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微课培优4　平面向量中的三大技法
类型一　极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中:(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a－b)2=a2+b2－2a·b,
两式相减可得极化恒等式a·b=[(a+b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的,即a·b=[(a+b)2－(a－b)2](如图).
(2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即·=||2－||2(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
[典例1] (2025·四川达州模拟)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=－1,则 ·的值是　　　　.
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决.
[拓展演练1] (2025·广西玉林模拟)设向量a,b满足|a+b|=,|a－b|=,则a·b等于(　　)
[A] 1　　　 [B] 2
[C] 3　　　 [D] 5
类型二　奔驰定理
如图,已知P为△ABC内一点,则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.
[典例2] (多选题)(2025·河南南阳模拟)已知O是△ABC内一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.设O是锐角△ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下命题正确的有(　　)
[A] 若+2+3=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
[B] ||=||=2,∠AOB=,2+3+4=0,则S△ABC=
[C] 若O为△ABC的内心,3+4+5=0,则∠C=
[D] 若O为△ABC的重心,则++=0
运用奔驰定理可以解决以下三类问题:
(1)处理有关三角形面积比问题.
(2)反求向量式中的参数问题.
(3)三角形四心问题.
[拓展演练2] 设点O在△ABC的内部,且=4+5,则S△OAB与S△OBC之比是　　　　.
类型三　等和线
1.其和为1的等和线
点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(1－t) 点C在直线AB上.
2.其和为k的等和线
点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(k－t)(k≠1,k∈R) 点C的轨迹是平行于直线AB的一条直线.
[典例3] 如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为(　　)
[A] 　 [B] 2　
[C] 　 [D] 1
利用等和线求基底系数和的最值(范围)的求解步骤
(1)确定值为1的等和线;
(2)平移该线,结合动点允许存在的区域,分析何处取得最大值和最小值;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算最大值和最小值.
[拓展演练3] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的一个动点,若=x+y,则x+3y的取值范围是　　　　.
(分值:70分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知O是△ABC内部一点,满足+2+m=0,且=,则实数m等于(　　)
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
2.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m,则m等于(　　)
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
3.(2025·湖南长沙模拟)向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=(),我们称为极化恒等式.已知在△ABC中,M是BC中点,AM=3,BC=10,则·等于(　　)
[A] －16 [B] 16
[C] －8 [D] 8
4.(多选题)已知O是锐角三角形ABC内的一点,A,B,C是△ABC的三个内角,且点O满足·=·=·.则下列命题正确的是(　　)
[A] O为△ABC的外心
[B] ∠BOC+A=π
[C] ||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C
[D] tan A·+tan B·+tan C·=0
5.已知正三角形ABC的边长等于,点P在其外接圆上运动,则·的取值范围是(　　)
[A] [－,] [B] [－,]
[C] [－,] [D] [－,]
6.(2025·河北沧州模拟)对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] 1 [D]
7.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2,M为线段AB上的动点(包含端点),D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF,则 ·的最小值为(　　)
[A] －2 [B] －
[C] －1　 [D] －
8.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=120°,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　)
[A] [－2,2]　 [B] (1,]
[C] [1,] [D] [1,2]
9.已知正三角形ABC的边长为3,点D在边AB上,且=2,△ABC的外接圆的一条弦MN过点D,点P为边BC上的动点,当弦MN的长度最短时,·的取值范围是(　　)
[A] [－1,5]　 [B] [－1,7]
[C] [0,2]　　 [D] [1,5]
10.(5分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是　　　　.
11.(5分)奔驰定理是平面向量中一个非常优美的结论,奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着美丽的邂逅.它的具体内容是:如图,若P是△ABC内一点,△BPC,△APC,
△APB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA·+SB·+SC·=0.已知O为△ABC的内心,
且 cos∠BAC=,若=m+n,则m+n的最大值为　　　　.
12.(5分)在△ABC中,设=a,=b,其夹角设为θ,平面上点D,E满足 =2,=3,
BE,DC交于点O,则用a,b表示为　　　　　　　　　.若·=·,则cos θ的最小值为　　　　.
13.(9分)如图,已知O为锐角三角形ABC的外心,A=,且=x+y,求2x－y的取值
范围.
微课培优4　平面向量中的三大技法
类型一　极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中:(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a－b)2=a2+b2－2a·b,
两式相减可得极化恒等式a·b=[(a+b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的,即a·b=[(a+b)2－(a－b)2](如图).
