是半径为2,圆心角为的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧上的动点(不包括端点),则· 的最小值为(　　)
[A] 4－ [B] 4+
[C] [D]
(2)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是(　　)
[A] |G|=|F1|+|F2|
[B] 当θ=时,|F1|=|G|
[C] 当角θ越大时,用力越小
[D] 当|F1|=|G|时,θ=
【答案】 (1)A　(2)B
【解析】 (1)如图,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(0,2),E(,0),F(0,),设P(x,y),x>0,y>0,且x2+y2=4,
所以·=(－x,－y)·(－x,－y)=x2－x+y2－y=4－(x+y),
因为≥()2,则(x+y)2的最大值为8,所以x+y的最大值为2,当且仅当x=y=时,等号成立,即·的最小值为4－.故选A.
(2)根据题意可得G+F1+F2=0,
则|G|=|F1+F2|=
=
=,
当θ=0时,|G|=2|F1|=|F1|+|F2|,
当θ=时,|G|==|F1|,
即|F1|=|G|,故A错误,B正确;
|G|=,因为y=cos θ在(0,π)上单调递减,且行李包所受的重力G的大小不变,所以当角θ越大时,用力越大,故C错误;
当|F1|=|G|时,即|G|==|F1|,解得cos θ=－,又因为θ∈(0,π),所以θ=,故D错误.故选B.
1.有关平面向量数量积最值、范围问题的解题策略
(1)直接根据数量积定义进行运算a·b=|a||b|·cos θ,进而得出最值或范围;
(2)建立坐标系,引入坐标运算,即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数,进而求得最值;
(3)基底表示,即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示,进而转化为“基底向量”的数量积.
2.用向量方法解决实际问题的步骤
[针对训练] (多选题)如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=3,D,E,F分别在边AB,BC,CA上(与线段端点可重合),且DE⊥EF,BE=2EC.则下列结论正确的是(　　)
[A] EF∶FD的值是定值
[B] CF的范围是[1,2]
[C] △DEF面积的最小值为1
[D] △DEF的周长最大值为3+
【答案】 ACD
【解析】 因为AB⊥AC,AB=AC=3,所以以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(3,0),C(0,3),E(1,2),
设F(0,a),D(b,0),=(1－b,2),=(－1,a－2),DE⊥EF则·=0,
·=(1－b)·(－1)+2·(a－2)=0,2a+b－5=0,所以b=5－2a,0≤b≤3,0≤5－2a≤3,
则1≤a≤.
||=,
||==
==,
则==,所以A正确;=(0,a－3),||=|a－3|,因为1≤a≤,－2≤a－3≤－,||∈[,2],所以B错误;△DEF面积为 ||·||=·
=·=(a－2)2+1,1≤a≤,当a=2时,△DEF面积的最小值为1,所以C正确;△DEF的周长为 ||+||+||=++=(3+)·,1≤a≤,当a=1时,△DEF的周长最大值为(3+)=3+,所以D正确.
故选ACD.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量数量积的计算 1,2,3,4,8
平面向量数量积的应用 6,9,10,13,16
平面向量的综合应用 5,7,11,12,14,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·山东菏泽模拟)已知向量a=(－2,1),b=(3,x),且|a+b|=|a－b|,则x的值是(　　)
[A] －6 [B] －
[C] [D] 6
【答案】 D
【解析】 因为|a+b|=|a－b|,
即|a+b|2=|a－b|2,化简整理得a·b=0,
则a·b=－6+x=0,解得x=6.故选D.
2.(2025·河南新乡模拟)已知向量a=(m,1),b=(m,－1),若3a－b与b垂直,则|a|等于(　　)
[A] [B]
[C] 3 [D] 6
【答案】 B
【解析】 3a－b=(2m,4),因为3a－b与b垂直,
所以(3a－b)·b=2m2－4=0,解得m2=2,
所以|a|==.故选B.
3.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a－b=(1,－1),则|a+b|==,|a－b|==,(a+b)·(a－b)=5×1+3×(－1)=2,所以cos===.故选B.
4.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　)
[A] (a+b)⊥(a－b)
[B] a在b上的投影向量为(a·b)b
[C] 若|a+b|=,则θ=
[D] 若(a+b)·a=(a－b)·a,则a∥b
【答案】 AB
【解析】 因为a,b是单位向量,所以(a+b)·(a－b)=a2－b2=1－1=0,所以(a+b)⊥(a－b),故A正确;因为a,b是单位向量,所以a在b上的投影向量为|a|cos θ=(a·b)b,故B正确;因为(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2cos θ+1=3,所以cos θ=,又因为0≤θ≤π,所以θ=,故C错误;
因为(a+b)·a=(a－b)·a,
所以a2+b·a=a2－b·a,
所以b·a=0,所以a⊥b,故D错误.故选AB.
