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第4节　复　数
[课程标准要求]
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示法的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的概念
概念 定义
复数 把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数构成的集合,即C={a+bi|a,b∈R}
复数 相等 a+bi=c+di a=c,b=d,其中a,b,c,d∈R
复数 分类 复数z=a+bi
共轭 复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果 z=a+bi(a,b∈R),那么=a－bi
复平 面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
复数 的模 复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)对应的向量为,则向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=,其中a,b∈R.复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数.
3.复数的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
②z1z2=(ac－bd)+(ad+bc)i;
③=+i(z2≠0).
(2)复数加法、减法的几何意义.
加法 复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(3)复数加法的运算律:对任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1+z2=z2+z1;
②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(4)复数乘法的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1z2=z2z1;
②结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);
③分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
1.(1±i)2=±2i,=i,=－i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=－1,i4n+3=－i,其中n∈N*;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中n∈N*.
该结论称为虚数单位i乘方运算的周期性,当幂指数n为整数时结论仍然成立.
3.z·=|z|2=||2,|z1z2|=|z1||z2|,||=(z2≠0),|zn|=|z|n.
4.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z－(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
1.(2024·新课标 Ⅰ 卷)若=1+i,则z等于(　　)
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
2.(人教B版必修第四册P31练习B T2改编)已知(2+i)z=i,i为虚数单位,则||等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(苏教版必修第二册P147本章测试T7改编)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
4.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T3改编)若(x+y)+(y－1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,则x=　　　　,y=　　　　.
5.(人教B版必修第四册P41练习B T4改编)若复数(1－2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　.
考点一　复数的基本概念
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=－1－i,则|z|等于(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] [D] 2
2.(2025·河南开封模拟)若是纯虚数,则复数z可以是(　　)
[A] －3+4i [B] 3－4i
[C] 4+3i [D] 4－3i
3.已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
[A] a=1,b=－3 [B] a=－1,b=3
[C] a=－1,b=－3 [D] a=1,b=3
求解复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
考点二　复数的四则运算
1.(2023·全国甲卷)等于(　　)
[A] －1 [B] 1
[C] 1－i [D] 1+i
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z－等于(　　)
[A] －i [B] i
[C] 0 [D] 1
3.i+i2+i3+…+i2 024等于(　　)
[A] －1 [B] －i
[C] 0 [D] 1
4.(2025·山西运城模拟)已知i为虚数单位,若为实数,则实数a等于(　　)
[A] －1 [B] 4
[C] 2 [D] －2
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简
形式.
考点三　复数的几何意义
1.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3－i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
2.设复数z满足|z－i|=,则|z|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] －1
[C] +1 [D] 3－2
3.若复数(x－3)+yi(x,y∈R)的模为2,则的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1－z2|=　　　　.
复数的几何意义及其应用
(1)复数z、复平面内的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 向量.
(2)|z－z1|=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的基本概念 4,7
复数的四则运算 1,2,5,8,10,11,12,14
复数的几何意义 3,6,9,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)设z=5+i,则i(+z)等于(　　)
[A] 10i [B] 2i
[C] 10 [D] －2
2.(2024·北京卷)若复数z满足=－1－i,则z等于(　　)
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
3.(2023·北京卷)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(－1,),则z的共轭复数等于(　　)
[A] 1+i [B] 1－i
[C] －1+i [D] －1－i
4.(2022·全国乙卷)已知z=1－2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
[A] a=1,b=－2 [B] a=－1,b=2
[C] a=1,b=2 [D] a=－1,b=－2
5.(2025·四川攀枝花模拟)已知复数z=(a+1)－ai(a∈R),则“|z|=1”是“a=0”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
6.(多选题)(2025·重庆模拟)已知z是复数,是其共轭复数,则下列命题中正确的是(　　)
[A] z2=|z|2
[B] 若z=(1－2i)2,则复平面内对应的点位于第二象限
[C] 若|z|=1,则|z－1－i|的最大值为 +1
[D] 若1－3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则q=10
7.(5分)(2025·湖南永州模拟)已知复数z1=m2－(m2－5m+6)i,z2=10－(m2－3m)i,若z1<(为z的共轭复数),则实数m的取值范围为　　　　.