(2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即·=||2－||2(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
[典例1] (2025·四川达州模拟)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=－1,则 ·的值是　　　　.
【答案】
【解析】 设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.
由向量的极化恒等式,知·=||2－||2=9n2－m2=4,
·=||2－||2=n2－m2=－1,联立解得n2=,m2=,
因此·=||2－||2=4n2－m2=,即·=.
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决.
[拓展演练1] (2025·广西玉林模拟)设向量a,b满足|a+b|=,|a－b|=,则a·b等于(　　)
[A] 1　　　 [B] 2
[C] 3　　　 [D] 5
【答案】 A
【解析】 因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10,|a－b|2=(a－b)2=a2+b2－2a·b=6,两式相减得a·b=[(a+b)2－(a－b)2]=1.故选A.
类型二　奔驰定理
如图,已知P为△ABC内一点,则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.
[典例2] (多选题)(2025·河南南阳模拟)已知O是△ABC内一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.设O是锐角△ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下命题正确的有(　　)
[A] 若+2+3=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
[B] ||=||=2,∠AOB=,2+3+4=0,则S△ABC=
[C] 若O为△ABC的内心,3+4+5=0,则∠C=
[D] 若O为△ABC的重心,则++=0
【答案】 ACD
【解析】 对于A,因为+2+3=0,由奔驰定理可知SA∶SB∶SC=1∶2∶3,A正确;
对于B,由||=||=2,∠AOB=,可知SC=×2×2×sin =1,又2+3+4=0,所以SA∶SB∶SC=2∶3∶4,
由SC=1可得,SA=,SB=,所以S△ABC=SA+SB+SC=++1=,B错误;
对于C,若O为△ABC的内心,3+4+5=0,则SA∶SB∶SC=3∶4∶5,
又SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr=a∶b∶c(r为△ABC内切圆半径,a,b,c为角A,B,C所对的边),所以a2+b2=c2,故∠C=,C正确;
对于D,如图所示,
因为O为△ABC的重心,延长CO交AB于点D,则D为AB的中点,
所以OC=2OD,S△AOD=S△BOD=SC,且S△AOD=SB,
S△BOD=SA,所以SA=SB=SC,由奔驰定理可得++=0,D正确.
故选ACD.
运用奔驰定理可以解决以下三类问题:
(1)处理有关三角形面积比问题.
(2)反求向量式中的参数问题.
(3)三角形四心问题.
[拓展演练2] 设点O在△ABC的内部,且=4+5,则S△OAB与S△OBC之比是　　　　.
【答案】 5
【解析】 由=4+5变形可得 +=4+5,整理可得 +3+5=0,根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=1∶3∶5,则==5.
类型三　等和线
1.其和为1的等和线
点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(1－t) 点C在直线AB上.
2.其和为k的等和线
点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(k－t)(k≠1,k∈R) 点C的轨迹是平行于直线AB的一条直线.
[典例3] 如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为(　　)
[A] 　 [B] 2　
[C] 　 [D] 1
【答案】 A
【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F
(图略),
设=λ+μ,则 λ+μ=1,因为BC∥EF,所以设==k,
则k∈[0,],
所以=k,=k,=λ+μ=λk+μk,所以x=λk,y=μk,
所以2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤.
故选A.
利用等和线求基底系数和的最值(范围)的求解步骤
(1)确定值为1的等和线;
(2)平移该线,结合动点允许存在的区域,分析何处取得最大值和最小值;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算最大值和最小值.
[拓展演练3] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的一个动点,若=x+y,则x+3y的取值范围是　　　　.
【答案】 [1,3]
【解析】 =x+3y(),令=,那么则要考虑以向量,为基底,显然,当C在A点时,经过k=1的等和线,当C在B点时,经过k=3的等和线,这两个分别是最近和最远的等和线,所以x+3y的取值范围是[1,3].
(分值:70分)
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知O是△ABC内部一点,满足+2+m=0,且=,则实数m等于(　　)
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
【答案】 C
【解析】 由奔驰定理得S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0,又+2+m=0,
所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m,
所以==,解得m=4.故选C.
2.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m,则m等于(　　)
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
【答案】 B
【解析】 BC是值为1的等和线,过M作BC的平行线,
=+,易知 =,所以+=,所以m=3.故选B.