5.(2025·广东佛山模拟)在△ABC中,设||2－||2=2·(),那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)
[A] 垂心 [B] 内心
[C] 重心 [D] 外心
【答案】 D
【解析】 设线段BC的中点为D,则+=2,因为||2－||2=2·(),所以(+)·()=2·,
即2·=2·,即·()=·=0,即DM⊥BC,所以DM垂直且平分线段BC,因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线,必通过△ABC的外心.
故选D.
6.(多选题)(2025·江苏盐城模拟)定义平面斜坐标系xOy,记∠xOy=θ,θ≠,θ∈(0,π),e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点M的坐标满足:=xe1+ye2,则记向量的坐标为(x,y),给出下列四个命题,正确的选项是(　　)
[A] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2)
[B] 若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2
[C] 若P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=
[D] 若θ=60°,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy－1=0
【答案】 AD
【解析】 对于A,=(x1,y1),=(x2,y2),
则+=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2=(x1+x2,y1+y2),A正确;
对于B,=(x1,y1),=(x2,y2),则·=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)e1·e2,显然e1·e2≠0,则·≠x1x2+y1y2,B错误;对于C,=(x1,y1),=(x2,y2),由选项A同理得=(x2－x1,y2－y1),即=(x2－x1,y2－y1),=(x2－x1)e1+(y2－y1)e2,|PQ|=
,C错误;对于D,设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为G(x,y),由|OG|=1,得(xe1+ye2)2=1,于是x2+y2+2xye1·e2－1=0,由θ=60°,得e1·e2=,即x2+y2+xy－1=0,D正确.故选AD.
7.(5分)在边长为4的等边三角形ABC中,已知=,点P在线段CD上,且=m+,则||=　　　　.
【答案】
【解析】 因为=,
所以=m+=m+,
因为D,P,C三点共线,所以m+=1,
所以m=,
因为△ABC是边长为4的等边三角形,
所以=(+)2=++·=1+4+×4×4×=7,
所以||=.
8.(8分)(2025·浙江宁波模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a－b与5a+2b互相垂直.
(1)求向量a+b在向量b上的投影向量(用b表示);
(2)定义平面上两非零向量之间的一种运算“*”:a*b=acos θ+bsin θ(其中θ是非零向量a和b的夹角),求|(a)*(－b)|.
【解】 (1)因为a－b与5a+2b互相垂直,
所以(a－b)·(5a+2b)=5|a|2－3a·b－2|b|2=0,可得5|a|2－2|b|2=20－32=－12=3a·b,
所以a·b=－4,向量a+b在向量b上的投影向量为·b=·b=·b=b.
(2)因为cos θ===－,
又0≤θ≤π,
所以θ=,sin θ=,
|(a)*(－b)|===
=3.
9.(2025·湖北孝感模拟)已知e是单位向量,且|2e－a|=,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为e是单位向量,且|2e－a|=,两边平方得4e2－4a·e+a2=10,即a2－4a·e=6(*),由a+2e在e上的投影向量为5e,可得·e=5e,
所以(a+2e)·e=5,即a·e=3,
代入(*)可得,a2=18,即|a|=3,
所以cos===,
因为∈[0,π],
所以=.故选B.
10.(2025·福建三明模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 法一　设=λ,
因为AD⊥CF,所以·=0,
又D是CB边的中点,所以=(+),
所以(+)·()=0,
所以(+)·(λ)=0,
所以(λ－1)·+λ=0,
因为AC=BC=1,∠ACB=90°,
所以AB==,且∠BAC=45°,
所以=1,=2,
·=1××=1,
代入得(λ－1)+2λ－1=0,
解得λ=,
所以=,所以BF=AB=.故选C.
法二　因为∠ACB=90°,AC=BC=1,
所以△ABC为等腰直角三角形,
又因为AC=1,AD为中线,所以CD=BD=,
所以AD===.
因为CE⊥AD,所以∠CED=90°,
由等面积可知AD·CE=AC·CD,
即CE===,
所以DE===.
过点F作FH⊥CB交CB于点H,
所以∠FHB=90°,
因为tan∠FCB==,
设FH=HB=x(0所以=,解得x=,所以BF=.故选C.