8.(8分)已知复数z满足z+=1,(z－)i=2,求|z|.
9.(2025·河南郑州模拟)已知复数z=,则z+在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
10.(多选题)(2025·福建泉州模拟)设z1,z2是复数,则(　　)
[A] 若+=0,则z1=z2=0
[B] 若=,则|z1|=|z2|
[C] 若z1z2=0,则z1=0或z2=0
[D] 若|z1+z2|=|z1－z2|,则z1z2=0
11.已知虚数z满足z3－1=0,且是z的共轭复数,则下列结论错误的是(　　)
[A] z2+z+1=0
[B] |z|=1
[C] z2=
[D] z+z2+z3+…+z2 027=0
12.(多选题)(2025·云南保山模拟)已知a,b∈R,2a－1+(b－1)i=0,z=(1+i)2a+b,则(　　)
[A] a=1 [B] b=1
[C] z·=4 [D] =i
13.(5分)(2025·江苏南通模拟)已知复数z在复平面内对应的点为Z,且满足|z－2－2i|≤2,O为原点,A(1,1),则·的取值范围为 　　　　.
14.(5分)(2025·广东汕头模拟)写出一个满足(1+i)·z∈R,且|z|>2的复数z,z=　　　　.
15.(12分)(2025·河南驻马店模拟)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z;
(2)若|z|=,且z2+z的实部不为0,讨论z2+z在复平面内对应的点位于第几象限.
16.(12分)设m,n∈R,已知z1=1+i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根.
(1)求m,n的值;
(2)设方程的另一根为z2,复数z1,z2对应的向量分别是a,b.若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角,求实数t的取值范围.
第4节　复　数
[课程标准要求]
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示法的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的概念
概念 定义
复数 把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数构成的集合,即C={a+bi|a,b∈R}
复数 相等 a+bi=c+di a=c,b=d,其中a,b,c,d∈R
复数 分类 复数z=a+bi
共轭 复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果 z=a+bi(a,b∈R),那么=a－bi
复平 面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
复数 的模 复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)对应的向量为,则向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=,其中a,b∈R.复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数.
3.复数的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
②z1z2=(ac－bd)+(ad+bc)i;
③=+i(z2≠0).
(2)复数加法、减法的几何意义.
加法 复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(3)复数加法的运算律:对任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1+z2=z2+z1;
②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(4)复数乘法的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1z2=z2z1;
②结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);
③分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
1.(1±i)2=±2i,=i,=－i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=－1,i4n+3=－i,其中n∈N*;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中n∈N*.
该结论称为虚数单位i乘方运算的周期性,当幂指数n为整数时结论仍然成立.
3.z·=|z|2=||2,|z1z2|=|z1||z2|,||=(z2≠0),|zn|=|z|n.
4.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z－(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
1.(2024·新课标 Ⅰ 卷)若=1+i,则z等于(　　)
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
【答案】 C
【解析】 因为==1+=1+i,
所以z=1+=1－i.故选C.
2.(人教B版必修第四册P31练习B T2改编)已知(2+i)z=i,i为虚数单位,则||等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由(2+i)z=i可得
z====,
所以=,则||==.故选C.
3.(苏教版必修第二册P147本章测试T7改编)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 D
【解析】 因为z=====i,
所以复数z在复平面内对应的点的坐标是(,－),位于第四象限.故选D.
4.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T3改编)若(x+y)+(y－1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,则x=　　　　,y=　　　　.
【答案】 4　－2
【解析】 由得
5.(人教B版必修第四册P41练习B T4改编)若复数(1－2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　.
【答案】 －2
【解析】 (1－2i)(a+i)=a+2+(1－2a)i是纯虚数,所以a+2=0且1－2a≠0,所以a=－2.
考点一　复数的基本概念
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=－1－i,则|z|等于(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] [D] 2
[溯源探本]本题源于人教B版必修第四册P31练习A T3.
【答案】 C
【解析】 z=－1－i,则|z|==.故选C.