3.(2025·湖南长沙模拟)向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=(),我们称为极化恒等式.已知在△ABC中,M是BC中点,AM=3,BC=10,则·等于(　　)
[A] －16 [B] 16
[C] －8 [D] 8
【答案】 A
【解析】 由题设,△ABC可以补形为平行四边形ABDC(图略),
由已知得||=3,||=10,·=(4||2－||2)=×(36－100)=－16.故选A.
4.(多选题)已知O是锐角三角形ABC内的一点,A,B,C是△ABC的三个内角,且点O满足·=·=·.则下列命题正确的是(　　)
[A] O为△ABC的外心
[B] ∠BOC+A=π
[C] ||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C
[D] tan A·+tan B·+tan C·=0
【答案】 BCD
【解析】 因为·=· ·()=0 ·=0 OB⊥CA,
同理OA⊥CB,OC⊥AB,故O为△ABC的垂心,故A错误;
根据垂心可得∠OBC+C=,∠OCB+B=,所以∠OBC+C+∠OCB+B=π,
又∠OBC+∠OCB+∠BOC=π,所以∠BOC=C+B,又A+B+C=π,所以∠BOC+A=π,故B正确;
A=π－∠BOC,同理B=π－∠AOC,延长CO交AB于点P(如图),
则cos A∶cos B=cos(π－∠BOC)∶cos(π－∠AOC)=cos∠BOP∶cos∠AOP=∶=OA∶OB,同理可得cos A∶cos C=OA∶OC,
所以cos A∶cos B∶cos C=OA∶OB∶OC,故C正确;
设△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA∶SB=(·OC·BP)∶(·OC·AP)=BP∶AP=OPtan∠POB∶OPtan∠AOP=tan∠BOC∶tan∠AOC=tan(π－A)∶tan(π－B)=tan A∶tan B,
同理可得SA∶SC=tan A∶tan C,所以SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C,
又SA·+SB·+SC·=0,所以tan A·+tan B·+tan C·=0,故D正确.故选BCD.
5.已知正三角形ABC的边长等于,点P在其外接圆上运动,则·的取值范围是(　　)
[A] [－,] [B] [－,]
[C] [－,] [D] [－,]
【答案】 B
【解析】 取AB的中点M,连接PM(图略),
由极化恒等式得·=[(+)2－()2]=×(4)==,
因为≤||≤,所以≤≤,
所以－≤·≤,所以－≤·≤.故选B.
6.(2025·河北沧州模拟)对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] 1 [D]
【答案】 B
【解析】 如图所示,过点M作MP∥BC,交直线AB,AC于点P,Q,连接AM,设=x+y,可得 x+y=1.设=k,=k,则==(kx－1)+ky,因为=λ+μ,所以λ+μ=kx－1+ky=k－1,
由图可知,当PM与半圆BC相切时,k最大,又由AB=2,BE==,可得AE=2+=,所以k==,即k的最大值为,所以λ+μ的最大值为.故选B.
7.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2,M为线段AB上的动点(包含端点),D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF,则 ·的最小值为(　　)
[A] －2 [B] －
[C] －1　 [D] －
【答案】 D
【解析】如图,连接MD,依题意BC=,D为线段EF的中点,
则+=2,·=[(+)2－()2]=,
由于||min=,=4,所以·的最小值为－.故选D.
8.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=120°,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　)
[A] [－2,2]　 [B] (1,]
[C] [1,] [D] [1,2]
【答案】 D
【解析】 设λ+μ=k,如图,当C位于点A或点B时,A,B,C三点共线,
所以k=λ+μ=1,当点C运动到的中点时,k=λ+μ=2,所以λ+μ∈[1,2].故选D.
9.已知正三角形ABC的边长为3,点D在边AB上,且=2,△ABC的外接圆的一条弦MN过点D,点P为边BC上的动点,当弦MN的长度最短时,·的取值范围是(　　)
[A] [－1,5]　 [B] [－1,7]
[C] [0,2]　　 [D] [1,5]
【答案】 D
【解析】设O为△ABC外接圆的圆心,连接OM,因为=2,所以OD=AC=1,当弦MN的长度最短时,MN⊥OD,在△ABC中,由正弦定理知,外接圆半径R=·=×=,即OM=,
所以MN=2MD=2=2=2,
由极化恒等式可得·==×(2)2=－2,
因为点P为线段BC上的动点,
所以当点P与点Q重合(DQ ⊥BC)时,||min=|DQ|=|BD|sin 60°=2×=;
当点P与点C重合时,||max=|CD|,在△BCD中,
由余弦定理知,|CD|2=|BC|2+|BD|2－2|BC|·|BD|cos∠ABC=9+4－2×3×2×=7,
所以||max=|CD|=.