11.(2025·江西九江模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,若b,c共线,且|a+b+c|=,则|a+b－c|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为b与c共线,|a|=|b|=1,|c|=2,所以当b与c同向共线时,
则c=2b,
所以a+b+c=a+3b,
所以|a+b+c|=|a+3b|≥||a|－|3b||=2,
这与|a+b+c|=矛盾,
所以b与c反向共线,则c=－2b,
所以|a+b+c|=|a－b|=.
所以|a－b|2=3,
即|a|2+|b|2－2a·b=3,
解得a·b=－,
所以|a+b－c|=|a+3b|===.故选B.
12.(多选题)(2025·山东潍坊模拟)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c－a|=,则(　　)
[A] 1≤|c|≤
[B] (c－a)·(c－b)的最大值为
[C] －1≤b·c≤1
[D] 若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1－
【答案】 BCD
【解析】 设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y),
根据|c－a|=有=,
即(x－1)2+y2=,是圆心为(1,0),半径为的圆,
又|c|=的几何意义为原点到圆(x－1)2+y2=上(x,y)的距离,则≤|c|≤,故A错误;
(c－a)·(c－b)=(x－1)x+y(y－2)=x2－x+y2－2y=(x－)2+(y－1)2－,
则(c－a)·(c－b)≤(+)2－=(+)2－=,故B正确;
由于b·c=2y,
因为－≤y≤,
故－1≤b·c≤1,故C正确;
因为(x－1)2+y2=,
故x=+1,y=,
又因为c=λa+μb,
故λ=x,μ=,
λ+μ=+1+
=(cos θ+sin θ)+1
=sin(θ+φ)+1,tan φ=2.
故当sin(θ+φ)=－1时,λ+μ取最小值1－,故D正确.故选BCD.
13.(5分)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,
=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为　　　　.
【答案】 　－
【解析】 因为CE=DE,即=,
则=+=+,
可得λ=,μ=1,所以λ+μ=;
由题意可知||=||=1,·=0,
因为F为线段BE上的动点,设=k=k+k,k∈[0,1],
则=+=+k=(k－1)+k,又因为G为AF中点,
则=+=－+=(k－1)+(k－1),
可得·=[(k－1)+k]·[(k－1)+(k－1)]=(k－1)2+k(k－1)=(k－)2－,
又因为k∈[0,1],可知当k=1时,·取得最小值－.
14.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:2sin2()+cos 2A=1.
(1)求角A的大小;
(2)若AB=2,AC=4,M,N分别为BC,AC上的两点,=,=,AM,BN相交于点P.
①求||的值;
②求证:AM⊥PN.
(1)【解】 因为2sin2()+cos 2A=1,
所以1－cos(B+C)+cos 2A=1,
所以cos A+cos 2A=0,
所以2cos2A+cos A－1=0,
解得cos A=或cos A=－1,
因为A∈(0,π),所以cos A=,所以A=.
(2)①【解】 因为AB=2,AC=4,A=,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cos A,即BC2=4+16－2×2×4×,解得BC=2.则AB2+BC2=AC2,故AB⊥BC,且=,即N是AC中点,
由题设得||====2.
②【证明】 因为=,
所以=+=－+,
=,则=+=+=+()=+,
所以·=(+)·(－+)=－+=－×4+×16=0,所以⊥,
即AM⊥BN,所以AM⊥PN.
15.(2025·河北邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b,定义:a b=,a☉b=.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0,且a b和a☉b都在集合{|n∈Z,0[A] 1 [B]
[C] 1或 [D] 1或
【答案】 D
【解析】 因为{|n∈Z,0|b|>0,
所以|a|2+|b|2>2|a||b|,得到a b==<=,
又θ∈[0,π],所以≤,又a b在集合{|n∈Z,0所以>,即cos θ>,得到a b=,
又因为a☉b===cos θ>cos θ>,
所以a☉b=或1,所以a b+a☉b=1或.故选D.
16.(12分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线,e1,e2分别为Ox,Oy同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α－xOy中的坐标,记为=(x,y).
(1)在斜坐标系－xOy中,=(2,3),求||;
(2)在斜坐标系α－xOy中,=(2,1),=(1,－1),且与的夹角θ=,求α.
【解】 (1)因为=(2,3),则=2e1+3e2,
=(2e1+3e2)2=4+12e1·e2+9
=13+6=19,
所以||=.
(2)因为=(2,1)=2e1+e2,
=(1,－1)=e1－e2,
||=,
||=,
·=(2e1+e2)·(e1－e2)=2－1－2e1·e2+e1·e2=1－e1·e2,
则cos θ===,
化简并整理得2(e1·e2)2－e1·e2－1=0,
解得e1·e2=cos α=－或e1·e2=cos α=1(舍去,因为0<α<π),则α=.
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