2.(2025·河南开封模拟)若是纯虚数,则复数z可以是(　　)
[A] －3+4i [B] 3－4i
[C] 4+3i [D] 4－3i
【答案】 D
【解析】 设z=a+bi(a,b∈R,且a2+b2≠0),则===,
因为是纯虚数,所以经验证可知,a=4,b=－3符合,即复数z可以是4－3i.故选D.
3.已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
[A] a=1,b=－3 [B] a=－1,b=3
[C] a=－1,b=－3 [D] a=1,b=3
【答案】 B
【解析】 (b+i)i=－1+bi,则由a+3i=－1+bi,得a=－1,b=3.故选B.
求解复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
考点二　复数的四则运算
1.(2023·全国甲卷)等于(　　)
[A] －1 [B] 1
[C] 1－i [D] 1+i
[溯源探本]本题源于人教A版必修第二册P81习题7.2T4.
【答案】 C
【解析】 ==1－i.故选C.
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z－等于(　　)
[A] －i [B] i
[C] 0 [D] 1
[溯源探本]本题源于人教A版必修第二册P95复习参考题7 T7.
【答案】 A
【解析】 因为z====－i,所以=i,即z－=－i.故选A.
3.i+i2+i3+…+i2 024等于(　　)
[A] －1 [B] －i
[C] 0 [D] 1
【答案】 C
【解析】 因为i2=－1,i3=－i,i4=1,i5=i,i6=－1,…,所以周期为4,且i－1－i+1=0,所以i+i2+i3+…+
i2 024=506×(i－1－i+1)=0.故选C.
4.(2025·山西运城模拟)已知i为虚数单位,若为实数,则实数a等于(　　)
[A] －1 [B] 4
[C] 2 [D] －2
【答案】 B
【解析】 =
=
=
=(2a+2)+(4－a)i,
要使为实数,需满足4－a=0,所以a=4.故选B.
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简
形式.
考点三　复数的几何意义
1.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3－i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 A
【解析】 因为(1+3i)(3－i)=3+8i－3i2=6+8i,则所求复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.
2.设复数z满足|z－i|=,则|z|的最小值为(　　)
[A] 1 [B] －1
[C] +1 [D] 3－2
【答案】 B
【解析】 由|z－i|=可知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为(0,1),半径为的圆,|z|表示复数z对应的点与原点之间的距离,因为|z|≥|1－|,
所以|z|≥－1,
即|z|min=－1.故选B.
3.若复数(x－3)+yi(x,y∈R)的模为2,则的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为复数(x－3)+yi(x,y∈R)的模为2,所以(x－3)2+y2=4,表示以(3,0)为圆心,2为半径的圆,如图所示,
表示过原点和圆上的点(x,y)的直线的斜率,由图可知,当直线与圆相切时,取得最值,设切线方程为y=kx,则=2,解得k=±,所以的最大值为.故选A.
4.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1－z2|=　　　　.
【答案】 2
【解析】 法一　设z1－z2=a+bi,a,b∈R,
因为z1+z2=+i,
所以2z1=(+a)+(1+b)i,2z2=(－a)+(1－b)i.
因为|z1|=|z2|=2,
有|2z1|=|2z2|=4,
有=4,①
=4,②
①2+②2得a2+b2=12,
所以|z1－z2|==2.
法二　设复数z1,z2在复平面内分别对应向量,,则z1+z2对应向量+.
由题知||=||=|+|=2,如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则z1－z2对应向量,OA=AC=OC=2,可得BA=2OAsin 60°=2.故|z1－z2|=||=2.
复数的几何意义及其应用
(1)复数z、复平面内的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 向量.
(2)|z－z1|=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的基本概念 4,7
复数的四则运算 1,2,5,8,10,11,12,14
复数的几何意义 3,6,9,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2024·全国甲卷)设z=5+i,则i(+z)等于(　　)
[A] 10i [B] 2i
[C] 10 [D] －2
【答案】 A
【解析】 i(+z)=i(5－i+5+i)=10i.故选A.
2.(2024·北京卷)若复数z满足=－1－i,则z等于(　　)
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
【答案】 C
【解析】 由题意得z=i(－1－i)=1－i.
故选C.