综上,||∈[,],所以·=－2∈[1,5].故选D.
10.(5分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是　　　　.
【答案】 [1,]
【解析】 过点P作BD的平行线l,并分别延长AB,AD交直线l于B1,D1,如图所示,根据等和线可得=t+(1－t),以,为基底,设=m,则=m,于是就有 =mt+(m－mt),而=α+β,因此得到α+β=m.过点C作BD的平行线,分别交AB,AD的延长线于E,F,由题意知DC∥AE,则四边形BECD为平行四边形,所以BE=DC,从而==,因此DF=,得到AF=.由于D1在线段DF上运动,因此AD1∈[1,],于是1≤m≤,所以α+β的取值范围是[1,].
11.(5分)奔驰定理是平面向量中一个非常优美的结论,奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着美丽的邂逅.它的具体内容是:如图,若P是△ABC内一点,△BPC,△APC,
△APB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA·+SB·+SC·=0.已知O为△ABC的内心,
且 cos∠BAC=,若=m+n,则m+n的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为△ABC的内心O到该三角形三边的距离相等,则SA∶SB∶SC=a∶b∶c(a,b,c为角A,B,C所对的边),
由SA·+SB·+SC·=0可得a·+b·+c·=0,所以=+,
又=m+n=m()+n(),则=+,所以两式相加可得=,化简可得m+n=,
又cos∠BAC=,由余弦定理可得a2=b2+c2－2bccos∠BAC=b2+c2－bc,
由基本不等式可得a2=(b+c)2－bc≥(b+c)2－×=,所以a≥(b+c),当且仅当b=c时等号成立,所以m+n==≤==.
12.(5分)在△ABC中,设=a,=b,其夹角设为θ,平面上点D,E满足 =2,=3,
BE,DC交于点O,则用a,b表示为　　　　　　　　　.若·=·,则cos θ的最小值为　　　　.
【答案】 =a+b　　
【解析】 因为D,O,C三点共线,则存在实数t使得=t+(1－t)=2ta+(1－t)b,
又因为B,O,E三点共线,则存在实数u使得 =u+(1－u)=ua+(3－3u)b,
可得解得
所以=a+b.
由==3b－2a,==b－2a,==3b－a,
因为·=·,可得(a+b)·(3b－2a)=(b－2a)·(3b－a),整理得48a·b=20a2+9b2,
可得48|a||b|cos θ=20|a|2+9|b|2,所以cos θ=.
又因为20|a|2+9|b|2≥2=12|a||b|,所以cos θ=≥=,
当且仅当20|a|2=9|b|2,即2|a|=3|b|时,等号成立,所以cos θ的最小值为.
13.(9分)如图,已知O为锐角三角形ABC的外心,A=,且=x+y,求2x－y的取值
范围.
【解】 作圆O的直径CE,BD,则点A在劣弧DE上运动.于是=(－x)+(－y),其中 x<0,y<0.
考虑到问题涉及的代数式为2x－y,将条件转化为=2x(－)+(－y).
此时可知连接向量－的终点F与向量的终点E的直线EF即为k=1的等和线,于是2x－y=1.
依次作出其余等和线,可得2x－y的取值范围是(－2,1).
(
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微课培优4　平面向量中的
三大技法
题型演绎
类型一　极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中:(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a－b)2=a2+b2－2a·b,
2.几何解释
极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决.
反思归纳
A
[A] 1　　　 [B] 2
[C] 3　　　 [D] 5
类型二　奔驰定理
这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.
ACD
运用奔驰定理可以解决以下三类问题:
(1)处理有关三角形面积比问题.
(2)反求向量式中的参数问题.
(3)三角形四心问题.
反思归纳
5
类型三　等和线
1.其和为1的等和线
2.其和为k的等和线
A
利用等和线求基底系数和的最值(范围)的求解步骤
(1)确定值为1的等和线;
(2)平移该线,结合动点允许存在的区域,分析何处取得最大值和最小值;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算最大值和最小值.
反思归纳
[1,3]
课时作业
(分值:70分)
C
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
B
[A] 2　 [B] 3　
[C] 4　 [D] 5
A
[A] －16 [B] 16
[C] －8 [D] 8
BCD
B
B
D
D
D
[A] [－1,5]　 [B] [－1,7]
[C] [0,2]　　 [D] [1,5]

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