3.(2023·北京卷)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(－1,),则z的共轭复数等于(　　)
[A] 1+i [B] 1－i
[C] －1+i [D] －1－i
【答案】 D
【解析】 复数z在复平面内对应的点的坐标是(－1,),根据复数的几何意义,得z=－1+i,由共轭复数的定义可知,=－1－i.故选D.
4.(2022·全国乙卷)已知z=1－2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
[A] a=1,b=－2 [B] a=－1,b=2
[C] a=1,b=2 [D] a=－1,b=－2
【答案】 A
【解析】 由题意知=1+2i,所以z+a+b=1－2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a－2)i,又因为z+a+b=0,所以a+b+1+(2a－2)i=0,
所以
解得故选A.
5.(2025·四川攀枝花模拟)已知复数z=(a+1)－ai(a∈R),则“|z|=1”是“a=0”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为z=(a+1)－ai(a∈R),且|z|==1,整理得a2+a=0,解得a=0或a=－1,即|z|=1等价于a=0或a=－1,且{0}是{0,1}的真子集,所以“|z|=1”是“a=0”的必要不充分条件.故选B.
6.(多选题)(2025·重庆模拟)已知z是复数,是其共轭复数,则下列命题中正确的是(　　)
[A] z2=|z|2
[B] 若z=(1－2i)2,则复平面内对应的点位于第二象限
[C] 若|z|=1,则|z－1－i|的最大值为 +1
[D] 若1－3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则q=10
【答案】 BCD
【解析】 对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|2=a2+b2,z2=(a+bi)2=a2－b2+2abi,当z为实数时有z2=|z|2,A错误;对于B,z=(1－2i)2=－3－4i,=－3+4i,则复平面内对应的点位于第二象限,B正确;对于C,由|z|=1知,在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上,|z－1－i|可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离,则距离最大值为+1,C正确;对于D,依题意,
(1－3i)2+p(1－3i)+q=0,整理得(p+q－8)+(－3p－6)i=0,而p,q∈R,因此
解得D正确.故选BCD.
7.(5分)(2025·湖南永州模拟)已知复数z1=m2－(m2－5m+6)i,z2=10－(m2－3m)i,若z1<(为z的共轭复数),则实数m的取值范围为　　　　.
【答案】 {3}
【解析】 因为z2=10－(m2－3m)i,
所以=10+(m2－3m)i,
因为z1<,所以z1,都是实数,且z1<,
所以
解得m=3,即实数m的取值范围为{3}.
8.(8分)已知复数z满足z+=1,(z－)i=2,求|z|.
【解】 设z=a+bi(a,b∈R),
则=a－bi,
又z+=1,(z－)i=2,
则所以
解得所以z=－i,
故|z|==.
9.(2025·河南郑州模拟)已知复数z=,则z+在复平面内对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 A
【解析】 因为z===－+i,所以z+=+i,所以z+在复平面内对应的点的坐标为(,),位于第一象限.故选A.
10.(多选题)(2025·福建泉州模拟)设z1,z2是复数,则(　　)
[A] 若+=0,则z1=z2=0
[B] 若=,则|z1|=|z2|
[C] 若z1z2=0,则z1=0或z2=0
[D] 若|z1+z2|=|z1－z2|,则z1z2=0
【答案】 BC
【解析】 若z1=1,z2=i,则+=0,而z1≠z2≠0,所以A错误;
因为=,所以(z1+z2)(z1－z2)=0,
所以z1+z2=0或z1－z2=0,所以z1=－z2或z1=z2,所以|z1|=|z2|,所以B正确;
因为z1z2=0,所以|z1z2|=|z1||z2|=0,
所以z1=0或z2=0,所以C正确;
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1－z2=(a－c)+(b－d)i,
因为|z1+z2|=|z1－z2|,
所以(a+c)2+(b+d)2=(a－c)2+(b－d)2,
所以ac+bd=0,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(ad+bc)i不一定为零,所以D错误.故选BC.
11.已知虚数z满足z3－1=0,且是z的共轭复数,则下列结论错误的是(　　)
[A] z2+z+1=0
[B] |z|=1
[C] z2=
[D] z+z2+z3+…+z2 027=0
【答案】 D
【解析】 对于A,因为z3－1=0,故(z－1)(z2+z+1)=0,因为z为虚数,故z2+z+1=0,故A正确;对于B,由z2+z+1=0可得z=－±i,故|z|=1,故B正确;对于C,当z=－+i时,z2=－i,此时z2=成立,当z=－i时,z2=－+i,此时z2=成立,故C正确;对于D,z+z2+z3+…+
z2 027=,因为z3=1,z2+z+1=0,所以==z(1+z)=z2+z=－1,故D错误.
故选D.
12.(多选题)(2025·云南保山模拟)已知a,b∈R,2a－1+(b－1)i=0,z=(1+i)2a+b,则(　　)
[A] a=1 [B] b=1
[C] z·=4 [D] =i
【答案】 BC
【解析】 对于A,B,由2a－1+(b－1)i=0,得解得故A错误,B正确;
对于C,z=(1+i)2a+b=(1+i)2=2i,z·=－4i2=4,故C正确;
对于D,==－i,故D错误.故选BC.
13.(5分)(2025·江苏南通模拟)已知复数z在复平面内对应的点为Z,且满足|z－2－2i|≤2,O为原点,A(1,1),则·的取值范围为 　　　　.
【答案】 [4－2,4+2]
【解析】 由题意可知,2+2i在复平面内对应的点为Z1(2,2),因为|z－2－2i|≤2,即|ZZ1|≤2,可知点Z的轨迹为以Z1(2,2)为圆心,半径为2的圆内(包括边界),因为=(1,1),=(2,2),即=2,可知O,A,Z1三点共线,
且||=2||=2,
设在上的投影向量为a,
则|a|∈[2－2,2+2],
可得·=|||a|=|a|∈[4－2,4+2],
所以·的取值范围为[4－2,4+2].
14.(5分)(2025·广东汕头模拟)写出一个满足(1+i)·z∈R,且|z|>2的复数z,z=　　　　.
【答案】 3－3i(答案不唯一)
【解析】 设z=a+bi,a,b∈R,
因为(1+i)·z=(1+i)·(a+bi)=a－b+(a+b)i∈R,所以a+b=0,z=a－ai,
由|z|==|a|>2,
解得a> 或a<－,则z=3－3i(答案不唯一).
15.(12分)(2025·河南驻马店模拟)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z;
(2)若|z|=,且z2+z的实部不为0,讨论z2+z在复平面内对应的点位于第几象限.
【解】 (1)依题意可设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),因为z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,
所以
解得a=12,b=－5,故z=12－5i.
(2)依题意可设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因为z2+z=a2－b2+a+(2ab+b)i(a>0,b<0),
所以a2－b2+a≠0,且2ab+b=b(2a+1)<0.
因为|z|=,所以a2+b2=6,
所以a2－b2+a=a2－(6－a2)+a=2a2+a－6.
当0时,2a2+a－6>0,z2+z在复平面内对应的点位于第四象限.
16.(12分)设m,n∈R,已知z1=1+i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根.
(1)求m,n的值;
(2)设方程的另一根为z2,复数z1,z2对应的向量分别是a,b.若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角,求实数t的取值范围.
【解】 (1)因为z1=1+i(i为虚数单位)是方程 x2+mx+n=0的一个根,
则(1+i)2+m(1+i)+n=(m+n－1)+(m+2)i=0,
可得解得
所以m,n的值分别为－2,3.
(2)由题意可知,z2==1－i,
则a=(1,),b=(1,－),
可得ta+b=(t+1,t－),a+tb=(t+1,t),若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角,
可知(ta+b)·(a+tb)>0且ta+b与a+tb不共线,则
解得3－2(
第
3
页
)(共71张PPT)
第4节　复　数
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示法的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.复数的概念
概念 定义
复数 把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 .复数通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a与b分别叫做复数z的 与
复数集 全体复数构成的集合,即C={a+bi|a,b∈R}
复数 相等 a+bi=c+di , ,其中a,b,c,d∈R
虚数单位
实部
虚部
a=c
b=d
知识梳理
共轭复数
知识梳理
实轴
虚轴
原点
模
绝对值
|z|
|a+bi|
坐标原点
知识梳理
2.复数的几何意义
相等
知识梳理
3.复数的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1±z2= ;
②z1z2= ;
(a±c)+(b±d)i
(ac－bd)+(ad+bc)i
知识梳理
(2)复数加法、减法的几何意义.
知识梳理
(3)复数加法的运算律:对任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1+z2= ;
②结合律:(z1+z2)+z3= .
(4)复数乘法的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1z2=z2z1;
②结合律:(z1z2)z3= ;
③分配律:z1(z2+z3)= .
z2+z1
z1+(z2+z3)
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
重要结论
重要结论
4.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z－(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
对点自测
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
C
对点自测
C
对点自测
对点自测
D
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
对点自测
对点自测
4.(人教A版必修第二册P73习题7.1 T3改编)若(x+y)+(y－1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,则x=　　　　,y=　　　　.
4
－2
对点自测
5.(人教B版必修第四册P41练习B T4改编)若复数(1－2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　.
－2
【解析】 (1－2i)(a+i)=a+2+(1－2a)i是纯虚数,所以a+2=0且1－2a≠0,
所以a=－2.
关键能力
课堂突破
考点一　复数的基本概念
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=－1－i,则|z|等于(　　)
C
[溯源探本]本题源于人教B版必修第四册P31练习A T3.
[A] －3+4i [B] 3－4i
[C] 4+3i [D] 4－3i
D
3.已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
[A] a=1,b=－3 [B] a=－1,b=3
[C] a=－1,b=－3 [D] a=1,b=3
B
【解析】 (b+i)i=－1+bi,则由a+3i=－1+bi,得a=－1,b=3.故选B.
求解复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
题后悟通
考点二　复数的四则运算
[A] －1 [B] 1
[C] 1－i [D] 1+i
C
[溯源探本]本题源于人教A版必修第二册P81习题7.2T4.
[A] －i [B] i
[C] 0 [D] 1
A
[溯源探本]本题源于人教A版必修第二册P95复习参考题7 T7.
3.i+i2+i3+…+i2 024等于(　　)
[A] －1 [B] －i
[C] 0 [D] 1
C
【解析】 因为i2=－1,i3=－i,i4=1,i5=i,i6=－1,…,所以周期为4,
且i－1－i+1=0,所以i+i2+i3+…+i2 024=506×(i－1－i+1)=0.故选C.
[A] －1 [B] 4
[C] 2 [D] －2
B
(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.
题后悟通
考点三　复数的几何意义
1.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3－i)对应的点位于(　　)
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
A
【解析】 因为(1+3i)(3－i)=3+8i－3i2=6+8i,则所求复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.
B
A
复数的几何意义及其应用
题后悟通
(2)|z－z1|=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
复数的基本概念 4,7
复数的四则运算 1,2,5,8,10,11,12,14
复数的几何意义 3,6,9,13,15,16
基础巩固练
[A] 10i [B] 2i
[C] 10 [D] －2
A
C
[A] －1－i [B] －1+i
[C] 1－i [D] 1+i
【解析】 由题意得z=i(－1－i)=1－i.
故选C.
D
[A] a=1,b=－2 [B] a=－1,b=2
[C] a=1,b=2 [D] a=－1,b=－2
A
B
5.(2025·四川攀枝花模拟)已知复数z=(a+1)－ai(a∈R),则“|z|=1”是“a=0”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
6.(多选题)(2025·重庆模拟)已知z是复数,是其共轭复数,则下列命题中正确的是(　 　)
BCD
{3}
综合运用练
A
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
BC
10.(多选题)(2025·福建泉州模拟)设z1,z2是复数,则(　 　)
D
BC
12.(多选题)(2025·云南保山模拟)已知a,b∈R,2a－1+(b－1)i=0,z=(1+i)2a+b,则( 　　)
3－3i(答案不唯一)
应用创新练
15.(12分)(2025·河南驻马店模拟)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z;
15.(12分)(2025·河南驻马店模拟)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)求m,n的值;
(2)设方程的另一根为z2,复数z1,z2对应的向量分别是a,b.若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角,求实数t的取值范围.

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